ব্যাখ্যাঃ কোন ভগ্নাংশটি $\frac{২}{৩}$হতে বড় তা নির্ণয় করার জন্য, আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করে $\frac{২}{৩}$ এর দশমিক মানের সাথে তুলনা করতে পারি। $$\frac{২}{৩}=০.৬৬৬...$$ এখন প্রতিটি বিকল্পের দশমিক মান বের করা যাক:
Option 1: $$\frac{৩৩}{৫০}=\frac{৬৬}{১০০}=০.৬৬$$ Option 2: $$৮÷১১=০.৭২৭২৭২...$$ Option 3: $$\frac{৩}{৫}=০.৬$$ Option 4: $$১৩÷২৭=০.৪৮১৪৮১...$$

এখন আমরা প্রতিটি দশমিক মানকে $\frac{২}{৩}$ এর দশমিক মান (০.৬৬৬...) এর সাথে তুলনা করি:

• Option 1: ০.৬৬ < ০.৬৬৬...
• Option 2: ০.৭২৭২৭২... > ০.৬৬৬...
• Option 3: ০.৬ < ০.৬৬৬...
• Option 4: ০.৪৮১৪৮১... < ০.৬৬৬...

সুতরাং, $\frac{৮}{১১}$ভগ্নাংশটি$\frac{২}{৩}$ হতে বড়।

ব্যাখ্যাঃ চক্রবৃদ্ধি মূলধন গণনার সূত্র হলো: $$A=P{(1+\frac{r}{100})}^t$$

এখানে,

• ( P = 400 ) (প্রাথমিক মূলধন),
• ( r = 5% ) (বার্ষিক সুদের হার),
• ( t = 2 ) বছর,
• ( A ) হবে চূড়ান্ত পরিমাণ।

প্রয়োগ করি: $$A=400\times {(1+\frac{5}{100})}^2$$ $$A=400\times {\left(1.05\right)}^2$$ $$A=400\times 1.1025$$ $$A=440.96$$ সুতরাং, ২ বছর পর মূলধনের পরিমাণ হবে ৪৪১ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুইটি পূর্ণসংখ্যা $x$ ও $y$, যেখানে $x+y=300$ এবং $x,y>100$।

চলুন একটি সাধারণ সমাধানের দিকে যাই:

1. যেহেতু $x+y=300$, সংখ্যা দুটি হতে পারে:
⇒ $x=120,y=180$ → অনুপাত $\frac{120}{180}=\frac{2}{3}$।
⇒ $x=140,y=160$ → অনুপাত $\frac{140}{160}=\frac{7}{8}$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা x² – 7x + 12 ≤ 0 অমৌলিক অসাম্য সমাধান করব।

1. বহুপদী অভাজ্য করা
আমরা x² – 7x + 12-কে ভগ্নাংশে বিভক্ত করি: $$x²–7x+12=(x-3)(x-4)$$ 2. অসাম্য রূপান্তর $$(x-3)(x-4)\le 0$$ 3. মূলবিন্দু নির্ণয়
মূলবিন্দু: x = 3, x = 4
এটি সংখ্যারেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
1. x < 3 (নেতিবাচক)
2. 3 ≤ x ≤ 4 (ধনাত্মক বা শূন্য)
3. x > 4 (নেতিবাচক)

যেহেতু অসাম্যটি ≤ 0, তাই ধনাত্মক অংশ বাদ দিয়ে শূন্যসহ (3,4)-এর মধ্যে মান নেওয়া হবে।

4. সমাধান সেট $$x\in [3,4]$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² প্রসারিত করি: $$(x+2y{)}^2+(y+2z{)}^2+(z+2x{)}^2$$ $$=x^2+4y^2+4xy+y^2+4z^2+4yz+z^2+4x^2+4zx+4xz$$ $$=(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+zx)+4(x^2+y^2+z^2)$$ $$=5(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+zx)$$ $$=5(2)+4(1)$$ $$=10+4$$ $$=14$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 14}}$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: $$3x-y=3$$ $$5x+y=21$$ দুইটি সমীকরণ যোগ করি: $$(3x-y)+(5x+y)=3+21$$ $$8x=24$$ $$x=\frac{24}{8}=3$$ x = 3 মান প্রথম সমীকরণে বসাই: $$3(3)-y=3$$ $$9-y=3$$ $$y=9-3=6$$ উত্তর: $$(x,y)=(3,6)$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করব: $${\log }_{\sqrt{8}}x=3\frac{1}{3}$$ 1. ভগ্নাংশকে দশমিক বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করি: $$3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$$ 2. লগারিদমিক সংজ্ঞা অনুযায়ী: $$x=(\sqrt{8}{)}^{\frac{10}{3}}$$ 3. $\sqrt{8}$ লিখি $\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}}$: $$x=(8^{\frac{1}{2}}{)}^{\frac{10}{3}}$$ 4. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি: $$x=8^{(\frac{1}{2}\times \frac{10}{3})}$$ $$x=8^{\frac{10}{6}}=8^{\frac{5}{3}}$$ 5. $8=2^3$ হিসাবে প্রকাশ করি: $$x=(2^3{)}^{\frac{5}{3}}$$ 6. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি: $$x=2^{(3\times \frac{5}{3})}$$ $$x=2^5$$ $$x=32$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 32}}$$

