১. যদি A = {x : x হলো 5, 7 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 150} হয় তবে P(A) এর সদস্য সংখ্যা কত?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
8
12
14
16
ব্যাখ্যাঃ আমরা সেট A-এর সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করতে চাই, যেখানে x হলো 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 150।
1. x, 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য হওয়া মানে x অবশ্যই ল.সা.গু(5,7) দ্বারা বিভাজ্য হবে। \[ ল.সা.গু(5,7) = 35 \] 2. x < 150 শর্তটি মানতে হলে, 35 দ্বারা বিভাজ্য x-এর সম্ভাব্য মানগুলো হতে পারে: \[ 35, 70, 105, 140 \] 3. এভাবে, A-এর সদস্য সংখ্যা হবে 4। অতএব, P(A) বা পাওয়ার সেট-এর সদস্য সংখ্যা হবে: \[ 2^4 = 16 \]
1. x, 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য হওয়া মানে x অবশ্যই ল.সা.গু(5,7) দ্বারা বিভাজ্য হবে। \[ ল.সা.গু(5,7) = 35 \] 2. x < 150 শর্তটি মানতে হলে, 35 দ্বারা বিভাজ্য x-এর সম্ভাব্য মানগুলো হতে পারে: \[ 35, 70, 105, 140 \] 3. এভাবে, A-এর সদস্য সংখ্যা হবে 4। অতএব, P(A) বা পাওয়ার সেট-এর সদস্য সংখ্যা হবে: \[ 2^4 = 16 \]
২. A = {x ∈ N : x² – 5x – 14 = 0} হলে A = ?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
{6, 1}
{- 2, 7}
{2, 7}
{7}
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 - 5x - 14 = 0\}$।
আমাদের প্রথমে $x^2 - 5x - 14 = 0$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা উৎপাদক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এর সমাধান করতে পারি:
$$x^2 - 7x + 2x - 14 = 0$$$$x(x - 7) + 2(x - 7) = 0$$$$(x - 7)(x + 2) = 0$$
সুতরাং, সমীকরণটির দুটি সমাধান হলো:
$$x - 7 = 0 \implies x = 7$$
$$x + 2 = 0 \implies x = -2$$
এখন, সেট $A$-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, $A$ হলো সেই সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যারা $x^2 - 5x - 14 = 0$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$।
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে $x = 7$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কিন্তু $x = -2$ স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।
সুতরাং, সেট $A$-এর একমাত্র উপাদান হলো 7।
অতএব, $A = \{7\}$.
সারাংশ: $x^2 - 5x - 14 = 0$ সমীকরণের সমাধান $x = 7$ এবং $x = -2$. যেহেতু $A$ হলো স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যা এই সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাই $A = \{7\}$.
আমাদের প্রথমে $x^2 - 5x - 14 = 0$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা উৎপাদক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এর সমাধান করতে পারি:
$$x^2 - 7x + 2x - 14 = 0$$$$x(x - 7) + 2(x - 7) = 0$$$$(x - 7)(x + 2) = 0$$
সুতরাং, সমীকরণটির দুটি সমাধান হলো:
$$x - 7 = 0 \implies x = 7$$
$$x + 2 = 0 \implies x = -2$$
এখন, সেট $A$-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, $A$ হলো সেই সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যারা $x^2 - 5x - 14 = 0$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$।
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে $x = 7$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কিন্তু $x = -2$ স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।
সুতরাং, সেট $A$-এর একমাত্র উপাদান হলো 7।
অতএব, $A = \{7\}$.
সারাংশ: $x^2 - 5x - 14 = 0$ সমীকরণের সমাধান $x = 7$ এবং $x = -2$. যেহেতু $A$ হলো স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যা এই সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাই $A = \{7\}$.
