প্রশ্নঃ ১ হতে বড় ১০০০ এর মধ্যে কতগুলো সংখ্যা আছে যারা ১৬ দ্বারা বিভাজ্য নয় কিন্তু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. ৩৩
খ. ৩৫
গ. ৩৭
ঘ. ৪১
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ ১. মোট সংখ্যা যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য
১ হতে বড় এবং ১০০০ এর মধ্যে ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: \[ \frac{990}{30} = 33 \] (৩০, ৬০, ৯০, ..., ৯৯০)
২. সংখ্যা যা ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
কোন সংখ্যা যদি ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি LCM(30, 16) = 240 দ্বারা বিভাজ্য হবে। \[ \frac{960}{240} = 4 \] (২৪০, ৪৮০, ৭২০, ৯৬০)
৩. চূড়ান্ত সংখ্যা
৩৩টি সংখ্যা আছে যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য, এর মধ্যে ৪টি ১৬ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, চূড়ান্ত সংখ্যা: \[ 33 - 4 = 29 \] উত্তর: \[ \boxed{29} \]
১ হতে বড় এবং ১০০০ এর মধ্যে ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: \[ \frac{990}{30} = 33 \] (৩০, ৬০, ৯০, ..., ৯৯০)
২. সংখ্যা যা ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
কোন সংখ্যা যদি ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি LCM(30, 16) = 240 দ্বারা বিভাজ্য হবে। \[ \frac{960}{240} = 4 \] (২৪০, ৪৮০, ৭২০, ৯৬০)
৩. চূড়ান্ত সংখ্যা
৩৩টি সংখ্যা আছে যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য, এর মধ্যে ৪টি ১৬ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, চূড়ান্ত সংখ্যা: \[ 33 - 4 = 29 \] উত্তর: \[ \boxed{29} \]
প্রশ্নঃ ১ হতে বড় ১০০০ এর মধ্যে কতগুলো সংখ্যা আছে যারা ১৬ দ্বারা বিভাজ্য নয় কিন্তু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. 33
খ. 35
গ. 37
ঘ. 41
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা গণনা
১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হবে:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{30} \right\rfloor = 33
$$
অর্থাৎ ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে ৩৩টি।
ধাপ ২: যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
আমরা বের করবো ৩০ ও ১৬ এর ল.সা.গু (LCM):
$$
\text{LCM}(30, 16) = 240
$$
তাহলে ১ থেকে ১০০০ এর মধ্যে ২৪০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{240} \right\rfloor = 4
$$
অর্থাৎ ৪টি সংখ্যা আছে যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দিয়েই বিভাজ্য।
ধাপ ৩: শুধু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ১৬ দ্বারা নয়
$$
33 - 4 = \boxed{29}
$$
১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হবে:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{30} \right\rfloor = 33
$$
অর্থাৎ ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে ৩৩টি।
ধাপ ২: যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
আমরা বের করবো ৩০ ও ১৬ এর ল.সা.গু (LCM):
$$
\text{LCM}(30, 16) = 240
$$
তাহলে ১ থেকে ১০০০ এর মধ্যে ২৪০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{240} \right\rfloor = 4
$$
অর্থাৎ ৪টি সংখ্যা আছে যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দিয়েই বিভাজ্য।
ধাপ ৩: শুধু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ১৬ দ্বারা নয়
$$
33 - 4 = \boxed{29}
$$
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. 0.4
খ. $$\sqrt{9}$$
গ. 5.639
ঘ. $$\sqrt{\frac{27}{48}}$$
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ অমূলদ সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যাকে $\frac{p}{q}$আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p এবং q পূর্ণসংখ্যা এবং$q \neq 0$.
এখন আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করব:
কঃ 0.4
$0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
খঃ $\sqrt{9}$
$\sqrt{9} = 3 = \frac{3}{1}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
গঃ 5.639
$5.639 = \frac{5639}{1000}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘঃ $\sqrt{\frac{27}{48}}$
প্রথমে ভগ্নাংশটিকে সরল করা যাক:$\frac{27}{48} = \frac{9 \times 3}{16 \times 3} = \frac{9}{16}$
সুতরাং,$\sqrt{\frac{27}{48}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
এখন আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করব:
কঃ 0.4
$0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
খঃ $\sqrt{9}$
$\sqrt{9} = 3 = \frac{3}{1}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
গঃ 5.639
$5.639 = \frac{5639}{1000}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘঃ $\sqrt{\frac{27}{48}}$
প্রথমে ভগ্নাংশটিকে সরল করা যাক:$\frac{27}{48} = \frac{9 \times 3}{16 \times 3} = \frac{9}{16}$
সুতরাং,$\sqrt{\frac{27}{48}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
প্রশ্নঃ নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে?
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. ৪৮
খ. ৫৪
গ. ৫৮
ঘ. ৬০
উত্তরঃ ৫৮
ব্যাখ্যাঃ মনে করি সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো $x$.
প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটিকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে। এটিকে আমরা গাণিতিকভাবে এভাবে লিখতে পারি:
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{4}$
$x \equiv 3 \pmod{5}$
$x \equiv 4 \pmod{6}$
লক্ষ করলে দেখা যায়, প্রতিটি ক্ষেত্রে ভাজক এবং অবশিষ্টের মধ্যে পার্থক্য একই:
$3 - 1 = 2$
$4 - 2 = 2$
$5 - 3 = 2$
$6 - 4 = 2$
এর মানে হলো, যদি আমরা $x$-এর সাথে ২ যোগ করি, তাহলে সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ, $x + 2$ সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM)।
এখন আমরা ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর LCM বের করি:
৩ = ৩
৪ = $2^2$
৫ = ৫
৬ = $2 \times 3$
LCM(৩, ৪, ৫, ৬) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
সুতরাং, $x + 2 = 60k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণ সংখ্যা। যেহেতু আমরা ক্ষুদ্রতম পূর্ণ সংখ্যাটি খুঁজছি, তাই আমরা $k = 1$ ধরব।
$x + 2 = 60 \times 1$
$x + 2 = 60$
$x = 60 - 2$
$x = 58$
অতএব, সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো ৫৮।
প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটিকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে। এটিকে আমরা গাণিতিকভাবে এভাবে লিখতে পারি:
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{4}$
$x \equiv 3 \pmod{5}$
$x \equiv 4 \pmod{6}$
লক্ষ করলে দেখা যায়, প্রতিটি ক্ষেত্রে ভাজক এবং অবশিষ্টের মধ্যে পার্থক্য একই:
$3 - 1 = 2$
$4 - 2 = 2$
$5 - 3 = 2$
$6 - 4 = 2$
এর মানে হলো, যদি আমরা $x$-এর সাথে ২ যোগ করি, তাহলে সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ, $x + 2$ সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM)।
এখন আমরা ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর LCM বের করি:
৩ = ৩
৪ = $2^2$
৫ = ৫
৬ = $2 \times 3$
LCM(৩, ৪, ৫, ৬) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
সুতরাং, $x + 2 = 60k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণ সংখ্যা। যেহেতু আমরা ক্ষুদ্রতম পূর্ণ সংখ্যাটি খুঁজছি, তাই আমরা $k = 1$ ধরব।
$x + 2 = 60 \times 1$
$x + 2 = 60$
$x = 60 - 2$
$x = 58$
অতএব, সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো ৫৮।
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক. ৪৭
খ. ৮৭
গ. ৯১
ঘ. ১৪৩
উত্তরঃ ৪৭
ব্যাখ্যাঃ একটি মৌলিক সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যা $1$ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়। আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করে দেখব:
* কঃ ৪৭
$৪৭$ কে $1$ এবং $৪৭$ ছাড়া অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না।
(যেমন: $২, ৩, ৫, ৭$ ইত্যাদি দ্বারা বিভাজ্য নয়)।
সুতরাং, $৪৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা।
* খঃ ৮৭
$৮৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৩$ দ্বারা বিভাজ্য ($৮৭ = ৩ \times ২৯$)।
* গঃ ৯১
$৯১$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৭$ দ্বারা বিভাজ্য ($৯১ = ৭ \times ১৩$)।
* ঘঃ ১৪৩
$১৪৩$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $১১$ দ্বারা বিভাজ্য ($১৪৩ = ১১ \times ১৩$)।
সুতরাং, কঃ ৪৭ হলো মৌলিক সংখ্যা।
* কঃ ৪৭
$৪৭$ কে $1$ এবং $৪৭$ ছাড়া অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না।
(যেমন: $২, ৩, ৫, ৭$ ইত্যাদি দ্বারা বিভাজ্য নয়)।
সুতরাং, $৪৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা।
* খঃ ৮৭
$৮৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৩$ দ্বারা বিভাজ্য ($৮৭ = ৩ \times ২৯$)।
* গঃ ৯১
$৯১$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৭$ দ্বারা বিভাজ্য ($৯১ = ৭ \times ১৩$)।
* ঘঃ ১৪৩
$১৪৩$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $১১$ দ্বারা বিভাজ্য ($১৪৩ = ১১ \times ১৩$)।
সুতরাং, কঃ ৪৭ হলো মৌলিক সংখ্যা।
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক. ২৬৩
খ. ২৩৩
গ. ২৫৩
ঘ. ২৪১
উত্তরঃ ২৫৩
ব্যাখ্যাঃ একটি সংখ্যা মৌলিক নয়, যদি এর ১ এবং সংখ্যাটি নিজে ছাড়া অন্য কোনো উৎপাদক থাকে।
আসুন প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করি:
* কঃ ২৬৩
২৬৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৬৩।
* খঃ ২৩৩
২৩৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৩৩।
* গঃ ২৫৩
২৫৩ মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ, ২৫৩ কে $11$ দ্বারা ভাগ করা যায়:
$253 \div 11 = 23$
সুতরাং, ২৫৩ এর উৎপাদকগুলো হলো $1, 11, 23, 253$। যেহেতু এটির ১ এবং ২৫৩ ছাড়া আরও উৎপাদক (১১ এবং ২৩) আছে, তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়, বরং একটি যৌগিক সংখ্যা।
* ঘঃ ২৪১
২৪১ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৪১।
সুতরাং, যে সংখ্যাটি মৌলিক নয়, সেটি হলো গঃ ২৫৩।
আসুন প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করি:
* কঃ ২৬৩
২৬৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৬৩।
* খঃ ২৩৩
২৩৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৩৩।
* গঃ ২৫৩
২৫৩ মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ, ২৫৩ কে $11$ দ্বারা ভাগ করা যায়:
$253 \div 11 = 23$
সুতরাং, ২৫৩ এর উৎপাদকগুলো হলো $1, 11, 23, 253$। যেহেতু এটির ১ এবং ২৫৩ ছাড়া আরও উৎপাদক (১১ এবং ২৩) আছে, তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়, বরং একটি যৌগিক সংখ্যা।
* ঘঃ ২৪১
২৪১ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৪১।
সুতরাং, যে সংখ্যাটি মৌলিক নয়, সেটি হলো গঃ ২৫৩।
প্রশ্নঃ $$\sqrt{169}$$ is equal to -
[ বিসিএস ৩৪তম ]
ক. 11
খ. 13
গ. 15
ঘ. 17
উত্তরঃ 13
ব্যাখ্যাঃ $\sqrt{169}$ এর মান হলো ১৩।
প্রশ্নঃ x এবং y উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. x + y + 1
খ. xy
গ. xy + 2
ঘ. x + y
উত্তরঃ x + y
ব্যাখ্যাঃ
দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় একটি জোড় সংখ্যা হয়।
উদাহরণস্বরূপ, যদি x = ৩ এবং y = ৫ হয়, তাহলে: x + y = ৩ + ৫ = ৮ যেখানে ৮ একটি জোড় সংখ্যা।
প্রশ্নঃ $$0, 1 ,2$$ এবং $$3$$ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল–
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. $$3147$$
খ. $$2287$$
গ. $$2987$$
ঘ. $$2187$$
উত্তরঃ $$2187$$
ব্যাখ্যাঃ $0, 1, 2, 3$ অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ৩২১০।
একই অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ১০২৩। (কারণ, ০ দিয়ে শুরু করলে সেটি তিন অঙ্কের সংখ্যা হবে)।
এখন, সংখ্যা দুটির বিয়োগফল:
$৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$।
একই অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ১০২৩। (কারণ, ০ দিয়ে শুরু করলে সেটি তিন অঙ্কের সংখ্যা হবে)।
এখন, সংখ্যা দুটির বিয়োগফল:
$৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$।
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. ৯১
খ. ৮৭
গ. ৬৩
ঘ. ৫৯
উত্তরঃ ৫৯
ব্যাখ্যাঃ
আমরা জানি, যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ভিন্ন অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। এখানে, উপরিউক্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৫৯ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা।
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. ৩৪০
খ. ৩৪১
গ. ৩৪২
ঘ. ৩৪৪
উত্তরঃ ৩৪১
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নানুসারে, $x$ সংখ্যাটি ৩০১ থেকে যত বড়, ৩৮১ থেকে তত ছোট।
সুতরাং, $x$ এবং ৩০১ এর মধ্যে পার্থক্য, $x$ এবং ৩৮১ এর মধ্যে পার্থক্যের সমান।
$x - 301 = 381 - x$
এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করে $x$ এর মান বের করি:
$x + x = 381 + 301$
$2x = 682$
$x = \frac{682}{2}$
$x = 341$
সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৪১।
ধরি, সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নানুসারে, $x$ সংখ্যাটি ৩০১ থেকে যত বড়, ৩৮১ থেকে তত ছোট।
সুতরাং, $x$ এবং ৩০১ এর মধ্যে পার্থক্য, $x$ এবং ৩৮১ এর মধ্যে পার্থক্যের সমান।
$x - 301 = 381 - x$
এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করে $x$ এর মান বের করি:
$x + x = 381 + 301$
$2x = 682$
$x = \frac{682}{2}$
$x = 341$
সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৪১।
ক. ১৪৬
খ. ৯৯
গ. ১০৫
ঘ. ১০৭
উত্তরঃ ১০৭
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে ১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে এবং তারপর যেসব সংখ্যার একই স্থানীয় অংক (একক স্থান) ৯, সেগুলোর যোগফল বের করতে হবে।
১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা: \[ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 \] এখন, যেসব সংখ্যার একক স্থান ৯:
19
29
59
এদের যোগফল:
\[ 19 + 29 + 59 = 107 \]
সুতরাং, উত্তর: ১০৭ ✅
১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা: \[ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 \] এখন, যেসব সংখ্যার একক স্থান ৯:
19
29
59
এদের যোগফল:
\[ 19 + 29 + 59 = 107 \]
সুতরাং, উত্তর: ১০৭ ✅
ক. ৯
খ. ১০
গ. ১
ঘ. -১
উত্তরঃ ১
ব্যাখ্যাঃ - পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো 10000 - চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হলো 9999 এদের অন্তর: \[ 10000 - 9999 = 1 \] সুতরাং, উত্তর: 1 ✅
প্রশ্নঃ $$১.১, .০১, ও .০০১১$$ এর সমষ্টি কত?
[ বিসিএস ২৯তম ]
ক. $$০.০১১১১$$
খ. $$১.১১১১$$
গ. $$১১.১১০১$$
ঘ. $$১.১০১১১$$
উত্তরঃ $$১.১১১১$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যাগুলো যোগ করি: \[ 1.1 + 0.01 + 0.0011 \] ধাপে ধাপে যোগ করলে, \[ 1.1 + 0.01 = 1.11 \] \[ 1.11 + 0.0011 = 1.1111 \] সুতরাং, উত্তর: 1.1111 ✅
প্রশ্নঃ $$১.১৬$$ এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?
