প্রাক্টিস বীজগাণিতিক রাশি অধ্যায়ের বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. x² + y² + z² = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² এর মান-

[ বিসিএস ৪৬তম ]

12

19

16

14

ব্যাখ্যাঃ আমরা (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² প্রসারিত করি: \[ (x + 2y)^2 + (y + 2z)^2 + (z + 2x)^2 \] \[ = x^2 + 4y^2 + 4xy + y^2 + 4z^2 + 4yz + z^2 + 4x^2 + 4zx + 4xz \] \[ = (x^2 + y^2 + z^2) + 4(xy + yz + zx) + 4(x^2 + y^2 + z^2) \] \[ = 5(x^2 + y^2 + z^2) + 4(xy + yz + zx) \] \[ = 5(2) + 4(1) \] \[ = 10 + 4 \] \[ = 14 \] উত্তর: \[ \boxed{14} \]

২. p + q = 5 এবং p – q = 3 হলে p² + q² এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৫তম ]

8

17

19

34

ব্যাখ্যাঃ আমরা $p^2 + q^2$ নির্ণয়ের জন্য পরিচিত সূত্র $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ ব্যবহার করবো।

প্রথমে, দেওয়া আছে:
$p + q = 5$
$p - q = 3$

এখন দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাই:
\[
(p + q) + (p - q) = 5 + 3
\]
\[
2p = 8
\]
\[
p = 4
\]

এখন $p - q = 3$ ব্যবহার করে q এর মান নির্ণয় করি:
\[
4 - q = 3
\]
\[
q = 1
\]

এখন, $p^2 + q^2$ নির্ণয় করি:
\[
p^2 + q^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17
\]

$p^2 + q^2 = 17$

৩. $$x = \sqrt{4} + \sqrt{3}$$ হলে, $$x^3 + \frac{1}{x^3}$$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৩তম ]

$$5\sqrt{3}$$

$$52$$

$$5\sqrt{2}$$

$$2\sqrt{5}$$

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: আগে বের করি $x + \frac{1}{x}$

$$
x = 2 + \sqrt{3}
\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}
$$

ধরি, $\frac{1}{x}$ কে সরল করি:

$$
\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}
$$

$$
x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4
$$

ধাপ ২: এখন ব্যবহার করি সূত্র:

$$
x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)
$$

বসাই:

$$
x^3 + \frac{1}{x^3} = 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = \boxed{52}
$$

৪. $$x + 2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{2}{3}}=0$$ হলে, $$ x^3 + 6$$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

$$4x$$

$$6x$$

4

8

ব্যাখ্যাঃ \[
x = - \left(2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}\right)
\]
\[
x^3 = - \left( (2^{\frac{1}{3}})^3 + (2^{\frac{2}{3}})^3 + 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot (2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}) \right)
\]
\[
x^3 = - (2 + 4 + 3 \cdot 2 \cdot (-x))
\]
\[
x^3 = -(6 - 6x)
\]
\[
x^3 = -6 + 6x
\]
\[
x^3 + 6 = 6x
\]

৫. $$a+b = 7$$ এবং $$ab = 12$$ হলে $$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

$$\frac{3}{25}$$

$$\frac{25}{144}$$

$$\frac{31}{144}$$

$$\frac{11}{49}$$

ব্যাখ্যাঃ $$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}
$$
$$
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2 \times 12 = 49 - 24 = 25
$$
$$
ab = 12 \Rightarrow ab^2 = (ab)^2 = 144
$$
$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{25}{144}
$$

৬. $$\frac{(0.9)^3+(0.4)^3}{0.9+0.4}$$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪০তম ]

0.36

0.51

0.81

0.61

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$

এখানে, $a = 0.9$এবং$b = 0.4$

সুতরাং, $$(0.9)^3+(0.4)^3 = (0.9+0.4)((0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2)$$

এখন, প্রদত্ত রাশিমালাটিকে আমরা লিখতে পারি:
$$\frac{(0.9+0.4)((0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2)}{0.9+0.4}$$
$$(0.9+0.4)$$
$$(0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2$$
$$(0.81) - (0.36) + (0.16)$$
$$= 0.81 - 0.36 + 0.16$$
$$= 0.45 + 0.16$$
$$= 0.61$$

সুতরাং, $\frac{(0.9)^3+(0.4)^3}{0.9+0.4}$ এর মান 0.61।

৭. যদি $$x^4 – x^2 + 1 = 0$$ হয়, তবে, $$x^3 + \frac{1}{x^3}$$ = কত?

[ বিসিএস ৪০তম ]

৩

২

১

০

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
$x^4 – x^2 + 1 = 0$

আমরা $x^2$ দিয়ে উভয় পক্ষকে ভাগ করি (যেহেতু $x \neq 0$, কারণ $x=0$ হলে $1=0$ হয় যা সত্য নয়):
$\frac{x^4}{x^2} – \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0$
$x^2 – 1 + \frac{1}{x^2} = 0$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$

এখন আমরা $(x + \frac{1}{x})^2$ এর মান বের করি:
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
$(x + \frac{1}{x})^2 = (x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2$
$(x + \frac{1}{x})^2 = 1 + 2 = 3$

সুতরাং, $x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{3}$

এখন আমরা $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান বের করব। আমরা জানি,
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

এখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$.
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})(x^2 - x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})(x^2 - 1 + \frac{1}{x^2})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})((x^2 + \frac{1}{x^2}) - 1)$

আমরা জানি $x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{3}$ এবং $x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$. এই মানগুলো বসিয়ে পাই:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\pm \sqrt{3})(1 - 1)$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\pm \sqrt{3})(0)$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 0$

সুতরাং, যদি $x^4 – x^2 + 1 = 0$ হয়, তবে $x^3 + \frac{1}{x^3} = 0$.

৮. $$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$ হলে, $$x^3 + \frac{1}{x^3}$$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৮তম ]

$$3\sqrt{2}$$

$$18\sqrt{3}$$

$$12\sqrt{3}$$

8

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$।

প্রথমে $\frac{1}{x}$ এর মান বের করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$
হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ দিয়ে গুণ করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1}$
$\frac{1}{x} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

এখন, $x + \frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করি:
$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$

এখন আমরা $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান বের করব। আমরা জানি যে $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$।
এখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \times x \times \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 (x + \frac{1}{x})$

$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$ এই মানটি বসিয়ে পাই:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (2\sqrt{3})^3 - 3 (2\sqrt{3})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 2^3 \times (\sqrt{3})^3 - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 8 \times (3\sqrt{3}) - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (24 - 6)\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3}$

সুতরাং, $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান হলো $18\sqrt{3}$।

৯. $$x^2-3x+1=0$$ হলে, $$(x^2-\frac{1}{x^2})$$ এর মান-

[ বিসিএস ৩৭তম ]

$$5\sqrt{3}$$

$$3\sqrt{5}$$

$$4\sqrt{5}$$

$$6\sqrt{5}$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 - 3x + 1 = 0$

প্রথমে, $x$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$
$x + \frac{1}{x} = 3$

এখন, $(x^2 - \frac{1}{x^2})$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$।
সুতরাং, $(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$

আমরা $x + \frac{1}{x} = 3$ জানি।
এখন $x - \frac{1}{x}$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
তাহলে, $(x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
$(x - \frac{1}{x})^2 = (3)^2 - 4 \cdot 1$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 9 - 4$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 5$
$x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{5}$

এখন $(x^2 - \frac{1}{x^2})$ এর মান বের করি:
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = 3 \cdot (\pm \sqrt{5})$
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = \pm 3\sqrt{5}$

সুতরাং, $(x^2-\frac{1}{x^2})$ এর মান $\pm 3\sqrt{5}$।

১০. $$x-\frac{1}{x}=1$$ হলে, $$x^3-\frac{1}{x^3}$$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৬তম ]

1

2

3

4

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $x-\frac{1}{x}=1$

আমাদের $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$।

এখানে $a=x$ এবং $b=\frac{1}{x}$ ধরে পাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3} = \left(x-\frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x-\frac{1}{x}\right)$$

এখন, $x-\frac{1}{x}=1$ মানটি সমীকরণে বসাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3} = (1)^3 + 3 \cdot 1 \cdot (1)$$$$x^3-\frac{1}{x^3} = 1 + 3$$$$x^3-\frac{1}{x^3} = 4$$

সুতরাং, $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান হলো 4।

১১. $$\frac{(5^{n+2}+35×5^{n-1})}{(4×5^n)}$$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৪তম ]

4

8

5

7

ব্যাখ্যাঃ :
প্রদত্ত রাশিটি হলো $\frac{(5^{n+2}+35×5^{n-1})}{(4×5^n)}$

প্রথমে আমরা লবকে (numerator) সরল করি:
$5^{n+2}+35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1+3} + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}×5^3 + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}×(125) + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}(125+35)$
$= 5^{n-1}(160)$

এবার আমরা হরকে (denominator) সরল করি:
$4×5^n$
$= 4×5^{n-1+1}$
$= 4×5^{n-1}×5^1$
$= 4×5×5^{n-1}$
$= 20×5^{n-1}$

এখন, লব ও হরকে একত্রিত করে পাই:
$\frac{160×5^{n-1}}{20×5^{n-1}}$

উভয় পক্ষ থেকে $5^{n-1}$ কেটে দিলে পাই:
$\frac{160}{20} = ৮$

সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো ৮।

১২. $$x+y=2, x^2+y^2=4$$ হলে $$x^3+y^3=$$ কত?

