প্রশ্নঃ $$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$ হলে, $$x^3 + \frac{1}{x^3}$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক. $$3\sqrt{2}$$
খ. $$18\sqrt{3}$$
গ. $$12\sqrt{3}$$
ঘ. 8
উত্তরঃ $$18\sqrt{3}$$
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$।
প্রথমে $\frac{1}{x}$ এর মান বের করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$
হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ দিয়ে গুণ করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1}$
$\frac{1}{x} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
এখন, $x + \frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করি:
$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$
এখন আমরা $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান বের করব। আমরা জানি যে $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$।
এখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \times x \times \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 (x + \frac{1}{x})$
$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$ এই মানটি বসিয়ে পাই:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (2\sqrt{3})^3 - 3 (2\sqrt{3})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 2^3 \times (\sqrt{3})^3 - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 8 \times (3\sqrt{3}) - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (24 - 6)\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3}$
সুতরাং, $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান হলো $18\sqrt{3}$।
প্রথমে $\frac{1}{x}$ এর মান বের করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$
হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ দিয়ে গুণ করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1}$
$\frac{1}{x} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
এখন, $x + \frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করি:
$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$
এখন আমরা $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান বের করব। আমরা জানি যে $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$।
এখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \times x \times \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 (x + \frac{1}{x})$
$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$ এই মানটি বসিয়ে পাই:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (2\sqrt{3})^3 - 3 (2\sqrt{3})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 2^3 \times (\sqrt{3})^3 - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 8 \times (3\sqrt{3}) - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (24 - 6)\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3}$
সুতরাং, $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান হলো $18\sqrt{3}$।
Related MCQ
প্রশ্নঃ x² + y² + z² = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² এর মান-
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. 14
খ. 12
ক. 14
খ. 12
গ. 19
ক. 12
খ. 19
গ. 16
ঘ. 14
উত্তরঃ 14
ব্যাখ্যাঃ আমরা (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² প্রসারিত করি: \[ (x + 2y)^2 + (y + 2z)^2 + (z + 2x)^2 \] \[ = x^2 + 4y^2 + 4xy + y^2 + 4z^2 + 4yz + z^2 + 4x^2 + 4zx + 4xz \] \[ = (x^2 + y^2 + z^2) + 4(xy + yz + zx) + 4(x^2 + y^2 + z^2) \] \[ = 5(x^2 + y^2 + z^2) + 4(xy + yz + zx) \] \[ = 5(2) + 4(1) \] \[ = 10 + 4 \] \[ = 14 \] উত্তর: \[ \boxed{14} \]
প্রশ্নঃ 3x – y = 3, 5x + y = 21 হলে (x, y) এর মান-
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. (2, 6)
খ. (3, 6)
ক. (3, 6)
খ. (2, 6)
গ. (3, 5)
ক. (2, 5)
খ. (2, 6)
গ. (3, 5)
ঘ. (3, 6)
উত্তরঃ (3, 6)
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: \[ 3x - y = 3 \] \[ 5x + y = 21 \] দুইটি সমীকরণ যোগ করি: \[ (3x - y) + (5x + y) = 3 + 21 \] \[ 8x = 24 \] \[ x = \frac{24}{8} = 3 \] x = 3 মান প্রথম সমীকরণে বসাই: \[ 3(3) - y = 3 \] \[ 9 - y = 3 \] \[ y = 9 - 3 = 6 \] উত্তর: \[ (x, y) = (3, 6) \]
প্রশ্নঃ $$x^2y + xy^2$$ এবং $$x^2 + xy$$ রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর গুণফল কত?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
ক. x²y(x + y)²
খ. xy²(x² + y)
ক. x²y(x + y)²
খ. x²y²(x + y)
গ. xy(x² + y²)
ক. x²y²(x + y)
খ. xy(x² + y²)
গ. x²y(x + y)²
ঘ. xy²(x² + y)
উত্তরঃ x²y(x + y)²
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু (গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক) নির্ণয় করি:
গ.সা.গু:
আমরা সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করলে পাই:
$$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$$
$$x^2 + xy = x(x + y)$$
এখানে উভয় রাশির গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক হলো \(x(x + y)\)।
ল.সা.গু:
ল.সা.গু বের করতে হলে প্রথমে দুটি রাশির গুণফল ভাগ করতে হবে তাদের গ.সা.গু দ্বারা:
$$\frac{(x^2y + xy^2) \cdot (x^2 + xy)}{gcd}$$
অর্থাৎ,
$$\frac{xy(x + y) \cdot x(x + y)}{x(x + y)}$$
= \(xy(x + y)\)
গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল:
গ.সা.গু × ল.সা.গু =
$$x(x + y) \times xy(x + y)$$
= \(x^2y(x + y)^2\)।
গ.সা.গু:
আমরা সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করলে পাই:
$$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$$
$$x^2 + xy = x(x + y)$$
এখানে উভয় রাশির গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক হলো \(x(x + y)\)।
ল.সা.গু:
ল.সা.গু বের করতে হলে প্রথমে দুটি রাশির গুণফল ভাগ করতে হবে তাদের গ.সা.গু দ্বারা:
$$\frac{(x^2y + xy^2) \cdot (x^2 + xy)}{gcd}$$
অর্থাৎ,
$$\frac{xy(x + y) \cdot x(x + y)}{x(x + y)}$$
= \(xy(x + y)\)
গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল:
