ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুইটি পূর্ণসংখ্যা $x$ ও $y$, যেখানে $x+y=300$ এবং $x,y>100$।

চলুন একটি সাধারণ সমাধানের দিকে যাই:

1. যেহেতু $x+y=300$, সংখ্যা দুটি হতে পারে:
⇒ $x=120,y=180$ → অনুপাত $\frac{120}{180}=\frac{2}{3}$।
⇒ $x=140,y=160$ → অনুপাত $\frac{140}{160}=\frac{7}{8}$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে দুটি অনুপাতকে একই ভিত্তিতে আনতে হবে।

প্রথম অনুপাত: $x:y=2:3$
দ্বিতীয় অনুপাত: $y:z=5:7$

এখন, y-এর সাধারণ মান বের করতে হলে দুটি অনুপাতকে সমান করতে হবে।
$y=3$ এবং $y=5$ – এখানে $y$-এর ল.সা.গু হবে 15।

ধাপে ধাপে সমাধান:

প্রথম অনুপাতকে ৫ দিয়ে গুণ করি:
$x:y=(2\times 5):(3\times 5)=10:15$

দ্বিতীয় অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করি:
$y:z=(5\times 3):(7\times 3)=15:21$

এখন, দুটি অনুপাত একত্র করলে পাই:
$x:y:z=10:15:21$

ব্যাখ্যাঃ সঠিক উত্তর হবে 1.2 টাকা

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, পানির পরিমাণ W লিটার, তাহলে দুধের পরিমাণ হবে 5W লিটার।
উল্লেখ্য, দুধের পরিমাণ পানি থেকে ৮ লিটার বেশি, অর্থাৎ:
5W = W + 8
⇒ 5W - W = 8
⇒ 4W = 8
⇒ W = 2 অতএব, পানির পরিমাণ ২ লিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি $x$। প্রশ্ন অনুসারে: $$\frac{১}{২}x+৬=\frac{২}{৩}x$$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে: প্রথমে উভয় পাশে ৬ বাদ দিন: $$\frac{১}{২}x=\frac{২}{৩}x-৬$$ এরপর $x$-এর একই গুণফলটি পাওয়ার জন্য উভয় পাশে ৬ গুণ করুন: $$৬(\frac{১}{২}x)=৬(\frac{২}{৩}x-৬)$$ সরলীকরণ করে: $$৩x=৪x-৩৬$$ পরবর্তীতে, উভয় দিকে $৪x$-এর গুণফল বাদ দিন: $$৩৬=৪x-৩x$$ অতঃপর: $$৩৬=x$$ সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৬। আশা করছি এটি আপনার জন্য সহায়ক হয়েছে! ????

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ব্যক্তির মোট সম্পত্তির মূল্য $x$ টাকা। ১. প্রথম ব্যয়: $$\text{ব্যয়}=\frac{3}{7}x$$ $$\text{অবশিষ্ট}=x-\frac{3}{7}x=\frac{4}{7}x$$ ২. দ্বিতীয় ব্যয়: $$\text{ব্যয়}=\frac{5}{12}\times \frac{4}{7}x=\frac{5}{21}x$$ $$\text{অবশিষ্ট}=\frac{4}{7}x-\frac{5}{21}x=\frac{12}{21}x-\frac{5}{21}x=\frac{7}{21}x=\frac{1}{3}x$$ ৩. অবশিষ্ট টাকা: $$\frac{1}{3}x=1000$$ $$x=1000\times 3=3000$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 3000\text{ টাকা}}}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, মিশ্রণটি A : B : C = ১৭ : ৩ : ৪ অনুপাতে গঠিত এবং মোট ওজন ৭২ কেজি। ### ধাপ ১: মোট অনুপাত নির্ণয় $$\text{মোট অনুপাত}=১৭+৩+৪=২৪$$ ### ধাপ ২: B-এর ওজন নির্ণয় B-এর অনুপাত ৩, তাই মিশ্রণে B-এর পরিমাণ হবে— $$\frac{3}{24}\times 72$$ $$=9\text{ কেজি}$$ --- ### উত্তর: মিশ্রণে B-এর পরিমাণ ৯ কেজি