[ বিসিএস ৩৪তম ]

8

9

16

25

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি:
$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$

প্রশ্নে দেওয়া:

$x + y = 2$
$x^2 + y^2 = 4$

আমরা জানি:

$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$

$2^2 = 4 + 2xy \Rightarrow 4 = 4 + 2xy \Rightarrow 2xy = 0
\Rightarrow xy = 0$

এখন মূল সূত্রে বসাই:

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$

$= 2^3 - 3 \cdot 0 \cdot 2 = 8 - 0 = 8$

১৩. $$(\sqrt[3]{3}×\sqrt[3]{4})^6$$ = কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

12

48

36

144

ব্যাখ্যাঃ $\implies (\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{4})^৬$

$\implies (\sqrt[৩]{৩ \times ৪})^৬$

$\implies (\sqrt[৩]{১২})^৬$

$\implies (১২^{\frac{১}{৩}})^৬$

$\implies ১২^{(\frac{১}{৩} \times ৬)}$

$\implies ১২^২$

$\implies ১২ \times ১২ = ১৪৪$

অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান হলো ১৪৪।

১৪. $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^3}} = $$ কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

a

1

$$a^{\frac{1}{3}}$$

$$a^3$$

ব্যাখ্যাঃ
প্রথমে ভিতরের বর্গমূলটি সমাধান করা যাক:
$\sqrt[3]{a^3} = a^{\frac{৩}{৩}} = a^১ = a$

এবার এই ফলাফলটিকে বাইরের বর্গমূলের মধ্যে বসানো যাক:
$\sqrt[3]{a}$

যেহেতু $\sqrt[3]{a}$ এর মান কোনো পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই এটিকেই আমরা এভাবে লিখতে পারি:
$a^{\frac{১}{৩}}$

১৫. $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}$$ কত?

[ বিসিএস ৩২তম ]

$$\sqrt{3}+\sqrt{2}$$

$$3+\sqrt{2}$$

$$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$

$$\sqrt{3}+2$$

ব্যাখ্যাঃ
ভগ্নাংশের হর (denominator) থেকে বর্গমূল চিহ্নটি সরানোর জন্য আমরা হর-এর অনুবন্ধী রাশি (conjugate) $\sqrt{6}-2$ দিয়ে লব (numerator) ও হর উভয়কেই গুণ করব।

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+2)} \times \frac{(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}-2)}$

লব = $\sqrt{2}(\sqrt{6}-2) = \sqrt{12} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

হর = $(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$

এখন, লব ও হর-এর মান বসিয়ে পাই:
$\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

১৬. $${4^x+4^x+4^x+4^x}$$ এর মান নিচের কোনটি?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

$$16^x$$

$$4^{4x}$$

$$2^{2x+2}$$

$$2^{8x}$$

ব্যাখ্যাঃ
$৪^x+৪^x+৪^x+৪^x$

$= ৪ \times ৪^x$
$= ৪^1 \times ৪^x$
$= ৪^{1+x}$

১৭. $$ a-\frac{1}{a}=3 $$ হলে $$a^3+\frac{1}{a^3} $$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩১তম ]

9

18

27

36

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হল: \[ a - \frac{1}{a} = 3 \] আমাদের নির্ণয় করতে হবে: \[ a^3 + \frac{1}{a^3} \] ### ধাপ ১: $ a^2 + \frac{1}{a^2} $ নির্ণয় করা আমরা জানি, \[ \left( a - \frac{1}{a} \right)^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \] এখন উভয় পাশে বর্গ করলে পাইঃ \[ (3)^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \] \[ 9 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \] \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 11 \] ### ধাপ ২: $ a^3 + \frac{1}{a^3} $ নির্ণয় করা আমরা জানি, \[ a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right) \times \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) + \left(a - \frac{1}{a}\right) \] এখন, \[ a^3 + \frac{1}{a^3} = (3 \times 11) + 3 \] \[ = 33 + 3 \] \[ = 36 \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \[ \mathbf{36} \]

১৮. যদি (x - y)² = 14 এবং xy = 2 হয়, তবে x² + y² = কত?

[ বিসিএস ২৭তম ]

12

14

16

18

ব্যাখ্যাঃ

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমরা প্রথমে (x - y)² এর সূত্রটি ব্যবহার করব এবং তারপর প্রদত্ত মানগুলি ব্যবহার করে x² + y² এর মান বের করব।
আমরা জানি যে,
(x - y)² = x² - 2xy + y²
প্রশ্নমতে, (x - y)² = 14 এবং xy = 2।
সুতরাং,
14 = x² - 2(2) + y²
বা, 14 = x² - 4 + y²
বা, 14 + 4 = x² + y²
বা, 18 = x² + y²
অতএব, x² + y² = 18।
সুতরাং, নির্ণেয় উত্তর হলো 18।

১৯. $$(\sqrt{3}.\sqrt{5})^4$$ - এর মান কত?

[ বিসিএস ২৬তম ]

30

60

225

15

ব্যাখ্যাঃ $$(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^4 = (\sqrt{15})^4$$ এখন, $ (\sqrt{15})^4 $ কে লিখতে পারি: $$ (\sqrt{15})^4 = (\sqrt{15})^2 \cdot (\sqrt{15})^2$$ এখন, $ (\sqrt{15})^2 = 15 $ হয়, তাই: $$ (\sqrt{15})^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 15 \cdot 15 = 225 $$ সুতরাং, $$(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^4 = 225$$

২০. $$x+y=8, x-y=6$$ হলে, $$x^2+y^2$$ এর মান –

[ বিসিএস ২৬তম ]

40

60

50

80

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণ দুটি ব্যবহার করে $ x^2 + y^2 $ এর মান বের করবো। প্রদত্ত সমীকরণ দুটি: \[ x + y = 8 \] \[ x - y = 6 \] ### ধাপ ১: $ x $ এবং $ y $ এর মান নির্ণয় দুটি সমীকরণ যোগ করলে, \[ (x + y) + (x - y) = 8 + 6 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] এখন, $ x + y = 8 $ সমীকরণে $ x = 7 $ বসালে, \[ 7 + y = 8 \] \[ y = 1 \] ### ধাপ ২: $ x^2 + y^2 $ এর মান নির্ণয় \[ x^2 + y^2 = 7^2 + 1^2 \] \[ = 49 + 1 \] \[ = 50 \] অতএব, $ x^2 + y^2 $ এর মান হবে ৫০। ✅

২১. $$a+\frac{1}{a}=\sqrt{3}$$ হলে, $$a^2+\frac{1}{a^2}$$ এর মান–

[ বিসিএস ২৬তম ]

6

4

2

1

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে $ a^2 + \frac{1}{a^2} $ এর মান বের করব। প্রদত্ত সমীকরণ: \[ a + \frac{1}{a} = \sqrt{3} \] ### ধাপ ১: উভয় পাশে বর্গ করা \[ \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 = (\sqrt{3})^2 \] \[ a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 3 \] \[ a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 3 \] ### ধাপ ২: সমাধান করা \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 3 - 2 \] \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 1 \] অতএব, $ a^2 + \frac{1}{a^2} $ এর মান হবে ১।

২২. $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}$$ সমান-

[ বিসিএস ২৬তম ]

$$\sqrt{3}+\sqrt{2}$$

$$8-\sqrt{2}$$

$$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$

$$\sqrt{3}+2$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ভগ্নাংশটি সরলীকরণ করব: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \] ### ধাপ ১: হর থেকে ঐকিক পদ সরানো (যূক্পদ মুক্ত করা) হরকে যূক্পদ মুক্ত করতে আমরা সঙ্গতি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করব। সঙ্গতি ভগ্নাংশ হবে $ \sqrt{6} - 2 $, তাই আমরা হর ও লব দুটোতেই এটি দ্বারা গুণ করবো: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \times \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} - 2} \] ### ধাপ ২: হরের গুণফল নির্ণয় \[ (\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2) \] এটি $ a^2 - b^2 $ সূত্র প্রয়োগ করে পাই: \[ 6 - 4 = 2 \] অর্থাৎ, হর = 2। ### ধাপ ৩: লবের গুণফল নির্ণয় \[ \sqrt{2} (\sqrt{6} - 2) \] \[ = \sqrt{12} - 2\sqrt{2} \] \[ = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \] ### ধাপ ৪: ভগ্নাংশ সরলীকরণ \[ \frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2} \] \[ = \sqrt{3} - \sqrt{2} \] --- ### উত্তর: \[ \sqrt{3} - \sqrt{2} \quad \text{✅} \]

