ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি অনুযায়ী:

• মূলধন (P) = ১০,০০০ টাকা
  
• বার্ষিক সুদের হার (r) = ২০%
  
• সময় (t) = ২ বছর
  
• চক্রের সংখ্যা প্রতি বছর (n) = ২ (কারণ অর্ধবার্ষিক চক্র)
  

চক্রবৃদ্ধি মূলধনের সূত্র:

$$A=P{(1+\frac{r}{100n})}^{nt}$$

এখন বসাই:

$$A=10000{(1+\frac{20}{100\times 2})}^{2\times 2}=10000{(1+\frac{1}{10})}^4=10000\times (1.1{)}^4$$

এখন লক্ষ্য করি:

$$1.1=\frac{11}{10}\Rightarrow (1.1{)}^4={\left(\frac{11}{10}\right)}^4=\frac{{11}^4}{{10}^4}$$

অতএব,

$$A=10000\times \frac{{11}^4}{{10}^4}=\frac{10000\times {11}^4}{{10}^4}=\frac{{10}^4\times {11}^4}{{10}^4}={11}^4$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র ব্যবহার করব:

$$A=P{(1+\frac{r}{100})}^t$$

যেখানে,

• $A$ = চক্রবৃদ্ধি মূলধন (Compound amount)
  
• $P$ = মূলধন
  
• $r$ = মুনাফার হার
  
• $t$ = সময় (বছরে)
  

এখন মান বসিয়ে হিসাব করি:

$$A=800{(1+\frac{10}{100})}^2=800{\left(1.10\right)}^2=800\times 1.21=968$$

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, আসল $(P)=450$ টাকা।
বার্ষিক সুদের হার $(r)=৬\mathrm{\%}$।
সুদে-আসলে $(A)=৫৫৮$ টাকা।
সুতরাং, সুদ $(I)=A-P=৫৫৮-৪৫০=১০৮$ টাকা।

আমরা জানি, সরল সুদের ক্ষেত্রে, সুদ $(I)=\frac{P\times r\times t}{100}$, যেখানে $t$ হলো বছর সংখ্যা।

এখন, আমরা $t$-এর মান বের করব:
$১০৮=\frac{৪৫০\times ৬\times t}{১০০}$
$১০৮=\frac{২৭০০\times t}{১০০}$
$১০৮=২৭\times t$
$t=\frac{১০৮}{২৭}$
$t=৪$

সুতরাং, ৪ বছরে সুদে-আসলে ৫৫৮ টাকা হবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
আসল, $P=1000$ টাকা
মুনাফার হার, $r=10\mathrm{\%}=\frac{10}{100}=0.10$
সময়, $n=2$ বছর

সরল মুনাফা (Simple Interest, $I_S$):
$I_S=\frac{P\times n\times r}{100}$ (যদি $r$ শতকরা হারে থাকে)
অথবা, $I_S=P\times n\times r$ (যদি $r$ দশমিকে থাকে)
$I_S=1000\times 2\times 0.10$
$I_S=200$ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (Compound Interest, $I_C$):
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, $A=P(1+r{)}^n$
$A=1000(1+0.10{)}^2$
$A=1000(1.10{)}^2$
$A=1000\times 1.21$
$A=1210$ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, $I_C=A-P$
$I_C=1210-1000$
$I_C=210$ টাকা

মুনাফার পার্থক্য:
পার্থক্য = চক্রবৃদ্ধি মুনাফা - সরল মুনাফা
পার্থক্য = $I_C-I_S$
পার্থক্য = $210-200$
পার্থক্য = $10$ টাকা

সুতরাং, সরল ও চক্রবৃদ্ধির মুনাফার পার্থক্য হলো $10$ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, আসল (Principal) = $P$ টাকা।
মুনাফা-আসল (Amount) = $5500$ টাকা।
সময় (Time) = $3$ বছর।

দেওয়া আছে, মুনাফা আসলের $\frac{3}{8}$ অংশ।
অর্থাৎ, মুনাফা (Interest) $I=P\times \frac{3}{8}$।

আমরা জানি, মুনাফা-আসল = আসল + মুনাফা
$5500=P+P\times \frac{3}{8}$
$5500=P(1+\frac{3}{8})$
$5500=P(\frac{8+3}{8})$
$5500=P\times \frac{11}{8}$
$P=5500\times \frac{8}{11}$
$P=500\times 8$
$P=4000$ টাকা।