[ বিসিএস ২৯তম ]
ক. $$১\frac{১}{৬}$$
খ. $$১\frac{৮}{৪৫}$$
গ. $$১\frac{১৬}{১৯}$$
ঘ. $$১\frac{৪}{২৫}$$
উত্তরঃ $$১\frac{৪}{২৫}$$
ব্যাখ্যাঃ \( 1.16 \) সংখ্যাটিকে মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে হবে: প্রথমে, একে পূর্ণসংখ্যা + ভগ্নাংশ আকারে লিখি: \[ 1.16 = 1 + 0.16 \] এখন, \( 0.16 \) কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি: \[ 0.16 = \frac{16}{100} \] এখন, সরলীকরণ করি: \[ \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \] অতএব, \( 1.16 \) এর মিশ্র ভগ্নাংশ হলো \[ 1\frac{4}{25} \] ✅ উত্তর: \( 1\frac{4}{25} \)
ক. ৮
খ. ১২
গ. ১৮
ঘ. ১৪০
উত্তরঃ ১৮
ব্যাখ্যাঃ
৬০ ও ৮০ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে যথাক্রমে ৬১ ও ৭৯। ∴ এ দুটি সংখ্যার অন্তর হবে (৭৯ - ৬১) = ১৮।
প্রশ্নঃ ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা–
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. ৫
খ. ৩
গ. ৭
ঘ. ৪
উত্তরঃ ৪
ব্যাখ্যাঃ
৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা (প্রাইম নম্বর) হল:
৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯
এই সংখ্যা গুলির মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো মোট ৪টি।
প্রশ্নঃ যদি $$p$$ একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে $$\sqrt{p}$$ -
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ. একটি পূর্ণ সংখ্যা
গ. একটি মূলদ সংখ্যা
ঘ. একটি অমূলদ সংখ্যা
উত্তরঃ একটি অমূলদ সংখ্যা
ব্যাখ্যাঃ $$p$$ একটি মৌলিক সংখ্যা। সুতরাং $$p$$ সংখ্যাটি স্বাভাবিক, পূর্ণ ও মূলদ সংখ্যা। পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল করলে সেটি অমূলদ। সুতরাং $$\sqrt{p}$$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
প্রশ্নঃ ৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে-
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. ৯টি
খ. ১০টি
গ. ১১টি
ঘ. ১২টি
উত্তরঃ ১২টি
ব্যাখ্যাঃ একটি সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করতে প্রথমে তার মৌলিক গুণনীয়কের মাধ্যেমে বিশ্লেষণ করি।
৭২ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করলে পাই: $$ 72 = 2^3 \times 3^2 $$ এখন, মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করি: \((a+1)(b+1)\), যেখানে \(a\) এবং \(b\) হল প্রদত্ত মৌলিক গুণকের মাধ্যেমে নির্দিষ্ট সংখ্যা।
এখানে \(2^3\) এর ২ এর ঘাত \(৩\), এবং \(3^2\) এর ৩ এর ঘাত \(২\)। তাহলে মোট ভাজক সংখ্যা হবে: $$(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12 $$ সুতরাং, ৭২ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে।
৭২ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করলে পাই: $$ 72 = 2^3 \times 3^2 $$ এখন, মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করি: \((a+1)(b+1)\), যেখানে \(a\) এবং \(b\) হল প্রদত্ত মৌলিক গুণকের মাধ্যেমে নির্দিষ্ট সংখ্যা।
এখানে \(2^3\) এর ২ এর ঘাত \(৩\), এবং \(3^2\) এর ৩ এর ঘাত \(২\)। তাহলে মোট ভাজক সংখ্যা হবে: $$(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12 $$ সুতরাং, ৭২ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে।
ক. ২১ এবং ২২
খ. ২২ এবং ২৩
গ. ২৩ এবং ২৪
ঘ. ২৪ এবং ২৫
উত্তরঃ ২৩ এবং ২৪
ব্যাখ্যাঃ ধরি দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা \(n\) এবং \(n+1\) তাহলে তাদের বর্গের অন্তর হবে: \((n+1)^2 - n^2 = 47\) এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করতে পারি: \[ (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 47 \] \[ 2n + 1 = 47 \] \[ 2n = 46 \] \[ n = 23 \] সুতরাং, দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হল ২৩ এবং ২৪।
প্রশ্নঃ $$\sqrt{2}$$ সংখ্যাটি কি সংখ্যা?
[ বিসিএস ২৫তম ]
ক. একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ. একটি পূর্ণ সংখ্যা
গ. একটি মূলদ সংখ্যা
ঘ. একটি অমূলদ সংখ্যা
উত্তরঃ একটি অমূলদ সংখ্যা
ব্যাখ্যাঃ \(\sqrt{2}\) একটি অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)। এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা একটি সহজ প্রমাণ দেখব। ### প্রমাণ: \(\sqrt{2}\) অমূলদ সংখ্যা ধরি, \(\sqrt{2}\) একটি মূলদ সংখ্যা (Rational Number)। তাহলে একে \(\frac{p}{q}\) আকারে লেখা যাবে, যেখানে \(p\) এবং \(q\) পরস্পর সহমৌলিক (অর্থাৎ তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক 1) এবং \(q \neq 0\)। \[ \sqrt{2} = \frac{p}{q} \] উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই: \[ 2 = \frac{p^2}{q^2} \] অর্থাৎ, \[ p^2 = 2q^2 \] এখানে \(p^2\) একটি জোড় সংখ্যা, কারণ এটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং \(p\) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে (যেহেতু বিজোড় সংখ্যার বর্গ কখনো জোড় হয় না)। ধরি, \(p = 2k\), যেখানে \(k\) একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে: \[ (2k)^2 = 2q^2 \] \[ 4k^2 = 2q^2 \] \[ q^2 = 2k^2 \] এখানে \(q^2\) একটি জোড় সংখ্যা, কারণ এটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং \(q\) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। কিন্তু এখানে \(p\) এবং \(q\) উভয়ই জোড় সংখ্যা, যা আমাদের প্রাথমিক শর্ত \(p\) এবং \(q\) পরস্পর সহমৌলিকের বিরোধী। অর্থাৎ, আমাদের ধারণা ভুল। সুতরাং, \(\sqrt{2}\) কে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়, অর্থাৎ \(\sqrt{2}\) একটি অমূলদ সংখ্যা। উত্তর: \[ \boxed{\sqrt{2} \text{ একটি অমূলদ সংখ্যা।}} \]
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা ৬৫০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ২২তম ]
ক. ৭৩০
খ. ৭৩৫
গ. ৮০০
ঘ. ৭৮০
উত্তরঃ ৭৩৫
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটি \(x\)। প্রশ্নানুসারে: \[ x - 650 = 820 - x \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ x - 650 = 820 - x \] \[ x + x = 820 + 650 \] \[ 2x = 1470 \] \[ x = \frac{1470}{2} = 735 \] উত্তর: \[ \boxed{735} \]
প্রশ্নঃ দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে বড় সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ২২তম ]
ক. ৭০
খ. ৮০
গ. ৯০
ঘ. ১০০
উত্তরঃ ১০০
ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুটি ক্রমিক সংখ্যা \(x\) এবং \(x + 1\)। তাহলে, তাদের বর্গের অন্তর হবে: \[ (x + 1)^2 - x^2 = 199 \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ (x + 1)^2 - x^2 = 199 \] \[ x^2 + 2x + 1 - x^2 = 199 \] \[ 2x + 1 = 199 \] \[ 2x = 198 \] \[ x = 99 \] তাহলে, দুটি ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে বড় সংখ্যাটি হল: \[ x + 1 = 99 + 1 = 100 \] সুতরাং, বড় সংখ্যাটি হল ১০০।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
[ বিসিএস ২২তম ]
ক. $$০.৩$$
খ. $$\frac{১}{৩}$$
গ. $$\sqrt{০.৩}$$
ঘ. $$১\frac{২}{৫}$$
উত্তরঃ $$\sqrt{০.৩}$$
ব্যাখ্যাঃ আপনার চিত্রের ভিত্তিতে প্রদত্ত সংখ্যাগুলি হল:
1. \( 0.3 \)
2. \( \frac{3}{9} = 0.3333 \)
3. \( \sqrt{0.3} = 0.5477 \)
4. \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে \( \sqrt{0.3} \) সংখ্যাটি বৃহত্তম।
1. \( 0.3 \)
2. \( \frac{3}{9} = 0.3333 \)
3. \( \sqrt{0.3} = 0.5477 \)
4. \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে \( \sqrt{0.3} \) সংখ্যাটি বৃহত্তম।
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ১৮তম | প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০২-২০১২ ]
ক. ১৬
খ. ১৮
গ. ২০
ঘ. ২৪
উত্তরঃ ১৮
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা \( x \)।
প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী: \[ 3x + 2x = 90 \] অতএব, \[ 5x = 90 \] \[ x = \frac{90}{5} \] \[ x = 18 \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ১৮। আপনার কি আরও কিছু জানতে ইচ্ছে আছে?
প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী: \[ 3x + 2x = 90 \] অতএব, \[ 5x = 90 \] \[ x = \frac{90}{5} \] \[ x = 18 \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ১৮। আপনার কি আরও কিছু জানতে ইচ্ছে আছে?
ক. ২১
খ. ২৩
গ. ২৪
ঘ. ২২
উত্তরঃ ২২
ব্যাখ্যাঃ ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো বের করতে হবে।
### ধাপ ১: প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
১২ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ১২ হলো প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।
### ধাপ ২: শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
৯৬ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ২৪, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ৯৬ হলো শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।
### ধাপ ৩: সমান্তর ধারা ব্যবহার করে সংখ্যাগুলো গণনা
এখানে সমান্তর ধারার প্রথম পদ (\( a \)) = ১২, সাধারণ অন্তর (\( d \)) = ৪, এবং শেষ পদ (\( l \)) = ৯৬।
সমান্তর ধারার পদ সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র: \[ n = \frac{l - a}{d} + 1 \] মান বসিয়ে: \[ n = \frac{96 - 12}{4} + 1 \] \[ n = \frac{84}{4} + 1 \] \[ n = 21 + 1 \] \[ n = 22 \] উত্তর: ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) মোট ২২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
### ধাপ ১: প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
১২ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ১২ হলো প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।
### ধাপ ২: শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
৯৬ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ২৪, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ৯৬ হলো শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।
### ধাপ ৩: সমান্তর ধারা ব্যবহার করে সংখ্যাগুলো গণনা
এখানে সমান্তর ধারার প্রথম পদ (\( a \)) = ১২, সাধারণ অন্তর (\( d \)) = ৪, এবং শেষ পদ (\( l \)) = ৯৬।
সমান্তর ধারার পদ সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র: \[ n = \frac{l - a}{d} + 1 \] মান বসিয়ে: \[ n = \frac{96 - 12}{4} + 1 \] \[ n = \frac{84}{4} + 1 \] \[ n = 21 + 1 \] \[ n = 22 \] উত্তর: ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) মোট ২২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
প্রশ্নঃ যদি \(x+5y=16\) এবং \(x=3y\) হয়, তাহলে \(y= \)কত?
[ বিসিএস ১৮তম ]
ক. $$-24$$
খ. $$-2$$
গ. $$8$$
ঘ. $$2$$
উত্তরঃ $$2$$
ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে প্রদত্ত:
1. \( x + 5y = 16 \)
2. \( x = 3y \)
প্রথম সমীকরণে \( x = 3y \) বসাই: \[ 3y + 5y = 16 \] \[ 8y = 16 \] \[ y = \frac{16}{8} \] \[ y = 2 \] অতএব, \( y \) এর মান হলো ২।
1. \( x + 5y = 16 \)
2. \( x = 3y \)
প্রথম সমীকরণে \( x = 3y \) বসাই: \[ 3y + 5y = 16 \] \[ 8y = 16 \] \[ y = \frac{16}{8} \] \[ y = 2 \] অতএব, \( y \) এর মান হলো ২।
ক. ক = ৫০, খ = ৬০
খ. ক = ৬০, খ = ৫০
গ. ক = ৪০, খ = ৪৮
ঘ. ক = ৬০, খ = ৪৮
উত্তরঃ ক = ৫০, খ = ৬০
ব্যাখ্যাঃ ধরুন, \( ক = x \) এবং \( খ = y \)।
প্রশ্নে প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী আমরা দুটি সমীকরণ পাই:
1. \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 45 \)
2. \( \frac{1}{2} y + \frac{2}{5} x = 50 \)
প্রথম সমীকরণটি \( 6 \) দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: \[ 3x + 2y = 270 \quad \text{(3)} \] দ্বিতীয় সমীকরণটি \( 10 \) দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: \[ 5y + 4x = 500 \quad \text{(4)} \] এখন, সমীকরণ (3) এবং (4) সমাধান করি।
প্রথমে সমীকরণ (3) কে সমাধান করি: \[ 3x + 2y = 270 \] \[ 2y = 270 - 3x \] \[ y = \frac{270 - 3x}{2} \quad \text{(5)} \] এখন সমীকরণ (5) এর মান সমীকরণ (4) এ বসাই: \[ 5 \left( \frac{270 - 3x}{2} \right) + 4x = 500 \] \[ \frac{5(270 - 3x)}{2} + 4x = 500 \] \[ \frac{1350 - 15x}{2} + 4x = 500 \] \[ 1350 - 15x + 8x = 1000 \] \[ 1350 - 7x = 1000 \] \[ 1350 - 1000 = 7x \] \[ 350 = 7x \] \[ x = 50 \] অতএব, \( ক = x = 50 \)
এখন, \( x = 50 \) মানটি সমীকরণ (5) এ বসাই: \[ y = \frac{270 - 3 \times 50}{2} \] \[ y = \frac{270 - 150}{2} \] \[ y = \frac{120}{2} \] \[ y = 60 \] অতএব, \( খ = y = 60 \)
অতএব, ক এবং খ এর মান যথাক্রমে ৫০ এবং ৬০।
প্রশ্নে প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী আমরা দুটি সমীকরণ পাই:
1. \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 45 \)
2. \( \frac{1}{2} y + \frac{2}{5} x = 50 \)
প্রথম সমীকরণটি \( 6 \) দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: \[ 3x + 2y = 270 \quad \text{(3)} \] দ্বিতীয় সমীকরণটি \( 10 \) দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: \[ 5y + 4x = 500 \quad \text{(4)} \] এখন, সমীকরণ (3) এবং (4) সমাধান করি।
প্রথমে সমীকরণ (3) কে সমাধান করি: \[ 3x + 2y = 270 \] \[ 2y = 270 - 3x \] \[ y = \frac{270 - 3x}{2} \quad \text{(5)} \] এখন সমীকরণ (5) এর মান সমীকরণ (4) এ বসাই: \[ 5 \left( \frac{270 - 3x}{2} \right) + 4x = 500 \] \[ \frac{5(270 - 3x)}{2} + 4x = 500 \] \[ \frac{1350 - 15x}{2} + 4x = 500 \] \[ 1350 - 15x + 8x = 1000 \] \[ 1350 - 7x = 1000 \] \[ 1350 - 1000 = 7x \] \[ 350 = 7x \] \[ x = 50 \] অতএব, \( ক = x = 50 \)
এখন, \( x = 50 \) মানটি সমীকরণ (5) এ বসাই: \[ y = \frac{270 - 3 \times 50}{2} \] \[ y = \frac{270 - 150}{2} \] \[ y = \frac{120}{2} \] \[ y = 60 \] অতএব, \( খ = y = 60 \)
অতএব, ক এবং খ এর মান যথাক্রমে ৫০ এবং ৬০।
প্রশ্নঃ তিনটি মেশিন একটি কাজ যথাক্রমে ৪, ৫ ও ৬ ঘণ্টায় করতে পারে। দুটি মেশিনে সর্বোচ্চ ক্ষমতায় কাজ করে এক ঘন্টায় কতটুকু কাজ করতে পারবে?
[ বিসিএস ১৮তম ]
ক. $$\frac{১১ }{৩০}$$
খ. $$\frac{৯}{২০}$$
গ. $$\frac{৩}{৫}$$
ঘ. $$\frac{১১}{১৫ }$$
উত্তরঃ $$\frac{৯}{২০}$$
ব্যাখ্যাঃ ধরুন, মেশিন তিনটি যথাক্রমে \(A\), \(B\), এবং \(C\)।
মেশিন \(A\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{4}\) অংশ।
মেশিন \(B\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{5}\) অংশ।
মেশিন \(C\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{6}\) অংশ।
সর্বোচ্চ ক্ষমতায় দুটি মেশিন এক ঘন্টায় যতটুকু কাজ করতে পারে, সেটি বের করতে আমাদের তাদের কাজের গড় বের করতে হবে।
সবচেয়ে বেশি কাজ করতে পারে \(A\) এবং \(B\)। এবার \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজ করতে পারে: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 4}{20} = \frac{9}{20} \] অতএব, দুটি মেশিন \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজের \(\frac{9}{20}\) অংশ করতে পারে।
মেশিন \(A\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{4}\) অংশ।
মেশিন \(B\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{5}\) অংশ।
মেশিন \(C\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{6}\) অংশ।
সর্বোচ্চ ক্ষমতায় দুটি মেশিন এক ঘন্টায় যতটুকু কাজ করতে পারে, সেটি বের করতে আমাদের তাদের কাজের গড় বের করতে হবে।
সবচেয়ে বেশি কাজ করতে পারে \(A\) এবং \(B\)। এবার \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজ করতে পারে: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 4}{20} = \frac{9}{20} \] অতএব, দুটি মেশিন \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজের \(\frac{9}{20}\) অংশ করতে পারে।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার \(\frac{২}{৭}\) অংশ ৬৪- এর সমান?
