ব্যাখ্যাঃ কোনো $n$ সংখ্যক লোক যদি প্রত্যেকে একে অপরের সাথে একবার করমর্দন করে, তাহলে মোট করমর্দনের সংখ্যা হয়: $$\text{Total Handshakes}=\frac{n(n-1)}{2}$$ যেখানে $n$ হলো উপস্থিত ব্যক্তির সংখ্যা। এখানে: $$n=15$$ তাহলে, $$\text{Total Handshakes}=\frac{15\times 14}{2}=\frac{210}{2}=105$$ অতএব, মোট করমর্দনের সংখ্যা হবে ১০৫টি।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, অনুষ্ঠানে মোট $n$ জন লোক উপস্থিত ছিল।

প্রত্যেক ব্যক্তি অন্য $(n-1)$ জনের সাথে করমর্দন করতে পারবে। যদি আমরা প্রত্যেক ব্যক্তির করমর্দনের সংখ্যা গুণ করি, তাহলে মোট $n(n-1)$ টি করমর্দন হওয়ার কথা।

কিন্তু, এই পদ্ধতিতে প্রতিটি করমর্দনকে দুইবার গণনা করা হয়েছে (যেমন, A এবং B এর মধ্যে করমর্দনকে A এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার এবং B এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার গণনা করা হয়েছে)।

সুতরাং, প্রকৃত করমর্দনের সংখ্যা হবে $\frac{n(n-1)}{2}$।

প্রশ্নানুসারে, করমর্দনের সংখ্যা ৩০০। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

$$\frac{n(n-1)}{2}=300$$
$$n(n-1)=300\times 2$$
$$n(n-1)=600$$
$$n^2-n-600=0$$

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করতে পারি অথবা দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করতে পারি। উৎপাদকের জন্য, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল -৬০০ এবং যোগফল -১। সংখ্যা দুটি হল -২৫ এবং ২৪।

$$n^2-25n+24n-600=0$$

$$n(n-25)+24(n-25)=0$$

$$(n-25)(n+24)=0$$

সুতরাং, $n-25=0$ অথবা $n+24=0$.

যদি $n-25=0$, তাহলে $n=25$.
যদি $n+24=0$, তাহলে $n=-24$.

যেহেতু লোকের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n=25$.

অতএব, ঐ অনুষ্ঠানে মোট ২৫ জন লোক ছিল।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, ৫ জন পুরুষ থেকে ১ জন পুরুষ নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা:
$$C(5,1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})=\frac{5!}{1!(5-1)!}=\frac{5!}{1!4!}=\frac{5\times 4!}{1\times 4!}=5$$

এরপর, ৪ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা:
$$C(4,2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4\times 3\times 2!}{2\times 1\times 2!}=\frac{12}{2}=6$$

মোট কমিটি গঠনের উপায় সংখ্যা হল পুরুষ নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা এবং মহিলা নির্বাচন করার উপায় সংখ্যার গুণফল:
মোট প্রকার = $5\times 6=30$

সুতরাং, ৩০ প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে।

ব্যাখ্যাঃ $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})=\frac{6!}{3!\cdot (6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3!}{3!\times 3\times 2}=20\text{ উপায়ে}$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত:
- মোট বই = $12$
- $2$টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে।
- আমাদের $5$টি বই বাছাই করতে হবে।

ধাপ ১: ২টি বই সর্বদা বাছাই করা হয়েছে
যেহেতু $2$টি বই ইতোমধ্যেই বাছাই করা হয়েছে, বাকি $12-2=10$ বইয়ের মধ্যে থেকে $5-2=3$টি বই বাছাই করতে হবে।

ধাপ ২: $10$ বই থেকে $3$টি বই বাছাই করা
কোনো $n$ সংখ্যক আইটেম থেকে $r$ সংখ্যক আইটেম বাছাই করার জন্য কম্বিনেশন সূত্র হলো: $${}^n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$ এখানে, $n=10$ এবং $r=3$।
তাহলে: $${}^{10}{C}_3=\frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$$ ধাপ ৩: চূড়ান্ত উত্তর
যেহেতু $2$টি বই সর্বদা বাছাই করা আছে, $10$ বই থেকে $3$টি বই বাছাই করার $120$ পদ্ধতি রয়েছে।

উত্তর: $120$ প্রকারে বইগুলো বাছাই করা যাবে।