গ.সা.গু × ল.সা.গু =
$$x(x + y) \times xy(x + y)$$
= \(x^2y(x + y)^2\)।
ক. 10, 25
খ. 3, 10
ক. 10, 25
খ. 15, 25
গ. 3, 10
ক. 3, 10
খ. 10, 15
গ. 15, 25
ঘ. 10, 25
উত্তরঃ 10, 25
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে (x + 5)² প্রসারিত করি:
\[
(x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5)
\]
এখন গুণ করি:
\[
x^2 + 5x + 5x + 25
\]
\[
x^2 + 10x + 25
\]
এখন এই সমীকরণকে \( x^2 + bx + c \) এর সঙ্গে তুলনা করলে পাই:
b = 10
c = 25
তাহলে, b = 10 এবং c = 25 হলে সমীকরণটি অভেদ হবে।
\[
(x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5)
\]
এখন গুণ করি:
\[
x^2 + 5x + 5x + 25
\]
\[
x^2 + 10x + 25
\]
এখন এই সমীকরণকে \( x^2 + bx + c \) এর সঙ্গে তুলনা করলে পাই:
b = 10
c = 25
তাহলে, b = 10 এবং c = 25 হলে সমীকরণটি অভেদ হবে।
প্রশ্নঃ p + q = 5 এবং p – q = 3 হলে p² + q² এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
ক. 17
খ. 8
ক. 8
খ. 17
গ. 34
ক. 8
খ. 17
গ. 19
ঘ. 34
উত্তরঃ 17
ব্যাখ্যাঃ আমরা \(p^2 + q^2\) নির্ণয়ের জন্য পরিচিত সূত্র \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\) ব্যবহার করবো।
প্রথমে, দেওয়া আছে:
\(p + q = 5\)
\(p - q = 3\)
এখন দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাই:
\[
(p + q) + (p - q) = 5 + 3
\]
\[
2p = 8
\]
\[
p = 4
\]
এখন \(p - q = 3\) ব্যবহার করে q এর মান নির্ণয় করি:
\[
4 - q = 3
\]
\[
q = 1
\]
এখন, \(p^2 + q^2\) নির্ণয় করি:
\[
p^2 + q^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17
\]
\(p^2 + q^2 = 17\)
প্রথমে, দেওয়া আছে:
\(p + q = 5\)
\(p - q = 3\)
এখন দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাই:
\[
(p + q) + (p - q) = 5 + 3
\]
\[
2p = 8
\]
\[
p = 4
\]
এখন \(p - q = 3\) ব্যবহার করে q এর মান নির্ণয় করি:
\[
4 - q = 3
\]
\[
q = 1
\]
এখন, \(p^2 + q^2\) নির্ণয় করি:
\[
p^2 + q^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17
\]
\(p^2 + q^2 = 17\)
প্রশ্নঃ $$5x - x^2 - 6 > 0$$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
[ বিসিএস ৪৩তম ]
ক. $$2 < x < 3$$
খ. $$2 > x > 3$$
ক. $$x > 3, x < 2$$
খ. $$x < 2$$
গ. $$2 < x < 3$$
ক. $$x > 3, x < 2$$
খ. $$2 > x > 3$$
গ. $$x < 2$$
ঘ. $$2 < x < 3$$
উত্তরঃ $$2 < x < 3$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা অসমতাটি বিশ্লেষণ করি:
$$
5x - x^2 - 6 > 0
$$
$$
- x^2 + 5x - 6 > 0
$$
$$
x^2 - 5x + 6 < 0
$$
$$
x^2 - 5x + 6 = 0
$$
এটি সহজভাবে ফ্যাক্টর করা যায়:
$$
(x - 2)(x - 3) = 0
$$
অর্থাৎ, $x = 2$ এবং $x = 3$ হলো মূলদ্বয়।
এখন, আমরা দেখতে চাই কখন এই রাশিটি ঋণাত্মক অর্থাৎ:
$$
(x - 2)(x - 3) < 0
$$
এই ধরণের অসমতা তখনই সত্য হয় যখন $x$ থাকে দুই মূলের মধ্যে।
অতএব, সমাধান:
$$
\boxed{2 < x < 3}
$$
সঠিক উত্তর: $2 < x < 3$
$$
5x - x^2 - 6 > 0
$$
$$
- x^2 + 5x - 6 > 0
$$
$$
x^2 - 5x + 6 < 0
$$
$$
x^2 - 5x + 6 = 0
$$
এটি সহজভাবে ফ্যাক্টর করা যায়:
$$
(x - 2)(x - 3) = 0
$$
অর্থাৎ, $x = 2$ এবং $x = 3$ হলো মূলদ্বয়।
এখন, আমরা দেখতে চাই কখন এই রাশিটি ঋণাত্মক অর্থাৎ:
$$
(x - 2)(x - 3) < 0
$$
এই ধরণের অসমতা তখনই সত্য হয় যখন $x$ থাকে দুই মূলের মধ্যে।
অতএব, সমাধান:
$$
\boxed{2 < x < 3}
$$
সঠিক উত্তর: $2 < x < 3$
ক. $$5\sqrt{3}$$
খ. $$52$$
ক. $$5\sqrt{3}$$
খ. $$52$$
গ. $$5\sqrt{2}$$
ক. $$5\sqrt{3}$$
খ. $$52$$
গ. $$5\sqrt{2}$$
ঘ. $$2\sqrt{5}$$
উত্তরঃ $$52$$
ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: আগে বের করি $x + \frac{1}{x}$
$$
x = 2 + \sqrt{3}
\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}
$$
ধরি, $\frac{1}{x}$ কে সরল করি:
$$
\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}
$$
$$
x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4
$$
ধাপ ২: এখন ব্যবহার করি সূত্র:
$$
x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)
$$
বসাই:
$$
x^3 + \frac{1}{x^3} = 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = \boxed{52}
$$
ধাপ ১: আগে বের করি $x + \frac{1}{x}$
$$
x = 2 + \sqrt{3}
\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}
$$
ধরি, $\frac{1}{x}$ কে সরল করি:
$$
\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}
$$
$$
x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4
$$
ধাপ ২: এখন ব্যবহার করি সূত্র:
$$
x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)
$$
বসাই:
$$
x^3 + \frac{1}{x^3} = 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = \boxed{52}
$$
প্রশ্নঃ $$a+b = 7$$ এবং $$ab = 12$$ হলে $$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. $$\frac{11}{49}$$
খ. $$\frac{25}{144}$$
ক. $$\frac{3}{25}$$
খ. $$\frac{31}{144}$$
গ. $$\frac{25}{144}$$
ক. $$\frac{3}{25}$$
খ. $$\frac{25}{144}$$
গ. $$\frac{31}{144}$$
ঘ. $$\frac{11}{49}$$
উত্তরঃ $$\frac{25}{144}$$
ব্যাখ্যাঃ $$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}
$$
$$
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2 \times 12 = 49 - 24 = 25
$$
$$
ab = 12 \Rightarrow ab^2 = (ab)^2 = 144
$$
$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{25}{144}
$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}
$$
$$
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2 \times 12 = 49 - 24 = 25
$$
$$
ab = 12 \Rightarrow ab^2 = (ab)^2 = 144
$$
$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{25}{144}
$$
প্রশ্নঃ $$x^2-3x+1=0$$ হলে, $$(x^2-\frac{1}{x^2})$$ এর মান-
[ বিসিএস ৩৭তম ]
ক. $$3\sqrt{5}$$
খ. $$4\sqrt{5}$$
ক. $$5\sqrt{3}$$
খ. $$3\sqrt{5}$$
গ. $$6\sqrt{5}$$
ক. $$5\sqrt{3}$$
খ. $$3\sqrt{5}$$
গ. $$4\sqrt{5}$$
ঘ. $$6\sqrt{5}$$
উত্তরঃ $$3\sqrt{5}$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 - 3x + 1 = 0$
প্রথমে, $x$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$
$x + \frac{1}{x} = 3$
এখন, $(x^2 - \frac{1}{x^2})$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$।