২৩. $$x^2-8x-8y+16+y^2$$ -এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

[ বিসিএস ২৬তম ]

$$-2xy$$

$$8xy$$

$6xy$$

$$2xy$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদী $ x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2 $ এর সঙ্গে এমন একটি সংখ্যা যোগ করব, যাতে এটি একটি পূর্ণবর্গ হয়ে যায়। --- ### ধাপ ১: পূর্ণবর্গের কাঠামো খুঁজে বের করা প্রদত্ত বহুপদীটি আমরা নতুনভাবে সাজাই: \[ x^2 - 8x + y^2 - 8y + 16 \] এটি আমরা $ (x - a)^2 + (y - b)^2 $ আকারে আনতে চাই। --- ### ধাপ ২: পূর্ণবর্গের জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যা খোঁজা আমরা লক্ষ করি, যদি $2xy$ যোগ করি, তাহলে একে একটি পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা সম্ভব। অর্থাৎ, \[ x^2 - 8x + y^2 - 8y + 16 + 2xy \] এটি $ (x - y)^2 $ বা $ (x - a)^2 + (y - b)^2 $ রূপে রূপান্তরিত হবে। --- ### উত্তর: $ 2xy $ যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ বহুপদীতে পরিণত হবে। ✅

২৪. $$x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$$ হলে, $$x^2+\frac{1}{x^3}$$ -এর মান-

[ বিসিএস ২৫তম ]

2

4

0

6

ব্যাখ্যাঃ $$\mathrm {x^3+{1\over x^3}}= \mathrm {(\mathrm {x+{1\over x})^3}-3x. {1\over x}(x+ {1\over x}})$$ $$({\sqrt{3}})^3-3\sqrt 3=3\sqrt3-3\sqrt 3=0$$

২৫. $$x+y=6$$ এবং $$xy=8$$ হলে $$(x-y)^2$$ –এর মান কত?

[ বিসিএস ২৫তম | প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ২১-০৪-২০১৪ ]

4

6

8

12

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: \[ x + y = 6 \] \[ xy = 8 \] আমরা $(x - y)^2$ এর মান নির্ণয় করতে চাই। ### সমাধান: আমরা জানি, \[ (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy \] প্রদত্ত মানগুলি বসালে: \[ (x - y)^2 = (6)^2 - 4 \times 8 \] \[ (x - y)^2 = 36 - 32 \] \[ (x - y)^2 = 4 \] ### উত্তর: \[ \boxed{4} \]

২৬. $\mathrm {x+y=7}$ এবং $\mathrm{xy=10}$ হলে, $\mathrm{(x-y})^2$-এর মান কত?

[ বিসিএস ২৪তম ]

3

6

9

12

ব্যাখ্যাঃ আমরা $ (x-y)^2 $ এর মান নির্ণয় করতে পারি। প্রথমে, $ (x-y)^2 $ এর সম্প্রসারণ করি: \[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] এখন, $ x^2 + y^2 $ এর মান নির্ণয় করার জন্য $ (x+y)^2 $ ব্যবহার করি: \[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] আমাদের জানা আছে $ x + y = 7 $ এবং $ xy = 10 $, তাই: \[ (x+y)^2 = 7^2 = 49 \] \[ 49 = x^2 + 2xy + y^2 \] এখন, $ x^2 + y^2 $ নির্ণয় করি: \[ x^2 + y^2 = 49 - 2xy \] যেহেতু $ xy = 10 $: \[ x^2 + y^2 = 49 - 2 \times 10 = 49 - 20 = 29 \] এখন, $ (x-y)^2 $ নির্ণয় করি: \[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] \[ (x-y)^2 = 29 - 20 = 9 \] তাহলে, $ (x-y)^2 $ এর মান হল ৯।

২৭. $2\mathrm {x^2+x-}15$-এর উৎপাদন কোনটি?

[ বিসিএস ২৪তম ]

$(\mathrm {x+3)(2x}-5)$

$(\mathrm {x-3)(2x}-5)$

$(\mathrm {x-3)(2x}+5)$

$(\mathrm {x+3)(2x}+5)$

ব্যাখ্যাঃ আমরা $2x^2 + x - 15$ এর উৎপাদন (factorization) করতে পারি। প্রথমে, আমরা $2x^2 + x - 15$ কে এমনভাবে বিভক্ত করতে পারি যা দুটি গুণফল থেকে সমীকরণ তৈরি হয়। ধরি, $2x^2 + x - 15 = (ax + b)(cx + d)$ এখন, $a \times c = 2$ এবং $b \times d = -15$ হওয়া প্রয়োজন। ধরি, $ (2x + 5)(x - 3) $: \[ (2x + 5)(x - 3) \] \[ = 2x^2 - 6x + 5x - 15 \] \[ = 2x^2 - x - 15 \] এখন, আমরা ধরা হয়েছে $2x^2 + x - 15$ এর উৎপাদন $ (2x + 5)(x - 3) $। সুতরাং, $2x^2 + x - 15$ এর উৎপাদন (factors) হল $ (2x + 5)(x - 3) $।

২৮. $$x+y=12$$ এবং $$x-y=2$$ হলে $$xy$$ -এর মান কত?

[ বিসিএস ২২তম | প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ২১-০৪-২০১৪ | প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ০৮-১১-২০১৩ ]

35

140

70

144

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা দুটি সমীকরণ সমাধান করব: \[ x + y = 12 \] \[ x - y = 2 \] এই দুটি সমীকরণকে যোগ করে পাই: \[ (x + y) + (x - y) = 12 + 2 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] এখন $ x $-এর মান $ x + y = 12 $ সমীকরণে বসাই: \[ 7 + y = 12 \] \[ y = 12 - 7 \] \[ y = 5 \] তাহলে, $ x = 7 $ এবং $ y = 5 $। এখন $ xy $-এর মান নির্ণয় করি: \[ xy = 7 \times 5 = 35 \] তাহলে, $ xy $-এর মান হল ৩৫।

২৯. $$\frac{x}{y}$$ এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল $$\frac{2y}{x}$$ হবে?

[ বিসিএস ২০তম ]

$$\frac{2y^2-x^2}{xy}$$

$$\frac{x^2-2y^2}{xy}$$

$$\frac{x^2+2y^2}{xy}$$

$$\frac{x^2-y^2}{xy}$$

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো, $\frac{x}{y}$ এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল $\frac{2y}{x}$ হবে?

ধরা যাক, যোগফল হবে $k$।

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়াবে: \[ \frac{x}{y} + k = \frac{2y}{x} \] $k$-এর মান নির্ণয়ের জন্য: \[ k = \frac{2y}{x} - \frac{x}{y} \] এখন সাধারণ হার নির্ণয় করতে ল.সা.গু (LCM) নেব: \[ k = \frac{2y^2 - x^2}{xy} \] তাহলে, সঠিক উত্তর: \[ k = \frac{2y^2 - x^2}{xy} \]

৩০. $$x^2+y^2=8$$ এবং $$xy=7$$ হলে $$(x+y)^2$$ এর মান কত?

[ বিসিএস ২০তম | প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১১-০৪-২০১৩ ]

14

16

22

31

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, \[ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \] প্রশ্নে প্রদত্ত, \[ x^2 + y^2 = 8 \] \[ xy = 7 \] অতএব, \[ (x + y)^2 = 8 + 2 \times 7 \] \[ (x + y)^2 = 8 + 14 \] \[ (x + y)^2 = 22 \] অতএব, $(x+y)^2$ এর মান হলো ২২।

৩১. $$x-[x-{x-(x+1)}]$$- এর মান কত?

[ বিসিএস ১৭তম ]

$$x+1$$

$$1$$

$$-1$$

$$x-1$$

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটিকে সরল করি: \[ x - [x - \{ x - (x + 1) \}] \] প্রথমে ভেতরের অংশটি সমাধান করি: \[ x - (x + 1) = -1 \] এখন, \[ x - [x - \{ -1 \}] \] এর পরবর্তী ধাপ: \[ x - [x + 1] = x - x - 1 = -1 \] অতএব, $ x - [x - \{ x - (x + 1) \}] $ এর মান হলো -১।

৩২. $$f(x) = x^2+ \frac{1}{x}+1$$ -এর অনুরূপ কোনটি?

[ বিসিএস ১৭তম ]

$$f(x)=1$$

$$f(0)=1$$

$$f(-1)=3$$

$$f(1)=3$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা $ f(x) = x^2 + \frac{1}{x} + 1 $ সমীকরণের জন্য প্রদত্ত গাণিতিক বাক্যগুলো বিশ্লেষণ করি:

কঃ $ f(x) = 1 $ \[ x^2 + \frac{1}{x} + 1 = 1 \] \[ x^2 + \frac{1}{x} = 0 \] এখানে সমীকরণটি সত্য নয় কারণ $ x $ এবং $\frac{1}{x}$ একে অপরকে বাতিল করে দিতে পারবে না।

খঃ $ f(0) = 1 $ \[ f(0) \] সমীকরণের ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ করতে পারি না কারণ $\frac{1}{0}$ অসংজ্ঞায়িত। তাই এটি অনুরূপ নয়।

গঃ $ f(-1) = 3 $ \[ f(-1) = (-1)^2 + \frac{1}{-1} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \] যেটা ৩ নয়, তাই এটি সঠিক নয়।

ঘঃ $ f(1) = 3 $ \[ f(1) = (1)^2 + \frac{1}{1} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \] যা সঠিক।

অতএব, $ f(x) = x^2 + \frac{1}{x} + 1 $ সমীকরণের অনুরূপ $ f(1) = 3 $ গাণিতিক বাক্যটি সঠিক।

৩৩. যদি $$x^2+px+6=0$$ এর মূল দুটি সমান এবং $$p>0$$ তবে $$p$$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৭তম ]

$$\sqrt{48}$$

0

$$\sqrt{6}$$

$$\sqrt{24}$$

ব্যাখ্যাঃ যদি $ x^2 + px + 6 = 0 $ এর মূল দুটি সমান হয়, তবে সমীকরণের বিয়োজনকে $ \Delta = 0 $ হতে হবে।

বিয়োজনের সূত্র অনুযায়ী: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] এখানে, $ a = 1 $, $ b = p $, এবং $ c = 6 $।

তাহলে, \[ \Delta = p^2 - 4 \times 1 \times 6 \] \[ 0 = p^2 - 24 \] \[ p^2 = 24 \] \[ p = \sqrt{24} \] পরে, $ p > 0 $ হওয়ার কারণে, $ p = \sqrt{24} $ হবে।

অতএব, $ p $ এর মান হলো $ \sqrt{24} $।

৩৪. $$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab}{a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ac}=$$ কত?