0
$$\frac{1}{2}$$
5
1
{ ∅ }
{ 1 }
{ – 1 }
{ 2 }
ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: গাণিতিক সরলীকরণ
উভয় ভগ্নাংশের হর \(x-1\) একই, তাই আমরা তাদের একত্রিত করতে পারি:
\[
\frac{(x-2) + 1}{x-1} - 2 = 0
\]
\[
\frac{x-1}{x-1} - 2 = 0
\]
\[
1 - 2 = 0
\]
\[
-1 = 0
\]
ধাপ ২: বিশ্লেষণ
আমরা দেখতে পাচ্ছি, এই সমীকরণটি ভুল কারণ \(-1 = 0\) হতে পারে না।
অতএব, এই সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই।
অর্থাৎ সমাধানের সেট খালি:
\(
\emptyset
\)
ধাপ ১: গাণিতিক সরলীকরণ
উভয় ভগ্নাংশের হর \(x-1\) একই, তাই আমরা তাদের একত্রিত করতে পারি:
\[
\frac{(x-2) + 1}{x-1} - 2 = 0
\]
\[
\frac{x-1}{x-1} - 2 = 0
\]
\[
1 - 2 = 0
\]
\[
-1 = 0
\]
ধাপ ২: বিশ্লেষণ
আমরা দেখতে পাচ্ছি, এই সমীকরণটি ভুল কারণ \(-1 = 0\) হতে পারে না।
অতএব, এই সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই।
অর্থাৎ সমাধানের সেট খালি:
\(
\emptyset
\)
{3, 5, 8}
{4, 5, 7}
{3, 4, 5}
{3, 5, 7}
ব্যাখ্যাঃ আমরা দুটি সেট \(A\) এবং \(B\) এর ছেদ \(A \cap B\) নির্ণয় করব।
প্রদত্ত সেট:
\(A = \{ x \in \mathbb{N} | 2 < x \leq 8 \} \)
অর্থাৎ \(A = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)
\(B = \{ x \in \mathbb{N} | x\) বিজোড় এবং \(x \leq 9 \} \)
অর্থাৎ \(B = \{1, 3, 5, 7, 9\}\)
\(A \cap B\) নির্ণয়:
\(A\) ও \(B\) এর সাধারণ উপাদান (common elements) হলো \(3, 5, 7\)।
অতএব,
\[
A \cap B = \{3, 5, 7\}
\]
চূড়ান্ত উত্তর:
\[
A \cap B = \{3, 5, 7\}
\]
প্রদত্ত সেট:
\(A = \{ x \in \mathbb{N} | 2 < x \leq 8 \} \)
অর্থাৎ \(A = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)
\(B = \{ x \in \mathbb{N} | x\) বিজোড় এবং \(x \leq 9 \} \)
অর্থাৎ \(B = \{1, 3, 5, 7, 9\}\)
\(A \cap B\) নির্ণয়:
\(A\) ও \(B\) এর সাধারণ উপাদান (common elements) হলো \(3, 5, 7\)।
অতএব,
\[
A \cap B = \{3, 5, 7\}
\]
চূড়ান্ত উত্তর:
\[
A \cap B = \{3, 5, 7\}
\]
{1,2,4}
{1,3,4}
{1,3,6}
{ 1,2,6}
ব্যাখ্যাঃ
এখানে, P = {1,2,3,4,6,12} [12 এর গুণনীয়ক]
আবার, Q = {3,6,9,12} [যেহেতু 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12]
∴ P - Q = {1,2,3,4,6,12} - {3,6,9,12}
= {1,2,4}
৭. সেট $$A = \{ x : x, Fibonacci$$ সংখ্যা এবং $$x^2<64 \}$$ হলে, $$P(A)$$ এর উপাদান কয়টি?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
128
32
64
256
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমাদের সেট $A$ এর উপাদানগুলো বের করতে হবে।
সেট $A$ এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:
$A = \{ x : x, Fibonacci$ সংখ্যা এবং $x^2<64 \}$
প্রথমেই আমরা ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো লিখি:
$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$
এখন, আমরা $x^2 < 64$ শর্তটি পূরণ করে এমন ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করব।
সুতরাং, সেট $A = \{0, 1, 2, 3, 5 \}$।
এখন আমরা সেট $A$ এর উপাদান সংখ্যা নির্ণয় করব।
$|A| = 5$
এরপর, আমাদের $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা বের করতে হবে।
একটি সেটের ক্ষমতা সেট (Power Set) $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^{|A|}$ সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা হয়, যেখানে $|A|$ হলো সেট $A$ এর উপাদান সংখ্যা।
এখানে $|A| = 5$।
অতএব, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হবে $2^5 = 32$।
$P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হলো $32$টি।
সেট $A$ এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:
$A = \{ x : x, Fibonacci$ সংখ্যা এবং $x^2<64 \}$
প্রথমেই আমরা ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো লিখি:
$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$
এখন, আমরা $x^2 < 64$ শর্তটি পূরণ করে এমন ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করব।
- $0^2 = 0 < 64$
- $1^2 = 1 < 64$
- $2^2 = 4 < 64$
- $3^2 = 9 < 64$
- $5^2 = 25 < 64$
- $8^2 = 64$ (এটি $< 64$ শর্ত পূরণ করে না, কারণ $64$ $64$ এর থেকে ছোট নয়)
সুতরাং, সেট $A = \{0, 1, 2, 3, 5 \}$।
এখন আমরা সেট $A$ এর উপাদান সংখ্যা নির্ণয় করব।
$|A| = 5$
এরপর, আমাদের $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা বের করতে হবে।
একটি সেটের ক্ষমতা সেট (Power Set) $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^{|A|}$ সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা হয়, যেখানে $|A|$ হলো সেট $A$ এর উপাদান সংখ্যা।