সুতরাং, $(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$
আমরা $x + \frac{1}{x} = 3$ জানি।
এখন $x - \frac{1}{x}$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
তাহলে, $(x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
$(x - \frac{1}{x})^2 = (3)^2 - 4 \cdot 1$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 9 - 4$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 5$
$x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{5}$
এখন $(x^2 - \frac{1}{x^2})$ এর মান বের করি:
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = 3 \cdot (\pm \sqrt{5})$
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = \pm 3\sqrt{5}$
সুতরাং, $(x^2-\frac{1}{x^2})$ এর মান $\pm 3\sqrt{5}$।
প্রথমে, $x$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$
$x + \frac{1}{x} = 3$
এখন, $(x^2 - \frac{1}{x^2})$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$।
সুতরাং, $(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$
আমরা $x + \frac{1}{x} = 3$ জানি।
এখন $x - \frac{1}{x}$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
তাহলে, $(x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
$(x - \frac{1}{x})^2 = (3)^2 - 4 \cdot 1$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 9 - 4$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 5$
$x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{5}$
এখন $(x^2 - \frac{1}{x^2})$ এর মান বের করি:
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = 3 \cdot (\pm \sqrt{5})$
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = \pm 3\sqrt{5}$
সুতরাং, $(x^2-\frac{1}{x^2})$ এর মান $\pm 3\sqrt{5}$।
প্রশ্নঃ $$x^2+y^2=185,$$ $$x-y=3$$ এর একটি সমাধান হল:
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. (11, 8)
খ. (7, 4)
ক. (7, 4)
খ. (11, 8)
গ. (10, 7)
ক. (7, 4)
খ. (9, 6)
গ. (10, 7)
ঘ. (11, 8)
উত্তরঃ (11, 8)
ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:
দেওয়া আছে দুটি সমীকরণ:
১) $x^2+y^2=185$
২) $x-y=3$
২নং সমীকরণ থেকে আমরা $x$-কে $y$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = y+3$
এখন, $x$-এর এই মানটি ১নং সমীকরণে বসাই:
$(y+3)^2 + y^2 = 185$
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ সূত্র ব্যবহার করে $(y+3)^2$-কে বিস্তৃত করি:
$y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 + y^2 = 185$
$y^2 + 6y + 9 + y^2 = 185$
একই পদগুলো যোগ করি:
$2y^2 + 6y + 9 = 185$
$185$-কে বাম পাশে নিয়ে আসি:
$2y^2 + 6y + 9 - 185 = 0$
$2y^2 + 6y - 176 = 0$
সমীকরণটিকে সহজ করার জন্য উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করি:
$y^2 + 3y - 88 = 0$
এখন, $y$-এর মান নির্ণয় করার জন্য এই দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করব। আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল $-88$ এবং যোগফল $+3$ হয়। সংখ্যা দুটি হলো $+11$ এবং $-8$।
$(y+11)(y-8) = 0$
এখান থেকে $y$-এর দুটি সম্ভাব্য মান পাওয়া যায়:
$y+11 = 0 \implies y = -11$
অথবা, $y-8 = 0 \implies y = 8$
এখন $y$-এর প্রতিটি মানের জন্য $x$-এর মান বের করি ($x = y+3$ ব্যবহার করে):
ক্ষেত্র ১: যদি $y = -11$ হয়
$x = -11 + 3$
$x = -8$
একটি সমাধান হলো $(x, y) = (-8, -11)$।
ক্ষেত্র ২: যদি $y = 8$ হয়
$x = 8 + 3$
$x = 11$
অন্য একটি সমাধান হলো $(x, y) = (11, 8)$।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের একটি সমাধান হলো $(11, 8)$।
(অন্য সমাধানটি হলো $(-8, -11)$।)
দেওয়া আছে দুটি সমীকরণ:
১) $x^2+y^2=185$
২) $x-y=3$
২নং সমীকরণ থেকে আমরা $x$-কে $y$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = y+3$
এখন, $x$-এর এই মানটি ১নং সমীকরণে বসাই:
$(y+3)^2 + y^2 = 185$
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ সূত্র ব্যবহার করে $(y+3)^2$-কে বিস্তৃত করি:
$y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 + y^2 = 185$
$y^2 + 6y + 9 + y^2 = 185$
একই পদগুলো যোগ করি:
$2y^2 + 6y + 9 = 185$
$185$-কে বাম পাশে নিয়ে আসি:
$2y^2 + 6y + 9 - 185 = 0$
$2y^2 + 6y - 176 = 0$
সমীকরণটিকে সহজ করার জন্য উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করি:
$y^2 + 3y - 88 = 0$
এখন, $y$-এর মান নির্ণয় করার জন্য এই দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করব। আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল $-88$ এবং যোগফল $+3$ হয়। সংখ্যা দুটি হলো $+11$ এবং $-8$।
$(y+11)(y-8) = 0$
এখান থেকে $y$-এর দুটি সম্ভাব্য মান পাওয়া যায়:
$y+11 = 0 \implies y = -11$
অথবা, $y-8 = 0 \implies y = 8$
এখন $y$-এর প্রতিটি মানের জন্য $x$-এর মান বের করি ($x = y+3$ ব্যবহার করে):
ক্ষেত্র ১: যদি $y = -11$ হয়
$x = -11 + 3$
$x = -8$
একটি সমাধান হলো $(x, y) = (-8, -11)$।
ক্ষেত্র ২: যদি $y = 8$ হয়
$x = 8 + 3$
$x = 11$
অন্য একটি সমাধান হলো $(x, y) = (11, 8)$।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের একটি সমাধান হলো $(11, 8)$।
(অন্য সমাধানটি হলো $(-8, -11)$।)
ক. 4
খ. 2
ক. 4
খ. 3
গ. 2
ক. 1
খ. 2
গ. 3
ঘ. 4
উত্তরঃ 4
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $x-\frac{1}{x}=1$
আমাদের $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$।
এখানে $a=x$ এবং $b=\frac{1}{x}$ ধরে পাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3} = \left(x-\frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x-\frac{1}{x}\right)$$
এখন, $x-\frac{1}{x}=1$ মানটি সমীকরণে বসাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3} = (1)^3 + 3 \cdot 1 \cdot (1)$$$$x^3-\frac{1}{x^3} = 1 + 3$$$$x^3-\frac{1}{x^3} = 4$$
সুতরাং, $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান হলো 4।
আমাদের $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$।
এখানে $a=x$ এবং $b=\frac{1}{x}$ ধরে পাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3} = \left(x-\frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x-\frac{1}{x}\right)$$