তাহলে আসল হলো $4000$ টাকা।

এখন, মুনাফা নির্ণয় করি:
মুনাফা $I=5500-P=5500-4000=1500$ টাকা।
অথবা, $I=P\times \frac{3}{8}=4000\times \frac{3}{8}=500\times 3=1500$ টাকা।

এখন আমাদের মুনাফার হার (Rate of Interest) $R$ নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, $I=\frac{PRT}{100}$
এখানে, $I=1500$, $P=4000$, $T=3$ বছর।

$1500=\frac{4000\times R\times 3}{100}$
$1500=40\times R\times 3$
$1500=120R$
$R=\frac{1500}{120}$
$R=\frac{150}{12}$
$R=\frac{25}{2}$
$R=12.5\mathrm{\%}$

সুতরাং, মুনাফার হার হলো $12.5\mathrm{\%}$।

ব্যাখ্যাঃ সরল সুদ নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$\text{সুদ}=\frac{P\times r\times t}{100}$$ যেখানে: - $P$ = মূলধন = ১০,০০০ টাকা - $r$ = সুদের হার = ৬% - $t$ = সময় = ৯ মাস = $\frac{9}{12}$ বছর = $\frac{3}{4}$ বছর এখন মানগুলি বসালে: $$\text{সুদ}=\frac{10,000\times 6\times \frac{3}{4}}{100}$$ $$\text{সুদ}=\frac{10,000\times 6\times 3}{100\times 4}$$ $$\text{সুদ}=\frac{180,000}{400}$$ $$\text{সুদ}=450$$ ### উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 450\text{ টাকা}}}$$

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করতে আমরা সরল সুদের সূত্র ব্যবহার করব। সরল সুদের সূত্র হলো: $$\text{সুদ}=\frac{P\times r\times t}{100}$$ যেখানে: - $P$ = মূলধন (যে টাকা বিনিয়োগ করা হবে) - $r$ = বার্ষিক সুদের হার - $t$ = সময় (বছরে) প্রদত্ত তথ্য: - সুদের হার ($r$) = $4\frac{1}{2}\mathrm{\%}=\frac{9}{2}\mathrm{\%}$ - সময় ($t$) = 4 বছর - সুদ-আসল (মূলধন + সুদ) = ৮২৬ টাকা আমরা জানি, সুদ-আসল = মূলধন + সুদ। তাই: $$826=P+\frac{P\times \frac{9}{2}\times 4}{100}$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করা যাক: $$826=P+\frac{P\times 18}{100}$$ $$826=P(1+\frac{18}{100})$$ $$826=P\times \frac{118}{100}$$ $$P=\frac{826\times 100}{118}$$ $$P=\frac{82600}{118}$$ $$P=700$$ উত্তর: ৭০০ টাকা বিনিয়োগ করলে ৪ বছরে তা ৮২৬ টাকা হবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, বার্ষিক সুদের হার হলো $r$%।

৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ হলো: $$\frac{৫০০\times r\times ৪}{১০০}=২০r$$ ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ হলো: $$\frac{৬০০\times r\times ৫}{১০০}=৩০r$$ এই দুইটি সুদের যোগফল হলো: $$২০r+৩০r=৫০r$$ প্রশ্নে দেওয়া অনুযায়ী, এই দুইটি সুদের যোগফল ৫০০ টাকা: $$৫০r=৫০০$$ $$r=\frac{৫০০}{৫০}$$ $$r=১০$$ অতএব, বার্ষিক সুদের হার হলো ১০%।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সরল সুদের সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করতে পারি। সরল সুদের সূত্র হলো: $$A=P(1+\frac{r\cdot t}{100})$$ এখানে, $A$ = সুদে-আসলে মোট টাকা (৫০,০০০ টাকা) $P$ = মূলধন $r$ = সুদের হার (৫%) $t$ = সময়কাল (২০ বছর)

সূত্র অনুযায়ী, $$৫০,০০০=P(1+\frac{৫\times ২০}{১০০})$$ $$৫০,০০০=P(1+\frac{১০০}{১০০})$$ $$৫০,০০০=P(1+1)$$ $$৫০,০০০=P\left(2\right)$$ $$P=\frac{৫০,০০০}{2}$$ $$P=২৫,০০০$$ অতএব, মূলধন ছিল ২৫,০০০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, মূলধন $P$ টাকা এবং সরল সুদের হার শতকরা $r$।