[ বিসিএস ১৬তম ]

$$a+b+c$$

$$\frac{a+b-c}{a-b+c}$$

$$\frac{a-b+c}{a+b-c}$$

$$\frac{a+b-c}{a+b+c}$$

ব্যাখ্যাঃ \[\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab}{a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ac}\] \[\Rightarrow \frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{(a+c)^{2}-b^{2}}\] \[\Rightarrow \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{(a+c+b)(a+c-b)}\] \[\Rightarrow \frac{a+b-c}{a-b+c}\]

৩৫. $$a+b+c=9, a^2+b^2+c^2=29$$ হলে $$ab+bc+ca$$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৬তম ]

52

46

26

22

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি ছিলঃ $ a + b + c = 9 $ এবং $ a^2 + b^2 + c^2 = 29 $। $ ab + bc + ca $ এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা নিচের পরিচিত পরিচয়ের ব্যবহার করিঃ \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] প্রথমে, আমরা জানি যে: \[ (9)^2 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] এখন, সরল করিঃ \[ 81 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] 29 উভয় দিক থেকে বিয়োগ করুন: \[ 52 = 2(ab + bc + ca) \] 2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন: \[ ab + bc + ca = 26 \] অতএব, $ ab + bc + ca $ এর মান 26।

৩৬. $a=1, b=-1, c=2, d=-2$ হলে, $a-(-b)-(-c)-(-d)$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৫তম ]

0

1

2

3

ব্যাখ্যাঃ $a=1, b=-1, c=2, d=-2$

ধরি, $a - (-b) - (-c) - (-d)$ এর মান নির্ণয় করি।

প্রথমে, নেতিবাচক চিহ্নগুলিকে সরিয়ে ফেলি: \[a - (-b) - (-c) - (-d) = a + b + c + d\] অতএব, $1 + (-1) + 2 + (-2)$ এর মান বের করি: \[1 - 1 + 2 - 2 = 0\] অতএব, $a - (-b) - (-c) - (-d)$ এর মান হল ০।

৩৭. $(2+x)+3=3(x+2)$ হলে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৫তম ]

$$-\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{3}$$

$$\frac{2}{3}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা সমীকরণটি ধাপে ধাপে সমাধান করি:

প্রথমে মূল সমীকরণটি লিখি: \[ (2 + x) + 3 = 3(x + 2) \] এখন বন্ধনীগুলি সরিয়ে ফেলি: \[ 2 + x + 3 = 3x + 6 \] এখন উভয় পক্ষে একত্রিত করি: \[ 5 + x = 3x + 6 \] এখন $x$ এর শর্তগুলো একপক্ষে এবং ধ্রুবকগুলো অন্যপক্ষে নিয়ে যাই: \[ 5 - 6 = 3x - x \] \[ -1 = 2x \] এখন $x$ নির্ণয় করি: \[ x = \frac{-1}{2} \] অতএব, সমীকরণের জন্য $ x $ এর মান হলো $-\frac{1}{2}$।

৩৮. $\frac{1}{2}{(a+b)^2+(a-b)^2}=$ কত?

[ বিসিএস ১৪তম ]

$a^2+b^2$

$a^2-b^2$

$\frac{(a+b)^2}{2}-\frac{(a-b)^2}{2}$

$(a+b)^2+(a-b)^2$

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে $ (a + b)^2 $ এবং $ (a - b)^2 $ বের করি: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] এখন এই দুটি যোগ করি: \[ (a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) \] \[ = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 \] \[ = 2a^2 + 2b^2 \] এখন এই যোগফলটির $ \frac{1}{2} $ অংশ বের করি: \[ \frac{1}{2} (2a^2 + 2b^2) \] \[ = a^2 + b^2 \] অতএব, \[ \frac{1}{2} ((a + b)^2 + (a - b)^2) = a^2 + b^2 \]

৩৯. যদি $x^3+hx+10=0$ এর সমাধান $2$ হয়, তবে $h$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৩তম ]

10

9

$-9$

$-2$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণে $ x = 2 $ বসিয়ে $ h $ এর মান নির্ণয় করা যাবে। সমীকরণটি হলো: \[ x^3 + hx + 10 = 0 \] \[ (2)^3 + h(2) + 10 = 0 \] \[ 8 + 2h + 10 = 0 \] \[ 18 + 2h = 0 \] \[ 2h = -18 \] \[h = \frac{-18}{2} \] \[h = -9 \] অতএব, $ h $ এর মান -9।

৪০. $[২ - ৩ (২-৩)^{-১}]^{-১}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৩তম ]

5

$-5$

$\frac{১}{৫}$

$-\frac{১}{৫}$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশিটি হলো: \[ [২ - ৩ (২-৩)^{-১}]^{-১} \] এটি সমাধান করতে আমরা ধাপে ধাপে এগোই।

ধাপ ১: ভিতরের বন্ধনী সমাধান
প্রথমে ভিতরের বন্ধনী $ (২-৩)^{-১} $ সমাধান করি: \[ ২ - ৩ = -১ \] \[ (২-৩)^{-১} = (-১)^{-১} = -১ \] ধাপ ২: মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন
এখন মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন করি: \[ [২ - ৩ \times (-১)]^{-১} \] ধাপ ৩: গুণন সমাধান \[ ৩ \times (-১) = -৩ \] ধাপ ৪: যোগ সমাধান \[ ২ - (-৩) = ২ + ৩ = ৫ \] ধাপ ৫: শেষ ধাপ
এখন রাশিটি হলো: \[ [৫]^{-১} = \frac{১}{৫} \] ফলাফল \[ [২ - ৩ (২-৩)^{-১}]^{-১} = \frac{১}{৫} \] অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান $\frac{১}{৫}$।

৪১. $P$ -এর মান কত হলে $4x^2-Px+9$ একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

[ বিসিএস ১২তম ]

10

9

16

12

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো, $4x^2 - Px + 9$ একটি পূর্ণ বর্গ হবে যখন $P$-এর মান কত হবে?

যে কোনো দ্বিঘাত রাশি $ (ax + b)^2 $ আকারে লিখলে সেটি পূর্ণ বর্গ হয়। \[ (a x + b)^2 = a^2 x^2 + 2 a b x + b^2 \] দেওয়া বহুপদীটি: \[ 4x^2 - Px + 9 \] এটি পূর্ণ বর্গ হলে, এটিকে উপরোক্ত আকারে প্রকাশ করা যাবে। তুলনা করে পাই: \[ a^2 = 4 \implies a = 2 \text{ বা } a = -2 \] \[ b^2 = 9 \implies b = 3 \text{ বা } b = -3 \] এখন, $P = 2ab$ প্রথম ক্ষেত্রে: $a = 2$, $b = 3$ \[ P = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \] দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: $a = 2$, $b = -3$ \[ P = 2 \cdot 2 \cdot -3 = -12 \] তৃতীয় ক্ষেত্রে: $a = -2$, $b = 3$ \[ P = 2 \cdot -2 \cdot 3 = -12 \] চতুর্থ ক্ষেত্রে: $a = -2$, $b = -3$ \[ P = 2 \cdot -2 \cdot -3 = 12 \] অতএব, $P$-এর মান হতে পারে $12$ বা $-12$।

৪২. $x^2-8x-8y+16+y^2$ এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

[ বিসিএস ১২তম ]

$-2xy$

$8xy$

$6xy$

$2xy$

ব্যাখ্যাঃ \[x^{2}-8x-8y+16+y^{2}\] \[=x^{2}+y^{2}+(-4)^{2}+2xy-8y-8x-2xy\] \[=x^{2}+y^{2}+(-4)^{2}+2.x.y+2.y(-4)+2(-4)x-2xy\] \[=(x+y-4)^{2}-2xy\] পূর্ণ বর্গ করতে হলে 2xy যোগ করতে হবে।

৪৩. $2x^2-x-15$ এর উৎপাদক হবে-

[ বিসিএস ১২তম ]

$(x+6)(x-5)$

$(x-5)(x-6)$

$(x+3)(x-5)$

$(2x+5)(x-3)$

ব্যাখ্যাঃ \[2x^2 - x - 15\] \[= 2x^2 - 6x + 5x - 15\] \[= 2x(x - 3) + 5(x - 3)\] \[= (2x + 5)(x - 3)\]

৪৪. $a^4+4$ এর উৎপাদক কি কি?