এখানে $|A| = 5$।
অতএব, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হবে $2^5 = 32$।
$P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হলো $32$টি।
$${1, 2, 3, 4}$$
$${2, 3, 4}$$
$$ {2, 3, 4, 5}$$
$$Φ$$
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, সেট A, B এবং C এর উপাদানগুলো নির্ণয় করি:
সেট A: $A = \{x | x$ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা $x^2 < 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর চেয়ে কম।
ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাগুলো হলো: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$
$1^2 = 1 < 25$
$2^2 = 4 < 25$
$3^2 = 9 < 25$
$4^2 = 16 < 25$
$5^2 = 25$ (২৫ এর কম নয়)
সুতরাং, $A = \{1, 2, 3, 4\}$
সেট B: $B = \{x|x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x^2 < 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন মৌলিক সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর চেয়ে কম।
মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: $2, 3, 5, 7, \dots$
$2^2 = 4 < 25$
$3^2 = 9 < 25$
$5^2 = 25$ (২৫ এর কম নয়)
সুতরাং, $B = \{2, 3\}$
সেট C: $C = \{x|x$ মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং $x^2 = 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর সমান।
যদি $x^2 = 25$ হয়, তাহলে $x = \pm 5$।
ধনাত্মক মৌলিক সংখ্যাটি হলো ৫।
সুতরাং, $C = \{5\}$
এখন $A \cap B \cap C$ নির্ণয় করতে হবে।
$A \cap B$ মানে A এবং B সেটের সাধারণ উপাদান:
$A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{2, 3\} = \{2, 3\}$
এখন $A \cap B \cap C$ মানে $(A \cap B)$ এবং $C$ সেটের সাধারণ উপাদান:
$A \cap B \cap C = \{2, 3\} \cap \{5\}$
যেহেতু $\{2, 3\}$ এবং $\{5\}$ সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নেই, তাই ছেদ সেটটি হবে একটি ফাঁকা সেট।
সুতরাং, $A \cap B \cap C = \emptyset$ (ফাঁকা সেট)।
সেট A: $A = \{x | x$ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা $x^2 < 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর চেয়ে কম।
ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাগুলো হলো: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$
$1^2 = 1 < 25$
$2^2 = 4 < 25$
$3^2 = 9 < 25$
$4^2 = 16 < 25$
$5^2 = 25$ (২৫ এর কম নয়)
সুতরাং, $A = \{1, 2, 3, 4\}$
সেট B: $B = \{x|x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x^2 < 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন মৌলিক সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর চেয়ে কম।
মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: $2, 3, 5, 7, \dots$
$2^2 = 4 < 25$
$3^2 = 9 < 25$
$5^2 = 25$ (২৫ এর কম নয়)
সুতরাং, $B = \{2, 3\}$
সেট C: $C = \{x|x$ মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং $x^2 = 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর সমান।
যদি $x^2 = 25$ হয়, তাহলে $x = \pm 5$।
ধনাত্মক মৌলিক সংখ্যাটি হলো ৫।
সুতরাং, $C = \{5\}$
এখন $A \cap B \cap C$ নির্ণয় করতে হবে।
$A \cap B$ মানে A এবং B সেটের সাধারণ উপাদান:
$A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{2, 3\} = \{2, 3\}$
এখন $A \cap B \cap C$ মানে $(A \cap B)$ এবং $C$ সেটের সাধারণ উপাদান:
$A \cap B \cap C = \{2, 3\} \cap \{5\}$
যেহেতু $\{2, 3\}$ এবং $\{5\}$ সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নেই, তাই ছেদ সেটটি হবে একটি ফাঁকা সেট।
সুতরাং, $A \cap B \cap C = \emptyset$ (ফাঁকা সেট)।
8
7
6
3
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সেটটি হলো $A=\{x:x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \leq 5\}$।
প্রথমে, সেট $A$-এর উপাদানগুলো বের করতে হবে। ৫ বা ৫-এর কম মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
$2, 3, 5$
সুতরাং, সেট $A = \{2, 3, 5\}$।
সেট $A$-এর সদস্য সংখ্যা (উপাদানের সংখ্যা) হলো $|A| = 3$।
এখন, $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে। কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা $n$ হলে, তার পাওয়ার সেট (Power Set) $P(A)$-এর সদস্য সংখ্যা হয় $2^n$।
এখানে $n = 3$, তাই $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা হবে $2^3$।
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$।
