ব্যাখ্যাঃ $6x^2–7x–4=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি জানার জন্য, আমাদের প্রথমে এই দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক (discriminant) নির্ণয় করতে হবে। একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $a{x}^2+bx+c=0$ এর নিরূপক হলো $\mathrm{\Delta }=b^2–4ac$.

প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে আমরা পাই:
$a=6$
$b=-7$
$c=-4$

এখন, নিরূপক $\mathrm{\Delta }$ এর মান নির্ণয় করি:
$\mathrm{\Delta }=(-7{)}^2–4(6)(-4)$
$\mathrm{\Delta }=49–(-96)$
$\mathrm{\Delta }=49+96$
$\mathrm{\Delta }=145$

যেহেতু নিরূপক $\mathrm{\Delta }>0$ এবং $\mathrm{\Delta }$ একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা নয় (${12}^2=144$ এবং ${13}^2=169$), তাই সমীকরণের মূলদ্বয় হবে:

• বাস্তব (real)
  
• অসমান (unequal)
  
• অমূলদ (irrational)
  

সুতরাং, $6x^2–7x–4=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব, অসমান এবং অমূলদ।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
$x^4–x^2+1=0$

আমরা $x^2$ দিয়ে উভয় পক্ষকে ভাগ করি (যেহেতু $x\ne 0$, কারণ $x=0$ হলে $1=0$ হয় যা সত্য নয়):
$\frac{x^4}{x^2}–\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}=0$
$x^2–1+\frac{1}{x^2}=0$
$x^2+\frac{1}{x^2}=1$

এখন আমরা $(x+\frac{1}{x}{)}^2$ এর মান বের করি:
$(x+\frac{1}{x}{)}^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$
$(x+\frac{1}{x}{)}^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$
$(x+\frac{1}{x}{)}^2=(x^2+\frac{1}{x^2})+2$
$(x+\frac{1}{x}{)}^2=1+2=3$

সুতরাং, $x+\frac{1}{x}=\pm \sqrt{3}$

এখন আমরা $x^3+\frac{1}{x^3}$ এর মান বের করব। আমরা জানি,
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

এখানে $a=x$ এবং $b=\frac{1}{x}$.
$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})$
$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-1+\frac{1}{x^2})$
$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})((x^2+\frac{1}{x^2})-1)$

আমরা জানি $x+\frac{1}{x}=\pm \sqrt{3}$ এবং $x^2+\frac{1}{x^2}=1$. এই মানগুলো বসিয়ে পাই:
$x^3+\frac{1}{x^3}=(\pm \sqrt{3})(1-1)$
$x^3+\frac{1}{x^3}=(\pm \sqrt{3})(0)$
$x^3+\frac{1}{x^3}=0$

সুতরাং, যদি $x^4–x^2+1=0$ হয়, তবে $x^3+\frac{1}{x^3}=0$.

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো, $4x^2-Px+9$ একটি পূর্ণ বর্গ হবে যখন $P$-এর মান কত হবে?

যে কোনো দ্বিঘাত রাশি $(ax+b{)}^2$ আকারে লিখলে সেটি পূর্ণ বর্গ হয়। $$(ax+b{)}^2=a^2{x}^2+2abx+b^2$$ দেওয়া বহুপদীটি: $$4x^2-Px+9$$ এটি পূর্ণ বর্গ হলে, এটিকে উপরোক্ত আকারে প্রকাশ করা যাবে। তুলনা করে পাই: $$a^2=4⟹a=2\text{ বা }a=-2$$ $$b^2=9⟹b=3\text{ বা }b=-3$$ এখন, $P=2ab$ প্রথম ক্ষেত্রে: $a=2$, $b=3$ $$P=2\cdot 2\cdot 3=12$$ দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: $a=2$, $b=-3$ $$P=2\cdot 2\cdot -3=-12$$ তৃতীয় ক্ষেত্রে: $a=-2$, $b=3$ $$P=2\cdot -2\cdot 3=-12$$ চতুর্থ ক্ষেত্রে: $a=-2$, $b=-3$ $$P=2\cdot -2\cdot -3=12$$ অতএব, $P$-এর মান হতে পারে $12$ বা $-12$।

ব্যাখ্যাঃ $$x^2-8x-8y+16+y^2$$ $$=x^2+y^2+(-4{)}^2+2xy-8y-8x-2xy$$ $$=x^2+y^2+(-4{)}^2+2.x.y+2.y(-4)+2(-4)x-2xy$$ $$=(x+y-4{)}^2-2xy$$ পূর্ণ বর্গ করতে হলে 2xy যোগ করতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে: $$a+b+c=0$$ আমরা জানি যে, $a+b+c=0$ হলে, $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$ কিন্তু যেহেতু $a+b+c=0$, $$a^3+b^3+c^3-3abc=0$$ $$a^3+b^3+c^3=3abc$$ অতএব, $a+b+c=0$ হলে $a^3+b^3+c^3$ এর মান হবে $3abc$।