ব্যাখ্যাঃ ১. মোট সংখ্যা যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য
১ হতে বড় এবং ১০০০ এর মধ্যে ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: $$\frac{990}{30}=33$$ (৩০, ৬০, ৯০, ..., ৯৯০)

২. সংখ্যা যা ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
কোন সংখ্যা যদি ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি LCM(30, 16) = 240 দ্বারা বিভাজ্য হবে। $$\frac{960}{240}=4$$ (২৪০, ৪৮০, ৭২০, ৯৬০)

৩. চূড়ান্ত সংখ্যা
৩৩টি সংখ্যা আছে যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য, এর মধ্যে ৪টি ১৬ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, চূড়ান্ত সংখ্যা: $$33-4=29$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 29}}$$

ব্যাখ্যাঃ শব্দ CONIC-এর অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করতে আমরা Permutation প্রয়োগ করি।

CONIC-এ মোট ৫টি অক্ষর রয়েছে, যেখানে C দুটি বার পুনরাবৃত্ত হয়েছে। যদি সব অক্ষর আলাদা থাকত, তাহলে মোট বিন্যাস সংখ্যা হত: $$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$ কিন্তু এখানে C দু’বার রয়েছে, তাই পুনরাবৃত্ত অক্ষরগুলোর জন্য ভাগ দিতে হবে: $$\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60$$ অতএব, CONIC শব্দের অক্ষরগুলো পুনর্বিন্যাসের মোট সংখ্যা ৬০।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সেট A-এর সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করতে চাই, যেখানে x হলো 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 150।

1. x, 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য হওয়া মানে x অবশ্যই ল.সা.গু(5,7) দ্বারা বিভাজ্য হবে। $$ল.সা.গু(5,7)=35$$ 2. x < 150 শর্তটি মানতে হলে, 35 দ্বারা বিভাজ্য x-এর সম্ভাব্য মানগুলো হতে পারে: $$35,70,105,140$$ 3. এভাবে, A-এর সদস্য সংখ্যা হবে 4। অতএব, P(A) বা পাওয়ার সেট-এর সদস্য সংখ্যা হবে: $$2^4=16$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করব, অর্থাৎ নীল বা কালো বল পাওয়া যাবে।

1. মোট বল সংখ্যা: $$5+10+20=35$$ 2. সাদা না হওয়ার বল সংখ্যা (নীল + কালো): $$5+20=25$$ 3. সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা: $$\frac{\text{সাদা না হওয়ার বল সংখ্যা}}{\text{মোট বল সংখ্যা}}=\frac{25}{35}=\frac{5}{7}$$ অতএব, দৈবভাবে একটি বল তোলার ক্ষেত্রে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{5}{7}$ বা ৭১.৪৩%।

ব্যাখ্যাঃ কোনো $n$ সংখ্যক লোক যদি প্রত্যেকে একে অপরের সাথে একবার করমর্দন করে, তাহলে মোট করমর্দনের সংখ্যা হয়: $$\text{Total Handshakes}=\frac{n(n-1)}{2}$$ যেখানে $n$ হলো উপস্থিত ব্যক্তির সংখ্যা। এখানে: $$n=15$$ তাহলে, $$\text{Total Handshakes}=\frac{15\times 14}{2}=\frac{210}{2}=105$$ অতএব, মোট করমর্দনের সংখ্যা হবে ১০৫টি।

ব্যাখ্যাঃ এখানে অনুপাত দেওয়া আছে $৩:২$, যার মানে প্রতি ৩ জন পুরুষের জন্য ২ জন মহিলা থাকবে।