[ বিসিএস ১৫তম ]
ক. $$ ১৮\frac{২}{৭}$$
খ. ২৪৮
গ. ২১৭
ঘ. ২২৪
উত্তরঃ ২২৪
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা হলো \( x \)।
প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{২}{৭} \times x = ৬৪ \] এখন, \( x \) নির্ণয় করি: \[ x = \frac{৬৪ \times ৭}{২} \] \[ x = \frac{৪৪৮}{২} \] \[ x = ২২৪ \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ২২৪।
প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{২}{৭} \times x = ৬৪ \] এখন, \( x \) নির্ণয় করি: \[ x = \frac{৬৪ \times ৭}{২} \] \[ x = \frac{৪৪৮}{২} \] \[ x = ২২৪ \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ২২৪।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
[ বিসিএস ১৫তম | প্রা. প্র. শি. নি.৯-১০-২০১২ ]
ক. \(০.৩\)
খ. \(\sqrt{০.৩}\)
গ. \(\frac{২}{৫}\)
ঘ. \(\frac{১}{৩}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{০.৩}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে প্রতিটি সংখ্যা দশমিক আকারে রূপান্তর করি:
কঃ \( 0.3 \)
খঃ \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)
গঃ \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
ঘঃ \( \frac{1}{3} \approx 0.3333 \)
তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)।
কঃ \( 0.3 \)
খঃ \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)
গঃ \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
ঘঃ \( \frac{1}{3} \approx 0.3333 \)
তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)।
প্রশ্নঃ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি। সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ১৪তম ]
ক. ৪৭
খ. ৩৬
গ. ২৫
ঘ. ১৪
উত্তরঃ ২৫
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক \( x \) এবং এককের অঙ্ক \( y \)।
প্রশ্ন অনুযায়ী:
1. এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি: \[ y = x + 3 \] 2. সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি: \[ 10x + y = 3(x + y) + 4 \] এখন আমরা এই দুটি সমীকরণ সমাধান করি।
প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ y = x + 3 \] এটি দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: \[ 10x + (x + 3) = 3(x + (x + 3)) + 4 \] \[ 10x + x + 3 = 3(2x + 3) + 4 \] \[ 11x + 3 = 6x + 9 + 4 \] \[ 11x + 3 = 6x + 13 \] এখন \( x \) নির্ণয় করি: \[ 11x - 6x = 13 - 3 \] \[ 5x = 10 \] \[ x = 2 \] এখন \( y \) নির্ণয় করি: \[ y = x + 3 \] \[ y = 2 + 3 \] \[ y = 5 \] অতএব, সংখ্যাটি হলো \( 10x + y = 10 \times 2 + 5 = 25 \)।
অতএব, সংখ্যাটি হলো ২৫।
প্রশ্ন অনুযায়ী:
1. এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি: \[ y = x + 3 \] 2. সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি: \[ 10x + y = 3(x + y) + 4 \] এখন আমরা এই দুটি সমীকরণ সমাধান করি।
প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ y = x + 3 \] এটি দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: \[ 10x + (x + 3) = 3(x + (x + 3)) + 4 \] \[ 10x + x + 3 = 3(2x + 3) + 4 \] \[ 11x + 3 = 6x + 9 + 4 \] \[ 11x + 3 = 6x + 13 \] এখন \( x \) নির্ণয় করি: \[ 11x - 6x = 13 - 3 \] \[ 5x = 10 \] \[ x = 2 \] এখন \( y \) নির্ণয় করি: \[ y = x + 3 \] \[ y = 2 + 3 \] \[ y = 5 \] অতএব, সংখ্যাটি হলো \( 10x + y = 10 \times 2 + 5 = 25 \)।
অতএব, সংখ্যাটি হলো ২৫।
ক. ১১ সেকেন্ড
খ. ১০ সেকেন্ড
গ. ১২ সেকেন্ড
ঘ. \(১০\frac{১}{৫}\) সেকেন্ড
উত্তরঃ ১১ সেকেন্ড
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে ৬টার জন্য ঘণ্টাধ্বনি বাজানোর সময় বিবেচনা করি। ৬ বার ঘণ্টাধ্বনি বাজানো মানে, ৫টি বিরতি আছে:
\[ \text{প্রতি বিরতি = } \frac{৫ \text{ সেকেন্ড}}{৫ \text{ বিরতি}} = ১ \text{ সেকেন্ড/বিরতি} \] এখন, ১২টা বাজানোর সময়, ১২টি ঘণ্টাধ্বনি বাজানো হবে, যা মানে ১১টি বিরতি। প্রতিটি বিরতি ১ সেকেন্ড হবে।
তাহলে, ১২টা বাজানোর জন্য মোট সময় হবে: \[ ১১ \text{ বিরতি} \times ১ \text{ সেকেন্ড/বিরতি} = ১১ \text{ সেকেন্ড} \] অতএব, ঘড়িতে ১২টা বাজানোর জন্য ১১ সেকেন্ড সময় লাগবে।
\[ \text{প্রতি বিরতি = } \frac{৫ \text{ সেকেন্ড}}{৫ \text{ বিরতি}} = ১ \text{ সেকেন্ড/বিরতি} \] এখন, ১২টা বাজানোর সময়, ১২টি ঘণ্টাধ্বনি বাজানো হবে, যা মানে ১১টি বিরতি। প্রতিটি বিরতি ১ সেকেন্ড হবে।
তাহলে, ১২টা বাজানোর জন্য মোট সময় হবে: \[ ১১ \text{ বিরতি} \times ১ \text{ সেকেন্ড/বিরতি} = ১১ \text{ সেকেন্ড} \] অতএব, ঘড়িতে ১২টা বাজানোর জন্য ১১ সেকেন্ড সময় লাগবে।
ক. ১০০টি
খ. ১৪০টি
গ. ১৮০টি
ঘ. ২০০টি
উত্তরঃ ১৪০টি
ব্যাখ্যাঃ ধরি, গোয়ালার মোট গাভীর সংখ্যা \( n \)। প্রথম পুত্রকে \( \frac{১}{২} \) অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ \( \frac{n}{2} \) গাভী। দ্বিতীয় পুত্রকে \( \frac{১}{৪} \) অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ \( \frac{n}{4} \) গাভী। তৃতীয় পুত্রকে \( \frac{১}{৫} \) অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ \( \frac{n}{5} \) গাভী। চতুর্থ পুত্রকে বাকি \( ৭ \) গাভী দিয়েছে। তাহলে, \[ \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \frac{n}{5} + ৭ = n \] \[ \frac{10n}{20} + \frac{5n}{20} + \frac{4n}{20} + ৭ = n \] \[ \frac{19n}{20} + ৭ = n \] \[ 7 = n - \frac{19n}{20} \] \[ 7 = \frac{20n - 19n}{20} \] \[ 7 = \frac{n}{20} \] \[ n = 7 \times 20 \] \[ n = 140 \] অতএব, ঐ গোয়ালার মোট গাভীর সংখ্যা ছিল 140।
প্রশ্নঃ \(a^m.a^n = a^{m+n}\) কখন হবে?
[ বিসিএস ১৪তম ]
ক. m ধনাত্মক হলে
খ. n ধনাত্মক হলে
গ. m ও n ধনাত্মক হলে
ঘ. m ধনাত্মক ও n ঋণাত্মক হলে
উত্তরঃ m ও n ধনাত্মক হলে
ব্যাখ্যাঃ \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) সমীকরণটি প্রযোজ্য হবে যখন \(a\) একই সংখ্যা এবং \(m\) ও \(n\) দুইটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (ধরা যাক \(a \neq 0\) )।
অর্থাৎ, \(a\) এর একই ভিত্তি এবং তাদের ঘাত যোগফল সমান হবে, তখনই এই সমীকরণটি সত্যি হবে।
অর্থাৎ, \(a\) এর একই ভিত্তি এবং তাদের ঘাত যোগফল সমান হবে, তখনই এই সমীকরণটি সত্যি হবে।
প্রশ্নঃ একটি ১০,০০০ টাকার বিলের ওপর এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পার্থক্য কত টাকা?
[ বিসিএস ১৩তম ]
ক. শূন্য
খ. ১৪৪
গ. ২৫৬
ঘ. ৪০০
উত্তরঃ ১৪৪
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পরিমাণ গণনা করব এবং তারপর তাদের পার্থক্য নির্ণয় করব।
১. এককালীন ৪০% কমতি:
১০,০০০ টাকার ওপর ৪০% কমতি: \[ \text{কমতি} = ১০,০০০ \times \frac{৪০}{১০০} = ৪,০০০ \text{ টাকা} \] ২. পর পর ৩৬% ও ৪% কমতি:
প্রথমে ৩৬% কমতি: \[ \text{প্রথম কমতি} = ১০,০০০ \times \frac{৩৬}{১০০} = ৩,৬০০ \text{ টাকা} \] \[ \text{প্রথম কমতির পর অবশিষ্ট} = ১০,০০০ - ৩,৬০০ = ৬,৪০০ \text{ টাকা} \] তারপর ৪% কমতি: \[ \text{দ্বিতীয় কমতি} = ৬,৪০০ \times \frac{৪}{১০০} = ২৫৬ \text{ টাকা} \] \[ \text{মোট কমতি} = ৩,৬০০ + ২৫৬ = ৩,৮৫৬ \text{ টাকা} \] ৩. পার্থক্য:
\[ \text{পার্থক্য} = ৪,০০০ - ৩,৮৫৬ = ১৪৪ \text{ টাকা} \] অতএব, এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পার্থক্য ১৪৪ টাকা।
১. এককালীন ৪০% কমতি:
১০,০০০ টাকার ওপর ৪০% কমতি: \[ \text{কমতি} = ১০,০০০ \times \frac{৪০}{১০০} = ৪,০০০ \text{ টাকা} \] ২. পর পর ৩৬% ও ৪% কমতি:
প্রথমে ৩৬% কমতি: \[ \text{প্রথম কমতি} = ১০,০০০ \times \frac{৩৬}{১০০} = ৩,৬০০ \text{ টাকা} \] \[ \text{প্রথম কমতির পর অবশিষ্ট} = ১০,০০০ - ৩,৬০০ = ৬,৪০০ \text{ টাকা} \] তারপর ৪% কমতি: \[ \text{দ্বিতীয় কমতি} = ৬,৪০০ \times \frac{৪}{১০০} = ২৫৬ \text{ টাকা} \] \[ \text{মোট কমতি} = ৩,৬০০ + ২৫৬ = ৩,৮৫৬ \text{ টাকা} \] ৩. পার্থক্য:
\[ \text{পার্থক্য} = ৪,০০০ - ৩,৮৫৬ = ১৪৪ \text{ টাকা} \] অতএব, এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পার্থক্য ১৪৪ টাকা।
প্রশ্নঃ ৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?
[ বিসিএস ১৩তম ]
ক. ৩
খ. ৪
গ. ৫
ঘ. ৬
উত্তরঃ ৫
ব্যাখ্যাঃ \(32 = 2^5\) এখন, লগারিদম সূত্র অনুযায়ী: \[ \log_2{32} = \log_2{2^5} = 5 \] অতএব, \(32\) এর \(2\) ভিত্তিক লগারিদম হল \(5\)।
ক. \(b=g\)
খ. \(b=\frac{g}{5}\)
গ. \(b=g-4\)
ঘ. \(b=g-5\)
উত্তরঃ \(b=g-4\)
ব্যাখ্যাঃ
বালকের সংখ্যা + 4 = বালিকার সংখ্যা
=> b + 4 = g
∴ b = g - 4
ক. \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\)
খ. \(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\)
গ. \(1.5\)
ঘ. \(1.8\)
উত্তরঃ \(1.5\)
ব্যাখ্যাঃ \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে আমরা নিম্নলিখিত পদ্ধতি ব্যবহার করব।
ধাপ ১: \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মান নির্ণয় \[ \sqrt{2} \approx 1.4142 \\ \sqrt{3} \approx 1.7321 \] ধাপ ২: মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা নির্ণয়
\(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো তাদের গড়: \[ \text{গড়} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.4142 + 1.7321}{2} = \frac{3.1463}{2} \approx 1.5731 \] ধাপ ৩: মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ
এই মানটি একটি মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, \(1.5\) বা \(\frac{3}{2}\) একটি মূলদ সংখ্যা যা \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী।
ফলাফল
\(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো \(1.5\) বা \(\frac{3}{2}\)।
ধাপ ১: \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মান নির্ণয় \[ \sqrt{2} \approx 1.4142 \\ \sqrt{3} \approx 1.7321 \] ধাপ ২: মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা নির্ণয়
\(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো তাদের গড়: \[ \text{গড়} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.4142 + 1.7321}{2} = \frac{3.1463}{2} \approx 1.5731 \] ধাপ ৩: মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ
এই মানটি একটি মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, \(1.5\) বা \(\frac{3}{2}\) একটি মূলদ সংখ্যা যা \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী।
ফলাফল
\(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো \(1.5\) বা \(\frac{3}{2}\)।
প্রশ্নঃ \(\frac{15÷15×15}{15÷15 ~এর ~15}\) সরল করলে তার মান হবে-
[ বিসিএস ১১তম ]
ক. 0
খ. 1
গ. 225
ঘ. \(\frac{1}{225}\)
উত্তরঃ 225
ব্যাখ্যাঃ \[ \frac{15 \div 15 \times 15}{15 \div 15 \div 15} \] সরলীকরণ: \[ = \frac{1 \times 15}{15 \div 225}\] \[= 15 \times \frac{225}{15}\] \[ = 225 \]
প্রশ্নঃ নিচের কোন সংখ্যাটি মৌলিক?
[ বিসিএস ১০তম ]
ক. ৯১
খ. ১৪৩
গ. ৪৭
ঘ. ৮৭
উত্তরঃ ৪৭
ব্যাখ্যাঃ
যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না সেই সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। উপরিউক্ত ৪টি সংখ্যার মধ্যে ৪৭ সংখ্যাটিরই কেবলমাত্র ২টি উৎপাদক আছে বলে এটি মৌলিক সংখ্যা।
প্রশ্নঃ ১ হতে ৩০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?