[ বিসিএস ১২তম | প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ০৮-১১-২০১৩ ]

$(a^2 + 2a + 2)(a^2 - 2a - 2)$

$ (a^2 + 2a + 2)(a^2 - 2a + 2)$

$(a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a - 2)$

$ (a^2 - 2a - 2)(a^2 - 2a + 2)$

ব্যাখ্যাঃ \[a^4 + 4\] \[= (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 2 + 2^2 - 2a^2 \cdot 2\] \[= (a^2 + 2)^2 - (2a)^2\] \[= (a^2 + 2 + 2a)(a^2 + 2 - 2a)\] \[= (a^2 + 2a + 2)(a^2 - 2a + 2)\]

৪৫. $a-\{a-(a+1)\}=$ কত?

[ বিসিএস ১১তম ]

$a-1$

$1$

$a$

$a+1$

ব্যাখ্যাঃ এই সমীকরণটি সমাধান করতে হলে ধাপে ধাপে এগিয়ে যাই: \[a - \{a - (a+1)\} \] প্রথমে ব্র্যাকেট এর ভিতরের অংশ সমাধান করি: \[ a - (a+1) = a - a - 1 = -1 \] তাহলে, মূল সমীকরণটি হয়ে যায়: \[ a - \{-1\} \] এখন নেগেটিভ সাইনটি বাদ দেই: \[ a - (-1) = a + 1 \] অতএব, সমীকরণটির ফলাফল হল: \[ a + 1 \]

৪৬. যদি $a^3-b^3=513$ এবং $a-b=3$ হয় তবে $ab$ -এর মান কত?

[ বিসিএস ১১তম | ১২তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) | প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১৩-১১-২০১৩ ]

54

35

45

55

ব্যাখ্যাঃ ধরি, \[ a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b) \] আমাদের দেওয়া আছে $a - b = 3$, তাই \[ 513 = 27 + 9ab \] \[ 9ab = 486 \] অতএব, \[ ab = \frac{486}{9} = 54 \]

৪৭. $(x+3)(x-3)$ কে $x^2-6$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

[ বিসিএস ১১তম ]

$-6$

$3$

$6$

$-3$

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা $ (x+3)(x-3) $ প্রকাশ করি: \[ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 \] এখন, $ x^2 - 6 $ দিয়ে ভাগ করি: \[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 6} \] এখানে $ x^2 - 9 $ কে $ x^2 - 6 $ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল $ 1 $ এবং ভাগশেষ $ -3 $ হবে। তাহলে, \[ \boxed{-3} \]

৪৮. $a+b=5$ এবং $a-b=3$ হলে $ab$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১০তম | প্রা. প্র. শি. নি.১১-১০-২০১২ | প্রা. বি. স. শি. নি. ৩০-১০-২০০৮ ]

2

3

4

5

ব্যাখ্যাঃ আমরা দেওয়া সমীকরণগুলোকে ব্যবহার করবো: \[a + b = 5\] \[a - b = 3\] প্রথমে, $a$ এবং $b$ এর মান নির্ণয় করি। দুটি সমীকরণ যোগ করি: \[ (a + b) + (a - b) = 5 + 3 \] \[ 2a = 8 \] \[ a = 4 \] এখন, $a$ এর মান ব্যবহার করে $b$ এর মান নির্ণয় করি: \[ a + b = 5 \] \[ 4 + b = 5 \] \[ b = 1 \] এখন $ab$ এর মান নির্ণয় করি: \[ ab = 4 \times 1 = 4 \] অতএব, $ab$ এর মান 4।

৪৯. যদি $(x-5)(a+x)=x^2-25$ তবে $a$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১০তম ]

$-5$

$5$

$25$

$-25$

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে: \[ (x-5)(a+x) = x^2 - 25 \] প্রথমে, $ (x-5)(a+x) $ কে সরলীকরণ করি: \[ (x-5)(a+x) = (x-5)a + (x-5)x \] \[ = xa + x^2 - 5a - 5x \] এখন, সমীকরণটি সমান হলে: \[ xa + x^2 - 5a - 5x = x^2 - 25 \] উভয় পক্ষ থেকে $ x^2 $ বাদ দিলে: \[ xa - 5a - 5x = -25 \] $ x $ এর সহগ সমীকরণ: \[ a - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 5 \] ধ্রুবক পদ সমীকরণ: \[ -5a = -25 \quad \Rightarrow \quad a = 5 \] অতএব, $ a $ এর মান $ 5 $।

৫০. $a+b+c=0$ হলে $a^3+b^3+c^3$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১০তম ]

abc

3abc

6abc

9abc

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে: \[ a + b + c = 0 \] আমরা জানি যে, $a + b + c = 0$ হলে, \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \] কিন্তু যেহেতু $a + b + c = 0$, \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 \] \[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \] অতএব, $a + b + c = 0$ হলে $a^3 + b^3 + c^3$ এর মান হবে $3abc$।

৫১. $(4x^2-16)$ এবং $6x^2+24x+24$ এর গসাগু–

[ বিসিএস ৩১তম ]

$x+2$

$x+4$

$x+5$

$2(x+2)$

ব্যাখ্যাঃ \[ 4x^2 - 16 = 4(x^2 - 4) = 2 \cdot 2 (x + 2)(x - 2) \] \[ 6x^2 + 24x + 24 = 6(x^2 + 4x + 4) = 2 \cdot 3 (x + 2)^2 \] ∴ গ.সা.গু = $2(x + 2)$

৫২. $x^3-x^2$ কে $x-2$ দ্বারা ভাগ করলে অবশেষ থাকবে–

[ বিসিএস ৩১তম ]

2

4

-6

-8

ব্যাখ্যাঃ \[ x - 2 = 0 \implies x = 2 \] এখানে, $f(x) = x^3 - x^2$। তাহলে, $f(2) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4$। অতএব, অবশিষ্টাংশ হল $4$।

৫৩. যদি $a^2+\frac{1}{a^2}=51$ হয় তবে $a-\frac{1}{a}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩১তম ]

$±9$

$±7$

$±5$

$±3$

ব্যাখ্যাঃ আমরা $a^2 + \frac{1}{a^2} = 51$ থেকে $a - \frac{1}{a}$-এর মান বের করতে পারি। ধাপে ধাপে সমাধান নিচে দেখানো হলো:

১. $a - \frac{1}{a}$-এর বর্গের সূত্র ব্যবহার করি: \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \] ২. এখানে $a^2 + \frac{1}{a^2} = 51$ দেওয়া আছে, তাই: \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 51 - 2 = 49 \] ৩. বর্গমূল নিয়ে পাই: \[ a - \frac{1}{a} = \sqrt{49} \quad \text{বা} \quad a - \frac{1}{a} = -\sqrt{49} \] ৪. তাই: \[ a - \frac{1}{a} = 7 \quad \text{বা} \quad a - \frac{1}{a} = -7 \] উত্তর: $a - \frac{1}{a}$-এর মান $7$ বা $-7$।

৫৪. $f(x)=x^3-2x+10$ হলে $f(0)$ কত?

[ বিসিএস ৩১তম ]

1

5

8

10

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত $f(x) = x^3 - 2x + 10$-এ $x = 0$ বসিয়ে $f(0)$ এর মান নির্ণয় করা যাক: \[ f(0) = (0)^3 - 2(0) + 10 \] এখন সরলীকরণ করি: \[ f(0) = 0 - 0 + 10 = 10 \] অতএব, $f(0) = 10$।

৫৫. $x^2-8x-8y+16+y^2$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

[ বিসিএস ৩২তম ]

$4xy$

$2xy$

$6xy$

$8xy$

ব্যাখ্যাঃ \[x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2\] \[= x^2 + (-4)^2 + y^2 + 2 \cdot x \cdot (-4) + 2 \cdot (-4) \cdot y + 2xy - 2xy\] \[= (x - 4 + y)^2 - 2xy\] সুতরাং, পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করতে $2xy$ যোগ করতে হবে।

৫৬. $x^3+x^2y,~~ x^2y+xy^2$ এর ল.সা.গু কোনটি?