এখন, $x-\frac{1}{x}=1$ মানটি সমীকরণে বসাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3} = (1)^3 + 3 \cdot 1 \cdot (1)$$$$x^3-\frac{1}{x^3} = 1 + 3$$$$x^3-\frac{1}{x^3} = 4$$
সুতরাং, $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান হলো 4।
প্রশ্নঃ x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x এর ধনাত্মক মানটি-
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 6
খ. 3
ক. 6
খ. 4
গ. 5
ক. 3
খ. 4
গ. 5
ঘ. 6
উত্তরঃ 6
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$x - y = ২$ ------ (১)
$xy = ২৪$ ------ (২)
আমরা জানি, $(x - y)^২ = x^২ - ২xy + y^২$
বা, $(x - y)^২ = x^২ + y^২ - ২xy$
আবার, $x^২ + y^২ = (x + y)^২ - ২xy$
সুতরাং, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ২xy - ২xy$
বা, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ৪xy$
দেওয়া আছে $x - y = ২$ এবং $xy = ২৪$।
মান বসিয়ে পাই:
$(২)^২ = (x + y)^২ - ৪ \times ২৪$
$৪ = (x + y)^২ - ৯৬$
$(x + y)^২ = ৪ + ৯৬$
$(x + y)^২ = ১০০$
$x + y = \pm \sqrt{১০০}$
$x + y = \pm ১০$ ------ (৩)
এখন আমাদের কাছে দুটি সমীকরণ আছে:
১) $x - y = ২$
২) $x + y = ১০$ (ধনাত্মক মান নিয়ে)
অথবা,
২) $x + y = -১০$ (ঋণাত্মক মান নিয়ে)
কেস ১: যখন $x + y = ১০$
$x - y = ২$
$x + y = ১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + ১০$
$২x = ১২$
$x = \frac{১২}{২}$
$x = ৬$
$x = ৬$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$৬ - y = ২$
$y = ৬ - ২$
$y = ৪$
এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $৬ \times ৪ = ২৪$, যা সঠিক।
কেস ২: যখন $x + y = -১০$
$x - y = ২$
$x + y = -১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + (-১০)$
$২x = -৮$
$x = \frac{-৮}{২}$
$x = -৪$
$x = -৪$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$-৪ - y = ২$
$-y = ২ + ৪$
$-y = ৬$
$y = -৬$
এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $(-৪) \times (-৬) = ২৪$, যা সঠিক।
প্রশ্নানুসারে $x$ এর ধনাত্মক মানটি চাওয়া হয়েছে।
ধনাত্মক মানটি হলো $x = ৬$।
সুতরাং, $x$ এর ধনাত্মক মানটি হলো ৬।
$x - y = ২$ ------ (১)
$xy = ২৪$ ------ (২)
আমরা জানি, $(x - y)^২ = x^২ - ২xy + y^২$
বা, $(x - y)^২ = x^২ + y^২ - ২xy$
আবার, $x^২ + y^২ = (x + y)^২ - ২xy$
সুতরাং, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ২xy - ২xy$
বা, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ৪xy$
দেওয়া আছে $x - y = ২$ এবং $xy = ২৪$।
মান বসিয়ে পাই:
$(২)^২ = (x + y)^২ - ৪ \times ২৪$
$৪ = (x + y)^২ - ৯৬$
$(x + y)^২ = ৪ + ৯৬$
$(x + y)^২ = ১০০$
$x + y = \pm \sqrt{১০০}$
$x + y = \pm ১০$ ------ (৩)
এখন আমাদের কাছে দুটি সমীকরণ আছে:
১) $x - y = ২$
২) $x + y = ১০$ (ধনাত্মক মান নিয়ে)
অথবা,
২) $x + y = -১০$ (ঋণাত্মক মান নিয়ে)
কেস ১: যখন $x + y = ১০$
$x - y = ২$
$x + y = ১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + ১০$
$২x = ১২$
$x = \frac{১২}{২}$
$x = ৬$
$x = ৬$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$৬ - y = ২$
$y = ৬ - ২$
$y = ৪$
এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $৬ \times ৪ = ২৪$, যা সঠিক।
কেস ২: যখন $x + y = -১০$
$x - y = ২$
$x + y = -১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + (-১০)$
$২x = -৮$
$x = \frac{-৮}{২}$
$x = -৪$
$x = -৪$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$-৪ - y = ২$
$-y = ২ + ৪$
$-y = ৬$
$y = -৬$
এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $(-৪) \times (-৬) = ২৪$, যা সঠিক।
প্রশ্নানুসারে $x$ এর ধনাত্মক মানটি চাওয়া হয়েছে।
ধনাত্মক মানটি হলো $x = ৬$।
সুতরাং, $x$ এর ধনাত্মক মানটি হলো ৬।
প্রশ্নঃ $$\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} =2 $$ হলে, $$x$$ এর মান-
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 3
খ. 1
ক. 2
খ. 3
গ. 4
ক. 1
খ. 2
গ. 3
ঘ. 4
উত্তরঃ 3
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে সমীকরণটি:
$\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2$
বামদিকের ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু. করি:
ল.সা.গু. হলো $x(x+1)$।
$\frac{3(x+1) + 4x}{x(x+1)} = 2$
$\frac{3x + 3 + 4x}{x^2 + x} = 2$
$\frac{7x + 3}{x^2 + x} = 2$
এখন আর গুণন (cross-multiplication) করি:
$7x + 3 = 2(x^2 + x)$
$7x + 3 = 2x^2 + 2x$
সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপে সাজাই ($ax^2 + bx + c = 0$):
$0 = 2x^2 + 2x - 7x - 3$
$0 = 2x^2 - 5x - 3$
এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি। আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।
$2x^2 - 5x - 3 = 0$
$2x^2 - 6x + x - 3 = 0$
$2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(x - 3)(2x + 1) = 0$
অতএব, দুটি সম্ভাব্য সমাধান আছে:
১) $x - 3 = 0$
$x = 3$
২) $2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$
সুতরাং, $x$ এর মানগুলো হলো $3$ অথবা $-\frac{1}{2}$।
$\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2$
বামদিকের ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু. করি:
ল.সা.গু. হলো $x(x+1)$।
$\frac{3(x+1) + 4x}{x(x+1)} = 2$
$\frac{3x + 3 + 4x}{x^2 + x} = 2$
$\frac{7x + 3}{x^2 + x} = 2$
এখন আর গুণন (cross-multiplication) করি:
$7x + 3 = 2(x^2 + x)$
$7x + 3 = 2x^2 + 2x$
সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপে সাজাই ($ax^2 + bx + c = 0$):
$0 = 2x^2 + 2x - 7x - 3$
$0 = 2x^2 - 5x - 3$
এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি। আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।
$2x^2 - 5x - 3 = 0$
$2x^2 - 6x + x - 3 = 0$
$2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(x - 3)(2x + 1) = 0$
অতএব, দুটি সম্ভাব্য সমাধান আছে:
১) $x - 3 = 0$
$x = 3$
২) $2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$
সুতরাং, $x$ এর মানগুলো হলো $3$ অথবা $-\frac{1}{2}$।
প্রশ্নঃ $$x+y=2, x^2+y^2=4$$ হলে $$x^3+y^3=$$ কত?