[ বিসিএস ১০তম ]
ক. ১১টি
খ. ৮টি
গ. ১০টি
ঘ. ৯টি
উত্তরঃ ১০টি
ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মোট ১০টি মৌলিক সংখ্যা আছে। এগুলো হল: \[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \] মৌলিক সংখ্যা হল যেসব সংখ্যা কেবল ১ এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য হয়।
ক. \(\frac{1}{80}\)
খ. \(\frac{1}{800}\)
গ. \(\frac{1}{8000}\)
ঘ. \(\frac{1}{8}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{8}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, সংজ্ঞার্থের সমস্ত সংখ্যাকে সরল করি:
উপরে: \[ 0.1 \times 0.01 \times 0.001 = 0.000001 \] নিচে: \[ 0.2 \times 0.02 \times 0.002 = 0.000008 \] এখন, ভগ্নাংশটি লিখি: \[ \frac{0.000001}{0.000008} \] \[ = \frac{1}{8}\]
উপরে: \[ 0.1 \times 0.01 \times 0.001 = 0.000001 \] নিচে: \[ 0.2 \times 0.02 \times 0.002 = 0.000008 \] এখন, ভগ্নাংশটি লিখি: \[ \frac{0.000001}{0.000008} \] \[ = \frac{1}{8}\]
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\) এর সমান?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. \(\sqrt{2}\)
খ. \(\frac{1}{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\)
গ. \(\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\)
ঘ. \(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
ব্যাখ্যাঃ ধাপে ধাপে আমরা দেখতে পাই: \[ \sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \] এখন উপরের অংশ সরলীকরণ করা হলে: \[ (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 \] তাহলে: \[ \sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \]
প্রশ্নঃ ৫ জন তাঁত-শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় বুনতে পারে। একই ধরনের ৭টি কাপড় বুনতে ৭ জন শ্রমিকের কত দিন লাগবে?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. ৫ দিন
খ. \(\frac{২৫}{৪৯ }\) দিন
গ. \(\frac{৪৯}{২৫ }\) দিন
ঘ. ৭ দিন
উত্তরঃ ৫ দিন
ব্যাখ্যাঃ ১. প্রথমে শ্রমিক এবং কাজের সম্পর্ক বিশ্লেষণ করি:
৫ জন শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় তৈরি করতে পারে।
অর্থাৎ, ৫ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে \( \frac{৫}{৫} = ১ \) কাপড়।
তাহলে ১ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে: \[ \frac{১}{৫} \text{ কাপড়।} \] ২. ৭টি কাপড় তৈরি করতে ৭ জন শ্রমিকের দৈনিক কাজের ক্ষমতা বের করি:
৭ জন শ্রমিক একদিনে তৈরি করতে পারে: \[ ৭ \times \frac{১}{৫} = \frac{৭}{৫} \text{ কাপড়।} \] ৩. ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় বের করি:
যদি ৭ জন শ্রমিক প্রতিদিন \( \frac{৭}{৫} \) কাপড় তৈরি করে, তাহলে ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় লাগবে: \[ \frac{৭}{\frac{৭}{৫}} = ৫ \text{ দিন।} \]
৫ জন শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় তৈরি করতে পারে।
অর্থাৎ, ৫ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে \( \frac{৫}{৫} = ১ \) কাপড়।
তাহলে ১ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে: \[ \frac{১}{৫} \text{ কাপড়।} \] ২. ৭টি কাপড় তৈরি করতে ৭ জন শ্রমিকের দৈনিক কাজের ক্ষমতা বের করি:
৭ জন শ্রমিক একদিনে তৈরি করতে পারে: \[ ৭ \times \frac{১}{৫} = \frac{৭}{৫} \text{ কাপড়।} \] ৩. ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় বের করি:
যদি ৭ জন শ্রমিক প্রতিদিন \( \frac{৭}{৫} \) কাপড় তৈরি করে, তাহলে ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় লাগবে: \[ \frac{৭}{\frac{৭}{৫}} = ৫ \text{ দিন।} \]
ক. \(9\frac{2}{3}\)
খ. \(11\frac{1}{3}\)
গ. \(12\frac{2}{5}\)
ঘ. \(13\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ \(13\frac{2}{3}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \[ (64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 3K \] আমরা প্রথমে \((64)^{\frac{2}{3}}\) এবং \((625)^{\frac{1}{2}}\) এর মান নির্ণয় করব।
ধাপ 1: \((64)^{\frac{2}{3}}\) এর মান নির্ণয় \[ (64)^{\frac{2}{3}} = \left(64^{\frac{1}{3}}\right)^2 \] \[ 64^{\frac{1}{3}} = 4 \quad (\text{কারণ } 4^3 = 64) \] \[ (64)^{\frac{2}{3}} = 4^2 = 16 \] ধাপ 2: \((625)^{\frac{1}{2}}\) এর মান নির্ণয় \[ (625)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{625} = 25 \] ধাপ 3: সমীকরণে মান বসানো \[ (64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 16 + 25 = 41 \] \[ 3K = 41 \] \[ K = \frac{41}{3} \] সুতরাং, \(K\) এর মান হলো: \[ \boxed{13\frac{2}{3}} \]
ধাপ 1: \((64)^{\frac{2}{3}}\) এর মান নির্ণয় \[ (64)^{\frac{2}{3}} = \left(64^{\frac{1}{3}}\right)^2 \] \[ 64^{\frac{1}{3}} = 4 \quad (\text{কারণ } 4^3 = 64) \] \[ (64)^{\frac{2}{3}} = 4^2 = 16 \] ধাপ 2: \((625)^{\frac{1}{2}}\) এর মান নির্ণয় \[ (625)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{625} = 25 \] ধাপ 3: সমীকরণে মান বসানো \[ (64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 16 + 25 = 41 \] \[ 3K = 41 \] \[ K = \frac{41}{3} \] সুতরাং, \(K\) এর মান হলো: \[ \boxed{13\frac{2}{3}} \]
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. ০.৩
খ. \(\sqrt{০.৩}\)
গ. \(\frac{১}{৩}\)
ঘ. \(\frac{২}{৫}\)
উত্তরঃ ০.৩
ব্যাখ্যাঃ এই সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয় করে তুলনা করব।
ধাপ 1: সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয়
- ক: \(0.3\)
- খ: \(\sqrt{0.3} \approx 0.5477\)
- গ: \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\)
- ঘ: \(\frac{2}{5} = 0.4\)
ধাপ 2: সংখ্যাগুলো তুলনা
সংখ্যাগুলোকে মানের ভিত্তিতে সাজালে: \[ 0.3 < 0.3333 < 0.4 < 0.5477 \] অর্থাৎ: \[ 0.3 < \frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \sqrt{0.3} \] ধাপ 3: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয়
উপরের তুলনা থেকে দেখা যাচ্ছে যে \(0.3\) হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো: \[ \boxed{\text{কঃ } 0.3} \]
ধাপ 1: সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয়
- ক: \(0.3\)
- খ: \(\sqrt{0.3} \approx 0.5477\)
- গ: \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\)
- ঘ: \(\frac{2}{5} = 0.4\)
ধাপ 2: সংখ্যাগুলো তুলনা
সংখ্যাগুলোকে মানের ভিত্তিতে সাজালে: \[ 0.3 < 0.3333 < 0.4 < 0.5477 \] অর্থাৎ: \[ 0.3 < \frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \sqrt{0.3} \] ধাপ 3: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয়
উপরের তুলনা থেকে দেখা যাচ্ছে যে \(0.3\) হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো: \[ \boxed{\text{কঃ } 0.3} \]
প্রশ্নঃ \(x>y\) এবং \(z<0\) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
[ বিসিএস ৩১তম | প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
ক. \(xz>yz\)
খ. \(\frac{x}{z}>\frac{y}{z}\)
গ. \(\frac{z}{x}>\frac{z}{y}\)
ঘ. \( \mathrm {xz < yz} \)
উত্তরঃ \( \mathrm {xz < yz} \)
ব্যাখ্যাঃ
"মেহেতু z < 0; সেহেতু z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।
দেওয়া আছে,
x > y সুতরাং, xz < yz [ ঋণাত্মককে z দ্বারা গুণ করুন]
z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বলে z দ্বারা ঋণাত্মককে গুণ করায় > চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে < চিহ্ন হয়েছে।"
প্রশ্নঃ \(log_a(\frac{m}{n})=\) কত?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. \(\mathrm {log_a m-log_an}\)
খ. \(\mathrm {log_a m+log_an}\)
গ. \(\mathrm {log_a m×log_an}\)
ঘ. কোনোটিই নয়
উত্তরঃ \(\mathrm {log_a m-log_an}\)
ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমের গুণনীয়কের সূত্র প্রয়োগ করে \(log_a(\frac{m}{n})\)-এর মান বের করতে পারি। সূত্রটি হলো: \[ log_a\left(\frac{m}{n}\right) = log_a(m) - log_a(n) \] তাহলে, \[ log_a(\frac{m}{n}) = log_a(m) - log_a(n) \] এটি হলো চূড়ান্ত উত্তর।
প্রশ্নঃ \(36.2^{3x-8}=3^2\) হলে \(x\) এ রর মান কত?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. \(\frac{7}{3}\)
খ. 3
গ. \(\frac{8}{3}\)
ঘ. 2
উত্তরঃ 2
ব্যাখ্যাঃ \[ 36.2^{3x-8} = 3^2 \] \[\Rightarrow 2^{3x-8} = \frac{9}{36} \] \[\Rightarrow \frac{2^{3x}}{2^8} = \frac{1}{4} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = \frac{2^8}{4} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = \frac{2^8}{2^2} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = 2^{8-2} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = 2^6 \] \[\Rightarrow 3x = 6\] \[\therefore x = 2 \]
ক. \(\frac{x^2-y^2}{xy}\)
খ. \(\frac{2x^2-y^2}{xy}\)
গ. \(\frac{y^2-x^2}{xy}\)
ঘ. \(\frac{x^2-2y^2}{xy}\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2-x^2}{xy}\)
ব্যাখ্যাঃ আমরা \(\frac{x}{y}\)-এর সাথে একটি সংখ্যা যোগ করে যোগফল \(\frac{y}{x}\) করতে চাই। ধরে নিই, যোগ করা সংখ্যাটি হল \(k\)।
তাহলে, সমীকরণটি হবে: \[ \frac{x}{y} + k = \frac{y}{x} \] এখন \(k\)-এর মান নির্ণয় করি। \[ k = \frac{y}{x} - \frac{x}{y} \] লসাগু \(xy\)-এর সাহায্যে ভগ্নাংশগুলোর বিয়োগ করি: \[ k = \frac{y^2 - x^2}{xy} \]
তাহলে, সমীকরণটি হবে: \[ \frac{x}{y} + k = \frac{y}{x} \] এখন \(k\)-এর মান নির্ণয় করি। \[ k = \frac{y}{x} - \frac{x}{y} \] লসাগু \(xy\)-এর সাহায্যে ভগ্নাংশগুলোর বিয়োগ করি: \[ k = \frac{y^2 - x^2}{xy} \]
প্রশ্নঃ পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল কত?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. ৯
খ. ১২
গ. ১৪
ঘ. ১৫
উত্তরঃ ১৫
ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরপর তিনটি সংখ্যা হলো \(x-1\), \(x\), এবং \(x+1\)। তাহলে তাদের গুণফল দেওয়া আছে: \[ (x-1) \cdot x \cdot (x+1) = 120 \] এটি একটি গুণফল সূত্র যেখানে \(x-1, x, x+1\) হলো ধারাবাহিক তিনটি সংখ্যা। এখানে \((x-1)(x)(x+1)\) হলো ক্রমিক গুণনীয়ক: \[ x(x^2 - 1) = 120 \] সরল করলে পাই: \[ x^3 - x = 120 \] এখন আমরা \(x\)-এর মান বের করি। ধারণা করা যায় \(x = 5\), কারণ: \[ 5^3 - 5 = 125 - 5 = 120 \] তাহলে, সংখ্যাগুলো হলো \(5-1 = 4\), \(5\), এবং \(5+1 = 6\)। এদের যোগফল হবে: \[ 4 + 5 + 6 = 15 \] চূড়ান্ত উত্তর:
পরপর তিনটি সংখ্যার যোগফল হলো \(15\)।
পরপর তিনটি সংখ্যার যোগফল হলো \(15\)।
প্রশ্নঃ \(log_2~8=\) কত?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. 4
খ. 3
গ. 2
ঘ. 1
উত্তরঃ 3
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি যে লগারিদমের মূল সূত্র অনুসারে: \[ log_a(b) = c \implies a^c = b \] এখানে, \(log_2(8) = c\) হলে: \[ 2^c = 8 \] আমরা জানি \(8 = 2^3\), সুতরাং: \[ 2^c = 2^3 \] এখন ভিত্তি একই হলে সহগও সমান হয়: \[ c = 3 \] \(log_2(8) = 3\)।
ক. 2
খ. 3
গ. 4
ঘ. 5
উত্তরঃ 3
ব্যাখ্যাঃ
প্রদত্ত সেটটিতে দুটি শর্ত আছে:
১. $x$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা ($x \in N$)।
২. $x^2 > 8$
৩. $x^3 < 30$
এখন আমরা স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো পরীক্ষা করে দেখব:
যদি $x=1$ হয়, $1^2=1$ যা ৮ এর চেয়ে বড় নয়।
যদি $x=2$ হয়, $2^2=4$ যা ৮ এর চেয়ে বড় নয়।
যদি $x=3$ হয়, $3^2=9$ যা ৮ এর চেয়ে বড় এবং $3^3=27$ যা ৩০ এর চেয়ে ছোট। অর্থাৎ, উভয় শর্তই পূরণ করে।
যদি $x=4$ হয়, $4^2=16$ যা ৮ এর চেয়ে বড়, কিন্তু $4^3=64$ যা ৩০ এর চেয়ে বড়।
সুতরাং, শুধুমাত্র $x=3$ উভয় শর্ত পূরণ করে।
প্রদত্ত সেটটিতে দুটি শর্ত আছে:
১. $x$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা ($x \in N$)।
২. $x^2 > 8$
৩. $x^3 < 30$
এখন আমরা স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো পরীক্ষা করে দেখব:
যদি $x=1$ হয়, $1^2=1$ যা ৮ এর চেয়ে বড় নয়।
যদি $x=2$ হয়, $2^2=4$ যা ৮ এর চেয়ে বড় নয়।
যদি $x=3$ হয়, $3^2=9$ যা ৮ এর চেয়ে বড় এবং $3^3=27$ যা ৩০ এর চেয়ে ছোট। অর্থাৎ, উভয় শর্তই পূরণ করে।
যদি $x=4$ হয়, $4^2=16$ যা ৮ এর চেয়ে বড়, কিন্তু $4^3=64$ যা ৩০ এর চেয়ে বড়।
সুতরাং, শুধুমাত্র $x=3$ উভয় শর্ত পূরণ করে।
প্রশ্নঃ \(a^{-3}=0.2\) হলে \(a^{12}\) এর মান কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. 525
খ. 125
গ. 625
ঘ. 526
উত্তরঃ 625
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$$
a^{-3} = 0.2
$$
প্রথমে $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$, সুতরাং
$$
\frac{1}{a^3} = 0.2 \Rightarrow a^3 = \frac{1}{0.2} = 5
$$
এখন, $a^{12} = (a^3)^4 = 5^4 = 625$
$$
a^{-3} = 0.2
$$