আমাদের দেওয়া আছে যে ৮ বছরে সুদে এবং আসলে মূলধনের তিনগুণ হবে, অর্থাৎ: $$P+P\times \frac{r\times 8}{100}=3P$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করি: $$P(1+\frac{r\times 8}{100})=3P$$ $$1+\frac{r\times 8}{100}=3$$ $$\frac{r\times 8}{100}=3-1$$ $$\frac{r\times 8}{100}=2$$ $$r\times 8=2\times 100$$ $$r\times 8=200$$ $$r=\frac{200}{8}$$ $$r=25$$ অতএব, সরল সুদের হার শতকরা ২৫ টাকা হলে যে কোনো মূলধন ৮ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে।

ব্যাখ্যাঃ সরল সুদের সূত্র হলো:
$$\text{সুদ}=\frac{P\cdot R\cdot T}{100}$$
যেখানে:
$P=$ মূলধন = ১০,০০০ টাকা
$R=$ বার্ষিক হার = ৬%
$T=$ সময় = $\frac{৯}{১২}=০.৭৫$ বছর (কারণ ৯ মাস = ০.৭৫ বছর)

এখন মান বসিয়ে পাই:
$$\text{সুদ}=\frac{10000\cdot 6\cdot 0.75}{100}$$ $$\text{সুদ}=\frac{45000}{100}=450$$
উত্তর: সুদ হবে ৪৫০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সরল সুদের সূত্র ব্যবহার করব: $$\text{সুদ}=\frac{P\cdot R\cdot T}{100}$$ যেখানে: $P=$ মূলধন = $10,000$ টাকা $R=$ বার্ষিক মুনাফার হার = $12$% $T=$ সময় (যা আমরা বের করব) $\text{সুদ}=4800$ এখন সূত্রে মান বসাই: $$4800=\frac{10000\cdot 12\cdot T}{100}$$ সরল করি: $$4800=1200\cdot T$$ $$T=\frac{4800}{1200}=4$$ উত্তর: মুনাফা ৪৮০০ টাকা হতে $4$ বছর সময় লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা সরল সুদ এবং চক্রবৃদ্ধি সুদ বিবেচনা করতে পারি। আপনি যদি সরল সুদ নিয়ে প্রশ্ন করেন, তাহলে এটি সমাধান হবে:

সরল সুদের সূত্র: $$S=\frac{P\times R\times T}{100}$$ যেখানে:
$S$ = সুদের পরিমাণ
$P$ = আসল অর্থ
$R$ = সুদের হার (% এ)
$T$ = সময় (বছর)

এক্ষেত্রে, সুদে আসল দ্বিগুণ হতে হবে। অর্থাৎ,
$S=P$
তাহলে সূত্র হবে: $$P=\frac{P\times R\times T}{100}$$ $$1=\frac{R\times T}{100}$$ $R=5$ বসিয়ে দিলে: $$1=\frac{5\times T}{100}$$ $$T=\frac{100}{5}=20\text{বছর}$$ সুতরাং, সরল সুদে আসল দ্বিগুণ হতে ২০ বছর লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি সমাধানে সরল সুদের সূত্র ব্যবহার করব। সরল সুদের সূত্রটি হলো: $$S=\frac{P\times R\times T}{100}$$ এখানে:
$S$ = মুনাফার পরিমাণ
$P$ = আসল টাকার পরিমাণ
$R$ = বার্ষিক সুদের হার (যা আমরা খুঁজছি)
$T$ = সময় (বছর)

দেওয়া তথ্য:
- আসল টাকা ($P$) = ৩,০০,০০০ টাকা
- মুনাফা ($S$) = আসল টাকার $১\frac{১}{৪}$ অংশ অর্থাৎ, $$S=P\times \frac{৫}{৪}=৩,০০,০০০\times \frac{৫}{৪}=৩,৭৫,০০০\text{টাকা}$$ - সময় ($T$) = $৭\frac{১}{২}$ বছর = $৭.৫$ বছর

