ব্যাখ্যাঃ $6x^2 – 7x – 4 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি জানার জন্য, আমাদের প্রথমে এই দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক (discriminant) নির্ণয় করতে হবে। একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ এর নিরূপক হলো $\Delta = b^2 – 4ac$.

প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে আমরা পাই:
$a = 6$
$b = -7$
$c = -4$

এখন, নিরূপক $\Delta$ এর মান নির্ণয় করি:
$\Delta = (-7)^2 – 4(6)(-4)$
$\Delta = 49 – (-96)$
$\Delta = 49 + 96$
$\Delta = 145$

যেহেতু নিরূপক $\Delta > 0$ এবং $\Delta$ একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা নয় ($12^2 = 144$ এবং $13^2 = 169$), তাই সমীকরণের মূলদ্বয় হবে:

• বাস্তব (real)
  
• অসমান (unequal)
  
• অমূলদ (irrational)
  

সুতরাং, $6x^2 – 7x – 4 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব, অসমান এবং অমূলদ।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
$x^4 – x^2 + 1 = 0$

আমরা $x^2$ দিয়ে উভয় পক্ষকে ভাগ করি (যেহেতু $x \neq 0$, কারণ $x=0$ হলে $1=0$ হয় যা সত্য নয়):
$\frac{x^4}{x^2} – \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0$
$x^2 – 1 + \frac{1}{x^2} = 0$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$

এখন আমরা $(x + \frac{1}{x})^2$ এর মান বের করি:
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
$(x + \frac{1}{x})^2 = (x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2$
$(x + \frac{1}{x})^2 = 1 + 2 = 3$

সুতরাং, $x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{3}$

এখন আমরা $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান বের করব। আমরা জানি,
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

এখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$.
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})(x^2 - x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})(x^2 - 1 + \frac{1}{x^2})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})((x^2 + \frac{1}{x^2}) - 1)$

আমরা জানি $x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{3}$ এবং $x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$. এই মানগুলো বসিয়ে পাই:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\pm \sqrt{3})(1 - 1)$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\pm \sqrt{3})(0)$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 0$

সুতরাং, যদি $x^4 – x^2 + 1 = 0$ হয়, তবে $x^3 + \frac{1}{x^3} = 0$.

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো, \(4x^2 - Px + 9\) একটি পূর্ণ বর্গ হবে যখন \(P\)-এর মান কত হবে?

যে কোনো দ্বিঘাত রাশি \( (ax + b)^2 \) আকারে লিখলে সেটি পূর্ণ বর্গ হয়। \[ (a x + b)^2 = a^2 x^2 + 2 a b x + b^2 \] দেওয়া বহুপদীটি: \[ 4x^2 - Px + 9 \] এটি পূর্ণ বর্গ হলে, এটিকে উপরোক্ত আকারে প্রকাশ করা যাবে। তুলনা করে পাই: \[ a^2 = 4 \implies a = 2 \text{ বা } a = -2 \] \[ b^2 = 9 \implies b = 3 \text{ বা } b = -3 \] এখন, \(P = 2ab\) প্রথম ক্ষেত্রে: \(a = 2\), \(b = 3\) \[ P = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \] দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: \(a = 2\), \(b = -3\) \[ P = 2 \cdot 2 \cdot -3 = -12 \] তৃতীয় ক্ষেত্রে: \(a = -2\), \(b = 3\) \[ P = 2 \cdot -2 \cdot 3 = -12 \] চতুর্থ ক্ষেত্রে: \(a = -2\), \(b = -3\) \[ P = 2 \cdot -2 \cdot -3 = 12 \] অতএব, \(P\)-এর মান হতে পারে \(12\) বা \(-12\)।

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে: \[ a + b + c = 0 \] আমরা জানি যে, \(a + b + c = 0\) হলে, \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \] কিন্তু যেহেতু \(a + b + c = 0\), \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 \] \[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \] অতএব, \(a + b + c = 0\) হলে \(a^3 + b^3 + c^3\) এর মান হবে \(3abc\)।