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা বাঁশটির মোট অংশের সংখ্যা নির্ণয় করব। অনুপাতটি $৩:৭:১০$। মোট অংশের সংখ্যা: $$৩+৭+১০=২০$$ তাহলে, ৬০ মিটার বাঁশটির প্রতিটি অংশের আকার হবে: $$\frac{৬০}{২০}=৩\text{ মিটার}$$ এখন, অনুপাত অনুযায়ী অংশগুলোর সাইজ নির্ণয় করি:

- প্রথম অংশ: $৩\times ৩=৯\text{ মিটার}$
- দ্বিতীয় অংশ: $৭\times ৩=২১\text{ মিটার}$
- তৃতীয় অংশ: $১০\times ৩=৩০\text{ মিটার}$

তাহলে, ৬০ মিটার বাঁশটি ৩ : ৭ : ১০ অনুপাত ভাগ করলে টুকরাগুলোর সাইজ হবে যথাক্রমে ৯ মিটার, ২১ মিটার, এবং ৩০ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, গহনার সোনা এবং তামার ওজন যথাক্রমে $3x$ এবং $x$ গ্রাম।
আমাদের মোট ওজন ১৬ গ্রাম, তাই: $$3x+x=16$$ $$4x=16$$ $$x=4$$ তাহলে, গহনার মধ্যে সোনা এবং তামার ওজন: - সোনা: $3x=3\times 4=12$ গ্রাম - তামা: $x=4$ গ্রাম ধরি, $y$ গ্রাম সোনা মেশাতে হবে যাতে অনুপাত ৪ : ১ হয়। তাহলে নতুন সোনা এবং তামার ওজন: - সোনা: $12+y$ - তামা: ৪ গ্রাম (যেটা অপরিবর্তিত থাকবে) এখন অনুপাত হবে: $$\frac{12+y}{4}=4$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করি: $$12+y=4\times 4$$ $$12+y=16$$ $$y=16-12$$ $$y=4$$ তাহলে, অনুপাত ৪ : ১ করতে ৪ গ্রাম সোনা মেশাতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা ১,০০০ টাকা ক ও খ এর মধ্যে ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করব।

তাহলে, ক-এর অংশ হবে: $$\frac{১}{১+৪}\times ১০০০=\frac{১}{৫}\times ১০০০=২০০\text{ টাকা}$$ আর খ-এর অংশ হবে: $$\frac{৪}{১+৪}\times ১০০০=\frac{৪}{৫}\times ১০০০=৮০০\text{ টাকা}$$ এখন, খ-এর অংশ (৮০০ টাকা) সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করব।

মোট অংশের সংখ্যা: $$২+১+১=৪$$ মেয়ের অংশ হবে: $$\frac{১}{৪}\times ৮০০=২০০\text{ টাকা}$$ তাহলে, মেয়ের অংশ হবে ২০০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, - কুকুরের প্রতিটি লাফের দৈর্ঘ্য = $C$ - খরগোশের প্রতিটি লাফের দৈর্ঘ্য = $R$ ### ধাপ ১: দূরত্বের সম্পর্ক নির্ণয় প্রশ্নানুসারে, খরগোশ ৪ লাফে যতদূর যায়, কুকুর ৩ লাফে ততদূর যায়। অর্থাৎ, $$4R=3C$$ ### ধাপ ২: নির্দিষ্ট সময়ে কুকুর ও খরগোশের মোট গতিপথ প্রশ্নে আরও বলা হয়েছে যে, কুকুর ৪ বার লাফ দিলে খরগোশ ৫ বার লাফ দেয়। তাহলে, - কুকুর ৪ লাফে যাবে = $4C$ - খরগোশ ৫ লাফে যাবে = $5R$ এখন, $4R=3C$ সমীকরণ থেকে, $R=\frac{3C}{4}$ তাহলে, খরগোশের মোট দূরত্ব— $$5R=5\times \frac{3C}{4}=\frac{15C}{4}$$ ### ধাপ ৩: গতিবেগের অনুপাত নির্ণয় একই সময়ে, কুকুর ৪C দূরত্ব অতিক্রম করে, আর খরগোশ $\frac{15C}{4}$ দূরত্ব অতিক্রম করে। অতএব, তাদের গতিবেগের অনুপাত— $$\frac{\text{কুকুরের গতি}}{\text{খরগোশের গতি}}=\frac{4C}{\frac{15C}{4}}$$ $$=4C\times \frac{4}{15C}=\frac{16}{15}$$ ### উত্তর: কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত $16:15$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, একজন চাকুরিজীবীর মোট বেতন $১০০$ টাকা।