সুতরাং, $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা হলো ৮।
প্রথমে, সেট $A$-এর উপাদানগুলো বের করতে হবে। ৫ বা ৫-এর কম মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
$2, 3, 5$
সুতরাং, সেট $A = \{2, 3, 5\}$।
সেট $A$-এর সদস্য সংখ্যা (উপাদানের সংখ্যা) হলো $|A| = 3$।
এখন, $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে। কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা $n$ হলে, তার পাওয়ার সেট (Power Set) $P(A)$-এর সদস্য সংখ্যা হয় $2^n$।
এখানে $n = 3$, তাই $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা হবে $2^3$।
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$।
সুতরাং, $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা হলো ৮।
10
15
40
30
ব্যাখ্যাঃ এখানে,
মোট লোকসংখ্যা = 50 জন
ইংরেজি বলতে পারেন = 35 জন
ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন = 25 জন
আমরা জানি, যারা শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন = (যারা ইংরেজি বলতে পারেন) - (যারা ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)
শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন = $35 - 25 = 10$ জন
যারা অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন = (শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন) + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + (ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)
যেহেতু প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন, তাহলে মোট লোকসংখ্যাই হলো যারা অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন।
তাহলে,
50 = 10 + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + 25
50 = 35 + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন)
শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন = $50 - 35 = 15$ জন
যারা বাংলা বলতে পারেন = (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + (ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)
যারা বাংলা বলতে পারেন = $15 + 25 = 40$ জন
সুতরাং, 40 জন বাংলায় কথা বলতে পারেন।
মোট লোকসংখ্যা = 50 জন
ইংরেজি বলতে পারেন = 35 জন
ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন = 25 জন
আমরা জানি, যারা শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন = (যারা ইংরেজি বলতে পারেন) - (যারা ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)
শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন = $35 - 25 = 10$ জন
যারা অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন = (শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন) + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + (ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)
যেহেতু প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন, তাহলে মোট লোকসংখ্যাই হলো যারা অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন।
তাহলে,
50 = 10 + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + 25
50 = 35 + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন)
শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন = $50 - 35 = 15$ জন
যারা বাংলা বলতে পারেন = (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + (ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)
যারা বাংলা বলতে পারেন = $15 + 25 = 40$ জন
সুতরাং, 40 জন বাংলায় কথা বলতে পারেন।
১১. যদি সেট $A={5, 15, 20, 30}$ এবং $B={3, 5, 15, 18, 20}$ হয় তবে নিচের কোনটি $A∩B$ নির্দেশ করবে?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
{3, 18, 30}
{3, 5, 15, 18, 20, 30}
{5, 15, 20}
কোনটিই নয়
ব্যাখ্যাঃ
$A = \{৫, ১৫, ২০, ৩০\}$
$B = \{৩, ৫, ১৫, ১৮, ২০\}$
$A \cap B$ (A এবং B এর ছেদ) বলতে A এবং B উভয় সেটে থাকা সাধারণ উপাদানগুলো বোঝানো হয়।
* $A$ এবং $B$ উভয় সেটে আছে এমন সংখ্যাগুলো হলো: ৫, ১৫ এবং ২০।
সুতরাং, $A \cap B = \{৫, ১৫, ২০\}$।
$A = \{৫, ১৫, ২০, ৩০\}$
$B = \{৩, ৫, ১৫, ১৮, ২০\}$
$A \cap B$ (A এবং B এর ছেদ) বলতে A এবং B উভয় সেটে থাকা সাধারণ উপাদানগুলো বোঝানো হয়।
* $A$ এবং $B$ উভয় সেটে আছে এমন সংখ্যাগুলো হলো: ৫, ১৫ এবং ২০।
সুতরাং, $A \cap B = \{৫, ১৫, ২০\}$।
১২. একটি ক্লাসে ৩০ জন ছাত্র আছে তাদের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে এবং ১৪ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৫ জন কিছুই খেলে না। কত জন উভয়টিই খেলে?