[ বিসিএস ৩২তম ]

$xy$

$x+y$

$xy(x+y)$

$x^2y(x+y)$

ব্যাখ্যাঃ $x^3 + x^2y$ এবং $x^2y + xy^2$-এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হলে আমরা তাদের গুণনীয়কগুলো নির্ণয় করে সাধারণ গুণনীয়ক বের করব।

১. প্রথম বহুপদী: \[ x^3 + x^2y = x^2(x + y) \] ২. দ্বিতীয় বহুপদী: \[ x^2y + xy^2 = xy(x + y) \] এখন $x^3 + x^2y$ এবং $x^2y + xy^2$-এর সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজতে হলে $x^2$, $xy$, এবং $(x + y)$ মিলিত বহুগুণ বের করতে হবে। তাদের ল.সা.গু হবে: \[ x^2y(x + y) \] ল.সা.গু হলো $x^2y(x + y)$।

৫৭. $x-\frac{1}{x}=7$ হলে $ {x^3- \Big({1\over x}\Big)^3}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩২তম ]

334

154

364

512

ব্যাখ্যাঃ
প্রদত্ত রাশিটির মান নির্ণয়ের জন্য আমরা $a^3-b^3$ এর সূত্র ব্যবহার করব, যেখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।

আমরা জানি:
$a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$

এখানে, $x^3- \Big({1\over x}\Big)^3$ = $\Big(x-\frac{1}{x}\Big)^3 + 3(x)\Big(\frac{1}{x}\Big)\Big(x-\frac{1}{x}\Big)$

প্রশ্নমতে, $x-\frac{1}{x}=7$
সুতরাং, মানগুলো বসিয়ে পাই:
$= (7)^3 + 3(1)(7)$
$= 343 + 21$
$= 364$

৫৮. যদি a+b=2, ab=1 হয় তবে a এবং b এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]

1, 1

-1, 3

-3, -4

0, 2

ব্যাখ্যাঃ ধরি, $a$ এবং $b$ দুটি সংখ্যা। আমাদের দেওয়া আছে:

১. $a + b = 2$
২. $ab = 1$

এখন আমরা $a$ এবং $b$-এর মান নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গ সমীকরণ গঠন করব। বর্গ সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো: \[ x^2 - (a+b)x + ab = 0 \] এখন $a+b = 2$ এবং $ab = 1$ এর মান ব্যবহার করি: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] এটি একটি পূর্ণ বর্গ ধরণের সমীকরণ: \[ (x - 1)^2 = 0 \] তাহলে, $x = 1$। অর্থাৎ, $a = 1$ এবং $b = 1$।

উত্তর: $a = 1$ এবং $b = 1$।

৫৯. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}=$ কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\sqrt{3}+2$

$\sqrt{3}+\sqrt{2}$

$3-\sqrt{2}$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ভগ্নাংশ: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \] এখন আমরা লঘিষ্ঠ করার জন্য লব্ধি ও হরকে $\sqrt{6} - 2$ দিয়ে গুণ করি, যাকে লঘিষ্ঠকরণ পদ্ধতি বলা হয়। \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \cdot \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} - 2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)} \] এখন হরের গুণফল বের করি। এটি $(a + b)(a - b)$-এর সূত্র অনুযায়ী হয়: \[ (\sqrt{6})^2 - (2)^2 = 6 - 4 = 2 \] তাহলে ভগ্নাংশটি হয়: \[ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2)}{2} \] এখন সরল করি: \[ \frac{\sqrt{2}\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{12}}{2} - \sqrt{2} \] $\sqrt{12}$ কে সরল করলে পাই $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$। তাহলে চূড়ান্ত রূপটি হবে: \[ \frac{2\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \] উত্তর: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \]

৬০. যদি x + 5y = 24 এবং x = 3y হয় তাহলে y এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]

৪

9.5

3

7

ব্যাখ্যাঃ প্রথম সমীকরণটি: \[ x + 5y = 24 \] দ্বিতীয় সমীকরণটি: \[ x = 3y \] প্রথম সমীকরণে $x = 3y$ বসাই: \[ 3y + 5y = 24 \] সরল করি: \[ 8y = 24 \] এখন $y$-এর মান নির্ণয় করি: \[ y = \frac{24}{8} = 3 \] উত্তর: $y = 3$।

৬১. (2+x)+3 = 3(x+2) হলে x এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

$\frac{১}{৩}$

$−\frac{১}{৩}$

$\frac{১}{২}$

$−\frac{১}{২}$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \[ (2 + x) + 3 = 3(x + 2) \] এখন ধাপে ধাপে সমাধান করি: \[ 2 + x + 3 = 3(x + 2) \] \[ 5 + x = 3(x + 2) \] \[ 5 + x = 3x + 6 \] \[ 5 - 6 = 3x - x \] \[ -1 = 2x \] \[ x = \frac{-1}{2} \] উত্তর: $ x = -\frac{1}{2} $।

৬২. যদি $a + b + c = 0$ হয় তবে $a^3 + b^3 + c^3 $ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]

1

3abc

abc

0

ব্যাখ্যাঃ যখন $a + b + c = 0$, তখন একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক পরিচিতি অনুযায়ী: \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \] এখানে $a + b + c = 0$, সুতরাং উপরের সমীকরণটি হয়: \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 \] অতএব, \[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \] সুতরাং, $a + b + c = 0$ হলে, $a^3 + b^3 + c^3$-এর মান হয় $3abc$।

৬৩. যদি ( 6x-y, 13)= (1, 3x+2y) হয়, তাহলে (x, y) = কত?

[ প্রা.বি.স.শি. (৩য় ধাপ) 03-06-2022 ]

(2, 3)

(3, 2)

(1, 5)

(5, 1)

ব্যাখ্যাঃ

এখানে, দুটি ক্রমজোড় সমান হলে তাদের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলোও সমান হবে।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

১. 6x - y = 1
২. 3x + 2y = 13
আমরা এখন এই দুটি সমীকরণ সমাধান করে x এবং y এর মান বের করব।

প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা y এর মান বের করতে পারি:
y = 6x - 1
এখন, এই মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই:
3x + 2(6x - 1) = 13
বা, 3x + 12x - 2 = 13
বা, 15x = 15
বা, x = 1
এখন, x এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই:
6(1) - y = 1
বা, 6 - y = 1
বা, y = 5
সুতরাং, (x, y) = (1, 5)

৬৪. $$x+y=12$$ এবং $$x-y=2$$ হলে $$xy$$ -এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]

৪৫

৩০

৪০

৩৫

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা দুটি সমীকরণ সমাধান করব: \[ x + y = 12 \] \[ x - y = 2 \] এই দুটি সমীকরণকে যোগ করে পাই: \[ (x + y) + (x - y) = 12 + 2 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] এখন $ x $-এর মান $ x + y = 12 $ সমীকরণে বসাই: \[ 7 + y = 12 \] \[ y = 12 - 7 \] \[ y = 5 \] তাহলে, $ x = 7 $ এবং $ y = 5 $। এখন $ xy $-এর মান নির্ণয় করি: \[ xy = 7 \times 5 = 35 \] তাহলে, $ xy $-এর মান হল ৩৫।

৬৫. 2x = 3y + 5 হলে 4x - 6y = কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]

10

15

20

12

ব্যাখ্যাঃ আমরা $ 2x = 3y + 5 $ সমীকরণ থেকে $ x $ এবং $ y $-এর সম্পর্ক ব্যবহার করে $ 4x - 6y $-এর মান বের করব।

প্রথমে $ 2x = 3y + 5 $-কে দ্বিগুণ করি যাতে $ 4x $ পাওয়া যায়: \[ 4x = 2(3y + 5) = 6y + 10 \] এখন $ 4x - 6y $ বের করার জন্য: \[ 4x - 6y = (6y + 10) - 6y = 10 \] অতএব, $ 4x - 6y $-এর মান হলো ১০।

৬৬. $x − \frac{1}{x} = 2 হলে x^4 + \frac{1}{x^4}$

[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]

32

33

34

35

ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে কাজ করি:

প্রথমে দেওয়া সমীকরণ: \[ x - \frac{1}{x} = 2 \] এখন, উভয় পক্ষের বর্গ করলে: \[ (x - \frac{1}{x})^2 = 2^2 \] \[ x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 4 \] \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 \] এখন, উভয় পক্ষের বর্গ করলে: \[ (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 6^2 \] \[ x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 36 \] \[ x^4 + \frac{1}{x^4} = 34 \] সুতরাং, চূড়ান্ত উত্তর ৩৪।

৬৭. y এর মান কত হলে $16x^2 − xy + 25$ একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]

64

40

25

36

ব্যাখ্যাঃ আমরা চাই $ 16x^2 - xy + 25 $ একটি পূর্ণবর্গ রাশি হোক, অর্থাৎ এটি $ (ax + b)^2 $ আকারে লেখা সম্ভব হতে হবে।

ধাপে ধাপে সমাধান:
পূর্ণবর্গ রাশির সাধারণ রূপ: \[ (ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2 \] এটি তুলনা করে পাই:
$ a^2 = 16 $ ⟹ $ a = 4 $ (যেহেতু ধনাত্মক নেওয়া যায়)
$ 2ab = -y $ ⟹ $ 2(4)b = -y $ ⟹ $ 8b = -y $
$ b^2 = 25 $ ⟹ $ b = ±5 $

$ y $ নির্ণয়: \[ y = -8b \] যখন $ b = 5 $: \[ y = -8 \times 5 = -40 \] যখন $ b = -5 $: \[ y = -8 \times (-5) = 40 \] সুতরাং, $ y = 40 $ বা $ y = -40 $ হলে $ 16x^2 - xy + 25 $ একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

বিকল্প নিয়ম:
\[16x^2 - xy + 25\] \[= (4x)^2 - 2.4x.5 + 5^2\] \[= (4x - 5)^2\] সুতরাং y এর স্থলে 5 হলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ হবে।

