প্রশ্নঃ $$P(A) = \frac{1}{3},~~P(B) = \frac{3}{4}~$$ হলে A ও B স্বাধীন হলে $$P(AUB)$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. $$\frac{3}{4}$$
খ. $$\frac{1}{3}$$
গ. $$\frac{5}{6}$$
ঘ. এর কোনটি নয়।
উত্তরঃ $$\frac{5}{6}$$
ব্যাখ্যাঃ যদি A ও B স্বাধীন ঘটনা হয়, তাহলে $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$.
এখানে, $$P(A) = \frac{1}{3}$$এবং$$P(B) = \frac{3}{4}$$.
সুতরাং, $$P(A \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$.
আমরা জানি, দুটি ঘটনার সংযোগ সেটের সম্ভাবনা $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$.
এখন, মানগুলো বসিয়ে পাই,
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right)$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{3-1}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{2}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$$
$$P(A \cup B) = \frac{2 \times 1 + 3 \times 1}{3 \times 2}$$
$$P(A \cup B) = \frac{2 + 3}{6}$$
$$P(A \cup B) = \frac{5}{6}$$
এখানে, $$P(A) = \frac{1}{3}$$এবং$$P(B) = \frac{3}{4}$$.
সুতরাং, $$P(A \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$.
আমরা জানি, দুটি ঘটনার সংযোগ সেটের সম্ভাবনা $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$.
এখন, মানগুলো বসিয়ে পাই,
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right)$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{3-1}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{2}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$$
$$P(A \cup B) = \frac{2 \times 1 + 3 \times 1}{3 \times 2}$$
$$P(A \cup B) = \frac{2 + 3}{6}$$
$$P(A \cup B) = \frac{5}{6}$$
Related MCQ
প্রশ্নঃ একটি থলিতে 5টি নীল, 10টি সাদা, 20টি কালো বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. $$\frac{3}{10}$$
খ. $$\frac{5}{7}$$
ক. $$\frac{5}{7}$$
খ. $$\frac{7}{10}$$
গ. $$\frac{7}{5}$$
ক. $$\frac{3}{10}$$
খ. $$\frac{5}{7}$$
গ. $$\frac{7}{5}$$
ঘ. $$\frac{7}{10}$$
উত্তরঃ $$\frac{5}{7}$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করব, অর্থাৎ নীল বা কালো বল পাওয়া যাবে।
1. মোট বল সংখ্যা: \[ 5 + 10 + 20 = 35 \] 2. সাদা না হওয়ার বল সংখ্যা (নীল + কালো): \[ 5 + 20 = 25 \] 3. সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা: \[ \frac{\text{সাদা না হওয়ার বল সংখ্যা}}{\text{মোট বল সংখ্যা}} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \] অতএব, দৈবভাবে একটি বল তোলার ক্ষেত্রে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা \( \frac{5}{7} \) বা ৭১.৪৩%।
1. মোট বল সংখ্যা: \[ 5 + 10 + 20 = 35 \] 2. সাদা না হওয়ার বল সংখ্যা (নীল + কালো): \[ 5 + 20 = 25 \] 3. সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা: \[ \frac{\text{সাদা না হওয়ার বল সংখ্যা}}{\text{মোট বল সংখ্যা}} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \] অতএব, দৈবভাবে একটি বল তোলার ক্ষেত্রে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা \( \frac{5}{7} \) বা ৭১.৪৩%।
প্রশ্নঃ 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
ক. $$\frac{3}{10}$$
খ. $$\frac{1}{3}$$
ক. $$\frac{3}{10}$$
খ. $$\frac{1}{3}$$
গ. $$\frac{7}{10}$$
ক. $$\frac{1}{2}$$
খ. $$\frac{1}{3}$$
গ. $$\frac{3}{10}$$
ঘ. $$\frac{7}{10}$$
উত্তরঃ $$\frac{3}{10}$$
ব্যাখ্যাঃ মোট সংখ্যা: 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38। এখানে মোট 10টি সংখ্যা আছে।
এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 29, 31, 37। এখানে 3টি মৌলিক সংখ্যা আছে।
কোনো সংখ্যা বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা হলো:
$$\frac{\text{মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা}}{\text{মোট সংখ্যার সংখ্যা}} = \frac{3}{10}$$
সুতরাং, 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{10}$.