প্রথমে $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$, সুতরাং
$$
\frac{1}{a^3} = 0.2 \Rightarrow a^3 = \frac{1}{0.2} = 5
$$
এখন, $a^{12} = (a^3)^4 = 5^4 = 625$
উত্তর: $a^{12} = 625$
প্রশ্নঃ \(9^x+9^x+9^x=\) কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. \(9^{3x}\)
খ. \(3^{2x+1}\)
গ. \(27^x\)
ঘ. \(3x^3\)
উত্তরঃ \(3^{2x+1}\)
ব্যাখ্যাঃ আমরা \(9^x + 9^x + 9^x\)-কে সহজভাবে লিখতে পারি।
ধরি, \(9^x\) একটি সাধারণ পদ। তাহলে:
\[ 9^x + 9^x + 9^x = 3 \cdot 9^x \]
\[ 9^x + 9^x + 9^x = 3 \cdot 9^x \]
\[3.3^{2x}\] \[3^{2x+1}\]
ধরি, \(9^x\) একটি সাধারণ পদ। তাহলে:
\[ 9^x + 9^x + 9^x = 3 \cdot 9^x \]
\[ 9^x + 9^x + 9^x = 3 \cdot 9^x \]
\[3.3^{2x}\] \[3^{2x+1}\]
প্রশ্নঃ \(০~÷~০\) কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. ১
খ. অনির্ণেয়
গ. ০.০
ঘ. ০
উত্তরঃ অনির্ণেয়
ব্যাখ্যাঃ \(0 \div 0\) নির্ণয় করা সম্ভব নয়, কারণ গণিতের নিয়ম অনুযায়ী, এটি একটি অসংজ্ঞায়িত (undefined) রাশি।
এর কারণ হলো:
- ভাগফল \(x\)-কে নির্ণয় করতে হলে \(0 \div 0 = x\), যা থেকে পাই \(x \times 0 = 0\)।
- যেকোনো সংখ্যা \(x\) এর জন্য \(x \times 0 = 0\) হয়, তাই এখানে \(x\)-এর একক মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
অতএব, \(0 \div 0\) অসংজ্ঞায়িত।
এর কারণ হলো:
- ভাগফল \(x\)-কে নির্ণয় করতে হলে \(0 \div 0 = x\), যা থেকে পাই \(x \times 0 = 0\)।
- যেকোনো সংখ্যা \(x\) এর জন্য \(x \times 0 = 0\) হয়, তাই এখানে \(x\)-এর একক মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
অতএব, \(0 \div 0\) অসংজ্ঞায়িত।
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা ৫৬০ থেকে যত বড় ৮০০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. ৬৫৫
খ. ৬৭৫
গ. ৬৮০
ঘ. ৬৩০
উত্তরঃ ৬৮০
ব্যাখ্যাঃ মনে করি সংখ্যাটি \(x\)।
প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটি ৫৬০ থেকে যত বড়, অর্থাৎ \(x - ৫৬০\), তা ৮০০ থেকে তত ছোট, অর্থাৎ \(৮০০ - x\)।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$x - ৫৬০ = ৮০০ - x$$
$$x + x = ৮০০ + ৫৬০$$
$$২x = ১৩৬০$$
$$x = \frac{১৩৬০}{২}$$
$$x = ৬৮০$$
সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ৬৮০।
প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটি ৫৬০ থেকে যত বড়, অর্থাৎ \(x - ৫৬০\), তা ৮০০ থেকে তত ছোট, অর্থাৎ \(৮০০ - x\)।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$x - ৫৬০ = ৮০০ - x$$
$$x + x = ৮০০ + ৫৬০$$
$$২x = ১৩৬০$$
$$x = \frac{১৩৬০}{২}$$
$$x = ৬৮০$$
সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ৬৮০।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার \(\frac{১}{২}\) অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির \(\frac{২}{৩}\) অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. ৬৩
খ. ৩৬
গ. ৩৫
ঘ. ৫৩
উত্তরঃ ৩৬
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা হলো \(x\)।
প্রদত্ত শর্ত অনুসারে: \[ \frac{1}{2}x + 6 = \frac{2}{3}x \] এখন \(x\)-এর মান নির্ণয় করি:
১. প্রথমে ভগ্নাংশগুলো সরল করার জন্য উভয় পাশে \(6\)-এর ল.সা.গু \(6\) দ্বারা গুণ করি: \[ 6 \cdot \frac{1}{2}x + 6 \cdot 6 = 6 \cdot \frac{2}{3}x \] \[ 3x + 36 = 4x \] ২. সমীকরণটি পুনরায় লিখি: \[ 36 = 4x - 3x \] \[ 36 = x \] উত্তর: সংখ্যাটি হলো \(36\)।
প্রদত্ত শর্ত অনুসারে: \[ \frac{1}{2}x + 6 = \frac{2}{3}x \] এখন \(x\)-এর মান নির্ণয় করি:
১. প্রথমে ভগ্নাংশগুলো সরল করার জন্য উভয় পাশে \(6\)-এর ল.সা.গু \(6\) দ্বারা গুণ করি: \[ 6 \cdot \frac{1}{2}x + 6 \cdot 6 = 6 \cdot \frac{2}{3}x \] \[ 3x + 36 = 4x \] ২. সমীকরণটি পুনরায় লিখি: \[ 36 = 4x - 3x \] \[ 36 = x \] উত্তর: সংখ্যাটি হলো \(36\)।
প্রশ্নঃ ১২৫ সংখ্যাকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. ৩
খ. ৫
গ. ৬
ঘ. ২
উত্তরঃ ৫
ব্যাখ্যাঃ একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে, সংখ্যাটির গুণনীয়কগুলোর ঘাত সমান হতে হবে। আমরা \(125\)-এর মৌলিক গুণনীয়ক বের করি: \[ 125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \] এখন, \(5^3\)-কে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা বানাতে হলে \(5\)-এর ঘাতকে জোড় সংখ্যা করতে হবে। সুতরাং, আরও \(5\) দিয়ে গুণ করতে হবে যাতে এটি \(5^4 = (5^2)^2\) হয়ে যায়, যা একটি পূর্ণ বর্গ।
তাহলে, \(125\)-কে \(5\) দ্বারা গুণ করতে হবে।
উত্তর: \(125\)-কে \(5\) দ্বারা গুণ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।
তাহলে, \(125\)-কে \(5\) দ্বারা গুণ করতে হবে।
উত্তর: \(125\)-কে \(5\) দ্বারা গুণ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।
প্রশ্নঃ একটি পেনসিলের ওজন ৫ গ্রাম। এটির ওজন মিলিগ্রামে কত হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]
ক. ৫০০
খ. ৫০,০০০
গ. কোনটিই নয়
ঘ. ৫০
উত্তরঃ কোনটিই নয়
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, ১ গ্রাম = ১০০০ মিলিগ্রাম।
তাহলে, ৫ গ্রাম = \(5 \times 1000 = 5000 \, \text{মিলিগ্রাম}\)।
উত্তর: পেনসিলটির ওজন \(5000 \, \text{মিলিগ্রাম}\)।
তাহলে, ৫ গ্রাম = \(5 \times 1000 = 5000 \, \text{মিলিগ্রাম}\)।
উত্তর: পেনসিলটির ওজন \(5000 \, \text{মিলিগ্রাম}\)।
প্রশ্নঃ কাগজ ও কলমের মূল্য একত্রে ২৪০ টাকা। কাগজের মূল্য কলমের মূল্য অপেক্ষা ৪০ টাকা কম হলে কলমের মূল্য কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]
ক. ২০০ টাকা
খ. ১৬০ টাকা
গ. ১৪০ ঢাকা
ঘ. ১০০ টাকা
উত্তরঃ ১৪০ ঢাকা
ব্যাখ্যাঃ ধরি, কলমের মূল্য হলো \(x\) টাকা।
তাহলে কাগজের মূল্য হবে \(x - 40\) টাকা।
প্রশ্ন অনুসারে, তাদের মোট মূল্য \(240\) টাকা: \[ x + (x - 40) = 240 \] এখন সমীকরণটি সরল করি: \[ 2x - 40 = 240 \] \[ 2x = 240 + 40 \] \[ 2x = 280 \] \(x\)-এর মান নির্ণয় করি: \[ x = \frac{280}{2} = 140 \] উত্তর: কলমের মূল্য \(140\) টাকা।
তাহলে কাগজের মূল্য হবে \(x - 40\) টাকা।
প্রশ্ন অনুসারে, তাদের মোট মূল্য \(240\) টাকা: \[ x + (x - 40) = 240 \] এখন সমীকরণটি সরল করি: \[ 2x - 40 = 240 \] \[ 2x = 240 + 40 \] \[ 2x = 280 \] \(x\)-এর মান নির্ণয় করি: \[ x = \frac{280}{2} = 140 \] উত্তর: কলমের মূল্য \(140\) টাকা।
প্রশ্নঃ x < 4 হলে নীচের কোন মানটি x এর জন্য সত্য হতে পারে?
[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]
ক. 0
খ. 3
গ. সবগুলোই
ঘ. - 4
উত্তরঃ সবগুলোই
ব্যাখ্যাঃ যেহেতু \(x < 4\), এর মান হতে পারে \(4\)-এর চেয়ে ছোট যে-কোনো সংখ্যা। নিচের অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:
১. কঃ 0:
\(0\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, তাই এটি সঠিক।
২. খঃ 3:
\(3\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, সুতরাং এটি সঠিক।
৩. ঘঃ -4:
\(-4\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, তাই এটিও সঠিক।
৪. গঃ সবগুলোই:
যেহেতু \(0\), \(3\), এবং \(-4\) সবকটিই \(x < 4\)-এর শর্ত পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর হবে:
গঃ সবগুলোই।
১. কঃ 0:
\(0\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, তাই এটি সঠিক।
২. খঃ 3:
\(3\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, সুতরাং এটি সঠিক।
৩. ঘঃ -4:
\(-4\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, তাই এটিও সঠিক।
৪. গঃ সবগুলোই:
যেহেতু \(0\), \(3\), এবং \(-4\) সবকটিই \(x < 4\)-এর শর্ত পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর হবে:
গঃ সবগুলোই।
প্রশ্নঃ ১ মিলিয়ন = কত বিলিয়ন?
[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]
ক. ০.০০১ বিলিয়ন
খ. ০.১ বিলিয়ন
গ. ০.০০০১ বিলিয়ন
ঘ. ০.০১ বিলিয়ন
উত্তরঃ ০.০০১ বিলিয়ন
ব্যাখ্যাঃ \(1 \, \text{মিলিয়ন} = 0.001 \, \text{বিলিয়ন}\)।
কথায় বললে, ১ মিলিয়ন হলো ১ বিলিয়নের এক-হাজার ভাগের এক ভাগ।
কথায় বললে, ১ মিলিয়ন হলো ১ বিলিয়নের এক-হাজার ভাগের এক ভাগ।
প্রশ্নঃ \(0.5 + 0.05 + 0.005 × 0.5 × 0.05 × 0.005 =\) কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]
ক. 0.550000325
খ. 0.550000625
গ. 0.550000525
ঘ. 0.550000425
উত্তরঃ 0.550000625
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে \(0.005 \times 0.5 \times 0.05 \times 0.005\) গুণফল বের করি: \[ 0.005 \times 0.5 = 0.0025 \] \[ 0.0025 \times 0.05 = 0.000125 \] \[ 0.000125 \times 0.005 = 0.000000625 \] এখন মূল সমীকরণটি: \[ 0.5 + 0.05 + 0.000000625 \] এগুলো যোগ করি: \[ 0.5 + 0.05 = 0.55 \] \[ 0.55 + 0.000000625 = 0.550000625 \] উত্তর: \(0.5 + 0.05 + 0.005 \times 0.5 \times 0.05 \times 0.005 = 0.550000625\)।
প্রশ্নঃ কত মিলিয়নে ১০ কোটি?
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. ১০০০
খ. ৫০
গ. ১০
ঘ. ১০০
উত্তরঃ ১০০
ব্যাখ্যাঃ
১০ কোটি হলো ১০০ মিলিয়ন।
এর ব্যাখ্যা হলো, ১ কোটিতে থাকে ১০ মিলিয়ন। সুতরাং, ১০ কোটি × ১০ মিলিয়ন = ১০০ মিলিয়ন।
প্রশ্নঃ লুপ্ত সংখ্যাটি কত? ৮১, ২৭ __ ৩, ১
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. ১২
খ. ১৫
গ. ৬
ঘ. ৯
উত্তরঃ ৯
ব্যাখ্যাঃ এই সংখ্যাগুলোর একটি নিদিষ্ট ক্রম রয়েছে, যা মনে হচ্ছে একটি গুণোত্তর ধারার (geometric progression) অংশ। এখানে:
- প্রথম সংখ্যা: \( ৮১ \)
- দ্বিতীয় সংখ্যা: \( ২৭ \)
- তৃতীয় সংখ্যা: লুপ্ত
- চতুর্থ সংখ্যা: \( ৩ \)
- পঞ্চম সংখ্যা: \( ১ \)
ধরা যাক, ধারার অনুপাত \( r \)। গুণোত্তর ধারায় প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা আগের সংখ্যার সাথে \( r \)-এ গুণ করে পাওয়া যায়। প্রথম দুটি সংখ্যার মধ্যে \( r \) নির্ণয় করি: \[ r = \frac{২৭}{৮১} = \frac{১}{৩} \] এখন \( r = \frac{১}{৩} \) ব্যবহার করে, তৃতীয় সংখ্যাটি বের করি: \[ তৃতীয় সংখ্যা = ২৭ \times \frac{১}{৩} = ৯ \] অতএব, লুপ্ত সংখ্যাটি হলো ৯।
- প্রথম সংখ্যা: \( ৮১ \)
- দ্বিতীয় সংখ্যা: \( ২৭ \)
- তৃতীয় সংখ্যা: লুপ্ত
- চতুর্থ সংখ্যা: \( ৩ \)
- পঞ্চম সংখ্যা: \( ১ \)
ধরা যাক, ধারার অনুপাত \( r \)। গুণোত্তর ধারায় প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা আগের সংখ্যার সাথে \( r \)-এ গুণ করে পাওয়া যায়। প্রথম দুটি সংখ্যার মধ্যে \( r \) নির্ণয় করি: \[ r = \frac{২৭}{৮১} = \frac{১}{৩} \] এখন \( r = \frac{১}{৩} \) ব্যবহার করে, তৃতীয় সংখ্যাটি বের করি: \[ তৃতীয় সংখ্যা = ২৭ \times \frac{১}{৩} = ৯ \] অতএব, লুপ্ত সংখ্যাটি হলো ৯।
প্রশ্নঃ \(০.৪ × ০.০২ × ০.০৮\) = কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. ০.০০০৬৪
খ. ০.০০৬৪০৪
গ. ০.০০০০৬
ঘ. ০.০০৬৪
উত্তরঃ ০.০০০৬৪
ব্যাখ্যাঃ এই গুণফল বের করতে আমরা ধাপে ধাপে এগোবো: \[ ০.৪ × ০.০২ × ০.০৮ \] প্রথমে \( ০.৪ × ০.০২ \) করি: \[ ০.৪ × ০.০২ = ০.০০৮ \] এরপর \( ০.০০৮ × ০.০৮ \) করি: \[ ০.০০৮ × ০.০৮ = ০.০০০৬৪ \] অতএব, গুণফল হলো ০.০০০৬৪।
প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গমূল কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. ০.০০১
খ. ১
গ. ০.১
ঘ. ০.০১
উত্তরঃ ০.০১
ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ \[ ০.০০০১ = \frac{1}{10000} \] ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয় \[ \sqrt{০.০০০১} = \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10000}} = \frac{1}{100} = ০.০১ \] উত্তর: ০.০০০১ এর বর্গমূল হলো: \[ \boxed{০.০১} \]
প্রশ্নঃ \(\sqrt{২৮৯}\) এর বর্গমূল হল-
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. অমূলদ
খ. স্বাভাবিক
গ. পূর্ণসংখ্যা
ঘ. মূলদ
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, \( \sqrt{২৮৯} \) গণনা করি। \[ \sqrt{২৮৯} = ১৭ \] এখন বিশ্লেষণ:
১. \( ১৭ \) হলো একটি পূর্ণসংখ্যা। তাই এটি পূর্ণসংখ্যা।
২. \( ১৭ \) হলো একটি মূলদ সংখ্যা, কারণ এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় (\( \frac{১৭}{১} \))।
৩. এটি কোনো অমূলদ সংখ্যা নয়, কারণ এটি দশমিক বা অসীম ধারা তৈরি করে না।
৪. \( ১৭ \) একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কারণ স্বাভাবিক সংখ্যা হলো সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
উত্তর: গঃ পূর্ণসংখ্যা এবং ঘঃ মূলদ।
১. \( ১৭ \) হলো একটি পূর্ণসংখ্যা। তাই এটি পূর্ণসংখ্যা।
২. \( ১৭ \) হলো একটি মূলদ সংখ্যা, কারণ এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় (\( \frac{১৭}{১} \))।
৩. এটি কোনো অমূলদ সংখ্যা নয়, কারণ এটি দশমিক বা অসীম ধারা তৈরি করে না।
৪. \( ১৭ \) একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কারণ স্বাভাবিক সংখ্যা হলো সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
উত্তর: গঃ পূর্ণসংখ্যা এবং ঘঃ মূলদ।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার \(\frac{২}{৭}\) অংশ ৬৪ এর সমান?