[ বিসিএস ২১তম ]
৩
৫
৭
৯
ব্যাখ্যাঃ ধরি, \( x \) জন ছাত্র উভয়টিই খেলে। মোট ছাত্র সংখ্যা ৩০, যার মধ্যে ৫ জন কিছুই খেলে না। সুতরাং, যারা কমপক্ষে একটিতে খেলে তাদের সংখ্যা হবে: \[ ৩০ - ৫ = ২৫ \] আমরা জানি ১৮ জন ফুটবল খেলে এবং ১৪ জন ক্রিকেট খেলে। যারা কমপক্ষে একটিতে খেলে তাদের সংখ্যা হবে: \[ ১৮ + ১৪ - x = ২৫ \] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ ৩২ - x = ২৫ \] \[ x = ৩২ - ২৫ \] \[ x = ৭ \] তাহলে, ৭ জন ছাত্র উভয়টিই খেলে।
১৫. $$f(x) ={x}^{3}-{6x}^{2} + 11x-6$$ হলে, f(2)= কত?
[ ১১ তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
3
2
1
0
১৬. A = {x: x জোড় মৌলিক সংখ্যা}, তালিকা পদ্ধতিতে কি হবে?
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
[2]
2-1
(2)
{2}
১৭. $$A=\{1,2,3,7\}$$, $$B=\{2,3,7\}$$ হলে $$A\cap B=$$ কত?
[ ৯ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
{2}
{2, 3,7}
{1, 2, 3}
{3}
১৮. $$ (2x-6,5)=(4,2y-5) $$ হলে, $$(x,y)$$ এর মান কোনটি?
[ ৮ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
(4,5)
(5,5)
(6,4)
(6,5)
১৯. $f(x)=x^{3}+kx^{2}-4x-8$ হলে K এর কোন মানের জন্য $f(-2)=0$
[ ৭ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
2
-2
$\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}$
২০. কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর ৮০% গণিত এবং ৭০% বাংলায় পাস করল। উভয় বিষয়ে পাস করল ৬০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১১-০৯-২০০৯ ]
১৫%
১২%
১১%
১০%
২১. কোনো স্কুলে ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় এবং ৮০% গণিতে পাস করেছে। কিন্তু ১০% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ২৪০ জন শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ স্কুলে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ০৮-০৯-২০০৯ ]
৫০০ জন
৪৬০ জন
৪০০ জন
৩৫০ জন
২২. ৪০০ জন লোকের একটি দলে ৩৭৫ জন ইংরেজি ও ২০০ জন বাংলায় কথা বলতে পারে। উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে এমন লোকসংখ্যা কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
২৫ জন
৭৫ জন
১৭৫ জন
২০০ জন
২৩. নিচের কোনটি সত্য?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৭-০১-২০১১ ]
$A \setminus B \subset A \cup B'$
$A \setminus B = B \setminus A'$
$A - B = A \cap B'$
$(A \setminus B) \cup B = B'$
২৪. কোনো স্কুলের নবম শ্রেণীর মানবিক শাখার ৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ২৯ জন পৌরনীতি, ২৪ জন ভূগোল এবং ১১ জন পৌরনীতি ও ভূগোল উভয় বিষয়ই নিয়েছে। কতজন শিক্ষার্থী পৌরনীতি বা ভূগোল বিষয় দুটির কোনোটিই নেয়নি?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৯-১০-২০০৯ ]
৮
৪২