তাহলে, কাপড় ক্রয়ে বেতনের খরচ: $$\frac{১}{১০}\times ১০০=১০\text{ টাকা}$$
খাদ্য ক্রয়ে বেতনের খরচ: $$\frac{১}{৩}\times ১০০=৩৩.৩৩\text{ টাকা}$$
বাসা ভাড়ায় বেতনের খরচ: $$\frac{১}{৫}\times ১০০=২০\text{ টাকা}$$
মোট খরচ হবে: $$১০+৩৩.৩৩+২০=৬৩.৩৩\text{ টাকা}$$
তাহলে, অবশিষ্ট বেতন: $$১০০-৬৩.৩৩=৩৬.৬৭\text{ টাকা}$$
অবশিষ্ট বেতনের শতকরা হার হবে: $$\frac{৩৬.৬৭}{১০০}\times ১০০=৩৬.৬৭\mathrm{\%}$$
তাহলে, তার আয়ের শতকরা ৩৬.৬৭ ভাগ বা $৩৬\frac{২}{৩}\mathrm{\%}$ অবশিষ্ট রইল।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, দুটি সংখ্যা যথাক্রমে ৫x এবং ৮x।

উভয়ের সাথে ২ যোগ করার পর, অনুপাতটি ২∶৩ হয়: $$\frac{৫x+২}{৮x+২}=\frac{২}{৩}$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করি: $$৩(৫x+২)=২(৮x+২)$$ $$১৫x+৬=১৬x+৪$$ $$১৫x-১৬x=৪-৬$$ $$-x=-২$$ $$x=২$$ অতএব, সংখ্যা দুটি: $$৫x=৫\times ২=১০$$ $$৮x=৮\times ২=১৬$$ সংখ্যা দুটি হলো ১০ এবং ১৬।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, $ক=x$ এবং $খ=y$।

প্রশ্নে প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী আমরা দুটি সমীকরণ পাই:

1. $\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=45$
2. $\frac{1}{2}y+\frac{2}{5}x=50$

প্রথম সমীকরণটি $6$ দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: $$3x+2y=270\text{(3)}$$ দ্বিতীয় সমীকরণটি $10$ দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: $$5y+4x=500\text{(4)}$$ এখন, সমীকরণ (3) এবং (4) সমাধান করি।

প্রথমে সমীকরণ (3) কে সমাধান করি: $$3x+2y=270$$ $$2y=270-3x$$ $$y=\frac{270-3x}{2}\text{(5)}$$ এখন সমীকরণ (5) এর মান সমীকরণ (4) এ বসাই: $$5\left(\frac{270-3x}{2}\right)+4x=500$$ $$\frac{5(270-3x)}{2}+4x=500$$ $$\frac{1350-15x}{2}+4x=500$$ $$1350-15x+8x=1000$$ $$1350-7x=1000$$ $$1350-1000=7x$$ $$350=7x$$ $$x=50$$ অতএব, $ক=x=50$

এখন, $x=50$ মানটি সমীকরণ (5) এ বসাই: $$y=\frac{270-3\times 50}{2}$$ $$y=\frac{270-150}{2}$$ $$y=\frac{120}{2}$$ $$y=60$$ অতএব, $খ=y=60$

অতএব, ক এবং খ এর মান যথাক্রমে ৫০ এবং ৬০।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, সোনার পরিমাণ $3x$ এবং তামার পরিমাণ $x$।

প্রশ্নে দেয়া তথ্য অনুযায়ী: $$3x+x=16$$ $$4x=16$$ $$x=4$$ অতএব, প্রাথমিকভাবে সোনার পরিমাণ হলো: $$3x=3\times 4=12\text{ গ্রাম}$$ এখন, নতুন অনুপাত হবে ৪ : ১ এবং মিশ্রণের মোট পরিমাণ (নতুন সোনা সহ): ধরুন $y$ গ্রাম নতুন সোনা মেশাতে হবে।

অতএব, নতুন সোনা মেশানোর পর মোট সোনার পরিমাণ হবে $12+y$ এবং মোট তামার পরিমাণ হবে ৪ গ্রাম। অনুপাত অনুযায়ী: $$\frac{12+y}{4}=4$$ $$12+y=4\times 4$$ $$12+y=16$$ $$y=16-12$$ $$y=4\text{ গ্রাম}$$ অতএব, ৪ গ্রাম সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, $$a:b=4:7$$ এবং $$b:c=5:6$$ আমরা $b$ কে সাধারণ করে $a:b:c$ নির্ণয় করব।