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. ২৫৪
খ. ২৭২
গ. ২৪৮
ঘ. ২২৪
উত্তরঃ ২২৪
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সেই সংখ্যা হলো \( x \)। প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{২}{৭} \times x = ৬৪ \] এখন \( x \)-এর মান বের করতে সমীকরণটি সাজাই: \[ x = \frac{৬৪ \times ৭}{২} = \frac{৪৪৮}{২} = ২২৪ \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ২২৪।
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা ৭৪২ হতে যত বড় ৮৩০ হতে তত ছোট, সংখ্যাটি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. ৭৮৬
খ. ৭৮০
গ. ৭৮২
ঘ. ৭৯০
উত্তরঃ ৭৮৬
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি হলো \( x \)। প্রশ্ন অনুযায়ী: \[ x - ৭৪২ = ৮৩০ - x \] এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি: \[ x + x = ৭৪২ + ৮৩০ \] \[ 2x = ১৫৭২ \] \[ x = \frac{১৫৭২}{২} = ৭৮৬ \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ৭৮৬।
প্রশ্নঃ ০.১ এর বর্গমূল কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. ০.১
খ. ০.০১
গ. ০.২৫
ঘ. ০.৩১
উত্তরঃ ০.৩১
ব্যাখ্যাঃ ০.১ এর বর্গমূল নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করব:
ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ \[ ০.১ = \frac{1}{10} \] ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয় \[ \sqrt{০.১} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx ০.৩১৬২ \] উত্তর: ০.১ এর বর্গমূল হলো: \[ \boxed{০.৩১} \]
ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ \[ ০.১ = \frac{1}{10} \] ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয় \[ \sqrt{০.১} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx ০.৩১৬২ \] উত্তর: ০.১ এর বর্গমূল হলো: \[ \boxed{০.৩১} \]
প্রশ্নঃ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]
ক. ৫৬
খ. ৫৮
গ. ৫৩
ঘ. ৫৫
উত্তরঃ ৫৬
ব্যাখ্যাঃ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হলো:
ক্ষুদ্রতম: ৪১
বৃহত্তম: ৯৭
এখন, তাদের অন্তর গণনা করি: $$৯৭ - ৪১ = ৫৬$$ সুতরাং, ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হলো ৫৬।
ক্ষুদ্রতম: ৪১
বৃহত্তম: ৯৭
এখন, তাদের অন্তর গণনা করি: $$৯৭ - ৪১ = ৫৬$$ সুতরাং, ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হলো ৫৬।
প্রশ্নঃ ৯ কোটি সমান কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]
ক. ৯০ বিলিয়ন
খ. ৯ বিলিয়ন
গ. ৯ মিলিয়ন
ঘ. ৯০ মিলিয়ন
উত্তরঃ ৯০ মিলিয়ন
ব্যাখ্যাঃ ১ কোটি = ১০ মিলিয়ন, সুতরাং
৯ কোটি = \(৯ \times ১০ \; \text{মিলিয়ন} = ৯০ \; \text{মিলিয়ন}\)।
উত্তর: ঘঃ ৯০ মিলিয়ন।
৯ কোটি = \(৯ \times ১০ \; \text{মিলিয়ন} = ৯০ \; \text{মিলিয়ন}\)।
উত্তর: ঘঃ ৯০ মিলিয়ন।
প্রশ্নঃ একটি কলমের মূল্য একটি বইয়ের মূল্য অপেক্ষা ৭ টাকা কম, উক্ত কলম এবং বই ক্রয় করতে মোট ৪৩ টাকা প্রয়োজন হলে, কলমের মূল্য কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]
ক. ১৮
খ. ২৭
গ. ২৮
ঘ. ২৯
উত্তরঃ ১৮
ব্যাখ্যাঃ ধরি, বইয়ের মূল্য \(x\) টাকা।
তাহলে, কলমের মূল্য হবে \(x - ৭\) টাকা।
উভয়ের মূল্য মোট ৪৩ টাকা দেওয়া আছে, তাই \[ x + (x - ৭) = ৪৩ \] \[ ২x - ৭ = ৪৩ \] \[ ২x = ৪৩ + ৭ \] \[ ২x = ৫০ \] \[ x = \frac{৫০}{২} = ২৫ \] সুতরাং, বইয়ের মূল্য \(২৫\) টাকা এবং কলমের মূল্য \(২৫ - ৭ = ১৮\) টাকা।
তাহলে, কলমের মূল্য ১৮ টাকা।
তাহলে, কলমের মূল্য হবে \(x - ৭\) টাকা।
উভয়ের মূল্য মোট ৪৩ টাকা দেওয়া আছে, তাই \[ x + (x - ৭) = ৪৩ \] \[ ২x - ৭ = ৪৩ \] \[ ২x = ৪৩ + ৭ \] \[ ২x = ৫০ \] \[ x = \frac{৫০}{২} = ২৫ \] সুতরাং, বইয়ের মূল্য \(২৫\) টাকা এবং কলমের মূল্য \(২৫ - ৭ = ১৮\) টাকা।
তাহলে, কলমের মূল্য ১৮ টাকা।
প্রশ্নঃ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটি পূর্বাপেক্ষা ৬৩ বৃদ্ধি পায়। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]
ক. ৬
খ. ৭
গ. ৪
ঘ. ৫
উত্তরঃ ৭
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটির দশমিক অঙ্ক \(x\) এবং একক অঙ্ক \(y\)।
তাহলে সংখ্যাটি হবে: \(10x + y\)।
অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যা হবে: \(10y + x\)।
প্রশ্ন অনুসারে, \[ (10y + x) - (10x + y) = 63 \] \[ 10y + x - 10x - y = 63 \] \[ 9y - 9x = 63 \] \[ 9(y - x) = 63 \] \[ y - x = \frac{63}{9} = 7 \] সুতরাং, সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য হলো ৭।
তাহলে সংখ্যাটি হবে: \(10x + y\)।
অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যা হবে: \(10y + x\)।
প্রশ্ন অনুসারে, \[ (10y + x) - (10x + y) = 63 \] \[ 10y + x - 10x - y = 63 \] \[ 9y - 9x = 63 \] \[ 9(y - x) = 63 \] \[ y - x = \frac{63}{9} = 7 \] সুতরাং, সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য হলো ৭।
প্রশ্নঃ একটি তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন ৩২ কেজি এবং অর্ধেক তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন ২০ কেজি । পাত্রটির ওজন কত কেজি?
[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]
ক. ১০
খ. ১২
গ. ৬
ঘ. ৮
উত্তরঃ ৮
ব্যাখ্যাঃ ধরি, পাত্রটির ওজন \(x\) কেজি এবং তেলের সম্পূর্ণ পরিমাণের ওজন \(y\) কেজি।
তাহলে, তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন হবে: \[ x + y = ৩২ \] অর্ধেক তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন হবে: \[ x + \frac{y}{2} = ২০ \] এখন এই দুটি সমীকরণ থেকে সমাধান করি: প্রথম সমীকরণ: \[ x + y = ৩২ \quad ...(১) \] দ্বিতীয় সমীকরণ: \[ x + \frac{y}{2} = ২০ \quad ...(২) \] সমীকরণ (২) থেকে \(x\)-এর মান বের করি: \[ x = ২০ - \frac{y}{2} \quad ...(৩) \] এখন সমীকরণ (৩) -এর মান সমীকরণ (১)-এ বসাই: \[ \left(২০ - \frac{y}{2}\right) + y = ৩২ \] \[ ২০ + \frac{y}{2} = ৩২ \] \[ \frac{y}{2} = ৩২ - ২০ \] \[ \frac{y}{2} = ১২ \] \[ y = ১২ \times ২ = ২৪ \] তেলের ওজন \(y = ২৪\) কেজি। এখন \(x + y = ৩২\)-এ \(y = ২৪\) বসাই: \[ x + ২৪ = ৩২ \] \[ x = ৩২ - ২৪ = ৮ \] সুতরাং, পাত্রটির ওজন ৮ কেজি।
তাহলে, তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন হবে: \[ x + y = ৩২ \] অর্ধেক তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন হবে: \[ x + \frac{y}{2} = ২০ \] এখন এই দুটি সমীকরণ থেকে সমাধান করি: প্রথম সমীকরণ: \[ x + y = ৩২ \quad ...(১) \] দ্বিতীয় সমীকরণ: \[ x + \frac{y}{2} = ২০ \quad ...(২) \] সমীকরণ (২) থেকে \(x\)-এর মান বের করি: \[ x = ২০ - \frac{y}{2} \quad ...(৩) \] এখন সমীকরণ (৩) -এর মান সমীকরণ (১)-এ বসাই: \[ \left(২০ - \frac{y}{2}\right) + y = ৩২ \] \[ ২০ + \frac{y}{2} = ৩২ \] \[ \frac{y}{2} = ৩২ - ২০ \] \[ \frac{y}{2} = ১২ \] \[ y = ১২ \times ২ = ২৪ \] তেলের ওজন \(y = ২৪\) কেজি। এখন \(x + y = ৩২\)-এ \(y = ২৪\) বসাই: \[ x + ২৪ = ৩২ \] \[ x = ৩২ - ২৪ = ৮ \] সুতরাং, পাত্রটির ওজন ৮ কেজি।
প্রশ্নঃ শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কত জন ছাত্র গিয়েছিল?
[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]
ক. ৪৮
খ. ৫০
গ. ৬০
ঘ. ৪০
উত্তরঃ ৬০
ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রাথমিকভাবে বাসে যাওয়ার ছাত্রসংখ্যা ছিল \(x\)।
তাহলে, প্রাথমিক অবস্থায় প্রতি ছাত্রের ভাড়া হবে: \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} \] এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেয়, অর্থাৎ মোট ছাত্রসংখ্যা হলো \(x + ১০\)।
তখন, প্রতি ছাত্রের ভাড়া হয়: \[ \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} \] প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} - \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} = ৮ \] এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{{২৪০০(x + ১০) - ২৪০০x}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ \frac{{২৪০০ \times ১০}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ ২৪০০০ = ৮x(x + ১০) \] \[ ২৪০০০ = ৮(x^2 + ১০x) \] \[ x^2 + ১০x - ৩০০০ = ০ \] এটি একটি স্বাভাবিক বর্গ সমীকরণ, যা সমাধান করতে পারি: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \] এখানে, \(a = ১\), \(b = ১০\), এবং \(c = -৩০০০\)। \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০^2 - ৪(১)(-৩০০০)}}}}{{২(১)}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০০ + ১২০০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১২১০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm ১১০}}{{২}} \] দুটি মান পাওয়া যায়: \[ x = \frac{{-১০ + ১১০}}{{২}} = \frac{{১০০}}{{২}} = ৫০ \] \[ x = \frac{{-১০ - ১১০}}{{২}} = \frac{{-১২০}}{{২}} = -৬০ \; (\text{নেতিবাচক মান বাস্তবসম্মত নয়}) \] সুতরাং, প্রাথমিক ছাত্রসংখ্যা ছিল \(৫০\)।
এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেওয়ার পরে মোট ছাত্রসংখ্যা: \(৫০ + ১০ = ৬০\)।
সুতরাং, বাসে ৬০ জন ছাত্র গিয়েছিল।
তাহলে, প্রাথমিক অবস্থায় প্রতি ছাত্রের ভাড়া হবে: \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} \] এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেয়, অর্থাৎ মোট ছাত্রসংখ্যা হলো \(x + ১০\)।
তখন, প্রতি ছাত্রের ভাড়া হয়: \[ \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} \] প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} - \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} = ৮ \] এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{{২৪০০(x + ১০) - ২৪০০x}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ \frac{{২৪০০ \times ১০}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ ২৪০০০ = ৮x(x + ১০) \] \[ ২৪০০০ = ৮(x^2 + ১০x) \] \[ x^2 + ১০x - ৩০০০ = ০ \] এটি একটি স্বাভাবিক বর্গ সমীকরণ, যা সমাধান করতে পারি: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \] এখানে, \(a = ১\), \(b = ১০\), এবং \(c = -৩০০০\)। \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০^2 - ৪(১)(-৩০০০)}}}}{{২(১)}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০০ + ১২০০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১২১০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm ১১০}}{{২}} \] দুটি মান পাওয়া যায়: \[ x = \frac{{-১০ + ১১০}}{{২}} = \frac{{১০০}}{{২}} = ৫০ \] \[ x = \frac{{-১০ - ১১০}}{{২}} = \frac{{-১২০}}{{২}} = -৬০ \; (\text{নেতিবাচক মান বাস্তবসম্মত নয়}) \] সুতরাং, প্রাথমিক ছাত্রসংখ্যা ছিল \(৫০\)।
এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেওয়ার পরে মোট ছাত্রসংখ্যা: \(৫০ + ১০ = ৬০\)।
সুতরাং, বাসে ৬০ জন ছাত্র গিয়েছিল।
প্রশ্নঃ ভাজক ৭৮, ভাগফল ২৫ এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ। ভাজ্য কত?
[ প্রা.বি.স.শি. (৩য় ধাপ) 03-06-2022 ]
ক. ১৯৭৮
খ. ১৯৭০
গ. ১৯৮০
ঘ. ১৯৭৬
উত্তরঃ ১৯৭৬
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করার জন্য ভাজ্য নির্ণয় করতে হবে।
প্রদত্ত তথ্য:
- ভাজক (d) = ৭৮
- ভাগফল (q) = ২৫
- ভাগশেষ (r) = ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ = \( \frac{78}{3} = 26 \)
ভাজ্য নির্ণয়ের সূত্র: \[ ভাজ্য = (ভাজক \times ভাগফল) + ভাগশেষ \] গণনা: \[ ভাজ্য = (78 \times 25) + 26 \] \[ 78 \times 25 = 1950 \] \[ ভাজ্য = 1950 + 26 = 1976 \] সুতরাং, ভাজ্য হলো ১৯৭৬। \[ \boxed{১৯৭৬} \]
প্রদত্ত তথ্য:
- ভাজক (d) = ৭৮
- ভাগফল (q) = ২৫
- ভাগশেষ (r) = ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ = \( \frac{78}{3} = 26 \)
ভাজ্য নির্ণয়ের সূত্র: \[ ভাজ্য = (ভাজক \times ভাগফল) + ভাগশেষ \] গণনা: \[ ভাজ্য = (78 \times 25) + 26 \] \[ 78 \times 25 = 1950 \] \[ ভাজ্য = 1950 + 26 = 1976 \] সুতরাং, ভাজ্য হলো ১৯৭৬। \[ \boxed{১৯৭৬} \]
প্রশ্নঃ দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি ৯। অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে ২৭ বেশি। সংখ্যাটি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. (৩য় ধাপ) 03-06-2022 ]
ক. ৮১
খ. ৪৫
গ. ২৭
ঘ. ৩৬
উত্তরঃ ৩৬
ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য ধাপে ধাপে যেতে হবে।
ধরি,
- সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = \( x \)
- সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = \( y \)
প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী:
1. অংকদ্বয়ের সমষ্টি ৯: \[ x + y = 9 \quad \text{(1)} \] 2. অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি প্রদত্ত সংখ্যা হতে ২৭ বেশি: \[ 10x + y = 10y + x + 27 \] সমীকরণ সরলীকরণ: \[ 10x + y = 10y + x + 27 \] \[ 10x - x + y - 10y = 27 \] \[ 9x - 9y = 27 \] \[ x - y = 3 \quad \text{(2)} \] সমীকরণ (1) এবং (2) সমাধান: \[ x + y = 9 \] \[ x - y = 3 \] যোগ করে পাই: \[ 2x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] সমীকরণ (1) থেকে: \[ 6 + y = 9 \quad \Rightarrow \quad y = 3 \] সুতরাং, সংখ্যাটি হলো: \[ 10y + x = 10 \times 3 + 6 = 36 \] উত্তর: \[ \boxed{36} \]
ধরি,
- সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = \( x \)
- সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = \( y \)
প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী:
1. অংকদ্বয়ের সমষ্টি ৯: \[ x + y = 9 \quad \text{(1)} \] 2. অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি প্রদত্ত সংখ্যা হতে ২৭ বেশি: \[ 10x + y = 10y + x + 27 \] সমীকরণ সরলীকরণ: \[ 10x + y = 10y + x + 27 \] \[ 10x - x + y - 10y = 27 \] \[ 9x - 9y = 27 \] \[ x - y = 3 \quad \text{(2)} \] সমীকরণ (1) এবং (2) সমাধান: \[ x + y = 9 \] \[ x - y = 3 \] যোগ করে পাই: \[ 2x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] সমীকরণ (1) থেকে: \[ 6 + y = 9 \quad \Rightarrow \quad y = 3 \] সুতরাং, সংখ্যাটি হলো: \[ 10y + x = 10 \times 3 + 6 = 36 \] উত্তর: \[ \boxed{36} \]
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার বর্গমুলের সাথে ২০ যোগ করলে যোগফল ৫ এর বর্গ হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. (৩য় ধাপ) 03-06-2022 ]
ক. ২৫
খ. ৩০
গ. ১৮
ঘ. ২০
উত্তরঃ ২৫
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটি \(x\)।
প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী: \[ \sqrt{x} + ২০ = ৫^২ \] প্রথমে সমীকরণটি সরল করি: \[ \sqrt{x} + ২০ = ২৫ \] এখন, \(২০\) কে অন্যপাশে সরিয়ে নেই: \[ \sqrt{x} = ২৫ - ২০ \] \[ \sqrt{x} = ৫ \] এখন বর্গ করি উভয় পাশে: \[ x = ৫^২ \] \[ x = ২৫ \] উত্তর: সংখ্যাটি ২৫।
প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী: \[ \sqrt{x} + ২০ = ৫^২ \] প্রথমে সমীকরণটি সরল করি: \[ \sqrt{x} + ২০ = ২৫ \] এখন, \(২০\) কে অন্যপাশে সরিয়ে নেই: \[ \sqrt{x} = ২৫ - ২০ \] \[ \sqrt{x} = ৫ \] এখন বর্গ করি উভয় পাশে: \[ x = ৫^২ \] \[ x = ২৫ \] উত্তর: সংখ্যাটি ২৫।
প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার অর্ধেকের যোগফল ৪০। তাদের পার্থক্যের এক চতুর্থাংশ সমান ১৮। ছোট সংখ্যাটি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. (৩য় ধাপ) 03-06-2022 ]
ক. ১২
খ. ৪
গ. ৮০
ঘ. ৮৭
উত্তরঃ ৪
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যা দুটি x এবং y, যেখানে x > y
প্রথম শর্তানুসারে:
(x/২) + (y/২) = ৪০
বা, (x+y)/২ = ৪০
বা, x+y = ৮০ (১)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
(x-y)/৪ = ১৮
বা, x-y = ৭২ (২)
এখন, আমরা (১) এবং (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
২x = ১৫২
বা, x = ৭৬
x এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
৭৬ + y = ৮০
বা, y = ৪
সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি ৪।
প্রশ্নঃ ২০ ফুট লম্বা একটি বাঁশ এমনভাবে কেটে দু’ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?