সারাংশ: 29 থেকে 38 পর্যন্ত মোট 10টি সংখ্যার মধ্যে 3টি মৌলিক সংখ্যা (29, 31, 37) রয়েছে। তাই একটি সংখ্যা দৈবচয়ণে বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{10}$.
এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 29, 31, 37। এখানে 3টি মৌলিক সংখ্যা আছে।
কোনো সংখ্যা বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা হলো:
$$\frac{\text{মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা}}{\text{মোট সংখ্যার সংখ্যা}} = \frac{3}{10}$$
সুতরাং, 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{10}$.
সারাংশ: 29 থেকে 38 পর্যন্ত মোট 10টি সংখ্যার মধ্যে 3টি মৌলিক সংখ্যা (29, 31, 37) রয়েছে। তাই একটি সংখ্যা দৈবচয়ণে বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{10}$.
প্রশ্নঃ A এবং B দুটি ঘটনা যেন, $$ P(A) = \frac{1}{2},~~ P(A∪B) = \frac{3}{4},~~ P(B^c) = \frac{5}{8} $$ হলে, $$P(A^c ∩ B^c) = $$কত?
[ বিসিএস ৪৩তম ]
ক. $$\frac{1}{4}$$
খ. $$\frac{1}{6}$$
ক. $$\frac{1}{4}$$
খ. $$\frac{1}{2}$$
গ. $$\frac{1}{8}$$
ক. $$\frac{1}{8}$$
খ. $$\frac{1}{6}$$
গ. $$\frac{1}{4}$$
ঘ. $$\frac{1}{2}$$
উত্তরঃ $$\frac{1}{4}$$
ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: প্রদত্ত তথ্য
\[
P(A) = \frac{1}{2},~~ P(A \cup B) = \frac{3}{4},~~ P(B^c) = \frac{5}{8}
\]
ধাপ ২: \( P(B) \) নির্ণয়
\[
P(B) = 1 - P(B^c) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}
\]
ধাপ ৩: \( P(A \cap B) \) নির্ণয়
সেট তত্ত্ব অনুযায়ী সূত্র:
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]
\[
\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - P(A \cap B)
\]
\[
P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{3}{4}
\]
সমান হারে ল.সা.গু. নিয়ে হিসাব:
\[
P(A \cap B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{6}{8} = \frac{1}{8}
\]
ধাপ ৪: \( P(A^c \cap B^c) \) নির্ণয়
পরিপূরক সূত্র ব্যবহার:
\[
P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)
\]
\[
P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\]
চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\mathbf{P(A^c \cap B^c) = \frac{1}{4}}
\]
ধাপ ১: প্রদত্ত তথ্য
\[
P(A) = \frac{1}{2},~~ P(A \cup B) = \frac{3}{4},~~ P(B^c) = \frac{5}{8}
\]
ধাপ ২: \( P(B) \) নির্ণয়
\[
P(B) = 1 - P(B^c) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}
\]
ধাপ ৩: \( P(A \cap B) \) নির্ণয়
সেট তত্ত্ব অনুযায়ী সূত্র:
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]
\[
\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - P(A \cap B)
\]
\[
P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{3}{4}
\]
সমান হারে ল.সা.গু. নিয়ে হিসাব:
\[
P(A \cap B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{6}{8} = \frac{1}{8}
\]
ধাপ ৪: \( P(A^c \cap B^c) \) নির্ণয়
পরিপূরক সূত্র ব্যবহার:
\[
P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)
\]
\[
P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\]
চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\mathbf{P(A^c \cap B^c) = \frac{1}{4}}
\]
প্রশ্নঃ $$P(A) = \frac{1}{3};~~ P(B) = \frac{2}{3};~~ A~ ও ~B $$ স্বাধীন হলে $$ P(\frac{B}{A}) = কত? $$
[ বিসিএস ৪২তম ]
ক. $$\frac{1}{4}$$
খ. $$\frac{2}{3}$$
ক. $$\frac{2}{3}$$
খ. $$\frac{3}{4}$$
গ. $$\frac{1}{4}$$
ক. $$\frac{3}{4}$$
খ. $$\frac{2}{3}$$
গ. $$\frac{1}{3}$$
ঘ. $$\frac{1}{4}$$
উত্তরঃ $$\frac{2}{3}$$
ব্যাখ্যাঃ \( A \) এবং \( B \) স্বাধীন ঘটনা, তাই শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার সূত্র অনুযায়ী:
\[
P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
\]
স্বাধীনতার সংজ্ঞা অনুযায়ী:
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
\]
এখন মান বসিয়ে পাই:
\[
P(B | A) = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)}
\]
এখানে \( P(A) \) বাতিল হয়ে যায়, তাই পাই:
\[
P(B | A) = P(B)
\]
এখন \( P(B) \) এর মান বসাই:
\[
P(B | A) = \frac{2}{3}
\]
অর্থাৎ, \( P(B | A) = \frac{2}{3} \)।
\[
P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
\]
স্বাধীনতার সংজ্ঞা অনুযায়ী:
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
\]
এখন মান বসিয়ে পাই:
\[
P(B | A) = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)}
\]
এখানে \( P(A) \) বাতিল হয়ে যায়, তাই পাই:
\[
P(B | A) = P(B)
\]
এখন \( P(B) \) এর মান বসাই:
\[
P(B | A) = \frac{2}{3}
\]
অর্থাৎ, \( P(B | A) = \frac{2}{3} \)।
প্রশ্নঃ ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে, সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. $$\frac{১}{৬৪}$$
খ. $$\frac{১}{২২}$$
ক. $$\frac{১}{৬৪}$$
খ. $$\frac{১}{৬৫}$$
গ. $$\frac{১}{২২}$$
ক. $$\frac{১}{২২}$$
খ. $$\frac{১}{৬৪}$$
গ. $$\frac{১}{৬০}$$
ঘ. $$\frac{১}{৬৫}$$
উত্তরঃ $$\frac{১}{২২}$$
ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা =
৪৪০টি
ধাপ ২: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট কতগুলো পূর্ণসংখ্যার বর্গ রয়েছে তা বের করি।
বর্গসংখ্যাগুলো হল:
$$
1^2 = 1, \quad 2^2 = 4, \quad 3^2 = 9, \quad ..., \quad n^2 \leq 440
$$
আমরা দেখি,
$$
\lfloor \sqrt{440} \rfloor = \lfloor 20.97 \rfloor = 20
$$
অর্থাৎ, $1^2$ থেকে $20^2 = 400$ পর্যন্ত মোট ২০টি বর্গসংখ্যা আছে।## সম্ভাবনা:
$$
\text{Probability} = \frac{\text{বাঞ্ছিত ফলের সংখ্যা}}{\text{সম্ভাব্য মোট ফল}} = \frac{20}{440} = \frac{1}{22}
$$
৪৪০টি
ধাপ ২: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট কতগুলো পূর্ণসংখ্যার বর্গ রয়েছে তা বের করি।
বর্গসংখ্যাগুলো হল:
$$
1^2 = 1, \quad 2^2 = 4, \quad 3^2 = 9, \quad ..., \quad n^2 \leq 440
$$
আমরা দেখি,
$$
\lfloor \sqrt{440} \rfloor = \lfloor 20.97 \rfloor = 20
$$
অর্থাৎ, $1^2$ থেকে $20^2 = 400$ পর্যন্ত মোট ২০টি বর্গসংখ্যা আছে।## সম্ভাবনা:
$$
\text{Probability} = \frac{\text{বাঞ্ছিত ফলের সংখ্যা}}{\text{সম্ভাব্য মোট ফল}} = \frac{20}{440} = \frac{1}{22}
$$
উত্তর: কঃ $\frac{১}{২২}$
প্রশ্নঃ 30 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যেকোনো একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক. $$\frac{1}{2}$$