৬৮. $x+y =7$ এবং $xy =10$ হলে $( x − y )^2$ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 26-06-2019 ]

6

32

4

9

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, \[ (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy \] এখন, প্রদত্ত মান বসাই: \[ (x - y)^2 = 7^2 - 4 \times 10 \] \[ = 49 - 40 \] \[ = 9 \] সুতরাং, $ (x - y)^2 $ এর মান ৯।

৬৯. $a-[a-a-(a-1)]=?$

[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]

2a +1

2a-1

1

-1

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, $ a - a $ অংশ সরলীকরণ করি: \[ a - a = 0 \] এখন, সমীকরণটি হয়: \[ a - [0 - (a - 1)] \] \[ a - [-(a - 1)] \] \[ a + (a - 1) \] \[ a + a - 1 \] \[ 2a - 1 \] সুতরাং, $ a - [a - a - (a - 1)] = 2a - 1 $।

৭০. $a + b =9 , a-b=7 হলে ab =$ কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]

7

6

9

8

ব্যাখ্যাঃ $$ab = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4}$$ সূত্রে মান বসিয়ে পাই: $$ab = \frac{(9)^2 - (7)^2}{4}$$$$ab = \frac{81 - 49}{4}$$$$ab = \frac{32}{4}$$ $$ab = 8$$
বিকল্প:
প্রথমে, $ a $ এবং $ b $ এর মান বের করি— \[ a + b = 9 \] \[ a - b = 7 \] দুই সমীকরণ যোগ করি: \[ (a + b) + (a - b) = 9 + 7 \] \[ 2a = 16 \] \[ a = \frac{16}{2} = 8 \] এখন, $ b $ এর মান নির্ণয় করি— \[ b = 9 - a = 9 - 8 = 1 \] তাহলে, \[ ab = 8 \times 1 = 8 \] সুতরাং, $ ab = 8 $।

৭১. $4x^2 + 9y^2$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]

12 xy

24xy

2xy

6 xy

ব্যাখ্যাঃ একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে তা $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ অথবা $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ আকারে প্রকাশ করতে হবে।

এখানে, প্রদত্ত রাশিটি হলো $4x^2 + 9y^2$।
আমরা এটিকে $a^2 + b^2$ আকারের সাথে তুলনা করতে পারি, যেখানে $a^2 = 4x^2$ এবং $b^2 = 9y^2$।
তাহলে, $a = \sqrt{4x^2} = 2x$
এবং $b = \sqrt{9y^2} = 3y$

পূর্ণবর্গ রাশি হতে হলে এর সাথে $2ab$ যোগ অথবা বিয়োগ করতে হবে।
$2ab = 2 \times (2x) \times (3y) = 12xy$

সুতরাং, $4x^2 + 9y^2$ এর সাথে $12xy$ যোগ করলে যোগফল $(2x + 3y)^2$ একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।
আবার, $4x^2 + 9y^2$ এর সাথে $-12xy$ যোগ করলে যোগফল $(2x - 3y)^2$ একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

সুতরাং, $4x^2 + 9y^2$ এর সাথে $12xy$ অথবা $-12xy$ যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

৭২. $x − \frac{1}{x} = 1 হলে x^3 − \frac{1}{x^3} $ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]

4.0

1.0

2.0

3.0

ব্যাখ্যাঃ $x - \frac{1}{x} = 1$

আমরা জানি, $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$।

এখানে, $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।

তাহলে, $x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x - \frac{1}{x})$

দেওয়া আছে $x - \frac{1}{x} = 1$। এই মান বসিয়ে পাই:

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (1)^3 + 3 \cdot 1 (1)$
$x^3 - \frac{1}{x^3} = 1 + 3$
$x^3 - \frac{1}{x^3} = 4$

উত্তর: $x^3 - \frac{1}{x^3}$ এর মান ৪।

৭৩. $\frac{x}{y}$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল $\frac{x( 1 + y )}{y}$ হয়?

[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

x

y

$\frac{x( 1 - y )}{y}$

$\frac{1}{y}$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, $\frac{x}{y}$ এর সাথে $A$ যোগ করলে যোগফল $\frac{x(1+y)}{y}$ হয়।
তাহলে,
$\frac{x}{y} + A = \frac{x(1+y)}{y}$

$A = \frac{x(1+y)}{y} - \frac{x}{y}$
$A = \frac{x+xy-x}{y}$
$A = \frac{xy}{y}$
$A = x$

সুতরাং, $\frac{x}{y}$ এর সাথে $x$ যোগ করলে যোগফল $\frac{x(1+y)}{y}$ হবে।

৭৪. $x + y = 3, x^2 + y^2 = 5 হলে, x^3 + y^3 = ?$

[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

34

9

45

54

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$x + y = 3$
$x^2 + y^2 = 5$

আমরা জানি, $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
মান বসিয়ে পাই:
$5 = (3)^2 - 2xy$
$5 = 9 - 2xy$
$2xy = 9 - 5$
$2xy = 4$
$xy = \frac{4}{2}$
$xy = 2$

এখন, আমাদের $x^3 + y^3$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
অথবা, $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$

দ্বিতীয় সূত্রটি ব্যবহার করে পাই:
$x^3 + y^3 = (3)^3 - 3(2)(3)$
$x^3 + y^3 = 27 - 18$
$x^3 + y^3 = 9$

অতএব, $x^3 + y^3 = 9$।

৭৫. $p + q = \sqrt{3}$ এবং $p − q = \sqrt{2}$ হলে, $pq =$ কত?

[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

$\frac{1}{4}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}$

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$p + q = \sqrt{3}$ --- (1)
$p - q = \sqrt{2}$ --- (2)

আমরা জানি, $4pq = (p+q)^2 - (p-q)^2$

এখানে মান বসিয়ে পাই:
$4pq = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$
$4pq = 3 - 2$
$4pq = 1$
$pq = \frac{1}{4}$

অতএব, $pq = \frac{1}{4}$।

৭৬. $x = \sqrt{5} + \sqrt{4}$ হলে $ x^2 + \frac{1}{x^2}$ এর মান কত?

[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

36

27

18

9

ব্যাখ্যাঃ এখানে দেওয়া আছে,
$x = \sqrt{5} + \sqrt{4} = \sqrt{5} + 2$

এখন, $\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$
হর ও লবকে $(\sqrt{5} - 2)$ দিয়ে গুণ করে পাই:
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4}$
$\frac{1}{x} = \sqrt{5} - 2$

এখন, $x + \frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করি:
$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{5} + 2) + (\sqrt{5} - 2) = 2\sqrt{5}$

আমরা জানি, $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$
মান বসিয়ে পাই:
$(2\sqrt{5})^2 - 2$
$= 4 \times 5 - 2$
$= 20 - 2$
$= 18$

সুতরাং, $x^2 + \frac{1}{x^2}$ এর মান 18।

৭৭. যদি $x+\frac{1}{x}=-5$ হয়, তবে $\frac{x}{x^{2}+x+1}$ এর মান কত?

[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

$\frac{1}{4}$

4

-4

$-\frac{1}{4}$

৭৮. $\frac{x}{y}$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল হবে $\frac{y}{x}$ হবে?

[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

$\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}$

$\frac{2x^{2}-y^{2}}{xy}$

$\frac{y^{2}-x^{2}}{xy}$

$\frac{x^{2}-2y^{2}}{xy}$

৭৯. $x^{4}-x^{2}+1=0$ হলে $x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}=?$

[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

0

1

2

4

৮০. দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 13 এবং গণফল 6 হলে, সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর কত?

[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

4

5

6

7

৮১. $f(x)=2x^{2}+3x-1$ হলে $f(0) =$ কত?

[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

6

4

1

-1

৮২. $x+\frac{1}{x}=3$ হলে $x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$ এর মান কোনটি?

[ ১৫তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

$-3\sqrt{3}$

$6\sqrt{3}$

$9\sqrt{3}$

18

৮৩. $4x^{2}+9y^{2}$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি।

[ ১৫তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

2xy

6xy

12xy

24xy

৮৪. $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ হলে $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ এর মান কত?

[ ১৫তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

$\sqrt{3}-2$

1

7

-

৮৫. $(a^{-1})^{-1}$ এর মান নিচের কোনটি সঠিক?

[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

$\frac{1}{a}$

$a^{2}$

a

$\frac{1}{a^{2}}$

৮৬. x>0 এবং $x^{2}=4x$ হলে x এর মান কোনটি?

[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

4

3

2

0

৮৭. $x-\frac{1}{x}=\sqrt{2}\implies x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

0

2

$5\sqrt{2}$

$6\sqrt{2}$

৮৮. $a^{2}-b^{2}$ = 4 এবং ab=3 হলে $a^{2}+b^{2}$ কত?

[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

$\pm10$

10

$\pm11$

11

৮৯. $x+y=2,x^{2}+y^{2}=4$ হলে $x^{3}+y^{3}$ এর মান কত?

[ ১৩তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]

8

12

16

26

৯০. $a=\sqrt{6}+\sqrt{5}, \frac{a^{6}-1}{a^{3}}$ এর মান কত?

