ব্যাখ্যাঃ মোট সংখ্যা: 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38। এখানে মোট 10টি সংখ্যা আছে।

এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 29, 31, 37। এখানে 3টি মৌলিক সংখ্যা আছে।

কোনো সংখ্যা বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা হলো:
$$\frac{\text{মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা}}{\text{মোট সংখ্যার সংখ্যা}} = \frac{3}{10}$$

সুতরাং, 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{10}$.

সারাংশ: 29 থেকে 38 পর্যন্ত মোট 10টি সংখ্যার মধ্যে 3টি মৌলিক সংখ্যা (29, 31, 37) রয়েছে। তাই একটি সংখ্যা দৈবচয়ণে বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{10}$.

ব্যাখ্যাঃ যদি A ও B স্বাধীন ঘটনা হয়, তাহলে $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$.
এখানে, $$P(A) = \frac{1}{3}$$এবং$$P(B) = \frac{3}{4}$$.
সুতরাং, $$P(A \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$.
আমরা জানি, দুটি ঘটনার সংযোগ সেটের সম্ভাবনা $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$.
এখন, মানগুলো বসিয়ে পাই,
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right)$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{3-1}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{2}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$$
$$P(A \cup B) = \frac{2 \times 1 + 3 \times 1}{3 \times 2}$$
$$P(A \cup B) = \frac{2 + 3}{6}$$
$$P(A \cup B) = \frac{5}{6}$$

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: প্রদত্ত তথ্য

\[
P(A) = \frac{1}{2},~~ P(A \cup B) = \frac{3}{4},~~ P(B^c) = \frac{5}{8}
\]

ধাপ ২: \( P(B) \) নির্ণয়

\[
P(B) = 1 - P(B^c) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}
\]

ধাপ ৩: \( P(A \cap B) \) নির্ণয়

সেট তত্ত্ব অনুযায়ী সূত্র:
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]

\[
\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - P(A \cap B)
\]

\[
P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{3}{4}
\]

সমান হারে ল.সা.গু. নিয়ে হিসাব:
\[
P(A \cap B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{6}{8} = \frac{1}{8}
\]

ধাপ ৪: \( P(A^c \cap B^c) \) নির্ণয়

পরিপূরক সূত্র ব্যবহার:
\[
P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)
\]

\[
P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\]

চূড়ান্ত উত্তর:

\[
\mathbf{P(A^c \cap B^c) = \frac{1}{4}}
\]

ব্যাখ্যাঃ \( A \) এবং \( B \) স্বাধীন ঘটনা, তাই শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার সূত্র অনুযায়ী:
\[
P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
\]

স্বাধীনতার সংজ্ঞা অনুযায়ী:
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
\]
এখন মান বসিয়ে পাই:
\[
P(B | A) = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)}
\]
এখানে \( P(A) \) বাতিল হয়ে যায়, তাই পাই:
\[
P(B | A) = P(B)
\]
এখন \( P(B) \) এর মান বসাই:
\[
P(B | A) = \frac{2}{3}
\]
অর্থাৎ, \( P(B | A) = \frac{2}{3} \)।

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা =
৪৪০টি
ধাপ ২: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট কতগুলো পূর্ণসংখ্যার বর্গ রয়েছে তা বের করি।
বর্গসংখ্যাগুলো হল:
$$
1^2 = 1, \quad 2^2 = 4, \quad 3^2 = 9, \quad ..., \quad n^2 \leq 440
$$
আমরা দেখি,
$$
\lfloor \sqrt{440} \rfloor = \lfloor 20.97 \rfloor = 20
$$
অর্থাৎ, $1^2$ থেকে $20^2 = 400$ পর্যন্ত মোট ২০টি বর্গসংখ্যা আছে।## সম্ভাবনা:
$$
\text{Probability} = \frac{\text{বাঞ্ছিত ফলের সংখ্যা}}{\text{সম্ভাব্য মোট ফল}} = \frac{20}{440} = \frac{1}{22}
$$

উত্তর: কঃ $\frac{১}{২২}$

ব্যাখ্যাঃ ৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা:
\[30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40\]
এগুলোর মোট সংখ্যা \(n = 11\)।

মৌলিক সংখ্যা (যেগুলো শুধুমাত্র 1 এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য):
\[31, 37\]
অতএব, মৌলিক সংখ্যা = ২টি।

৫-এর গুণিতক হলো:
\[30, 35, 40\]
অতএব, ৫-এর গুণিতক সংখ্যা = ৩টি।


কোনো সংখ্যা মৌলিক অথবা ৫-এর গুণিতক হতে পারে, তাই সম্ভাব্য সংখ্যা =
\[2 (মৌলিক) + 3 (৫-এর গুণিতক) = 5\]
সুতরাং, মোট সম্ভাবনা: $\frac{5}{11}$