খ. $$\frac{5}{11}$$
ক. $$\frac{5}{11}$$
খ. $$\frac{1}{2}$$
গ. $$\frac{3}{5}$$
ক. $$\frac{5}{11}$$
খ. $$\frac{1}{2}$$
গ. $$\frac{3}{5}$$
ঘ. $$\frac{6}{11}$$
উত্তরঃ $$\frac{5}{11}$$
ব্যাখ্যাঃ ৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা:
\[30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40\]
এগুলোর মোট সংখ্যা \(n = 11\)।
মৌলিক সংখ্যা (যেগুলো শুধুমাত্র 1 এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য):
\[31, 37\]
অতএব, মৌলিক সংখ্যা = ২টি।
৫-এর গুণিতক হলো:
\[30, 35, 40\]
অতএব, ৫-এর গুণিতক সংখ্যা = ৩টি।
কোনো সংখ্যা মৌলিক অথবা ৫-এর গুণিতক হতে পারে, তাই সম্ভাব্য সংখ্যা =
\[2 (মৌলিক) + 3 (৫-এর গুণিতক) = 5\]
সুতরাং, মোট সম্ভাবনা: $\frac{5}{11}$
\[30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40\]
এগুলোর মোট সংখ্যা \(n = 11\)।
মৌলিক সংখ্যা (যেগুলো শুধুমাত্র 1 এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য):
\[31, 37\]
অতএব, মৌলিক সংখ্যা = ২টি।
৫-এর গুণিতক হলো:
\[30, 35, 40\]
অতএব, ৫-এর গুণিতক সংখ্যা = ৩টি।
কোনো সংখ্যা মৌলিক অথবা ৫-এর গুণিতক হতে পারে, তাই সম্ভাব্য সংখ্যা =
\[2 (মৌলিক) + 3 (৫-এর গুণিতক) = 5\]
সুতরাং, মোট সম্ভাবনা: $\frac{5}{11}$
প্রশ্নঃ একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 8 টি সাদা বল এবং 10 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত?
[ বিসিএস ৩৭তম ]
ক. $$\frac{2}{3}$$
খ. $$\frac{3}{4}$$
ক. $$\frac{1}{3}$$
খ. $$\frac{2}{3}$$
গ. $$\frac{1}{4}$$
ক. $$\frac{2}{3}$$
খ. $$\frac{1}{3}$$
গ. $$\frac{3}{4}$$
ঘ. $$\frac{1}{4}$$
উত্তরঃ $$\frac{2}{3}$$
ব্যাখ্যাঃ চলুন, নতুন তথ্য দিয়ে সমস্যাটি সমাধান করা যাক:
প্রদত্ত তথ্য:
নীল বল = ৬টি
সাদা বল = ৮টি
কালো বল = ১০টি
প্রথমে মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করি:
মোট বল = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪টি
এখন, সাদা বল না হওয়ার সম্ভাবনা বের করতে হবে।
এর মানে হলো, বলটি নীল অথবা কালো হবে।
সাদা বলের সংখ্যা = ৮টি
সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা = নীল বল + কালো বল = ৬ + ১০ = ১৬টি
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}}$
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{১৬}{২৪}$
এই ভগ্নাংশটিকে সরল করি। ১৬ এবং ২৪ উভয়ই ৮ দ্বারা বিভাজ্য:
$\frac{১৬ \div ৮}{২৪ \div ৮} = \frac{২}{৩}$
বিকল্প পদ্ধতি (সাদা হওয়ার সম্ভাবনা বাদ দিয়ে):
সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{সাদা বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{৮}{২৪} = \frac{১}{৩}$
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $১ - (\text{সাদা হওয়ার সম্ভাবনা})$
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $১ - \frac{১}{৩} = \frac{৩-১}{৩} = \frac{২}{৩}$
সুতরাং, দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা হলো $\frac{২}{৩}$।
প্রদত্ত তথ্য:
নীল বল = ৬টি
সাদা বল = ৮টি
কালো বল = ১০টি
প্রথমে মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করি:
মোট বল = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪টি
এখন, সাদা বল না হওয়ার সম্ভাবনা বের করতে হবে।
এর মানে হলো, বলটি নীল অথবা কালো হবে।
সাদা বলের সংখ্যা = ৮টি
সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা = নীল বল + কালো বল = ৬ + ১০ = ১৬টি
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}}$
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{১৬}{২৪}$
এই ভগ্নাংশটিকে সরল করি। ১৬ এবং ২৪ উভয়ই ৮ দ্বারা বিভাজ্য:
$\frac{১৬ \div ৮}{২৪ \div ৮} = \frac{২}{৩}$
বিকল্প পদ্ধতি (সাদা হওয়ার সম্ভাবনা বাদ দিয়ে):
সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{সাদা বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{৮}{২৪} = \frac{১}{৩}$
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $১ - (\text{সাদা হওয়ার সম্ভাবনা})$
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $১ - \frac{১}{৩} = \frac{৩-১}{৩} = \frac{২}{৩}$
সুতরাং, দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা হলো $\frac{২}{৩}$।
প্রশ্নঃ আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী-২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. $$\frac{2}{7}$$
খ. $$\frac{5}{7}$$
ক. 1
খ. $$\frac{2}{7}$$
গ. $$\frac{5}{7}$$
ক. 1
খ. $$\frac{5}{7}$$
গ. $$\frac{2}{7}$$
ঘ. $$\frac{1}{7}$$
উত্তরঃ $$\frac{2}{7}$$
ব্যাখ্যাঃ আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী, ২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে মোট ৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে হলে আমাদের কয়েকটি বিষয় বিবেচনা করতে হবে:
ঐ সপ্তাহে যেকোনো একটি নির্দিষ্ট দিনে (যেমন বুধবার) বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয়ের জন্য, আমাদের ধরতে হবে যে বৃষ্টি হওয়া বা না হওয়া ঘটনাগুলো সপ্তাহের ৭ দিনের মধ্যে সমানভাবে বিন্যস্ত।
বৃষ্টি না হওয়ার অনুকূল ঘটনা = ২ দিন
মোট সম্ভাব্য ঘটনা = ৭ দিন
সুতরাং, বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা:
$$\frac{\text{বৃষ্টি না হওয়ার দিন সংখ্যা}}{\text{সপ্তাহের মোট দিন সংখ্যা}} = \frac{২}{৭}$$
অতএব, ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা হলো $\frac{২}{৭}$।
- মোট দিনের সংখ্যা: এক সপ্তাহ মানে ৭ দিন।
- বৃষ্টি হয়েছে: ৫ দিন
- বৃষ্টি হয়নি: $৭ - ৫ = ২$ দিন
ঐ সপ্তাহে যেকোনো একটি নির্দিষ্ট দিনে (যেমন বুধবার) বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয়ের জন্য, আমাদের ধরতে হবে যে বৃষ্টি হওয়া বা না হওয়া ঘটনাগুলো সপ্তাহের ৭ দিনের মধ্যে সমানভাবে বিন্যস্ত।
বৃষ্টি না হওয়ার অনুকূল ঘটনা = ২ দিন
মোট সম্ভাব্য ঘটনা = ৭ দিন
সুতরাং, বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা:
$$\frac{\text{বৃষ্টি না হওয়ার দিন সংখ্যা}}{\text{সপ্তাহের মোট দিন সংখ্যা}} = \frac{২}{৭}$$
অতএব, ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা হলো $\frac{২}{৭}$।
প্রশ্নঃ ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলির একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখাটি বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. \(\frac{১}{২২}\)
খ. \(\frac{১}{৬৫}\)