[ বিসিএস ৩৪তম ]
ক. 9
খ. 8
ক. 9
খ. 8
গ. 16
ক. 8
খ. 9
গ. 16
ঘ. 25
উত্তরঃ 8
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি:
$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$
প্রশ্নে দেওয়া:
$x + y = 2$
$x^2 + y^2 = 4$
আমরা জানি:
$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
$2^2 = 4 + 2xy \Rightarrow 4 = 4 + 2xy \Rightarrow 2xy = 0
\Rightarrow xy = 0$
এখন মূল সূত্রে বসাই:
$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$
$= 2^3 - 3 \cdot 0 \cdot 2 = 8 - 0 = 8$
$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$
প্রশ্নে দেওয়া:
$x + y = 2$
$x^2 + y^2 = 4$
আমরা জানি:
$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
$2^2 = 4 + 2xy \Rightarrow 4 = 4 + 2xy \Rightarrow 2xy = 0
\Rightarrow xy = 0$
এখন মূল সূত্রে বসাই:
$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$
$= 2^3 - 3 \cdot 0 \cdot 2 = 8 - 0 = 8$
ক. $$\frac{3}{5}$$
খ. $$\frac{5}{3}$$
ক. $$\frac{3}{5}$$
খ. $$\frac{5}{3}$$
গ. $$\frac{5}{7}$$
ক. $$\frac{5}{3}$$
খ. $$\frac{2}{3}$$
গ. $$\frac{3}{5}$$
ঘ. $$\frac{5}{7}$$
উত্তরঃ $$\frac{5}{3}$$
ব্যাখ্যাঃ যেহেতু $\frac{Q}{P} = \frac{1}{4}$।
তাহলে, $P = 4Q$।
এখন, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মধ্যে $P$ এর মান বসিয়ে পাই:
$\frac{4Q+Q}{4Q-Q}$
$= \frac{5Q}{3Q}$
$= \frac{5}{3}$
সুতরাং, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মান হলো $\frac{5}{3}$।
তাহলে, $P = 4Q$।
এখন, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মধ্যে $P$ এর মান বসিয়ে পাই:
$\frac{4Q+Q}{4Q-Q}$
$= \frac{5Q}{3Q}$
$= \frac{5}{3}$
সুতরাং, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মান হলো $\frac{5}{3}$।
ক. $$1, 1$$
খ. $$– 1, 3$$
ক. $$0, 2$$
খ. $$1, 1$$
গ. $$– 1, 3$$
ক. $$0, 2$$
খ. $$1, 1$$
গ. $$– 1, 3$$
ঘ. $$– 3, – 4$$
উত্তরঃ $$1, 1$$
ব্যাখ্যাঃ
বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী আমরা জানি, $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
এখানে,
$a+b=2$
$ab=1$
মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$(a-b)^2 = (2)^2 - 4(1)$
$(a-b)^2 = 4 - 4$
$(a-b)^2 = 0$
$a-b = 0$
$a=b$
এখন $a=b$ সম্পর্কটি $a+b=2$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$a+a = 2$
$2a = 2$
$a = 1$
যেহেতু $a=b$, তাই $b$ এর মানও $1$ হবে।
সুতরাং, $a$ এবং $b$ এর মান যথাক্রমে $1$ এবং $1$।
বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী আমরা জানি, $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
এখানে,
$a+b=2$
$ab=1$
মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$(a-b)^2 = (2)^2 - 4(1)$
$(a-b)^2 = 4 - 4$
$(a-b)^2 = 0$
$a-b = 0$
$a=b$
এখন $a=b$ সম্পর্কটি $a+b=2$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$a+a = 2$
$2a = 2$
$a = 1$
যেহেতু $a=b$, তাই $b$ এর মানও $1$ হবে।
সুতরাং, $a$ এবং $b$ এর মান যথাক্রমে $1$ এবং $1$।
ক. 36
খ. 40
ক. 38
খ. 40
গ. 36
ক. 36
খ. 37
গ. 38
ঘ. 40
উত্তরঃ 36
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $x$ এবং $y$।
প্রশ্নানুসারে,
$x+y = 48$ ---(i)
$xy = 432$ ---(ii)
এখন আমরা জানি, $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$
মান বসিয়ে পাই,
$(x-y)^2 = (48)^2 - 4(432)$
$(x-y)^2 = 2304 - 1728$
$(x-y)^2 = 576$
$x-y = \sqrt{576}$
$x-y = 24$ ---(iii)
এখন সমীকরণ (i) এবং (iii) যোগ করে পাই,
$(x+y)+(x-y) = 48+24$
$2x = 72$
$x = \frac{72}{2}$
$x = 36$
$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
$36+y = 48$
$y = 48-36$
$y = 12$
সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো ৩৬ এবং ১২। এদের মধ্যে বড় সংখ্যাটি হলো ৩৬।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $x$ এবং $y$।
প্রশ্নানুসারে,
$x+y = 48$ ---(i)
$xy = 432$ ---(ii)
এখন আমরা জানি, $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$
মান বসিয়ে পাই,
$(x-y)^2 = (48)^2 - 4(432)$
$(x-y)^2 = 2304 - 1728$
$(x-y)^2 = 576$
$x-y = \sqrt{576}$
$x-y = 24$ ---(iii)
এখন সমীকরণ (i) এবং (iii) যোগ করে পাই,
$(x+y)+(x-y) = 48+24$
$2x = 72$
$x = \frac{72}{2}$
$x = 36$
$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
$36+y = 48$
$y = 48-36$
$y = 12$
সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো ৩৬ এবং ১২। এদের মধ্যে বড় সংখ্যাটি হলো ৩৬।
ক. কোনটিই নয়
খ. 12
ক. 10
খ. 6
গ. 12
ক. 12
খ. 10
গ. 6
ঘ. কোনটিই নয়
উত্তরঃ 12
ব্যাখ্যাঃ বীজগণিতের সূত্র অনুসারে আমরা জানি, $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$।
এখন, প্রদত্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$(7)^2 = 25 + 2ab$
$49 = 25 + 2ab$
$2ab = 49 - 25$
$2ab = 24$
$ab = \frac{24}{2}$
$ab = 12$
সুতরাং, $ab$ এর মান হবে ১২।
এখন, প্রদত্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$(7)^2 = 25 + 2ab$
$49 = 25 + 2ab$
$2ab = 49 - 25$
$2ab = 24$
$ab = \frac{24}{2}$
$ab = 12$
সুতরাং, $ab$ এর মান হবে ১২।
ক. 0
খ. -1
ক. 0
খ. 2
গ. -1
ক. 1
খ. -1
গ. 2
ঘ. 0
উত্তরঃ 0
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \[ f(x) = x^3 + kx^2 - 6x - 9 \] আমাদের \( f(3) = 0 \) হলে \( k \) এর মান বের করতে হবে। ধাপ 1: \( x = 3 \) বসিয়ে ফাংশনের মান নির্ণয় করি। \[ f(3) = (3)^3 + k(3)^2 - 6(3) - 9 \] ধাপ 2: মানগুলি গণনা করি। \[ f(3) = 27 + 9k - 18 - 9 \] ধাপ 3: সমীকরণটি সরলীকরণ করি। \[ f(3) = 27 - 18 - 9 + 9k = 0 + 9k = 9k \] ধাপ 4: \( f(3) = 0 \) হলে, \[ 9k = 0 \] ধাপ 5: \( k \) এর মান নির্ণয় করি। \[ k = \frac{0}{9} = 0 \] সুতরাং, \( k \) এর মান হলো: \[ \boxed{0} \]
ক. 27
খ. 36
ক. 36
খ. 9
গ. 27
ক. 9
খ. 18
গ. 27
ঘ. 36
উত্তরঃ 36
ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হল: \[ a - \frac{1}{a} = 3 \] আমাদের নির্ণয় করতে হবে: \[ a^3 + \frac{1}{a^3} \] ### ধাপ ১: \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) নির্ণয় করা আমরা জানি, \[ \left( a - \frac{1}{a} \right)^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \] এখন উভয় পাশে বর্গ করলে পাইঃ \[ (3)^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \] \[ 9 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \] \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 11 \] ### ধাপ ২: \( a^3 + \frac{1}{a^3} \) নির্ণয় করা আমরা জানি, \[ a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right) \times \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) + \left(a - \frac{1}{a}\right) \] এখন, \[ a^3 + \frac{1}{a^3} = (3 \times 11) + 3 \] \[ = 33 + 3 \] \[ = 36 \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \[ \mathbf{36} \]
ক. a = ৪০ + ১১
খ. a = ৪০ + ১
ক. a = ৪০ + ১১
খ. a = ৪০ + ১
গ. a + ৪০ = ১১
ক. a + ১১ = ৪০
খ. a + ৪০ = ১১
গ. a = ৪০ + ১১
ঘ. a = ৪০ + ১
উত্তরঃ a = ৪০ + ১১
ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি হলো: \[ a - 11 = 40 \] এখন, উভয় পাশে \( 11 \) যোগ করি: \[ a - 11 + 11 = 40 + 11 \] \[ a = 51 \] সুতরাং, \( a = 51 \) ✅
প্রশ্নঃ যদি (x - y)² = 14 এবং xy = 2 হয়, তবে x² + y² = কত?