[ প্রা.বি.স.শি. (৩য় ধাপ) 03-06-2022 ]
ক. ৭
খ. ৮
গ. ১০
ঘ. ৬
উত্তরঃ ৮
ব্যাখ্যাঃ ধরি, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য হলো \(x\) ফুট।
তাহলে, বড় অংশের দৈর্ঘ্য হবে \(২০ - x\) ফুট।
প্রশ্নমতে, ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ: \[ x = \frac{২}{৩} \times (২০ - x) \] এখন সমীকরণটি সরল করি: \[ x = \frac{২}{৩} \times ২০ - \frac{২}{৩} \times x \] \[ x + \frac{২}{৩}x = \frac{২}{৩} \times ২০ \] \[ \frac{৩}{৩}x + \frac{২}{৩}x = \frac{৪০}{৩} \] \[ \frac{৫}{৩}x = \frac{৪০}{৩} \] এখন \(x\)-এর মান নির্ণয় করি: \[ x = \frac{৪০}{৩} \div \frac{৫}{৩} \] \[ x = \frac{৪০}{৩} \times \frac{৩}{৫} \] \[ x = ৮ \] উত্তর: ছোট অংশের দৈর্ঘ্য ৮ ফুট।
তাহলে, বড় অংশের দৈর্ঘ্য হবে \(২০ - x\) ফুট।
প্রশ্নমতে, ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ: \[ x = \frac{২}{৩} \times (২০ - x) \] এখন সমীকরণটি সরল করি: \[ x = \frac{২}{৩} \times ২০ - \frac{২}{৩} \times x \] \[ x + \frac{২}{৩}x = \frac{২}{৩} \times ২০ \] \[ \frac{৩}{৩}x + \frac{২}{৩}x = \frac{৪০}{৩} \] \[ \frac{৫}{৩}x = \frac{৪০}{৩} \] এখন \(x\)-এর মান নির্ণয় করি: \[ x = \frac{৪০}{৩} \div \frac{৫}{৩} \] \[ x = \frac{৪০}{৩} \times \frac{৩}{৫} \] \[ x = ৮ \] উত্তর: ছোট অংশের দৈর্ঘ্য ৮ ফুট।
প্রশ্নঃ \(\frac{২×৩ × ০.৫}{ ১.৫}\) = ?
[ প্রা.বি.স.শি. (৩য় ধাপ) 03-06-2022 ]
ক. ১
খ. ৩
গ. ২
ঘ. ৪
উত্তরঃ ২
ব্যাখ্যাঃ \[ \frac{2 \times 3 \times 0.5}{1.5} \] ধাপে ধাপে সমাধান:
1. লবের গুণফল নির্ণয়: \[ 2 \times 3 = 6 \] \[ 6 \times 0.5 = 3 \] 2. হর: \[ 1.5 \] 3. লবকে হর দিয়ে ভাগ: \[ \frac{3}{1.5} = 2 \] সুতরাং, রাশিটির মান হলো: \[ \boxed{2} \]
1. লবের গুণফল নির্ণয়: \[ 2 \times 3 = 6 \] \[ 6 \times 0.5 = 3 \] 2. হর: \[ 1.5 \] 3. লবকে হর দিয়ে ভাগ: \[ \frac{3}{1.5} = 2 \] সুতরাং, রাশিটির মান হলো: \[ \boxed{2} \]
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
ক. ৯
খ. ৮
গ. ৪
ঘ. ২
উত্তরঃ ২
ব্যাখ্যাঃ
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) হলো এমন একটি সংখ্যা যা শুধুমাত্র ১ এবং নিজেই দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, এই ধরনের সংখ্যার একমাত্র গুণনীয়ক হল ১ এবং নিজেই।
২: এটি শুধুমাত্র ১ এবং নিজেই দ্বারা বিভাজ্য, তাই ২ মৌলিক সংখ্যা।
প্রশ্নঃ চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা হতে তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
ক. ৮৮৯৮
খ. ৯৮৯৯
গ. ৯৯৯৯
ঘ. ৯১৯৯
উত্তরঃ ৯৮৯৯
ব্যাখ্যাঃ
চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা হলো ৯৯৯৯ এবং তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ১০০। এখন এগুলো বিয়োগ করলে:
৯৯৯৯ - ১০০ = ৯৮৯৯
অতএব, বিয়োগফল হলো ৯৮৯৯।
প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গমূল কোনটি?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
ক. ০.০১
খ. ১
গ. ০.২
ঘ. .১
উত্তরঃ ০.০১
ব্যাখ্যাঃ
০.০১ × ০.০১ = ০.০০০১
সুতরাং ০.০০০১ এর বর্গমূল ০.০১
প্রশ্নঃ 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 | ১৫তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 6
খ. 3
গ. 4
ঘ. 5
উত্তরঃ 5
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে: \[ \log_2 32 = x \implies 2^x = 32 \] এখন, \(32\) কে \(2\)-এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করি: \[ 32 = 2^5 \] অতএব, \[ 2^x = 2^5 \] ঘাতের সমতা থেকে পাই: \[ x = 5 \] উত্তর: \[ \boxed{5} \]
প্রশ্নঃ রহিম একটি পরীক্ষায় ইংরেজি ও গণিতে মোট ১৮০ নম্বর পেয়েছে। ইংরেজি অপেক্ষা গণিতে ১৪ নম্বর বেশি পেলে গণিতে কত পেয়েছে?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
ক. ৯৭
খ. ৮৩
গ. ৮৭
ঘ. ৯৩
উত্তরঃ ৯৭
ব্যাখ্যাঃ ধরি, রহিম ইংরেজিতে পেয়েছে \( x \) নম্বর।
তাহলে গণিতে তিনি পেয়েছেন \( x + ১৪ \) নম্বর।
এখন, মোট নম্বর দেওয়া আছে \( ১৮০ \)।
সুতরাং, সমীকরণ হবে: \[ x + (x + ১৪) = ১৮০ \] \[ ২x + ১৪ = ১৮০ \] \[ ২x = ১৮০ - ১৪ \] \[ ২x = ১৬৬ \] \[ x = \frac{১৬৬}{২} = ৮৩ \] তাহলে, গণিতে রহিম পেয়েছেন: \[ x + ১৪ = ৮৩ + ১৪ = ৯৭ \] উত্তর: গণিতে রহিম পেয়েছে ৯৭ নম্বর।
তাহলে গণিতে তিনি পেয়েছেন \( x + ১৪ \) নম্বর।
এখন, মোট নম্বর দেওয়া আছে \( ১৮০ \)।
সুতরাং, সমীকরণ হবে: \[ x + (x + ১৪) = ১৮০ \] \[ ২x + ১৪ = ১৮০ \] \[ ২x = ১৮০ - ১৪ \] \[ ২x = ১৬৬ \] \[ x = \frac{১৬৬}{২} = ৮৩ \] তাহলে, গণিতে রহিম পেয়েছেন: \[ x + ১৪ = ৮৩ + ১৪ = ৯৭ \] উত্তর: গণিতে রহিম পেয়েছে ৯৭ নম্বর।
প্রশ্নঃ ভাজক ভাগফলের ১০ গুণ, ভাজক ০.৫ হলে ভাজ্য কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]
ক. ০.০২৫
খ. ০.২৫
গ. ২৫
ঘ. ২.৫
উত্তরঃ ০.০২৫
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক,
ভাজ্য = \( x \)
ভাজক = \( 0.5 \)
ভাগফল = \( \frac{x}{0.5} \)
প্রশ্ন অনুসারে,
ভাজক = ভাগফল × ১০
অর্থাৎ, \[ 0.5 = \left(\frac{x}{0.5}\right) \times 10 \] এখন, \( x \) নির্ণয় করি: \[ 0.5 = \frac{10x}{0.5} \] দুইপাশে \( 0.5 \) গুণ করলে: \[ 0.5 \times 0.5 = 10x \] \[ 0.25 = 10x \] এখন, \( x \) বের করি: \[ x = \frac{0.25}{10} = 0.025 \] সুতরাং, ভাজ্য হবে ০.০২৫।
ভাজ্য = \( x \)
ভাজক = \( 0.5 \)
ভাগফল = \( \frac{x}{0.5} \)
প্রশ্ন অনুসারে,
ভাজক = ভাগফল × ১০
অর্থাৎ, \[ 0.5 = \left(\frac{x}{0.5}\right) \times 10 \] এখন, \( x \) নির্ণয় করি: \[ 0.5 = \frac{10x}{0.5} \] দুইপাশে \( 0.5 \) গুণ করলে: \[ 0.5 \times 0.5 = 10x \] \[ 0.25 = 10x \] এখন, \( x \) বের করি: \[ x = \frac{0.25}{10} = 0.025 \] সুতরাং, ভাজ্য হবে ০.০২৫।
প্রশ্নঃ ২৪৫০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]
ক. ৩
খ. ২
গ. ৪
ঘ. ৫
উত্তরঃ ২
ব্যাখ্যাঃ পূর্ণবর্গ সংখ্যা পাওয়ার জন্য আমাদের ২৪৫০ সংখ্যাটির মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করতে হবে।
প্রথমে মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করি: \[ 2450 = 2 \times 5^2 \times 7^2 \] পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত সমান হতে হবে। এখানে 2 একক ঘাতে আছে, তাই একে পূর্ণবর্গ করতে আরও 2 দ্বারা গুণ করতে হবে।
সুতরাং, ২৪৫০ সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা গুণ করলে এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
পূর্ণবর্গ সংখ্যা: \[ 2450 \times 2 = 4900 = (70)^2 \] সুতরাং, গুণনীয়ক হবে ২।
বিকল্প নিয়ম:
২৪৫০ × ২
= ৪৯০০
= ✓৪৯০০
= ৭০
অর্থাৎ ২ দ্বারা গুণ করতে হবে ।
প্রথমে মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করি: \[ 2450 = 2 \times 5^2 \times 7^2 \] পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত সমান হতে হবে। এখানে 2 একক ঘাতে আছে, তাই একে পূর্ণবর্গ করতে আরও 2 দ্বারা গুণ করতে হবে।
সুতরাং, ২৪৫০ সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা গুণ করলে এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
পূর্ণবর্গ সংখ্যা: \[ 2450 \times 2 = 4900 = (70)^2 \] সুতরাং, গুণনীয়ক হবে ২।
বিকল্প নিয়ম:
২৪৫০ × ২
= ৪৯০০
= ✓৪৯০০
= ৭০
অর্থাৎ ২ দ্বারা গুণ করতে হবে ।
প্রশ্নঃ $$\frac{০.০০১}{০.১ \times ০.১} = ?$$
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
ক. ১.১
খ. ০.০০১
গ. ০.০১
ঘ. ০.১
উত্তরঃ ০.১
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ভগ্নাংশকে সরলীকরণ করি— \[ \frac{০.০০১}{০.১ \times ০.১} = \frac{০.০০১}{০.০১} \] এখন, ভাগ করি: \[ \frac{০.০০১}{০.০১} = ০.১ \] সুতরাং, মান হবে ০.১।
প্রশ্নঃ \(\sqrt{0.000009} = ? \)
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
ক. 0.0003
খ. 0.03
গ. 0.3
ঘ. 0.003
উত্তরঃ 0.003
ব্যাখ্যাঃ আমরা \( \sqrt{0.000009} \) নির্ণয় করতে পারি— \[ 0.000009 = 9 \times 10^{-6} \] এখন, বর্গমূল বের করি: \[ \sqrt{0.000009} = \sqrt{9 \times 10^{-6}} \] \[ = \sqrt{9} \times \sqrt{10^{-6}} \] \[ = 3 \times 10^{-3} \] \[ = 0.003 \] সুতরাং, \( \sqrt{0.000009} = 0.003 \)।
প্রশ্নঃ কোন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ৩৬৬ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
ক. ৩৫, ৪০, ৬৫, ১১০, ৩১৫
খ. ৩৫, ৪৫, ৭০, ১০৫, ৩১৫
গ. ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১১০, ৩১৫
ঘ. ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫
উত্তরঃ ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, যদি কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা \( n \) দ্বারা ৩৬৬ ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে ৩১, তাহলে সেই সংখ্যা অবশ্যই ৩৬৬ - ৩১ = ৩৩৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
এখন, দেওয়া অপশনগুলোর সংখ্যা বিশ্লেষণ করি এবং ৩৩৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো চিহ্নিত করি।
৩৩৫-এর গুণনীয়ক: \[ 335 = 5 \times 67 \] অর্থাৎ, \( 335 \) শুধুমাত্র ৫ এবং ৬৭ দ্বারা বিভাজ্য।
এখন, দেওয়া অপশনগুলোর সংখ্যা বিশ্লেষণ করি এবং ৩৩৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো চিহ্নিত করি।
৩৩৫-এর গুণনীয়ক: \[ 335 = 5 \times 67 \] অর্থাৎ, \( 335 \) শুধুমাত্র ৫ এবং ৬৭ দ্বারা বিভাজ্য।
প্রশ্নঃ ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ , তাদের সমষ্টি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
ক. ১৩০
খ. ১০৭
গ. ১১৩
ঘ. ১৪৬
উত্তরঃ ১০৭
ব্যাখ্যাঃ আমি এখানে ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯, সেগুলোকে চিহ্নিত করব এবং তাদের সমষ্টি নির্ণয় করব:
যে সকল সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ হয়:
১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯
এখন, এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করি:
সুতরাং, ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯, তারা হলো: ১৯, ২৯, ৫৯।
তাদের সমষ্টি:
$১৯ + ২৯ + ৫৯ = ১০৭$
উত্তর: তাদের সমষ্টি ১০৭।
যে সকল সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ হয়:
১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯
এখন, এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করি:
- ১৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ১৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
- ২৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ২৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
- ৩৯: এটি মৌলিক সংখ্যা নয় ($3 \times 13 = 39$)।
- ৪৯: এটি মৌলিক সংখ্যা নয় ($7 \times 7 = 49$)।
- ৫৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ৫৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
সুতরাং, ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯, তারা হলো: ১৯, ২৯, ৫৯।
তাদের সমষ্টি:
$১৯ + ২৯ + ৫৯ = ১০৭$
উত্তর: তাদের সমষ্টি ১০৭।
প্রশ্নঃ ০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল -
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
ক. ২৯৯০
খ. ২১৮৭
গ. ২২৮৭
ঘ. ৩১৪৫
উত্তরঃ ২১৮৭
ব্যাখ্যাঃ ৪ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি তৈরি করতে, প্রদত্ত অঙ্কগুলো (০, ১, ২, ৩) ব্যবহার করে সবচেয়ে বড় অঙ্ক থেকে ছোট অঙ্ক ক্রমানুসারে সাজাতে হবে:
৩, ২, ১, ০
সুতরাং, বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৩২১০
৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি তৈরি করতে, সবচেয়ে ছোট অঙ্ক থেকে বড় অঙ্ক ক্রমানুসারে সাজাতে হবে। তবে, ০ কে প্রথমে বসালে সেটি ৪ অঙ্কের সংখ্যা হবে না (যেমন: ০১২৩ মানে ১২৩)। তাই, ০ বাদে সবচেয়ে ছোট অঙ্কটি প্রথমে বসাতে হবে, তারপর ০ এবং বাকি অঙ্কগুলো ক্রমানুসারে সাজাতে হবে।
১, ০, ২, ৩
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১০২৩
এবার, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল নির্ণয় করি:
$৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$
উত্তর: ০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত ৪ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল হলো ২১৮৭।
৩, ২, ১, ০
সুতরাং, বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৩২১০
৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি তৈরি করতে, সবচেয়ে ছোট অঙ্ক থেকে বড় অঙ্ক ক্রমানুসারে সাজাতে হবে। তবে, ০ কে প্রথমে বসালে সেটি ৪ অঙ্কের সংখ্যা হবে না (যেমন: ০১২৩ মানে ১২৩)। তাই, ০ বাদে সবচেয়ে ছোট অঙ্কটি প্রথমে বসাতে হবে, তারপর ০ এবং বাকি অঙ্কগুলো ক্রমানুসারে সাজাতে হবে।
১, ০, ২, ৩
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১০২৩
এবার, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল নির্ণয় করি:
$৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$
উত্তর: ০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত ৪ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল হলো ২১৮৭।
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 1.111....
খ. 1.1010101....
গ. 1.1001001001...
ঘ. 1.1010010001...
উত্তরঃ 1.1010010001...
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $\pi$
খ. $\sqrt{2}$
গ. $\sqrt{11}$
ঘ. সবগুলো
উত্তরঃ সবগুলো
প্রশ্নঃ ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?
[ ১৩তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. ২৫
খ. ২৬
গ. ২৭
ঘ. ২৯
উত্তরঃ ২৫
প্রশ্নঃ ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি রয়েছে?