এখন, $b$-কে সাধারণ (LCM) আকারে আনতে হবে। $$b=7\times 5=35$$ অতএব, $a:b=4\times 5:7\times 5=20:35$ এবং $$b:c=5\times 7:6\times 7=35:42$$ তাহলে, $$a:b:c=20:35:42$$ অতএব, $a:b:c=20:35:42$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা হলো $x$।

প্রশ্ন অনুযায়ী, $$\frac{২}{৭}\times x=৬৪$$ এখন, $x$ নির্ণয় করি: $$x=\frac{৬৪\times ৭}{২}$$ $$x=\frac{৪৪৮}{২}$$ $$x=২২৪$$ অতএব, সংখ্যাটি হলো ২২৪।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, গোয়ালার মোট গাভীর সংখ্যা $n$। প্রথম পুত্রকে $\frac{১}{২}$ অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ $\frac{n}{2}$ গাভী। দ্বিতীয় পুত্রকে $\frac{১}{৪}$ অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ $\frac{n}{4}$ গাভী। তৃতীয় পুত্রকে $\frac{১}{৫}$ অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ $\frac{n}{5}$ গাভী। চতুর্থ পুত্রকে বাকি $৭$ গাভী দিয়েছে। তাহলে, $$\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\frac{n}{5}+৭=n$$ $$\frac{10n}{20}+\frac{5n}{20}+\frac{4n}{20}+৭=n$$ $$\frac{19n}{20}+৭=n$$ $$7=n-\frac{19n}{20}$$ $$7=\frac{20n-19n}{20}$$ $$7=\frac{n}{20}$$ $$n=7\times 20$$ $$n=140$$ অতএব, ঐ গোয়ালার মোট গাভীর সংখ্যা ছিল 140।

ব্যাখ্যাঃ মিশ্র অনুপাত নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে প্রতিটি অনুপাতের প্রথম পদগুলি গুণ করতে হবে এবং দ্বিতীয় পদগুলি গুণ করতে হবে। তারপর, দুটি গুণফলের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় করতে হবে।

প্রথম পদগুলোর গুণফল: ৫ × ৭ × ৩ = ১০৫
দ্বিতীয় পদগুলোর গুণফল: ১৮ × ২ × ৬ = ২১৬

সুতরাং, মিশ্র অনুপাতটি হবে ১০৫ : ২১৬।

এখন, এই অনুপাতটিকে সরল করা যেতে পারে। ১০৫ এবং ২১৬ উভয়কেই ৩ দিয়ে ভাগ করা যায়:

১০৫ ÷ ৩ = ৩৫
২১৬ ÷ ৩ = ৭২

সুতরাং, মিশ্র অনুপাতটি হবে ৩৫ : ৭২।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, পানির পরিমাণ $x$ লিটার।

অনুপাত অনুসারে, দুধের পরিমাণ হবে $5x/2$ লিটার। দেওয়া আছে যে দুধের পরিমাণ পানির চেয়ে ৬ লিটার বেশি, সুতরাং: $$\frac{5x}{2}=x+6$$ $$\frac{5x}{2}-x=6$$ $$\frac{5x-2x}{2}=6$$ $$\frac{3x}{2}=6$$ $$3x=12$$ $$x=4$$ তাহলে পানির পরিমাণ ৪ লিটার।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
1. মিশ্রণের মোট পরিমাণ = ৬০ লিটার
2. কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত = ৭ : ৩

কেরোসিনের পরিমাণ: $$\frac{7}{7+3}\times 60=\frac{7}{10}\times 60=42\text{ লিটার}$$ পেট্রোলের পরিমাণ: $$\frac{3}{7+3}\times 60=\frac{3}{10}\times 60=18\text{ লিটার}$$ ধরা যাক:
- $x$ লিটার পেট্রোল মিশালে অনুপাত ৩ : ৭ হবে।

নতুন অনুপাত: $$\frac{42}{18+x}=\frac{3}{7}$$ সমীকরণ সমাধান: $$42\times 7=3\times (18+x)$$ $$294=54+3x$$ $$294-54=3x$$ $$240=3x$$ $$x=\frac{240}{3}$$ $$x=80$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 80\text{ লিটার}}}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা হলো $x$।
প্রদত্ত শর্ত অনুসারে: $$\frac{1}{2}x+6=\frac{2}{3}x$$ এখন $x$-এর মান নির্ণয় করি:

১. প্রথমে ভগ্নাংশগুলো সরল করার জন্য উভয় পাশে $6$-এর ল.সা.গু $6$ দ্বারা গুণ করি: $$6\cdot \frac{1}{2}x+6\cdot 6=6\cdot \frac{2}{3}x$$ $$3x+36=4x$$ ২. সমীকরণটি পুনরায় লিখি: $$36=4x-3x$$ $$36=x$$ উত্তর: সংখ্যাটি হলো $36$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রথম রাশি $x$ এবং দ্বিতীয় রাশি $y$। প্রশ্ন অনুসারে: $$x=64\mathrm{\%}\text{of}y=\frac{64}{100}y$$ এখন $x:y$-এর অনুপাত নির্ণয় করি: $$x:y=\frac{64}{100}y:y$$ $$x:y=64:100$$ $$x:y=16:25$$ উত্তর: রাশি দুটির অনুপাত হলো $16:25$।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সেই সংখ্যা হলো $x$। প্রশ্ন অনুযায়ী, $$\frac{২}{৭}\times x=৬৪$$ এখন $x$-এর মান বের করতে সমীকরণটি সাজাই: $$x=\frac{৬৪\times ৭}{২}=\frac{৪৪৮}{২}=২২৪$$ অতএব, সংখ্যাটি হলো ২২৪।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ক = x এবং খ = y
প্রশ্নমতে,
x এর ১৫% = y এর ২০%
বা, ১৫x/১০০ = ২০y/১০০
বা, ১৫x = ২০y
বা, ৩x = ৪y
বা, x/y = ৪/৩
সুতরাং, ক : খ = ৪ : ৩

ব্যাখ্যাঃ ১. ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $5x$ এবং $8x$

২. প্রশ্নমতে, উভয় সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে নতুন অনুপাত হবে: $$\frac{5x+2}{8x+2}=\frac{2}{3}$$ ৩. সমীকরণ সমাধান: $$3(5x+2)=2(8x+2)$$ $$15x+6=16x+4$$ $$15x-16x=4-6$$ $$-x=-2⟹x=2$$ ৪. সংখ্যা দুটি নির্ণয়: $$\text{প্রথম সংখ্যা}=5x=5\times 2=10$$ $$\text{দ্বিতীয় সংখ্যা}=8x=8\times 2=16$$ উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো $\boxed{{\displaystyle 10}}$ এবং $\boxed{{\displaystyle 16}}$।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, দুটি সংখ্যা যথাক্রমে $3x$ এবং $7x$।

উভয় সংখ্যার সাথে ১০ যোগ করলে নতুন সংখ্যা হবে $3x+10$ এবং $7x+10$।

এখন, নতুন অনুপাত দেওয়া আছে ১:২, অর্থাৎ, $$\frac{3x+10}{7x+10}=\frac{1}{2}$$ $$2(3x+10)=1(7x+10)$$ $$6x+20=7x+10$$ $$7x-6x=20-10$$ $$x=10$$ সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি হবে $3x=3\times 10=30$।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, তিনটি নলের এক ঘণ্টায় পূরণ ক্ষমতা বের করি—

প্রথম নল: $$\frac{1}{8}\text{ অংশ প্রতি ঘণ্টায়}$$ দ্বিতীয় নল: $$\frac{1}{12}\text{ অংশ প্রতি ঘণ্টায়}$$ তৃতীয় নল: $$\frac{1}{24}\text{ অংশ প্রতি ঘণ্টায়}$$ তাহলে, তিনটি নল একসাথে এক ঘণ্টায় পূরণ করবে: $$\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}$$ সাধারণ ল.সা.গু ২৪ নিয়ে যোগ করলে: $$\frac{3}{24}+\frac{2}{24}+\frac{1}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$$ অর্থাৎ, তিনটি নল একসাথে এক ঘণ্টায় চৌবাচ্চার $\frac{1}{4}$ অংশ পূরণ করবে।

এখন, চৌবাচ্চার $\frac{3}{4}$ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগবে: $$\frac{3}{4}÷\frac{1}{4}=3\times 1=3\text{ ঘণ্টা}$$ সুতরাং, চৌবাচ্চার তিন-চতুর্থাংশ পূর্ণ হতে ৩ ঘণ্টা সময় লাগবে।