[ বিসিএস ২৭তম ]
ক. 14
খ. 18
ক. 18
খ. 16
গ. 14
ক. 12
খ. 14
গ. 16
ঘ. 18
উত্তরঃ 18
ব্যাখ্যাঃ
এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমরা প্রথমে (x - y)² এর সূত্রটি ব্যবহার করব এবং তারপর প্রদত্ত মানগুলি ব্যবহার করে x² + y² এর মান বের করব।
আমরা জানি যে,
(x - y)² = x² - 2xy + y²
প্রশ্নমতে, (x - y)² = 14 এবং xy = 2।
সুতরাং,
14 = x² - 2(2) + y²
বা, 14 = x² - 4 + y²
বা, 14 + 4 = x² + y²
বা, 18 = x² + y²
অতএব, x² + y² = 18।
সুতরাং, নির্ণেয় উত্তর হলো 18।
প্রশ্নঃ $$x+y=8, x-y=6$$ হলে, $$x^2+y^2$$ এর মান –
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. 80
খ. 50
ক. 50
খ. 60
গ. 40
ক. 40
খ. 60
গ. 50
ঘ. 80
উত্তরঃ 50
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণ দুটি ব্যবহার করে \( x^2 + y^2 \) এর মান বের করবো। প্রদত্ত সমীকরণ দুটি: \[ x + y = 8 \] \[ x - y = 6 \] ### ধাপ ১: \( x \) এবং \( y \) এর মান নির্ণয় দুটি সমীকরণ যোগ করলে, \[ (x + y) + (x - y) = 8 + 6 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] এখন, \( x + y = 8 \) সমীকরণে \( x = 7 \) বসালে, \[ 7 + y = 8 \] \[ y = 1 \] ### ধাপ ২: \( x^2 + y^2 \) এর মান নির্ণয় \[ x^2 + y^2 = 7^2 + 1^2 \] \[ = 49 + 1 \] \[ = 50 \] অতএব, \( x^2 + y^2 \) এর মান হবে ৫০। ✅
ক. 6
খ. 1
ক. 4
খ. 1
গ. 2
ক. 6
খ. 4
গ. 2
ঘ. 1
উত্তরঃ 1
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) এর মান বের করব। প্রদত্ত সমীকরণ: \[ a + \frac{1}{a} = \sqrt{3} \] ### ধাপ ১: উভয় পাশে বর্গ করা \[ \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 = (\sqrt{3})^2 \] \[ a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 3 \] \[ a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 3 \] ### ধাপ ২: সমাধান করা \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 3 - 2 \] \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 1 \] অতএব, \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) এর মান হবে ১।
ক. $$-2xy$$
খ. $$2xy$$
ক. $$8xy$$
খ. $$2xy$$
গ. $6xy$$
ক. $$-2xy$$
খ. $$8xy$$
গ. $6xy$$
ঘ. $$2xy$$
উত্তরঃ $$2xy$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদী \( x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2 \) এর সঙ্গে এমন একটি সংখ্যা যোগ করব, যাতে এটি একটি পূর্ণবর্গ হয়ে যায়। --- ### ধাপ ১: পূর্ণবর্গের কাঠামো খুঁজে বের করা প্রদত্ত বহুপদীটি আমরা নতুনভাবে সাজাই: \[ x^2 - 8x + y^2 - 8y + 16 \] এটি আমরা \( (x - a)^2 + (y - b)^2 \) আকারে আনতে চাই। --- ### ধাপ ২: পূর্ণবর্গের জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যা খোঁজা আমরা লক্ষ করি, যদি \(2xy\) যোগ করি, তাহলে একে একটি পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা সম্ভব। অর্থাৎ, \[ x^2 - 8x + y^2 - 8y + 16 + 2xy \] এটি \( (x - y)^2 \) বা \( (x - a)^2 + (y - b)^2 \) রূপে রূপান্তরিত হবে। --- ### উত্তর: \( 2xy \) যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ বহুপদীতে পরিণত হবে। ✅
প্রশ্নঃ $$x^2-y^2+2y-1$$ এর একটি উৎপাদক-
[ বিসিএস ৩২তম | বিসিএস ২৬তম ]
ক. $$x+y-1$$
খ. $$x-y-1$$
ক. $$x+y-1$$
খ. $$x-y$$
গ. $$x-y-1$$
ক. $$x+y+1$$
খ. $$x-y$$
গ. $$x+y-1$$
ঘ. $$x-y-1$$
উত্তরঃ $$x+y-1$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদীটি \( x^2 - y^2 + 2y - 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব। --- ### ধাপ ১: পরিচিত রূপে সাজানো প্রদত্ত বহুপদীটি লিখতে পারি: \[ x^2 - (y^2 - 2y + 1) \] এখানে, \( y^2 - 2y + 1 \) অংশটিকে পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা যায়: \[ y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2 \] তাহলে, সমীকরণটি হয়: \[ x^2 - (y - 1)^2 \] --- ### ধাপ ২: উৎপাদক রূপে লেখা (\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) সূত্র প্রয়োগ) \[ x^2 - (y - 1)^2 = (x - (y - 1))(x + (y - 1)) \] \[ = (x - y + 1)(x + y - 1) \] --- ### উত্তর: একটি উৎপাদক হলো \( (x + y - 1) \) ✅
ক. 2
খ. 0
ক. 2
খ. 0
গ. 4
ক. 2
খ. 4
গ. 0
ঘ. 6
উত্তরঃ 0
ব্যাখ্যাঃ $$\mathrm {x^3+{1\over x^3}}= \mathrm {(\mathrm {x+{1\over x})^3}-3x. {1\over x}(x+ {1\over x}})$$ $$({\sqrt{3}})^3-3\sqrt 3=3\sqrt3-3\sqrt 3=0$$
প্রশ্নঃ $$x+y=6$$ এবং $$xy=8$$ হলে $$(x-y)^2$$ –এর মান কত?
[ বিসিএস ২৫তম ]
ক. 4
খ. 8
ক. 4
খ. 8
গ. 12
ক. 4
খ. 6
গ. 8
ঘ. 12
উত্তরঃ 4
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: \[ x + y = 6 \] \[ xy = 8 \] আমরা \((x - y)^2\) এর মান নির্ণয় করতে চাই। ### সমাধান: আমরা জানি, \[ (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy \] প্রদত্ত মানগুলি বসালে: \[ (x - y)^2 = (6)^2 - 4 \times 8 \] \[ (x - y)^2 = 36 - 32 \] \[ (x - y)^2 = 4 \] ### উত্তর: \[ \boxed{4} \]
প্রশ্নঃ \(\mathrm {x+y=7}\) এবং \(\mathrm{xy=10}\) হলে, \(\mathrm{(x-y})^2\)-এর মান কত?