এখন সূত্রে $S,P$, এবং $T$ বসাই: $$৩,৭৫,০০০=\frac{৩,০০,০০০\times R\times ৭.৫}{১০০}$$ $$R=\frac{৩,৭৫,০০০\times ১০০}{৩,০০,০০০\times ৭.৫}$$ $$R=\frac{৩৭,৫,০০,০০০}{২২,৫০,০০০}$$ $$=১৬\frac{২}{৩}\text{\%}$$ অতএব, বার্ষিক সুদের হার $১৬\frac{২}{৩}$%।

ব্যাখ্যাঃ চক্রবৃদ্ধি মূলধনের সূত্র: $$A=P{(1+\frac{r}{100})}^n$$ এখানে:
- $A$ = চক্রবৃদ্ধি মূলধন
- $P$ = মূল টাকা (২০০০ টাকা)
- $r$ = বার্ষিক সুদের হার (১০%)
- $n$ = সময়কাল (২ বছর)

ধাপে ধাপে সমাধান:
১. সূত্রে মান বসাই: $$A=2000{(1+\frac{10}{100})}^2$$ ২. ভগ্নাংশ সরলীকরণ: $$A=2000{(1+0.1)}^2$$ ৩. বন্ধনীর ভিতরের হিসাব: $$A=2000\times (1.1{)}^2$$ ৪. $(1.1{)}^2$ এর মান: $${1.1}^2=1.21$$ ৫. গুণফল বের করি: $$A=2000\times 1.21=2420$$ উত্তর: চক্রবৃদ্ধি মূলধন হলো ২,৪২০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে ৮% সরল মুনাফায় ৬,০০০ টাকা বিনিয়োগে ৫ বছরে যে মুনাফা হবে, সেটি নির্ণয় করি।

সরল মুনাফার সূত্র: $$M=\frac{P\times R\times T}{100}$$ যেখানে, $P=6000$ টাকা,
$R=8\mathrm{\%}$,
$T=5$ বছর। $$M=\frac{6000\times 8\times 5}{100}$$ $$=\frac{240000}{100}=2400$$ এখন, এই ২,৪০০ টাকা মুনাফা পেতে হলে ১০,০০০ টাকা বিনিয়োগে ৩ বছরে সরল হার $R$ কত হবে?

আমরা আবার সরল মুনাফার সূত্র প্রয়োগ করি: $$2400=\frac{10000\times R\times 3}{100}$$ $$2400\times 100=10000\times R\times 3$$ $$240000=30000R$$ $$R=\frac{240000}{30000}=8\mathrm{\%}$$ সুতরাং, সরল মুনাফার হার ৮% বা ০.০৮

ব্যাখ্যাঃ ধরি, মূলধন = $P$ টাকা
সুদের হার = $r\mathrm{\%}$ বার্ষিক
সময় = $t=10$ বছর
সুদে মূলে তিনগুণ অর্থাৎ, সুদ + মূলধন = $3P$ টাকা
সুতরাং, সুদ (Interest) = $3P-P=2P$ টাকা

আমরা জানি, সরল সুদের ক্ষেত্রে, সুদ (I) = $\frac{P\times r\times t}{100}$

এখানে, $I=2P$, $t=10$ বছর। আমাদের $r$ এর মান বের করতে হবে।

মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$2P=\frac{P\times r\times 10}{100}$
$2=\frac{r\times 10}{100}$
$2=\frac{r}{10}$

এখন, $r$ এর মান বের করার জন্য উভয় পাশে ১০ দিয়ে গুণ করি:
$2\times 10=r$
$r=20$

সুতরাং, শতকরা বার্ষিক ২০% হার সুদে কোন মূলধন ১০ বছরে সুদে মূলে তিনগুণ হবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, মূলধন $P$ টাকা এবং সময় $t$ বছর পরে তা আসলের দ্বিগুণ অর্থাৎ $2P$ হবে। বার্ষিক সুদের হার $r=10\mathrm{\%}$।

সুতরাং, সুদ (Interest), $I=2P-P=P$ টাকা।

আমরা জানি, সরল সুদের ক্ষেত্রে, $I=\frac{P\times r\times t}{100}$

এখানে, $I=P$ এবং $r=10$। আমাদের $t$ এর মান বের করতে হবে।

মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই: $$P=\frac{P\times 10\times t}{100}$$ $$1=\frac{10\times t}{100}$$ $$1=\frac{t}{10}$$ $$1\times 10=t$$ $$t=10$$ অতএব, বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা হারে সুদে কোনো মূলধন ১০ বছর পরে আসলের দ্বিগুণ হবে।