ব্যাখ্যাঃ আমরা \(3x - 7y + 10 = 0\) এবং \(y - 2x - 3 = 0\)-এর সমাধান বের করতে একটি সমীকরণ পদ্ধতি (substitution বা elimination) ব্যবহার করব। নিচে ধাপে ধাপে সমাধান দেওয়া হলো:

ধাপ ১: \(y\)-এর মান বের করা
দ্বিতীয় সমীকরণটি থেকে \(y\)-এর মান বের করি: \[ y - 2x - 3 = 0 \implies y = 2x + 3 \] ধাপ ২: প্রথম সমীকরণে \(y\)-এর মান বসানো
\(y = 2x + 3\)-কে প্রথম সমীকরণে (\(3x - 7y + 10 = 0\)) বসাই: \[ 3x - 7(2x + 3) + 10 = 0 \] এখন সরল করি: \[ 3x - 14x - 21 + 10 = 0 \] \[ -11x - 11 = 0 \] ধাপ ৩: \(x\)-এর মান বের করা \(-11x - 11 = 0\) সমীকরণ থেকে: \[ -11x = 11 \implies x = -1 \] ধাপ ৪: \(y\)-এর মান বের করা \(x = -1\)-কে \(y = 2x + 3\)-এ বসাই: \[ y = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \] চূড়ান্ত উত্তর: \[ x = -1 \quad \text{এবং} \quad y = 1 \] তাহলে, সমাধান হলো \(x = -1\) এবং \(y = 1\)।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশিটি হলো: \[ 3x^3 + 2x^2 - 21x - 20 \] আমরা এই রাশিটির একটি উৎপাদক বের করতে চাই। উৎপাদক নির্ণয়ের জন্য আমরা সাধারণত উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করি। উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, যদি \( (x - a) \) রাশিটির একটি উৎপাদক হয়, তবে \( x = a \) বসালে রাশিটির মান শূন্য হবে, অর্থাৎ \( f(a) = 0 \)। ### ধাপ 1: সম্ভাব্য উৎপাদক নির্ণয় রাশিটির সম্ভাব্য উৎপাদকগুলি হলো ধ্রুবক পদ \(-20\) এর উৎপাদকগুলিকে সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ \(3\) এর উৎপাদক দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়। সম্ভাব্য উৎপাদকগুলি হলো: \[ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{10}{3}, \pm \frac{20}{3} \] ### ধাপ 2: উৎপাদক উপপাদ্য প্রয়োগ আমরা এই মানগুলিকে \( x \) এ বসিয়ে দেখবো কোনটি রাশিটিকে শূন্য করে। #### \( x = 1 \) বসিয়ে: \[ f(1) = 3(1)^3 + 2(1)^2 - 21(1) - 20 = 3 + 2 - 21 - 20 = -36 \neq 0 \] \( x = 1 \) উৎপাদক নয়। #### \( x = -1 \) বসিয়ে: \[ f(-1) = 3(-1)^3 + 2(-1)^2 - 21(-1) - 20 = -3 + 2 + 21 - 20 = 0 \] \( x = -1 \) বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই \( (x + 1) \) রাশিটির একটি উৎপাদক। ### ধাপ 3: উৎপাদক নিশ্চিতকরণ যেহেতু \( x = -1 \) বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই \( (x + 1) \) রাশিটির একটি উৎপাদক। ### উত্তর: রাশিটির একটি উৎপাদক হলো: \[ \boxed{x + 1} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা \(2x^2 + x - 15\) এর উৎপাদন (factorization) করতে পারি। প্রথমে, আমরা \(2x^2 + x - 15\) কে এমনভাবে বিভক্ত করতে পারি যা দুটি গুণফল থেকে সমীকরণ তৈরি হয়। ধরি, \(2x^2 + x - 15 = (ax + b)(cx + d)\) এখন, \(a \times c = 2\) এবং \(b \times d = -15\) হওয়া প্রয়োজন। ধরি, \( (2x + 5)(x - 3) \): \[ (2x + 5)(x - 3) \] \[ = 2x^2 - 6x + 5x - 15 \] \[ = 2x^2 - x - 15 \] এখন, আমরা ধরা হয়েছে \(2x^2 + x - 15\) এর উৎপাদন \( (2x + 5)(x - 3) \)। সুতরাং, \(2x^2 + x - 15\) এর উৎপাদন (factors) হল \( (2x + 5)(x - 3) \)।

ব্যাখ্যাঃ \[a^4 + 4\] \[= (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 2 + 2^2 - 2a^2 \cdot 2\] \[= (a^2 + 2)^2 - (2a)^2\] \[= (a^2 + 2 + 2a)(a^2 + 2 - 2a)\] \[= (a^2 + 2a + 2)(a^2 - 2a + 2)\]

ব্যাখ্যাঃ রাশিটিকে $(a)^3 + (\sqrt{3})^3$ আকারে লেখা যেতে পারে।

আমরা জানি, $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
এখানে, $x=a$ এবং $y=\sqrt{3}$

সুতরাং, $a^3 + 3\sqrt{3} = a^3 + (\sqrt{3})^3 = (a+\sqrt{3})(a^2 - a\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2)$
$= (a+\sqrt{3})(a^2 - \sqrt{3}a + 3)$

অতএব, $a^3 + 3\sqrt{3}$ এর উৎপাদক হল $(a+\sqrt{3})$ এবং $(a^2 - \sqrt{3}a + 3)$।

ব্যাখ্যাঃ $x^3+6x^2y+11xy^2+6y^3$
$=(x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3)-xy^2-2y^3$
$=(x^3+3\cdot x^2\cdot2y+3\cdot x\cdot(2y)^2+(2y)^3)-xy^2-2y^3$
$=(x+2y)^3-y^2(x+2y)$
$=(x+2y)\{(x+2y)^2-y^2\}$
$=(x+2y)(x+2y+y)(x+2y-y)$
$=(x+2y)(x+3y)(x+y)$
$=(x+y)(x+2y)(x+3y)$