[ বিসিএস ২৪তম ]
ক. 12
খ. 9
ক. 9
খ. 6
গ. 3
ক. 3
খ. 6
গ. 9
ঘ. 12
উত্তরঃ 9
ব্যাখ্যাঃ আমরা \( (x-y)^2 \) এর মান নির্ণয় করতে পারি। প্রথমে, \( (x-y)^2 \) এর সম্প্রসারণ করি: \[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] এখন, \( x^2 + y^2 \) এর মান নির্ণয় করার জন্য \( (x+y)^2 \) ব্যবহার করি: \[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] আমাদের জানা আছে \( x + y = 7 \) এবং \( xy = 10 \), তাই: \[ (x+y)^2 = 7^2 = 49 \] \[ 49 = x^2 + 2xy + y^2 \] এখন, \( x^2 + y^2 \) নির্ণয় করি: \[ x^2 + y^2 = 49 - 2xy \] যেহেতু \( xy = 10 \): \[ x^2 + y^2 = 49 - 2 \times 10 = 49 - 20 = 29 \] এখন, \( (x-y)^2 \) নির্ণয় করি: \[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] \[ (x-y)^2 = 29 - 20 = 9 \] তাহলে, \( (x-y)^2 \) এর মান হল ৯।
প্রশ্নঃ $$x+y=12$$ এবং $$x-y=2$$ হলে $$xy$$ -এর মান কত?
[ বিসিএস ২২তম ]
ক. 70
খ. 35
ক. 140
খ. 35
গ. 70
ক. 35
খ. 140
গ. 70
ঘ. 144
উত্তরঃ 35
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা দুটি সমীকরণ সমাধান করব: \[ x + y = 12 \] \[ x - y = 2 \] এই দুটি সমীকরণকে যোগ করে পাই: \[ (x + y) + (x - y) = 12 + 2 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] এখন \( x \)-এর মান \( x + y = 12 \) সমীকরণে বসাই: \[ 7 + y = 12 \] \[ y = 12 - 7 \] \[ y = 5 \] তাহলে, \( x = 7 \) এবং \( y = 5 \)। এখন \( xy \)-এর মান নির্ণয় করি: \[ xy = 7 \times 5 = 35 \] তাহলে, \( xy \)-এর মান হল ৩৫।
ক. $$\frac{2y^2-x^2}{xy}$$
খ. $$\frac{x^2-2y^2}{xy}$$
ক. $$\frac{x^2-2y^2}{xy}$$
খ. $$\frac{2y^2-x^2}{xy}$$
গ. $$\frac{x^2-y^2}{xy}$$
ক. $$\frac{2y^2-x^2}{xy}$$
খ. $$\frac{x^2-2y^2}{xy}$$
গ. $$\frac{x^2+2y^2}{xy}$$
ঘ. $$\frac{x^2-y^2}{xy}$$
উত্তরঃ $$\frac{2y^2-x^2}{xy}$$
ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো, \(\frac{x}{y}\) এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল \(\frac{2y}{x}\) হবে?
ধরা যাক, যোগফল হবে \(k\)।
তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়াবে: \[ \frac{x}{y} + k = \frac{2y}{x} \] \(k\)-এর মান নির্ণয়ের জন্য: \[ k = \frac{2y}{x} - \frac{x}{y} \] এখন সাধারণ হার নির্ণয় করতে ল.সা.গু (LCM) নেব: \[ k = \frac{2y^2 - x^2}{xy} \] তাহলে, সঠিক উত্তর: \[ k = \frac{2y^2 - x^2}{xy} \]
ধরা যাক, যোগফল হবে \(k\)।
তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়াবে: \[ \frac{x}{y} + k = \frac{2y}{x} \] \(k\)-এর মান নির্ণয়ের জন্য: \[ k = \frac{2y}{x} - \frac{x}{y} \] এখন সাধারণ হার নির্ণয় করতে ল.সা.গু (LCM) নেব: \[ k = \frac{2y^2 - x^2}{xy} \] তাহলে, সঠিক উত্তর: \[ k = \frac{2y^2 - x^2}{xy} \]
প্রশ্নঃ $$x^2+y^2=8$$ এবং $$xy=7$$ হলে $$(x+y)^2$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ২০তম ]
ক. ৩০
খ. ২২
ক. ১৪
খ. ৩০
গ. ২২
ক. ১৪
খ. ১৬
গ. ২২
ঘ. ৩০
উত্তরঃ ২২
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, \[ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \] প্রশ্নে প্রদত্ত, \[ x^2 + y^2 = 8 \] \[ xy = 7 \] অতএব, \[ (x + y)^2 = 8 + 2 \times 7 \] \[ (x + y)^2 = 8 + 14 \] \[ (x + y)^2 = 22 \] অতএব, \((x+y)^2\) এর মান হলো ২২।
প্রশ্নঃ যদি \(x+5y=16\) এবং \(x=3y\) হয়, তাহলে \(y= \)কত?
[ বিসিএস ১৮তম ]
ক. $$2$$
খ. $$8$$
ক. $$2$$
খ. $$-24$$
গ. $$8$$
ক. $$-24$$
খ. $$-2$$
গ. $$8$$
ঘ. $$2$$
উত্তরঃ $$2$$
ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে প্রদত্ত:
1. \( x + 5y = 16 \)
2. \( x = 3y \)
প্রথম সমীকরণে \( x = 3y \) বসাই: \[ 3y + 5y = 16 \] \[ 8y = 16 \] \[ y = \frac{16}{8} \] \[ y = 2 \] অতএব, \( y \) এর মান হলো ২।
1. \( x + 5y = 16 \)
2. \( x = 3y \)
প্রথম সমীকরণে \( x = 3y \) বসাই: \[ 3y + 5y = 16 \] \[ 8y = 16 \] \[ y = \frac{16}{8} \] \[ y = 2 \] অতএব, \( y \) এর মান হলো ২।
প্রশ্নঃ $$x-[x-{x-(x+1)}]$$- এর মান কত?