৫৩
৬৫
২৫. একটি ক্লাসে ২৫ জন ছাত্রছাত্রী। তাদের মধ্যে ১৫ জন ইতিহাস , ১৭ জন ভূগোল এবং ৩ জন এই দুটোর কোন বিষয়ই নেয়নি। কত জন ছাত্রছাত্রী উভয় বিষয়ই নিয়েছে?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১০-১০-২০০৮ ]
২২
৪০
৫৭
১০
২৬. একটি ক্লাশে 25 জন ছাত্রছাত্রী। তাদের মধ্যে 15 জন ইতিহাস, 17 জন ভূগোল এবং 3 জন এই দুটোর কোন বিষয়ই নয়নি। কত জন ছাত্রছাত্রী উভয় বিষয়ই নিয়েছে?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১০-১০-২০০৮ ]
22
40
57
10
২৭. সার্বিক সেট $U=\{1,2,3,4,5,6\};~ A=\{1,3,5\}; ~B=\{3,5,6\}$ সেট হলে $A^{c}\cap B^{c}$ কত হবে?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১৪-০৭-২০০৬ ]
{1,2,4}
{2,4}
{2,3,5}
{2,4,6}
২৮. S = {x ∈ N: 23 < x < 29} এবং x মৌলিক সংখ্যা হলে নিচের কোনটি সত্য?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ২০-০৫-২০০১ ]
S = {24}
S = {25}
S = {26}
S = ϕ
২৯. $F(x) = \sqrt{x} - 1$ দ্বারা বর্ণিত ফাংশনের জন্য $F(x) = y$ হলে $x$ এর মান কত? (যেখানে $y≥0$)
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ২০-০৫-২০০১ ]
$y^2+1$
$y^2-1$
$\sqrt{y^2+h}$
$(y+1)^2$
৩০. কোন শ্রেণিতে ১০০ জন পরীক্ষার্থী ছিল। বার্ষিক পরীক্ষায় ৯৪ জন বাংলায় এবং ৪০ জন গণিতে পাস করেছে। ৭৫ জন উভয় বিষয়ে পাস করলে কতজন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৩-০৬-২০১৯ ]
৩
২
১
৪
৩১. কোনো শ্রেণীতে ১০০ জন পরীক্ষার্থী ছিল। বার্ষিক পরীক্ষায় ৯৪ জন বাংলায় এবং ৮০ জন গণিতে পাস করেছে। ৭৫ জন উভয় বিষয়ে পাস করলে কতজন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২২-০৬-২০১৯ ]
১
৫
১১
২
৩২. কোন স্কুলে ৭০% শিক্ষার্থী ইংরেজী এবং ৮০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করছে। কিন্তু ১০% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ৩০০ জন শিক্ষার্থী পাশ করে থাকে তবে ঐ স্কুলে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৫-২০১৯ ]
৫৬০
৬০০
৮০০
৫০০
৩৫. একটি ক্লাসে ৩০ জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৪ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৫ জন কিছুই খেলে না। কতজন উভয়টিই খেলে?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১৯-০৪-২০১৪ ]
৩ জন
৫ জন
৭ জন
১০ জন
৩৬. কোনো পরীক্ষায় ৫২% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৪২% পরীক্ষার্থী গণিতে ফেল করল। যদি উভয় বিষয়ে ১৭% ফেল করে থাকে, তবে কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাস করেছে?
[ রে. বে. প্রা. স. শি. নি. ১২-১২-২০১১ ]
২৩ জন
২৪ জন
২৫ জন
২৬ জন
৩৭. কোন পরীক্ষায় ৪০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে, ২৫% গণিতে এবং ১৫% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করেছে?