[ ১২তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

$45\sqrt{5}$

$47\sqrt{6}$

$46\sqrt{5}$

$43\sqrt{5}$

৯১. a এর মান কত হলে $9-12x+ax^{2}$ একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

[ ১২তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

8

6

4

7

৯২. $9x^{2}+16y^{2}$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

[ ১২তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

6 xy

12xy

24xy

144xy

৯৩. x-এর মান কত হলে $a(x-a)=b(x-b)$ হবে?

[ ১২তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]

a

b-a

a-b

a+b

৯৪. $x+y=2$ এবং $x^2+y^2=4$ হলে, $x^3+y^3$ এর মান কত?

[ ১২তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]

2

14

8

2

৯৫. $x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$ তবে $x^3+\frac{1}{x^3}$ এর মান?

[ ১২তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]

$3\sqrt{5}$

$5$

$2\sqrt{5}$

$3\sqrt{2}$

৯৬. $\frac{x}{y}$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল $\frac{2y}{x}$ হবে?

[ ১২তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]

$\frac{2x^2-y^2}{xy}$

$\frac{2y^2-x^2}{xy}$

$\frac{x^2-2y^2}{xy}$

$\frac{x^2-y^2}{xy}$

৯৭. একটি সংখ্যা ও তার গুনাত্মক বিপরীতে সমষ্টি $\sqrt{3}$. ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন গুনাত্মক বিপরীতে সমষ্টি কত?

[ ১১তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

$-2\sqrt{3}$

0

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

৯৮. $${x}^{4}+{x}^{2}+1$$ এর উৎপাদক কোনটি?

[ ১১ তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

$$(x^{2}+x+1)(x^{2}+x-1)$$

$$(x^{2}-x+1)(x^{2}+x-1)$$

$$(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$$

$$(x^{2}+x+1)(x^{2}+x+1)$$

৯৯. P এর মান কত হলে $${4x}^{2} -px + 9$$ একটি পূর্ণবর্গ হবে?

[ ১১ তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

24

16

12

9

১০০. $a+b=\sqrt{7}$ এবং $a-b=\sqrt{5}$ হলে, $8ab(a^2+b^2)=?$

[ ১১ তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

12

24

36

40

১০১. $x + y = 3, x-y = 1$ হলে, $4xy$ এর মান

[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

4

2

-8

8

১০২. $$\frac{a-b}{ab}+\frac{b-c}{bc}+\frac{c-a}{ca}$$ এর মান-

[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

2

1

0

4

১০৩. $$x-\frac{1}{x}=3$$ হলে, $$\frac{x^{4}+1}{x^{2}}$$ এর মান-

[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

11

10

9

7

১০৪. $a=2b=3c$ এবং $abc=36$ হলে, c এর মান-

[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

$$\sqrt{2}$$

$$2\sqrt{2}$$

2

$$\sqrt[3]{2}$$

১০৫. $$ (a+\frac{1}{a})^{2}=3 $$ হলে, $$ a^{3}+\frac{1}{a^{3}} $$ এর মান কত?

[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

$3\sqrt{3}$

18

9

0

১০৬. $ 4ab $ এর সঠিক প্রয়োগ কোনটি?

[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$

$(a-b)^{2}-(a+b)^{2}$

$$\frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{(a-b)^{2}}{2}$$

$$(\frac{a+b}{2})^{2}-(\frac{a-b}{2})^{2}$$

১০৭. $$a+\frac{1}{a}=3$$ হলে, $$a^{3}+\frac{1}{a^{3}}$$ এর মান কত?

[ ৯ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

16

20

48

18

১০৮. $$x+y=12$$ এবং $$x-y =2$$ হলে $$xy$$ এর মান কত?

[ ৯ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

60

48

35

70

১০৯. $$x^{2}-y^{2},(x+y)^{2},x^{3}+y^{3}$$ এর গ.সা.গু কত?

[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

$$x-y$$

$$x+y$$

$$(x^{2}-y^{2})(x^{3}+y^{3})$$

$$(x-y)(x+y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})$$

১১০. $$a=\sqrt{3}+\sqrt{2}, a^{3}+3a+3a^{-1}+a^{-3}$$ এর মান কত?

[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

$$8\sqrt{2}$$

$$16\sqrt{1}$$

$$18\sqrt{3}$$

$$24\sqrt{3}$$

১১১. $$\sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m}}=2~ হলে, \sqrt{m}-\frac{1}{\sqrt{m}}=$$ এর মান কত?

[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]

$$\sqrt{2}$$

2

4

0

১১২. $$ x+\frac{1}{x}=2 $$ হলে, $$ x^{5}+\frac{1}{x^{5}} = $$ ?

[ ৮ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

2

4

27

64

১১৩. $2x+\frac{2}{x}=3$ হলে, $x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+2$ এর মান কত?

[ ৭ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

5/8

7/8

9/8

11/8

১১৪. $x + y = 8$ এবং $x-y = 2$ হলে, $2x^2 + 2y^2 =$ কত?

[ ৭ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

64

72

70

68

১১৫. $a+b=3$ এবং $ab=3$ হলে, $a^3+b^3$ এর মান কত?

[ ৬ষ্ঠ শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]

0

54

9

45

১১৬. '$a+b=12$ এবং $ab=35$ হলে, $a^{2}+b^{2}$ এর মান কত?'

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১২-১০-২০১২ ]

214

74

49

24

১১৭. $$x-\frac{1}{x}=2$$ হলে, $$x^4+\frac{1}{x^4}=$$ কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি.১১-১০-২০১২ ]

34

32

31

30

১১৮. $9a^{2}+16b^{2}$ রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে পূর্ণ বর্গ হবে?

[ প্রা. প্র. শি. নি.১০-১০-২০১২ ]

12ab

24 ab

36 ab

144 ab

১১৯. $x=2$, $y=3$ হলে, $2x+4y$ এর সাথে $2x^{2}+x-y$ যোগ করলে যোগফল কত হবে?

[ প্রা. প্র. শি. নি.১০-১০-২০১২ ]

5

-7

-8

23

১২০. $$x - \frac{1}{x} = 7$$ হলে, $$x^2 - \frac{1}{x^2}$$ এর মান হবে-

[ প্রা. প্র. শি. নি.০৮-১০-২০১২ ]

42

47

51

54

১২১. $x+\frac{1}{x}=6$ হলে, $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ এর মান হবে-

[ প্রা. প্র. শি. নি.০৭-১০-২০১২ ]

32

34

36

40

১২২. $m+n=12$ এবং $m-n=2$ হলে $mn$ এর মান কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৩-০৯-২০০৯ ]

35

70

140

148

১২৩. $x^{3}-y^{3}=513$ এবং $x-y=3$ হলে $xy$-এর মান কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৩-০৯-২০০৯ ]

35

54

45

55

১২৪. $x+\frac{1}{x}=3$ হলে, $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$ এর মান কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৩-০৯-২০০৯ ]

47

51

27

49

১২৫. $p+q+r=0$ হলে, $p^{3}+q^{3}+r^{3}$ এর মান কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৩-০৯-২০০৯ ]

pqr

$3 pqr$

$6 pqr$

$9 pqr$

১২৬. $a + b =6 , ab = 4$ হলে , $a^3 + b^3 =$ কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি.৯-১০-২০১২ ]

216

144

136

120

১২৭. $m-\frac{1}{m}=2$ হলে, $m^{4}+\frac{1}{m^{4}}=$ কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১১-০৯-২০০৯ ]

30

31

32

34

১২৮. $x-y=10$, $xy=5$ হলে, $(x+y)^{2}=$ কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১১-০৯-২০০৯ ]

80

120

110

90

১২৯. $x+y=5$, $xy=6$ হলে, $x^{3}+y^{3}=$ কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১১-০৯-২০০৯ | প্রা. বি. স. শি. নি. ১২-০১-২০১০ ]

30

35

215

230

১৩০. $p-\frac{1}{p}=3$ হলে, $p^{3}-\frac{1}{p^{3}}=$ কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১১-০৯-২০০৯ ]

18

30

36

54

১৩১. $$a-\frac{1}{a}=3$$ হলে, $$a^3-\frac{1}{a^3}=$$ কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ০৯-০৯-২০০৯ ]

36

-36

18

-15

১৩২. $$x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$$ হলে, $$x^3+\frac{1}{x^3}=$$ কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ০৮-০৯-২০০৯ ]

3

9

27

0

১৩৩. $$(x-\frac{1}{x})^{2}=3$$ হলে, $$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$$ এর মান কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৭-০৪-২০০৮ ]

0

6

$6\sqrt{3}$

9

১৩৪. যদি $x-y=3$ হয়, তাহলে $x^3-y^3-9xy$ এর মান কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৫-০৪-২০০৮ ]

20

22

30

27

১৩৫. $7/9 \div 8/9 \times 64 \times 70/88 = 40$? এর মান কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৫-০৪-২০০৮ ]

১

৯/৮

৫

৬০

১৩৬. যদি $a+b=c$ হয়, তাহলে $a^3+b^3+3abc$ এর মান কত?

[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৫-০৪-২০০৮ ]

$a^3$

$b^3$

2

$c^3$