ব্যাখ্যাঃ

১ম ধাপ: সংখ্যাসহগের গ.সা.গু. নির্ণয় করা

দুইটি সহগ হল:
$6$ এবং $4$

$6$ এবং $4$-এর গ.সা.গু. হল $2$।

২য় ধাপ: চলকের গ.সা.গু. নির্ণয় করা

1. $a^2$ এবং $a^3$ → গ.সা.গু. $a^2$
   
2. $b$ এবং $b^2$ → গ.সা.গু. $b$
   
3. $c$ এবং $c^2$ → গ.সা.গু. $c$
   

৩য় ধাপ: চূড়ান্ত উত্তর

সংখ্যা ও চলকের গ.সা.গু. একসাথে লিখলে:
$$\text{গ.সা.গু.}=2a^{2}bc$$

সঠিক উত্তর: $2a^{2}bc$ (খ)

ব্যাখ্যাঃ আমরা গরুর সংখ্যা $x$ ধরে নিচ্ছি।

প্রশ্ন অনুযায়ী, গরুগুলো
⇒ তিন পথে ভাগ হয়, অর্থাৎ $x$ তিন দ্বারা বিভাজ্য।
⇒ সাত ঘাটে পানি পান করে, অর্থাৎ $x$ সাত দ্বারা বিভাজ্য।
⇒ নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায়, অর্থাৎ $x$ নয় দ্বারা বিভাজ্য।
⇒ বারো জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়, অর্থাৎ $x$ বারো দ্বারা বিভাজ্য।

অতএব, $x$ হতে হবে ৩, ৭, ৯, ১২ দ্বারা বিভাজ্য একটি সংখ্যা।

ধাপ ২: ল.সা.গু (LCM) নির্ণয়

আমরা ৩, ৭, ৯, ১২-এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:

$$LCM(3,7,9,12)$$
$$=LCM(3,7,3^2,2^2\times 3)$$
$$=2^2\times 3^2\times 7$$
$$=4\times 9\times 7$$
$$=252$$

চূড়ান্ত উত্তর:

$$\mathbf{252}$$
অর্থাৎ গরুর সংখ্যা ২৫২।

ব্যাখ্যাঃ দুটি সংখ্যার অনুপাত $7:5$ দেওয়া আছে।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $7x$ এবং $5x$, যেখানে $x$ হলো সংখ্যা দুটির গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক)।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = তাদের ল.সা.গু $\times$ তাদের গ.সা.গু।
অর্থাৎ, $(7x)\times (5x)=\text{ল.সা.গু}\times x$

কিন্তু এই পদ্ধতিটি সরাসরি ব্যবহার করার চেয়ে সহজ একটি সম্পর্ক আছে:
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু = তাদের অনুপাতের গুণফল $\times$ গ.সা.গু।
ল.সা.গু $=(7\times 5)\times x$
ল.সা.গু $=35x$

প্রদত্ত ল.সা.গু হলো $140$।
সুতরাং, $35x=140$
$x=\frac{140}{35}$
$x=4$

যেহেতু $x$ হলো সংখ্যা দুটির গ.সা.গু,
সুতরাং, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু হলো $4$।

ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. $\times$ সংখ্যা দুটির গ. সা. গু.

এখানে দেওয়া আছে:
দুটি সংখ্যার গুণফল = ৩৩৮০
গ. সা. গু. = ১৩

ধরি, সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. = $L$

তাহলে, সূত্র অনুযায়ী:
$৩৩৮০=L\times ১৩$

এখন, $L$-এর মান নির্ণয় করতে ১৩ দিয়ে ৩৩৮০-কে ভাগ করতে হবে:
$L=\frac{৩৩৮০}{১৩}$
$L=২৬০$

সুতরাং, সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. হলো ২৬০।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. (GCD) = ১১
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. (LCM) = ৭৭০০
একটি সংখ্যা = ২৭৫

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল তাদের গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. এর গুণফলের সমান।
অর্থাৎ, প্রথম সংখ্যা $\times$ দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু.