ব্যাখ্যাঃ চলুন, নতুন তথ্য দিয়ে সমস্যাটি সমাধান করা যাক:

প্রদত্ত তথ্য:
নীল বল = ৬টি
সাদা বল = ৮টি
কালো বল = ১০টি

প্রথমে মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করি:
মোট বল = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪টি

এখন, সাদা বল না হওয়ার সম্ভাবনা বের করতে হবে।
এর মানে হলো, বলটি নীল অথবা কালো হবে।

সাদা বলের সংখ্যা = ৮টি
সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা = নীল বল + কালো বল = ৬ + ১০ = ১৬টি

সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}}$
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{১৬}{২৪}$

এই ভগ্নাংশটিকে সরল করি। ১৬ এবং ২৪ উভয়ই ৮ দ্বারা বিভাজ্য:
$\frac{১৬ \div ৮}{২৪ \div ৮} = \frac{২}{৩}$

বিকল্প পদ্ধতি (সাদা হওয়ার সম্ভাবনা বাদ দিয়ে):
সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{সাদা বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{৮}{২৪} = \frac{১}{৩}$

সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $১ - (\text{সাদা হওয়ার সম্ভাবনা})$
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $১ - \frac{১}{৩} = \frac{৩-১}{৩} = \frac{২}{৩}$

সুতরাং, দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা হলো $\frac{২}{৩}$।

ব্যাখ্যাঃ আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী, ২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে মোট ৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে হলে আমাদের কয়েকটি বিষয় বিবেচনা করতে হবে:

• মোট দিনের সংখ্যা: এক সপ্তাহ মানে ৭ দিন।
  
• বৃষ্টি হয়েছে: ৫ দিন
  
• বৃষ্টি হয়নি: $৭ - ৫ = ২$ দিন
  

ঐ সপ্তাহে যেকোনো একটি নির্দিষ্ট দিনে (যেমন বুধবার) বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয়ের জন্য, আমাদের ধরতে হবে যে বৃষ্টি হওয়া বা না হওয়া ঘটনাগুলো সপ্তাহের ৭ দিনের মধ্যে সমানভাবে বিন্যস্ত।

বৃষ্টি না হওয়ার অনুকূল ঘটনা = ২ দিন
মোট সম্ভাব্য ঘটনা = ৭ দিন

সুতরাং, বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা:
$$\frac{\text{বৃষ্টি না হওয়ার দিন সংখ্যা}}{\text{সপ্তাহের মোট দিন সংখ্যা}} = \frac{২}{৭}$$

অতএব, ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা হলো $\frac{২}{৭}$।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা প্রথমে ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে কতগুলো সংখ্যা পুরো বর্গ সংখ্যা তা নির্ণয় করব।

ধাপ ১: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা
বর্গ সংখ্যা মানে হলো এমন সংখ্যা যা কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গফল। আমরা \(n^2 \leq 440\) শর্ত পূরণ করে এমন \(n\)-এর মান নির্ণয় করি।

- \(n^2 = 1^2, 2^2, 3^2, \dots \)
- সর্বোচ্চ \(n^2 = 21^2 = 441\) হয়, কিন্তু ৪৪১ > ৪৪০, তাই \(n\)-এর মান হবে ২০।

অতএব, ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা হলো: \[ 1^2, 2^2, 3^2, \dots, 20^2 \] এখানে মোট \(20\)টি বর্গ সংখ্যা রয়েছে।

ধাপ ২: সম্ভাবনার গণনা

সম্ভাবনার সূত্র: \[ \text{সম্ভাবনা} = \frac{\text{বর্গ সংখ্যার সংখ্যা}}{\text{মোট সংখ্যা}} \] ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৪৪০।
বর্গ সংখ্যার সংখ্যা = ২০।

সুতরাং, সম্ভাবনা: \[ \text{সম্ভাবনা} = \frac{২০}{৪৪০} = \frac{১}{২২} \] উত্তর: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত নেওয়া সংখ্যাটি বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা হলো \(\frac{১}{২২}\)।

ব্যাখ্যাঃ মে মাসের চতুর্থ সপ্তাহে ৭ দিনের মধ্যে ৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে বলে জানা যায়। সুতরাং, বৃষ্টি না হওয়ার দিন হলো:

\[ ৭ - ৫ = ২ \, \text{দিন} \] এখন, এই ২ দিনের মধ্যে এক দিন রবিবার হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে হবে। যেহেতু সপ্তাহে মোট ৭টি দিন রয়েছে এবং প্রতিটি দিনের সম্ভাবনা সমান, তাই রবিবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা হবে: \[ \frac{\text{বৃষ্টি না হওয়া দিন}}{\text{সপ্তাহের মোট দিন}} = \frac{২}{৭} \] উত্তর: রবিবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac{২}{৭}\) বা প্রায় ০.২৮৬ (২৮.৬%)।