ধরি, পুরুষের সংখ্যা = $৩x$
মহিলার সংখ্যা = $২x$

প্রশ্নে বলা হয়েছে যে মহিলা সংখ্যা $২৫$, অর্থাৎ $$২x=২৫$$ $$x=\frac{২৫}{২}=১২.৫$$ এখন, পুরুষের সংখ্যা হবে $$৩x=৩\times ১২.৫=৩৭.৫$$ যদি বাস্তবিক সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করি, তাহলে সাধারণত মানুষ পূর্ণসংখ্যায় গণনা করা হয়। যেহেতু সংখ্যাটি দশমিক এসেছে, এর অর্থ হয়তো প্রশ্নের তথ্য সম্পূর্ণ ঠিক নেই, অথবা বাস্তবে সংখ্যা পূর্ণসংখ্যায় হতে পারে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পাঁচটি ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যা হলো $x-2,x-1,x,x+1,x+2$।
এদের গড় দেওয়া আছে $15$, অর্থাৎ $$\frac{(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)}{5}=15$$ $$\frac{5x}{5}=15$$ $$x=15$$ এখন, সবচেয়ে বড় পূর্ণ সংখ্যা হবে $x+2$, অর্থাৎ $$15+2=17$$ তাই, সবচেয়ে বড় পূর্ণ সংখ্যা $17$।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু (গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক) নির্ণয় করি:

গ.সা.গু:

আমরা সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করলে পাই:
$$x^{2}y+x{y}^2=xy(x+y)$$
$$x^2+xy=x(x+y)$$

এখানে উভয় রাশির গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক হলো $x(x+y)$।

ল.সা.গু:

ল.সা.গু বের করতে হলে প্রথমে দুটি রাশির গুণফল ভাগ করতে হবে তাদের গ.সা.গু দ্বারা:
$$\frac{(x^{2}y+x{y}^2)\cdot (x^2+xy)}{gcd}$$

অর্থাৎ,
$$\frac{xy(x+y)\cdot x(x+y)}{x(x+y)}$$
= $xy(x+y)$

গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল:

গ.সা.গু × ল.সা.গু =
$$x(x+y)\times xy(x+y)$$
= $x^{2}y(x+y{)}^2$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে দুটি অনুপাতকে একই ভিত্তিতে আনতে হবে।

প্রথম অনুপাত: $x:y=2:3$
দ্বিতীয় অনুপাত: $y:z=5:7$

এখন, y-এর সাধারণ মান বের করতে হলে দুটি অনুপাতকে সমান করতে হবে।
$y=3$ এবং $y=5$ – এখানে $y$-এর ল.সা.গু হবে 15।

ধাপে ধাপে সমাধান:

প্রথম অনুপাতকে ৫ দিয়ে গুণ করি:
$x:y=(2\times 5):(3\times 5)=10:15$

দ্বিতীয় অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করি:
$y:z=(5\times 3):(7\times 3)=15:21$

এখন, দুটি অনুপাত একত্র করলে পাই:
$x:y:z=10:15:21$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, জাহিদ সাহেবের প্রাথমিক বেতন ছিল 100 টাকা।

বেতন 10% কমানোর পর তাঁর বেতন হয়:
$$100-(100\times \frac{10}{100})=100-10=90\text{ টাকা}$$

এখন, হ্রাসকৃত বেতন 90 টাকা 10% বাড়ানো হলো। বৃদ্ধির পরিমাণ:
$$90\times \frac{10}{100}=9\text{ টাকা}$$

সুতরাং, 10% বৃদ্ধির পর তাঁর নতুন বেতন হয়:
$$90+9=99\text{ টাকা}$$

জাহিদ সাহেবের প্রাথমিক বেতন ছিল 100 টাকা এবং নতুন বেতন হলো 99 টাকা।

অতএব, তাঁর ক্ষতি হলো:
$$100-99=1\text{ টাকা}$$

শতকরা ক্ষতির হার বের করতে হলে:
$$\text{ক্ষতির শতকরা হার}=\frac{\text{মোট ক্ষতি}}{\text{প্রাথমিক বেতন}}\times 100$$$$=\frac{1}{100}\times 100=1\mathrm{\%}$$

সুতরাং, জাহিদ সাহেবের 1% ক্ষতি হলো।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে (x + 5)² প্রসারিত করি:

$$(x+5{)}^2=(x+5)(x+5)$$

এখন গুণ করি:

$$x^2+5x+5x+25$$

$$x^2+10x+25$$

এখন এই সমীকরণকে $x^2+bx+c$ এর সঙ্গে তুলনা করলে পাই:

b = 10
c = 25

তাহলে, b = 10 এবং c = 25 হলে সমীকরণটি অভেদ হবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা $p^2+q^2$ নির্ণয়ের জন্য পরিচিত সূত্র $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ ব্যবহার করবো।