ক. \(\frac{১}{৬৪}\)
খ. \(\frac{১}{৬৫}\)
গ. \(\frac{১}{২২}\)
ক. \(\frac{১}{২২}\)
খ. \(\frac{১}{৬৪}\)
গ. \(\frac{১}{৬০}\)
ঘ. \(\frac{১}{৬৫}\)
উত্তরঃ \(\frac{১}{২২}\)
ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা প্রথমে ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে কতগুলো সংখ্যা পুরো বর্গ সংখ্যা তা নির্ণয় করব।
ধাপ ১: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা
বর্গ সংখ্যা মানে হলো এমন সংখ্যা যা কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গফল। আমরা \(n^2 \leq 440\) শর্ত পূরণ করে এমন \(n\)-এর মান নির্ণয় করি।
- \(n^2 = 1^2, 2^2, 3^2, \dots \)
- সর্বোচ্চ \(n^2 = 21^2 = 441\) হয়, কিন্তু ৪৪১ > ৪৪০, তাই \(n\)-এর মান হবে ২০।
অতএব, ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা হলো: \[ 1^2, 2^2, 3^2, \dots, 20^2 \] এখানে মোট \(20\)টি বর্গ সংখ্যা রয়েছে।
ধাপ ২: সম্ভাবনার গণনা
সম্ভাবনার সূত্র: \[ \text{সম্ভাবনা} = \frac{\text{বর্গ সংখ্যার সংখ্যা}}{\text{মোট সংখ্যা}} \] ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৪৪০।
বর্গ সংখ্যার সংখ্যা = ২০।
সুতরাং, সম্ভাবনা: \[ \text{সম্ভাবনা} = \frac{২০}{৪৪০} = \frac{১}{২২} \] উত্তর: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত নেওয়া সংখ্যাটি বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা হলো \(\frac{১}{২২}\)।
ধাপ ১: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা
বর্গ সংখ্যা মানে হলো এমন সংখ্যা যা কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গফল। আমরা \(n^2 \leq 440\) শর্ত পূরণ করে এমন \(n\)-এর মান নির্ণয় করি।
- \(n^2 = 1^2, 2^2, 3^2, \dots \)
- সর্বোচ্চ \(n^2 = 21^2 = 441\) হয়, কিন্তু ৪৪১ > ৪৪০, তাই \(n\)-এর মান হবে ২০।
অতএব, ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা হলো: \[ 1^2, 2^2, 3^2, \dots, 20^2 \] এখানে মোট \(20\)টি বর্গ সংখ্যা রয়েছে।
ধাপ ২: সম্ভাবনার গণনা
সম্ভাবনার সূত্র: \[ \text{সম্ভাবনা} = \frac{\text{বর্গ সংখ্যার সংখ্যা}}{\text{মোট সংখ্যা}} \] ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৪৪০।
বর্গ সংখ্যার সংখ্যা = ২০।
সুতরাং, সম্ভাবনা: \[ \text{সম্ভাবনা} = \frac{২০}{৪৪০} = \frac{১}{২২} \] উত্তর: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত নেওয়া সংখ্যাটি বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা হলো \(\frac{১}{২২}\)।
প্রশ্নঃ আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২২ সালে মে মাসে চতুর্থ সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে রবিবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
[ প্রা.বি.স.শি. (৩য় ধাপ) 03-06-2022 ]
ক. \(\frac{১}{৭}\)
খ. \(\frac{২}{৭}\)
ক. \(\frac{২}{৭}\)
খ. \(\frac{৫}{৭}\)
গ. \(\frac{১}{৬}\)
ক. \(\frac{২}{৭}\)
খ. \(\frac{১}{৭}\)
গ. \(\frac{১}{৬}\)
ঘ. \(\frac{৫}{৭}\)
উত্তরঃ \(\frac{২}{৭}\)
ব্যাখ্যাঃ মে মাসের চতুর্থ সপ্তাহে ৭ দিনের মধ্যে ৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে বলে জানা যায়। সুতরাং, বৃষ্টি না হওয়ার দিন হলো:
\[ ৭ - ৫ = ২ \, \text{দিন} \] এখন, এই ২ দিনের মধ্যে এক দিন রবিবার হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে হবে। যেহেতু সপ্তাহে মোট ৭টি দিন রয়েছে এবং প্রতিটি দিনের সম্ভাবনা সমান, তাই রবিবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা হবে: \[ \frac{\text{বৃষ্টি না হওয়া দিন}}{\text{সপ্তাহের মোট দিন}} = \frac{২}{৭} \] উত্তর: রবিবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac{২}{৭}\) বা প্রায় ০.২৮৬ (২৮.৬%)।
\[ ৭ - ৫ = ২ \, \text{দিন} \] এখন, এই ২ দিনের মধ্যে এক দিন রবিবার হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে হবে। যেহেতু সপ্তাহে মোট ৭টি দিন রয়েছে এবং প্রতিটি দিনের সম্ভাবনা সমান, তাই রবিবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা হবে: \[ \frac{\text{বৃষ্টি না হওয়া দিন}}{\text{সপ্তাহের মোট দিন}} = \frac{২}{৭} \] উত্তর: রবিবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac{২}{৭}\) বা প্রায় ০.২৮৬ (২৮.৬%)।
প্রশ্নঃ $P(A\cap B)=\frac{1}{3},P(A\cup B)=\frac{5}{6},P(A)=\frac{1}{2}$ হলে, $P(B)=$ কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৭-০১-২০১১ ]
ক. $\frac{1}{4}$
খ. $\frac{2}{3}$
ক. $\frac{1}{4}$
খ. $\frac{2}{5}$
গ. $\frac{2}{3}$
ক. $\frac{1}{3}$
খ. $\frac{2}{3}$
গ. $\frac{1}{4}$
ঘ. $\frac{2}{5}$
উত্তরঃ $\frac{2}{3}$
প্রশ্নঃ একটি বাক্সে বিভিন্ন আকারের ৬ টি সাদা বল এবং ৭ টি লাল বল আছে। এলোমেলোভাবে একটি বল তুলে নেয়া হলো। বলটি লাল বা সাদা হওয়ার সম্ভবনা কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৯-১০-২০০৯ ]
ক. ১
খ. ১০/২১
ক. ১
খ. ১০/২১
গ. ১/২
ক. ১/২
খ. ১
গ. ১/৩
ঘ. ১০/২১
উত্তরঃ ১
প্রশ্নঃ Mathematics শব্দটি অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৯-১০-২০০৯ ]
ক. ৪৯৮৯৬০০
খ. ৮৯৪৯৬০০
ক. ৪৯৮৯৬০০
খ. ৬০০৪৯৮৯
গ. ৪৪৯৬০৮৯
ক. ৪৯৮৯৬০০
খ. ৪৪৯৬০৮৯
গ. ৬০০৪৯৮৯
ঘ. ৮৯৪৯৬০০
উত্তরঃ ৪৯৮৯৬০০
প্রশ্নঃ স্বরবর্ণগুলোর স্থান পরিবর্তন না করে 'DISCOURAGE' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত প্রকারে সাজানো সম্ভব?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১০-১০-২০০৮ ]
ক. ১২০
খ. ৩০০
ক. ১২০
খ. ৩৬১
গ. ৩৬০
ক. ৩৬১
খ. ৩০০
গ. ১২০
ঘ. ৩৬০
উত্তরঃ ১২০
প্রশ্নঃ একটি তাসের প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নিলে তা রুইতন বা রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১০-১০-২০০৮ ]
ক. $\frac{৪}{১৩}$
খ. $\frac{১}{১৩}$
ক. $\frac{৪}{১৩}$
খ. $৫২$
গ. $\frac{১}{৫২}$
ক. $\frac{১}{৫২}$
খ. $\frac{৪}{১৩}$
গ. $\frac{১}{১৩}$
ঘ. $৫২$
উত্তরঃ $\frac{৪}{১৩}$
প্রশ্নঃ একটি ক্লাবে ৮ জন পুরুষ ও ৮ জন মহিলা সদস্য আছেন। ৬ সদস্যের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে পুরুষ ও মহিলা ৩ জন করে থাকবেন। কতভাবে এই কমিটি গঠন করা যায়?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৩-০৬-২০১৯ ]
ক. ৩১৩৪
খ. ৩১৩৬
ক. ৩১৩৬
খ. ৩১৩৪
গ. ৩১৩৫
ক. ৩১৩৬
খ. ৩১৩৫
গ. ৩১৩৪
ঘ. ৩১৩৯
উত্তরঃ ৩১৩৬
প্রশ্নঃ ৫, ৫, ৬, ৬, ৭, ৭ সংখ্যাগুলো থেকে ৩ অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২২-০৬-২০১৯ ]
ক. ২৪
খ. ২২
ক. ২৬
খ. ২৪
গ. ২২
ক. ২৬
খ. ২৮
গ. ২২
ঘ. ২৪
উত্তরঃ ২৪