[ ১২তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. ২৬
খ. ২০
গ. ২৫
ঘ. ১৮
উত্তরঃ ২৫
প্রশ্নঃ ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?
[ ১১তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. ৭০
খ. ৬৭
গ. ৮০
ঘ. ৭৭
উত্তরঃ ৭০
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত?
[ ১১তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. -1
খ. 1
গ. 2
ঘ. $\frac{1}{2}$
উত্তরঃ 1
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
[ ১১তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $\sqrt[3]{6}$
খ. $\sqrt{6}$
গ. $\sqrt{2}$
ঘ. $\sqrt[3]{8}$
উত্তরঃ $\sqrt[3]{8}$
প্রশ্নঃ দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৫ এবং বিয়োগফল ১৩, ছোট সংখ্যাটি কত?
[ ১১ তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. ১
খ. ২
গ. ৪
ঘ. ১৪
উত্তরঃ ১
প্রশ্নঃ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
[ ১১ তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) | প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ২৮-০৮-২০১৫ ]
ক. ১০০
খ. ৭০
গ. ৮০
ঘ. ৯০
উত্তরঃ ১০০
প্রশ্নঃ ছয়টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার প্রথম তিনটির যোগফল ২৭ হলে, শেষ তিনটির যোগফল
[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. ৩৬
খ. ৩৩
গ. ৩২
ঘ. ৩০
উত্তরঃ ৩৬
প্রশ্নঃ ১ মাইল = কত কিলোমিটার?
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. ১.৬০৯ কি.মি.
খ. ৪০.৬২ কি.মি.
গ. ১ কি.মি.
ঘ. ১.১ কি.মি.
উত্তরঃ ১.৬০৯ কি.মি.
প্রশ্নঃ $$ \sqrt{289} $$ এর বর্গমূল হলো-
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. মূলদ
খ. অমূলদ
গ. স্বাভাবিক সংখ্যা
ঘ. পূর্ণসংখ্যা
উত্তরঃ অমূলদ
প্রশ্নঃ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 199 হলে বড় সংখ্যাটি কত?
[ ৯ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 70
খ. 80
গ. 90
ঘ. 100
উত্তরঃ 100
প্রশ্নঃ $$\sqrt{3}$$ সংখ্যাটি কোন ধরনের সংখ্যা?
[ ৯ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. স্বাভাবিক সংখ্যা
খ. পূর্ণ সংখ্যা
গ. মূলদ সংখ্যা
ঘ. অমূলদ সংখ্যা
উত্তরঃ অমূলদ সংখ্যা
প্রশ্নঃ $$ 0.3\times0.3\times\div2= $$ কত?
[ ৮ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 0.6
খ. 11
গ. 2
ঘ. 0.45
উত্তরঃ 0.45
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
[ ৭ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $\sqrt[3]{8}$
খ. $\sqrt{2}$
গ. $\sqrt[3]{7}$
ঘ. $\frac{\sqrt{5}}{4}$
উত্তরঃ $\sqrt[3]{8}$
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
[ ৬ষ্ঠ শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $\sqrt{\frac{১৬}{৯}}$
খ. $\sqrt{\frac{৪}{২}}$
গ. $\sqrt{৪৯}$
ঘ. $\sqrt{\frac{৬৪}{২৬}}$
উত্তরঃ $\sqrt{\frac{৬৪}{২৬}}$
প্রশ্নঃ $(০.০০৪)^২ = $কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১২-১০-২০১২ ]
ক. ০.০০১৬
খ. ০.০০০০১৬
গ. ০.০০০১৬
ঘ. ০.১৬
উত্তরঃ ০.০০০০১৬
প্রশ্নঃ নিম্নোক্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?
[ প্রা. প্র. শি. নি.০৭-১০-২০১২ ]
ক. $\frac{৩}{৪}$
খ. $\frac{৫}{৬}$
গ. $\frac{৭}{৯}$
ঘ. $\frac{১১}{১৮}$
উত্তরঃ $\frac{১১}{১৮}$
প্রশ্নঃ ১২.৫ এর ৫% কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি.০৭-১০-২০১২ ]
ক. ০.৬২৫
খ. ০.০০৮
গ. ০.০০০০৮
ঘ. ০.০০০০০০৮
উত্তরঃ ০.৬২৫
প্রশ্নঃ কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে 6 যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে 21 বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১২-০৯-২০০৯ ]
ক. $18$
খ. $20$
গ. $22$
ঘ. $24$
উত্তরঃ $18$
প্রশ্নঃ ১ থেকে ২০ পর্যন্ত বেজোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১১-০৯-২০০৯ ]
ক. ১৩
খ. ১২
গ. ১০
ঘ. ৮
উত্তরঃ ১০
প্রশ্নঃ ২০৫৭৩.৪ মিলিগ্রামে কত কিলোগ্রাম?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১১-০৯-২০০৯ ]
ক. ২.০৫৭৩৪
খ. ০.২০৫৭৩৪
গ. ০.০২০৫৭৩৪
ঘ. ২০.৫৭৩৪০০
উত্তরঃ ০.০২০৫৭৩৪
প্রশ্নঃ ১ বর্গমিটার কত বর্গ সেন্টিমিটারের সমান?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১১-০৯-২০০৯ ]
ক. ১০০
খ. ১০,০০০
গ. ১,০০০
ঘ. ১০
উত্তরঃ ১০,০০০
প্রশ্নঃ নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১০-০৯-২০০৯ ]
ক. $\frac{২}{৫}$
খ. $\frac{৩}{৭}$
গ. $\frac{৪}{৯}$
ঘ. $\frac{৫}{১১}$
উত্তরঃ $\frac{৫}{১১}$
প্রশ্নঃ $$\frac{০.১ \times ০.০৩ \times ০.০০৪}{০.০১ \times ০.০৬}$$ এর মান কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১০-০৯-২০০৯ ]
ক. ০.২
খ. ০.০২
গ. ০.০০২
ঘ. ০.০০০২
উত্তরঃ ০.০২
প্রশ্নঃ $$\frac{০.২ \times ০.০২ \times ০.০০২}{০.১ \times ০.০৪}$$ এর মান কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ০৯-০৯-২০০৯ ]
ক. ০.১
খ. ০.২
গ. ০.০২
ঘ. ০.০০২
উত্তরঃ ০.০০২
প্রশ্নঃ ১ মিলিমিটার ১ কিলোমিটারের কত অংশ?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ০৮-০৯-২০০৯ ]
ক. $\frac{১}{১০০০}$
খ. $\frac{১}{১০০০০০০}$
গ. $\frac{১}{১০০০০০}$
ঘ. $\frac{১}{১০০০০}$
উত্তরঃ $\frac{১}{১০০০০০০}$
প্রশ্নঃ দুইটি সংখ্যার অর্ধেকের যোগফল ৫১। তাদের পার্থক্যের এক-চতুর্থাংশ সমান ১৩। বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
ক. ২৫
খ. ২৬
গ. ৫২
ঘ. ৭৭
উত্তরঃ ৭৭
প্রশ্নঃ তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
ক. ১০
খ. ১৫
গ. ২০
ঘ. ২৪
উত্তরঃ ১৫
প্রশ্নঃ কোন সম্পত্তির ০.৮৭৫ অংশের মূল্য ৯২১২ টাকা হলে ০.৭৫ অংশের মূল্য কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
ক. ৭৮৯৬ টাকা
খ. ৭৯৯৬ টাকা
গ. ৮৯৬৯ টাকা
ঘ. ৮৯৯৬ টাকা
উত্তরঃ ৭৮৯৬ টাকা
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
ক. ৯
খ. ৪
গ. ৩৬
ঘ. ২৫
উত্তরঃ ৩৬
প্রশ্নঃ (i) দুইটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যার গুণফল অমূলদ সংখ্যা
(ii) ০ একটি অমূলদ সংখ্যা
(iii) যে সকল পূর্ণসংখ্যা পূর্ণবর্গসংখ্যা নয়, সেগুলোর বর্গমূল অমূলদ।
উপরের তথ্যের ভিত্তিতে কোনটি সঠিক?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
ক. i, ii
খ. i, iii
গ. ii, iii
ঘ. i, ii, iii
উত্তরঃ i, iii
প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গমূল কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৭-০১-২০১১ ]
ক. ০.০১
খ. ০.০০১
গ. ০.১
ঘ. কোনটিই নয়
উত্তরঃ ০.০১
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগে করলে যোগফল ৪-এর বর্গ হবে?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৭-০১-২০১১ ]
ক. ১৬
খ. ২৫
গ. ৯
ঘ. ৩৬
উত্তরঃ ৩৬
প্রশ্নঃ ২ এবং ৩২ - এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৭-০১-২০১১ ]
ক. ১১ টি
খ. ৯টি
গ. ৮টি
ঘ. ১০ টি
উত্তরঃ ১০ টি
প্রশ্নঃ কোন বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার ____ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্র ভাগশেষ ১ হবে?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ২০-০৫-২০০১ ]
ক. দ্বিগুণ
খ. তিনগুণ
গ. বর্গ
ঘ. ঘন
উত্তরঃ বর্গ
প্রশ্নঃ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা সর্বমোট কতটি?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৬-২০১৯ ]
ক. ২৫
খ. ২০
গ. ২২
ঘ. ২৩
উত্তরঃ ২৫
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা ৭৪২ থেকে যত বড় ৮৩০ থেকে তত ছোট, সংখ্যাটি কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৬-২০১৯ ]
ক. ৭৮৮
খ. ৭৮৭
গ. ৭৮৫
ঘ. ৭৮৬
উত্তরঃ ৭৮৬
প্রশ্নঃ কমপক্ষে যতগুলো ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে তার গুণফল অবশ্যই ৫০৪০ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৬-২০১৯ ]
ক. ৯টি
খ. ৮টি
গ. ৭ টি
ঘ. ৬টি
উত্তরঃ ৬টি
প্রশ্নঃ দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৭। সংখ্যা দুটি কি কি?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৫-২০১৯ ]
ক. ১৮, ১৯
খ. ৪২০, ২১
গ. ১২, ১৩
ঘ. ১৫, ১৬
উত্তরঃ ১৮, ১৯
প্রশ্নঃ ৬৫৫৮ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৬-০৫-২০১৮ ]
ক. ০
খ. ২
গ. ৩
ঘ. -৩
উত্তরঃ ৩
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪-ওর বর্গ হবে।
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ১১-০৫-২০১৮ ]
ক. ২৫
খ. ৩৬
গ. ৪৯
ঘ. ১৬
উত্তরঃ ৩৬
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা ৬৫০ থেকে যত বড় ৮২০ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ২৯-১০-২০১৬ ]
ক. ৮০০
খ. ৭৮০
গ. ৭৩০
ঘ. ৭৩৫
উত্তরঃ ৭৩৫
প্রশ্নঃ কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ২৯-১০-২০১৬ ]
ক. $\frac{5}{27}$
খ. $\frac{7}{36}$
গ. $\frac{11}{56}$
ঘ. $\frac{2}{9}$
উত্তরঃ $\frac{5}{27}$
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ২০ যোগ করলে ৫-এর বর্গ হবে?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১৬-১০-২০১৫ ]
ক. ৩৬
খ. ৪৯
গ. ২৫
ঘ. ১৬
উত্তরঃ ২৫
প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার যোগফল ১৭ এবং গুণফল ৭২। ছোট সংখ্যাটি কত?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১৬-১০-২০১৫ ]
ক. ৯
খ. ৮
গ. ৬
ঘ. কোনটিই নয়
উত্তরঃ ৮
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১৬-১০-২০১৫ ]
ক. ৭২
খ. কোনোটিই নয়
গ. ৮৭
ঘ. ৬৩
উত্তরঃ কোনোটিই নয়
প্রশ্নঃ ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এই দুটি সংখ্যাসহ) কয়টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ২০-০৪-২০১৪ ]
ক. ২৪
খ. ২৩
গ. ২২
ঘ. ২১
উত্তরঃ ২২
প্রশ্নঃ $$\frac{০.০০১}{০.১ × ০.১} = $$ কত?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১৮-০৪-২০১৪ ]
ক. ০.০০১
খ. ০.০১
গ. ০.১
ঘ. ১.০
উত্তরঃ ০.১
প্রশ্নঃ ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ০৮-১১-২০১৩ ]
ক. ৮টি
খ. ৯টি
গ. ১০টি
ঘ. ১১টি
উত্তরঃ ১১টি
প্রশ্নঃ $০.০১ × ০.০২ = কত?$
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১২-০৪-২০১৩ ]
ক. ০.০০২
খ. ০,০০০২
গ. ০.০০০০২
ঘ. ০.০২
উত্তরঃ ০,০০০২
প্রশ্নঃ $(০.০০২)^২ =$ কত?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১১-০৪-২০১৩ ]
ক. ০.০০৪
খ. ০.০০০০৪
গ. ০.০০০০৪
ঘ. ০.০০০০০৪
উত্তরঃ ০.০০০০০৪
প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গ মূল কত?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১০-০৪-২০১৩ ]
ক. ০.১
খ. ০.০১
গ. ০.০০১
ঘ. ১
উত্তরঃ ০.০১
প্রশ্নঃ $(০.০১)^২$ - এর মান কোন ভগ্নাংশটির সমান?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৩-০৬-২০১৯ | প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ০৯-০৪-২০১৩ | প্রা. বি. স. শি. নি. ২৯-১০-২০০৮ ]
ক. $\frac{১}{১০}$
খ. $\frac{১}{১০০}$
গ. $\frac{১}{১০০০}$
ঘ. $\frac{১}{১০০০০}$
উত্তরঃ $\frac{১}{১০০০০}$
প্রশ্নঃ $\frac{০.১ \times ০.০২ \times ০.০০২}{০.০১ \times ০.০৪} \text{ এর মান কত?}$
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৯-০২-২০১২ ]
ক. ০.০১
খ. ০.১
গ. ০.০০১
ঘ. ০.০০৪
উত্তরঃ ০.০১
প্রশ্নঃ $ \frac{০.১ \times ০.০১ \times ০.০০৪}{০.০২ \times ০.০০২} \text{ এর মান কত?}$
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৮-০২-২০১২ ]
ক. ০.১
খ. ০.০১
গ. ০.০২
ঘ. ০.০০০১
উত্তরঃ ০.১
প্রশ্নঃ ৯১, ১০১, ১১৭ এবং ১২৩ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কোনটি?
[ ১৭তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
ক. ৯১
খ. ১০১
গ. ১১৭
ঘ. ১২৩
উত্তরঃ ১০১
প্রশ্নঃ নিচের কোন সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৬-০৯-২০০৭ ]
ক. ১৪৩
খ. ৯১
গ. ৪৭
ঘ. ৮৭
উত্তরঃ ৪৭
প্রশ্নঃ ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৩-০৯-২০০৭ ]
ক. ১১
খ. ১০
গ. ৯
ঘ. ৮
উত্তরঃ ১০
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০২-০৯-২০০৭ | প্রা. বি. স. শি. নি. ০১-১২-২০০৬ ]
ক. ১৪৪
খ. ১৪১
গ. ১৪৭
ঘ. ২৮৫
উত্তরঃ ১৪১
প্রশ্নঃ $(-1)×(-1)×(-1)+(-1)×(-1)=?$
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০২-০৯-২০০৭ ]
ক. 0
খ. 1
গ. 2
ঘ. 4
উত্তরঃ 0
প্রশ্নঃ ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২১-০৮-২০০৫ ]
ক. ১১টি
খ. ৮টি
গ. ১০টি
ঘ. ৯টি
উত্তরঃ ১০টি
প্রশ্নঃ ৬৫৫৮ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৬-০৫-২০০১ ]
ক. ৩
খ. ৪২
গ. -৩
ঘ. ১২
উত্তরঃ ৩
প্রশ্নঃ ৮৮, ৯১, ৯৫ এবং ৯৯ সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোন সংখ্যাটির সর্বোচ্চ সংখ্যক উৎপাদক রয়েছে?
[ ১৬তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
ক. ৮৮
খ. ৯১
গ. ৯৫
ঘ. ৯৯
উত্তরঃ ৮৮
প্রশ্নঃ নিচের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২০২৬ ]
ক. $\sqrt{০.৩}$
খ. ০.২
গ. ০.০৩
ঘ. $\sqrt{০.২}$
উত্তরঃ $\sqrt{০.৩}$
প্রশ্নঃ ০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ০৫ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল কত হবে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২০২৬ ]
ক. ৫৩৪৪৪
খ. ৫৩২৪৪
গ. ৫৩৪৪২
ঘ. ৫৩৪৪৬
উত্তরঃ ৫৩৪৪২