প্রথমে, দেওয়া আছে:
$p+q=5$
$p-q=3$

এখন দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাই:
$$(p+q)+(p-q)=5+3$$
$$2p=8$$
$$p=4$$

এখন $p-q=3$ ব্যবহার করে q এর মান নির্ণয় করি:
$$4-q=3$$
$$q=1$$

এখন, $p^2+q^2$ নির্ণয় করি:
$$p^2+q^2=4^2+1^2=16+1=17$$

$p^2+q^2=17$

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে সমাধান করবো:

$$\log \left(\frac{a}{b}\right)+\log \left(\frac{b}{a}\right)=\log (a+b)$$

ধাপে ধাপে সমাধান:

১. Logarithmic সূত্র অনুযায়ী,
$$\log x+\log y=\log (x\cdot y)$$
তাহলে বামপক্ষকে পরিবর্তন করি:

$$\log (\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a})=\log (a+b)$$

২. সরলীকরণ:
$$\log (1)=\log (a+b)$$

৩. যেহেতু $\log 1=0$ এবং লগarithemic ফাংশন এক-একভাবে কাজ করে, তাই পাই:

$$a+b=1$$

সঠিক উত্তর: কঃ a + b = 1

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি সরলীকরণ করবো:

$$2^{x+7}=4^{x+2}$$

ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
আমরা জানি, $4=2^2$, তাই $4^{x+2}$-কে $2$ এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়:

$$2^{x+7}=(2^2{)}^{x+2}$$

এখন, ঘাতের নিয়ম অনুসারে:

$$(2^2{)}^{x+2}=2^{2(x+2)}$$

তাহলে, সমীকরণ দাঁড়ায়:

$$2^{x+7}=2^{2x+4}$$


$$x+7=2x+4$$

$$x+7-4=2x$$

$$x+3=2x$$

$$3=2x-x$$

$$x=3$$

সঠিক উত্তর: $x=3$

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে দেওয়া ধারাটির প্যাটার্ন বিশ্লেষণ করি:

প্রদত্ত পদগুলি:
$$\frac{1}{\sqrt{3}},-1,\sqrt{3},\dots$$

এগুলো গুণোত্তর ধারার (Geometric Progression, GP) সদস্য হতে পারে।

গুণোত্তর অনুপাত বের করি:

দ্বিতীয় পদকে প্রথম পদ দ্বারা ভাগ করলে পাই:
$$r=\frac{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=-\sqrt{3}$$

পঞ্চম পদ নির্ণয়:

গুণোত্তর ধারার সাধারণ সূত্র:

$$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$$

এখন, $n=5$ বসিয়ে পাই:
$$a_5=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot (-\sqrt{3}{)}^4$$

আমরা জানি, $(-\sqrt{3}{)}^4=(\sqrt{3}{)}^4=9$

তাহলে,
$$a_5=\frac{1}{\sqrt{3}}\times 9$$

$$=\frac{9}{\sqrt{3}}$$

$$=3\sqrt{3}$$

অর্থাৎ, ধারাটির পঞ্চম পদ হলো $3\sqrt{3}$

ব্যাখ্যাঃ মোট সংখ্যা: 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38। এখানে মোট 10টি সংখ্যা আছে।

এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 29, 31, 37। এখানে 3টি মৌলিক সংখ্যা আছে।

কোনো সংখ্যা বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা হলো:
$$\frac{\text{মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা}}{\text{মোট সংখ্যার সংখ্যা}}=\frac{3}{10}$$

সুতরাং, 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{10}$.

সারাংশ: 29 থেকে 38 পর্যন্ত মোট 10টি সংখ্যার মধ্যে 3টি মৌলিক সংখ্যা (29, 31, 37) রয়েছে। তাই একটি সংখ্যা দৈবচয়ণে বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{10}$.