ধরি, অপর সংখ্যাটি $x$।

তাহলে,
$২৭৫\times x=১১\times ৭৭০০$
$x=\frac{১১\times ৭৭০০}{২৭৫}$

এখন, কাটাকাটি করি:
$২৭৫$ কে $১১$ দিয়ে ভাগ করলে $২৫$ হয় ($২৭৫÷১১=২৫$)।

$x=\frac{১\times ৭৭০০}{২৫}$
$x=\frac{৭৭০০}{২৫}$

এখন, ৭৭০০ কে ২৫ দিয়ে ভাগ করি:
$৭৭০০÷২৫=(৭৬০০÷২৫)+(১০০÷২৫)=৩০৪+৪=৩০৮$
অথবা,
$৭৭০০÷২৫=(৭৭\times ১০০)÷২৫=৭৭\times ৪=৩০৮$

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হলো ৩০৮।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা উভয় বহুপদীর (polynomials) গুণনীয়ক বিচ্ছেদ (factorization) করতে পারি। প্রথম বহুপদী: $$x^2-11x+30$$ এর গুণনীয়ক বিচ্ছেদ করে পাই: $$(x-5)(x-6)$$ দ্বিতীয় বহুপদী: $$x^3-4x^2-2x-15$$ এখন, উপযুক্ত পদ্ধতি ব্যবহার করে গুণনীয়ক বিচ্ছেদ করতে পারি: $$x^3-4x^2-2x-15=(x-5)(x^2+x-3)$$ আমরা দেখতে পাচ্ছি যে উভয় বহুপদীতে সাধারণ গুণনীয়ক হল $(x-5)$। তাহলে, $x^2-11x+30$ এবং $x^3-4x^2-2x-15$ এর গ.সা.গু. হল $(x-5)$।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, সংখ্যা দুটি হলো $a$ এবং $b$।

গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর সূত্র অনুসারে: $$a\times b=\text{গ.সা.গু}\times \text{ল.সা.গু}$$ প্রশ্নে দেয়া তথ্য অনুসারে: $$a\times b=১২\times ২৪৪৮$$ $$a\times b=২৯৩৭৬$$ এখন, $a$ এবং $b$ এর একটি সম্পর্ক বের করতে হবে। $a$ এবং $b$ এর পার্থক্য হলো ৬০: $$a-b=৬০$$ ধরুন, $a=b+৬০$ তাহলে, $$(b+৬০)\times b=২৯৩৭৬$$ $$b^2+৬০b=২৯৩৭৬$$ $$b^2+৬০b-২৯৩৭৬=০$$ এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এখন, আমরা বর্গমূল সূত্র ব্যবহার করে $b$ এর মান বের করি: $$b=\frac{-৬০\pm \sqrt{৬{০}^{২}+৪\times ২৯৩৭৬}}{২}$$ $$b=\frac{-৬০\pm \sqrt{৩৬০০+১১৭৫০৪}}{২}$$ $$b=\frac{-৬০\pm \sqrt{১২১১০৪}}{২}$$ $$b=\frac{-৬০\pm ৩৪৮}{২}$$ দুটি মান পাওয়া যায়: $$b=\frac{২৮৮}{২}=১৪৪$$ $$b=\frac{-৪০৮}{২}=-২০৪$$ যেহেতু $b$ একটি ধনাত্মক সংখ্যা, তাহলে $b=১৪৪$। এখন $a$ এর মান বের করি: $$a=১৪৪+৬০=২০৪$$ অতএব, দুটি সংখ্যা হলো ১৪৪ এবং ২০৪।

ব্যাখ্যাঃ ল.সা.গু (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) এবং গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) এর মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক আছে: $$\text{ল.সা.গু}\times \text{গ.সা.গু}=\text{সংখ্যা দুইটির গুণফল}$$ আমাদের দেওয়া আছে সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬ এবং ল.সা.গু ৯৬। আমরা গ.সা.গু নির্ণয় করতে পারি: $$\text{গ.সা.গু}=\frac{\text{সংখ্যা দুইটির গুণফল}}{\text{ল.সা.গু}}$$ $$\text{গ.সা.গু}=\frac{১৫৩৬}{৯৬}$$ $$\text{গ.সা.গু}=১৬$$ অতএব, গ.সা.গু এর মান হলো ১৬।

ব্যাখ্যাঃ

৭, ১৪, ২১, ৩৫, ৪২ এর লসাগু ২১০। তাই সর্বনিম্ন ২১০ টি গাছ লাগাগে কম বেশি হবে না।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল তাদের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল সমান।

অর্থাৎ, $$সংখ্যা১\times সংখ্যা২=\text{গ.সা.গু}\times \text{ল.সা.গু}$$ প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, $$10\times x=2\times 360$$ $$10x=720$$ $$x=\frac{720}{10}=72$$ সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হবে ৭২।