[ রে. বে. প্রা. স. শি. নি. ০৭-১২-২০১১ ]
৩০
৩৫
৮০
৫০
৩৮. স্কুলের কোন ক্লাসের ৩২ জন ছাত্রের মধ্যে ১৮ জন গান পছন্দ করে, ১৬ জন কবিতা পছন্দ করে এবং ৭ জন দুটিই পছন্দ করে। কতজন কোনোটিই পছন্দ করে না?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ১৩-০১-২০১০ ]
৫ জন
৭ জন
৮ জন
১০ জন
৩৯. কোন স্কুলে ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় এবং ৮০% গণিতে পাস করেছে। কিন্তু ১০% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ২৪০ জন পরীক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ স্কুলে কত জন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে।
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ১০-০১-২০১০ ]
৪০০ জন
৪৫০ জন
৫০০ জন
৫৬০ জন
৪০. কোনো স্কুলে ৫৩ জন ছাত্রের মধ্যে ৩৬ জন গান পছন্দ করে, ১৮ জন কবিতা পছন্দ করে। ১০ জন কোনোটিই পছন্দ করে না। কতজন দুটোই পছন্দ করে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৮-০১-২০১০ ]
১০ জন
১১ জন
১৩ জন
১৪ জন
৪১. কোনো স্কুলে ৭০% শিক্ষার্থী গণিতে এবং ৮০% ভূগোলে পাস করেছে। কিন্তু ১০% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ২৪০ শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ স্কুলে কত জন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছিল?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৭-০৯-২০০৭ ]
৫৬০ জন
৪৬০ জন
৪০০ জন
৫০০ জন
৪২. কোনো পরীক্ষায় ৪০% ইংরেজিতে, ২৫% গণিতে এবং উভয় বিষয়ে ১৫% পরীক্ষার্থী ফেল করেছে। শতকরা কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাস করেছে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৫-০৯-২০০৭ ]
৩০
৩৫
৪০
৫০
৪৩. স্কুলের কোনো ক্লাসের ২০ জন ছাত্রের মধ্যে প্রত্যেকেই হয় ফুটবল খেলে, না হয় ক্রিকেট খেলে অথবা দু'টিই খেলে। যদি ১৩ জন ছাত্র ফুটবল খেলে এবং ১০ জন ক্রিকেট খেলে তাহলে কত জন ছাত্র দু'টিই খেলে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৮-১২-২০০৬ ]
৪ জন
৩ জন
৬ জন
১০ জন
৪৪. কোনো পরীক্ষায় ২০% পরীক্ষার্থী গণিতে এবং ৩০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে ফেল করলো। উভয় বিষয়ে ১৩% পরীক্ষার্থী ফেল করলে শতকরা কত জন পরীক্ষার্থী পাস করলো?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৭-১২-২০০৬ ]
20%
57%
63%
69%
৪৫. স্কুলের কোনো ক্লাসের ৪৫ জন ছাত্রের মধ্যে ২৫ জন ফুটবল খেলে, ২২ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৮ জন দুটিই খেলে। কতজন ছাত্র দুটির কোনোটিই খেলে না?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৬-১২-২০০৬ ]
৫ জন
৬ জন
৮ জন
১০ জন
৪৬. কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের ৮০% গণিতে এবং ৭০% বাংলায় পাস করল। উভয় বিষয়ে পাস করল ৬০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করলো?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ১৭-০২-২০০৬ ]
১৫%
১০%
১২%
১১%
৪৭. কোনো অফিসে কর্মরত ৫৩ জন ব্যক্তির মধ্যে ৩৬ জন গান পছন্দ করেন, ১৮ জন কবিতা পছন্দ করেন এবং ১০ জন গান ও কবিতা কোনোটিই পছন্দ করেন না। কতজন দুটোই পছন্দ করেন?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৬-০৮-২০০৫ ]
১০ জন
১১ জন
১৩ জন
১৪ জন
৪৮. স্কুলের কোনো ক্লাসের ৩২ জন ছাত্রের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৬ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৭ জন দুটিই খেলে। কত জন কোনোটিই খেলে না?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৮-২০০৫ ]
৭ জন
৫ জন
৮ জন
১০ জন
৪৯. একটি পরীক্ষায় মোট ছাত্রের ৮০% ছাত্র গণিতে এবং ৯০% ছাত্র বাংলায় পাস করলো। উভয় বিষয়ে কোনো ছাত্র ফেল করেনি। ৩৫০ জন ছাত্র উভয় বিষয়ে পাস করে থাকলে, পরীক্ষায় মোট কতজন উপস্থিত ছিল?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২১-০৮-২০০৫ ]
৫০০ জন
৫৫০ জন
৬০০ জন
৬৫০ জন
৫২. একটি স্কুলের ৭০% ছাত্র ফুটবল, ৭৫% ছাত্র হকি এবং ৮০% ছাত্র ক্রিকেট পছন্দ করে। ঐ স্কুলের কত শতাংশ ছাত্র ০৩টি খেলাই পছন্দ করে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২০২৬ ]
৩৫%
৫০%
২৫%
৩০%