ব্যাখ্যাঃ পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠনের জন্য প্রথম স্থানে 0 ছাড়া অন্য যেকোনো অঙ্ক বসতে পারে।

প্রথম স্থানে বসানোর জন্য 4টি বিকল্প আছে (1, 2, 3, 4)।

একবার একটি অঙ্ক প্রথম স্থানে বসে গেলে, বাকি চারটি স্থানে যেকোনো অঙ্ক বসানো যেতে পারে।

দ্বিতীয় স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে (0, 1, 2, 3, 4)।
তৃতীয় স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।
চতুর্থ স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।
পঞ্চম স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।

সুতরাং, মোট পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে:
$$4\times 5\times 5\times 5\times 5=4\times 5^4=4\times 625=2500$$

অতএব, 0, 1, 2, 3, 4 অঙ্কগুলি দ্বারা 2500টি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে।

সারাংশ: পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠনের জন্য প্রথম স্থানে 0 বাদে 4টি বিকল্প থাকে। এরপর বাকি চারটি স্থানে 5টি করে বিকল্প থাকায় মোট $4\times 5^4=2500$টি সংখ্যা গঠন করা যায়।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $A=\{x\in \mathbb{N}:x^2-5x-14=0\}$।

আমাদের প্রথমে $x^2-5x-14=0$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা উৎপাদক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এর সমাধান করতে পারি:

$$x^2-7x+2x-14=0$$$$x(x-7)+2(x-7)=0$$$$(x-7)(x+2)=0$$

সুতরাং, সমীকরণটির দুটি সমাধান হলো:
$$x-7=0⟹x=7$$
$$x+2=0⟹x=-2$$

এখন, সেট $A$-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, $A$ হলো সেই সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যারা $x^2-5x-14=0$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$।

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে $x=7$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কিন্তু $x=-2$ স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

সুতরাং, সেট $A$-এর একমাত্র উপাদান হলো 7।

অতএব, $A=\{7\}$.

সারাংশ: $x^2-5x-14=0$ সমীকরণের সমাধান $x=7$ এবং $x=-2$. যেহেতু $A$ হলো স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যা এই সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাই $A=\{7\}$.

ব্যাখ্যাঃ ধারাটির প্রতিটি সংখ্যা তার আগের সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে ভাগ করে পাওয়া যাচ্ছে:

• ৮ ÷ ২ = ৪
  
• ৪ ÷ ২ = ২
  
• ২ ÷ ২ = ১
  
• ১ ÷ ২ = $\frac{১}{২}$
  
• $\frac{১}{২}$ ÷ ২ = $\frac{১}{৪}$
  

সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে:

$\frac{১}{৪}$ ÷ ২ = $\frac{১}{৮}$

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো কঃ $\frac{১}{৮}$।

ব্যাখ্যাঃ

যদি কাগজের প্রতি পাতা ২১ পয়সায় বিক্রি হয়, তাহলে চার পাতা বিক্রি হবে:

২১ পয়সা/পাতা × ৪ পাতা = ৮৪ পয়সা

সুতরাং, চার পাতা ৮৪ পয়সায় বিক্রি হবে।

ব্যাখ্যাঃ

যদি প্রতি ফুট দড়ির দাম ১০ টাকা হয়, তবে ৬০ টাকায় তুমি যত ফুট দড়ি ক্রয় করতে পারবে, তা নির্ণয় করার জন্য তোমাকে মোট টাকাকে প্রতি ফুটের দাম দিয়ে ভাগ করতে হবে।

সুতরাং, দড়ির পরিমাণ = মোট টাকা / প্রতি ফুট দড়ির দাম দড়ির পরিমাণ = ৬০ টাকা / ১০ টাকা/ফুট দড়ির পরিমাণ = ৬ ফুট

অতএব, যখন প্রতি ফুট দড়ি ১০ টাকায় বিক্রি হয়, তখন ৬০ টাকায় তুমি ৬ ফুট দড়ি ক্রয় করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ
$$\frac{1}{2}\times 2^{x-3}+1=5$$
$$\frac{1}{2}\times 2^{x-3}=5-1$$
$$\frac{1}{2}\times 2^{x-3}=4$$
$$2^{x-3}=8$$
$$2^{x-3}=2^3$$
$$x-3=3$$
$$x=3+3$$
$$x=6$$
সুতরাং, $x$ এর মান হলো 6।

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা গণনা
১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হবে:
$$\lfloor \frac{1000}{30}\rfloor =33$$

অর্থাৎ ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে ৩৩টি।

ধাপ ২: যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
আমরা বের করবো ৩০ ও ১৬ এর ল.সা.গু (LCM):
$$\text{LCM}(30,16)=240$$
তাহলে ১ থেকে ১০০০ এর মধ্যে ২৪০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা:
$$\lfloor \frac{1000}{240}\rfloor =4$$
অর্থাৎ ৪টি সংখ্যা আছে যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দিয়েই বিভাজ্য।

ধাপ ৩: শুধু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ১৬ দ্বারা নয়
$$33-4=\boxed{{\displaystyle 29}}$$

ব্যাখ্যাঃ

ধারাটির সংখ্যাগুলোর মধ্যে পার্থক্যগুলো লক্ষ্য করি:

• ২ - ১ = ১
• ৪ - ২ = ২
• ৭ - ৪ = ৩
• ১১ - ৭ = ৪

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সংখ্যাগুলোর মধ্যে পার্থক্য ক্রমশ ১ করে বাড়ছে। সুতরাং, পরবর্তী পার্থক্যটি হবে ৪ + ১ = ৫।

অতএব, সর্বশেষ সংখ্যাটির পরের সংখ্যাটি হবে:

১১ + ৫ = ১৬

সুতরাং, সংখ্যা শ্রেণির সর্বশেষ সংখ্যার পরের সংখ্যাটি হবে ১৬।

ব্যাখ্যাঃ $$\begin{array}{rl}& =2{\log }_{10}5+{\log }_{10}36-{\log }_{10}9\\ & ={\log }_{10}(5^2)+{\log }_{10}36-{\log }_{10}9\\ & ={\log }_{10}25+{\log }_{10}36-{\log }_{10}9\\ & ={\log }_{10}(25\times 36)-{\log }_{10}9\\ & ={\log }_{10}(900)-{\log }_{10}9\\ & ={\log }_{10}\left(\frac{900}{9}\right)\\ & ={\log }_{10}(100)\\ & ={\log }_{10}({10}^2)\\ & =2{\log }_{10}(10)\\ & =2\times 1\\ & =2\end{array}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি,

বিক্রয়মূল্য = $x$ টাকা
ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্যের দ্বিগুণ = $2x$ টাকা

যেহেতু ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চেয়ে বেশি, তাই এখানে ক্ষতি হয়েছে।

ক্ষতির পরিমাণ = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য = $2x-x=x$ টাকা।

শতকরা ক্ষতির পরিমাণ বের করতে, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করি:

$$\text{শতকরা ক্ষতি}=\frac{\text{মোট ক্ষতি}}{\text{ক্রয়মূল্য}}\times 100\mathrm{\%}$$

এখানে,

• মোট ক্ষতি = $x$ টাকা
  
• ক্রয়মূল্য = $2x$ টাকা
  

সুতরাং,

$$\begin{array}{rl}\text{শতকরা ক্ষতি}& =\frac{x}{2x}\times 100\mathrm{\%}\\ & =\frac{1}{2}\times 100\mathrm{\%}\\ & =50\mathrm{\%}\end{array}$$

অতএব, শতকরা ক্ষতির পরিমাণ ৫০%।

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে $x$ এর মান নির্ণয় করতে যাচ্ছি।

ধাপে ধাপে সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:
$$\log 10x=-1$$

১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা

লগারিদম সংজ্ঞা অনুযায়ী—
$${10}^{\log 10x}={10}^{-1}$$

যেহেতু $\log 10x$ কেবলমাত্র $x$ কে প্রকাশ করে, তাই—
$$x={10}^{-1}$$

২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা

$$x=\frac{1}{10}$$

সুতরাং, $$x=\frac{1}{10}$$ বা $0.1$।

ব্যাখ্যাঃ
প্রদত্ত সমান্তর অনুক্রম:
$$-5,p,q,16$$
সমান্তর অনুক্রমে প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা আগের সংখ্যার সাথে একটি স্থির পার্থক্য যোগ করে পাওয়া যায়, যাকে সাধারণ পার্থক্য ($d$) বলা হয়।

১ম ধাপ: সাধারণ পার্থক্য ($d$) নির্ণয় করা

আমরা জানি:
$$q-p=d$$
$$p-(-5)=d$$
এবং,
$$16-q=d$$

সুতরাং, প্রথম ও শেষ সংখ্যার মধ্যে সাধারণ পার্থক্য হবে:
$$d=\frac{(16-(-5))}{3}=\frac{16+5}{3}=\frac{21}{3}=7$$

২য় ধাপ: $p$ ও $q$ এর মান নির্ণয় করা

$$p=-5+d=-5+7=2$$
$$q=p+d=2+7=9$$

সুতরাং, $p=2$ এবং $q=9$

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $i=\sqrt{-1}$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, এবং $i^4=1$.

এখন, $-49$ কে $4$ দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই:
$$-49=4\times (-13)+3$$

সুতরাং,
$$i^{-49}=i^{4\times (-13)+3}=(i^4{)}^{-13}\times i^3$$

যেহেতু $i^4=1$, তাই
$$i^{-49}=(1{)}^{-13}\times i^3=1\times i^3=i^3$$

আমরা জানি $i^3=-i$.

অতএব,
$$i^{-49}=-i$$

সুতরাং, $$i^{-49}$$ এর মান $-i$.
$$
উত্তর: $-i$

ব্যাখ্যাঃ দুটি সংখ্যা $a$ এবং $b$-এর গুণোত্তর গড় হলো $\sqrt{ab}$.

এখানে, সংখ্যা দুটি হলো $১৮$ এবং $৭২$.

সুতরাং, এদের গুণোত্তর গড় হবে $\sqrt{১৮\times ৭২}$.

আমরা লিখতে পারি, $১৮=২\times ৯=২\times {৩}^{২}$ এবং $৭২=৮\times ৯={২}^{৩}\times {৩}^{২}$.

তাহলে, $১৮\times ৭২=(২\times {৩}^{২})\times ({২}^{৩}\times {৩}^{২})={২}^{১+৩}\times {৩}^{২+২}={২}^{৪}\times {৩}^{৪}=(২\times ৩{)}^{৪}={৬}^{৪}$.

অতএব, গুণোত্তর গড় = $\sqrt{{৬}^{৪}}=({৬}^{৪}{)}^{১/২}={৬}^{৪\times (১/২)}={৬}^{২}=৩৬$.

সুতরাং, ১৮ এবং ৭২ এর গুণোত্তর গড় হলো ৩৬।

সঠিক উত্তর: গঃ ৩৬

ব্যাখ্যাঃ আমরা আগের উত্তরে দেখেছি, এই ধারার যোগফল $n$-এর মানের উপর নির্ভর করে।

• যদি $n$ জোড় সংখ্যা হয়, যোগফল $=0$
  
• যদি $n$ বিজোড় সংখ্যা হয়, যোগফল $=1$
  

এখন আমরা বিকল্পগুলো পরীক্ষা করে দেখব:

কঃ $0$ - এটি সঠিক, কিন্তু শুধুমাত্র যখন $n$ জোড় সংখ্যা হয়।

খঃ $1$ - এটি সঠিক, কিন্তু শুধুমাত্র যখন $n$ বিজোড় সংখ্যা হয়।

গঃ $[1+(-1)n]$ -
* যদি $n$ জোড় হয়, $(-1{)}^n=1$, যোগফল $=1+1=2$, যা সঠিক নয়।
* যদি $n$ বিজোড় হয়, $(-1{)}^n=-1$, যোগফল $=1-1=0$, যা সঠিক নয়।

ঘঃ $(\frac{1}{2})[1-(-1{)}^n]$ -
* যদি $n$ জোড় হয়, $(-1{)}^n=1$, যোগফল $=(\frac{1}{2})[1-1]=(\frac{1}{2})\times 0=0$, যা সঠিক।
* যদি $n$ বিজোড় হয়, $(-1{)}^n=-1$, যোগফল $=(\frac{1}{2})[1-(-1)]=(\frac{1}{2})[1+1]=(\frac{1}{2})\times 2=1$, যা সঠিক।

সুতরাং, $(\frac{1}{2})[1-(-1{)}^n]$ এমন একটি সূত্র যা জোড় এবং বিজোড় উভয় $n$-এর জন্যই সঠিক যোগফল দেয়।

সঠিক উত্তর: ঘঃ $$(\frac{1}{2})[1-(-1{)}^n]$$

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, $$\sqrt[4]{x^3}=2$$ সমীকরণটি সমাধান করা যাক।

$$\sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}}$$

$$x^{\frac{3}{4}}=2$$

$$(x^{\frac{3}{4}}{)}^{\frac{4}{3}}=2^{\frac{4}{3}}$$

$$x=2^{\frac{4}{3}}$$

এখন, আমাদের $x^{\frac{3}{2}}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা $x$ এর মানটি এখানে বসাব:

$$x^{\frac{3}{2}}=(2^{\frac{4}{3}}{)}^{\frac{3}{2}}$$

$$(a^m{)}^n=a^{m\times n}$$

$$x^{\frac{3}{2}}=2^{\frac{4}{3}\times \frac{3}{2}}$$

$$x^{\frac{3}{2}}=2^{\frac{4\times 3}{3\times 2}}$$

$$x^{\frac{3}{2}}=2^{\frac{12}{6}}$$

$$x^{\frac{3}{2}}=2^2$$

$$x^{\frac{3}{2}}=4$$

অতএব, যদি $$\sqrt[4]{x^3}=2$$হয়, তাহলে$$x^{\frac{3}{2}}=4$$.

উত্তর: $4$

ব্যাখ্যাঃ যদি A ও B স্বাধীন ঘটনা হয়, তাহলে $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$.
এখানে, $$P(A)=\frac{1}{3}$$এবং$$P(B)=\frac{3}{4}$$.
সুতরাং, $$P(A\cap B)=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$.
আমরা জানি, দুটি ঘটনার সংযোগ সেটের সম্ভাবনা $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$.
এখন, মানগুলো বসিয়ে পাই,
$$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$$
$$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+(\frac{3}{4}-\frac{1}{4})$$
$$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{3-1}{4}$$
$$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{2}{4}$$
$$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$
$$P(A\cup B)=\frac{2\times 1+3\times 1}{3\times 2}$$
$$P(A\cup B)=\frac{2+3}{6}$$
$$P(A\cup B)=\frac{5}{6}$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতা:
$$|3x+2|<7$$

১ম ধাপ: অমূখ্য মানের সংজ্ঞা প্রয়োগ

যদি $|A|<B$ হয়, তবে আমরা লিখতে পারি:
$$-B<A<B$$

সুতরাং, এখানে প্রয়োগ করলে:
$$-7<3x+2<7$$

২য় ধাপ: $x$ নির্ণয় করা

প্রথমে $-7$ এবং $7$ থেকে $2$ বিয়োগ করি:
$$-7-2<3x<7-2$$

$$-9<3x<5$$

$$\frac{-9}{3}<x<\frac{5}{3}$$

$$-3<x<\frac{5}{3}$$

উত্তর: $-3<x<\frac{5}{3}$

ব্যাখ্যাঃ

১ম ধাপ: সংখ্যাসহগের গ.সা.গু. নির্ণয় করা

দুইটি সহগ হল:
$6$ এবং $4$

$6$ এবং $4$-এর গ.সা.গু. হল $2$।

২য় ধাপ: চলকের গ.সা.গু. নির্ণয় করা

1. $a^2$ এবং $a^3$ → গ.সা.গু. $a^2$
   
2. $b$ এবং $b^2$ → গ.সা.গু. $b$
   
3. $c$ এবং $c^2$ → গ.সা.গু. $c$
   

৩য় ধাপ: চূড়ান্ত উত্তর

সংখ্যা ও চলকের গ.সা.গু. একসাথে লিখলে:
$$\text{গ.সা.গু.}=2a^{2}bc$$

সঠিক উত্তর: $2a^{2}bc$ (খ)

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত প্রকাশটি সরলীকরণ করতে পারি:

$$2^{{\log }_{2}3+{\log }_{2}5}$$

ধাপে ধাপে সমাধান:

ধাপ ১: লগারিদমের যোগের সূত্র প্রয়োগ
$${\log }_{b}x+{\log }_{b}y={\log }_b(x\times y)$$

$${\log }_{2}3+{\log }_{2}5={\log }_2(3\times 5)={\log }_{2}15$$

ধাপ ২: সূচকের লগারিদম সূত্র প্রয়োগ
$$a^{{\log }_{a}x}=x$$

এটি প্রয়োগ করলে,
$$2^{{\log }_{2}15}=15$$

চূড়ান্ত উত্তর:

$$\mathbf{15}$$

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: গাণিতিক সরলীকরণ

উভয় ভগ্নাংশের হর $x-1$ একই, তাই আমরা তাদের একত্রিত করতে পারি:

$$\frac{(x-2)+1}{x-1}-2=0$$

$$\frac{x-1}{x-1}-2=0$$

$$1-2=0$$

$$-1=0$$

ধাপ ২: বিশ্লেষণ

আমরা দেখতে পাচ্ছি, এই সমীকরণটি ভুল কারণ $-1=0$ হতে পারে না।
অতএব, এই সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই।
অর্থাৎ সমাধানের সেট খালি:
$\mathrm{\varnothing }$

ব্যাখ্যাঃ আমরা দুটি সেট $A$ এবং $B$ এর ছেদ $A\cap B$ নির্ণয় করব।

প্রদত্ত সেট:

$A=\{x\in \mathbb{N}|2<x\le 8\}$
অর্থাৎ $A=\{3,4,5,6,7,8\}$

$B=\{x\in \mathbb{N}|x$ বিজোড় এবং $x\le 9\}$
অর্থাৎ $B=\{1,3,5,7,9\}$

$A\cap B$ নির্ণয়:

$A$ ও $B$ এর সাধারণ উপাদান (common elements) হলো $3,5,7$।
অতএব,
$$A\cap B=\{3,5,7\}$$

চূড়ান্ত উত্তর:

$$A\cap B=\{3,5,7\}$$