[ বিসিএস ১৭তম ]
ক. $$-1$$
খ. $$1$$
ক. $$x+1$$
খ. $$-1$$
গ. $$x-1$$
ক. $$x+1$$
খ. $$1$$
গ. $$-1$$
ঘ. $$x-1$$
উত্তরঃ $$-1$$
ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটিকে সরল করি: \[ x - [x - \{ x - (x + 1) \}] \] প্রথমে ভেতরের অংশটি সমাধান করি: \[ x - (x + 1) = -1 \] এখন, \[ x - [x - \{ -1 \}] \] এর পরবর্তী ধাপ: \[ x - [x + 1] = x - x - 1 = -1 \] অতএব, \( x - [x - \{ x - (x + 1) \}] \) এর মান হলো -১।
ক. $$\frac{a+b-c}{a+b+c}$$
খ. $$\frac{a+b-c}{a-b+c}$$
ক. $$\frac{a-b+c}{a+b-c}$$
খ. $$\frac{a+b-c}{a+b+c}$$
গ. $$\frac{a+b-c}{a-b+c}$$
ক. $$a+b+c$$
খ. $$\frac{a+b-c}{a-b+c}$$
গ. $$\frac{a-b+c}{a+b-c}$$
ঘ. $$\frac{a+b-c}{a+b+c}$$
উত্তরঃ $$\frac{a+b-c}{a-b+c}$$
ব্যাখ্যাঃ \[\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab}{a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ac}\] \[\Rightarrow \frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{(a+c)^{2}-b^{2}}\] \[\Rightarrow \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{(a+c+b)(a+c-b)}\] \[\Rightarrow \frac{a+b-c}{a-b+c}\]
প্রশ্নঃ $$a+b+c=9, a^2+b^2+c^2=29$$ হলে $$ab+bc+ca$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ১৬তম ]
ক. 26
খ. 52
ক. 26
খ. 52
গ. 22
ক. 52
খ. 46
গ. 26
ঘ. 22
উত্তরঃ 26
ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি ছিলঃ \( a + b + c = 9 \) এবং \( a^2 + b^2 + c^2 = 29 \)। \( ab + bc + ca \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা নিচের পরিচিত পরিচয়ের ব্যবহার করিঃ \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] প্রথমে, আমরা জানি যে: \[ (9)^2 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] এখন, সরল করিঃ \[ 81 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] 29 উভয় দিক থেকে বিয়োগ করুন: \[ 52 = 2(ab + bc + ca) \] 2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন: \[ ab + bc + ca = 26 \] অতএব, \( ab + bc + ca \) এর মান 26।
আমরা নিচের পরিচিত পরিচয়ের ব্যবহার করিঃ \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] প্রথমে, আমরা জানি যে: \[ (9)^2 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] এখন, সরল করিঃ \[ 81 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] 29 উভয় দিক থেকে বিয়োগ করুন: \[ 52 = 2(ab + bc + ca) \] 2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন: \[ ab + bc + ca = 26 \] অতএব, \( ab + bc + ca \) এর মান 26।
ক. 3
খ. 0
ক. 2
খ. 3
গ. 0
ক. 0
খ. 1
গ. 2
ঘ. 3
উত্তরঃ 0
ব্যাখ্যাঃ \(a=1, b=-1, c=2, d=-2\)
ধরি, \(a - (-b) - (-c) - (-d)\) এর মান নির্ণয় করি।
প্রথমে, নেতিবাচক চিহ্নগুলিকে সরিয়ে ফেলি: \[a - (-b) - (-c) - (-d) = a + b + c + d\] অতএব, \(1 + (-1) + 2 + (-2)\) এর মান বের করি: \[1 - 1 + 2 - 2 = 0\] অতএব, \(a - (-b) - (-c) - (-d)\) এর মান হল ০।
ধরি, \(a - (-b) - (-c) - (-d)\) এর মান নির্ণয় করি।
প্রথমে, নেতিবাচক চিহ্নগুলিকে সরিয়ে ফেলি: \[a - (-b) - (-c) - (-d) = a + b + c + d\] অতএব, \(1 + (-1) + 2 + (-2)\) এর মান বের করি: \[1 - 1 + 2 - 2 = 0\] অতএব, \(a - (-b) - (-c) - (-d)\) এর মান হল ০।
প্রশ্নঃ \((2+x)+3=3(x+2)\) হলে \(x\) এর মান কত?
[ বিসিএস ১৫তম ]
ক. $$-\frac{1}{2}$$
খ. $$\frac{1}{2}$$
ক. $$\frac{1}{2}$$
খ. $$\frac{2}{3}$$
গ. $$-\frac{1}{2}$$
ক. $$-\frac{1}{2}$$
খ. $$\frac{1}{2}$$
গ. $$\frac{1}{3}$$
ঘ. $$\frac{2}{3}$$
উত্তরঃ $$-\frac{1}{2}$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা সমীকরণটি ধাপে ধাপে সমাধান করি:
প্রথমে মূল সমীকরণটি লিখি: \[ (2 + x) + 3 = 3(x + 2) \] এখন বন্ধনীগুলি সরিয়ে ফেলি: \[ 2 + x + 3 = 3x + 6 \] এখন উভয় পক্ষে একত্রিত করি: \[ 5 + x = 3x + 6 \] এখন \(x\) এর শর্তগুলো একপক্ষে এবং ধ্রুবকগুলো অন্যপক্ষে নিয়ে যাই: \[ 5 - 6 = 3x - x \] \[ -1 = 2x \] এখন \(x\) নির্ণয় করি: \[ x = \frac{-1}{2} \] অতএব, সমীকরণের জন্য \( x \) এর মান হলো \(-\frac{1}{2}\)।
প্রথমে মূল সমীকরণটি লিখি: \[ (2 + x) + 3 = 3(x + 2) \] এখন বন্ধনীগুলি সরিয়ে ফেলি: \[ 2 + x + 3 = 3x + 6 \] এখন উভয় পক্ষে একত্রিত করি: \[ 5 + x = 3x + 6 \] এখন \(x\) এর শর্তগুলো একপক্ষে এবং ধ্রুবকগুলো অন্যপক্ষে নিয়ে যাই: \[ 5 - 6 = 3x - x \] \[ -1 = 2x \] এখন \(x\) নির্ণয় করি: \[ x = \frac{-1}{2} \] অতএব, সমীকরণের জন্য \( x \) এর মান হলো \(-\frac{1}{2}\)।
প্রশ্নঃ \(\frac{1}{2}{(a+b)^2+(a-b)^2}=\) কত?
[ বিসিএস ১৪তম ]
ক. \(a^2+b^2\)
খ. \(a^2-b^2\)
ক. \(a^2-b^2\)
খ. \(a^2+b^2\)
গ. \((a+b)^2+(a-b)^2\)
ক. \(a^2+b^2\)
খ. \(a^2-b^2\)
গ. \(\frac{(a+b)^2}{2}-\frac{(a-b)^2}{2}\)
ঘ. \((a+b)^2+(a-b)^2\)
উত্তরঃ \(a^2+b^2\)
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে \( (a + b)^2 \) এবং \( (a - b)^2 \) বের করি: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] এখন এই দুটি যোগ করি: \[ (a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) \] \[ = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 \] \[ = 2a^2 + 2b^2 \] এখন এই যোগফলটির \( \frac{1}{2} \) অংশ বের করি: \[ \frac{1}{2} (2a^2 + 2b^2) \] \[ = a^2 + b^2 \] অতএব, \[ \frac{1}{2} ((a + b)^2 + (a - b)^2) = a^2 + b^2 \]
ক. \(-9\)
খ. 9
ক. \(-9\)
খ. 10
গ. \(-2\)
ক. 10
খ. 9
গ. \(-9\)
ঘ. \(-2\)
উত্তরঃ \(-9\)
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণে \( x = 2 \) বসিয়ে \( h \) এর মান নির্ণয় করা যাবে। সমীকরণটি হলো: \[ x^3 + hx + 10 = 0 \] \[ (2)^3 + h(2) + 10 = 0 \] \[ 8 + 2h + 10 = 0 \] \[ 18 + 2h = 0 \] \[ 2h = -18 \] \[h = \frac{-18}{2} \] \[h = -9 \] অতএব, \( h \) এর মান -9।
প্রশ্নঃ যদি \(a^3-b^3=513\) এবং \(a-b=3\) হয় তবে \(ab\) -এর মান কত?
[ বিসিএস ১১তম | ১৩ তম শিক্ষক (স্কুল সমপর্যায়-২) ]
ক. 35
খ. 54
ক. 35
খ. 45
গ. 54
ক. 54
খ. 35
গ. 45
ঘ. 55
উত্তরঃ 54
ব্যাখ্যাঃ ধরি, \[ a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b) \] আমাদের দেওয়া আছে \(a - b = 3\), তাই \[ 513 = 27 + 9ab \] \[ 9ab = 486 \] অতএব, \[ ab = \frac{486}{9} = 54 \]
প্রশ্নঃ \((x+3)(x-3)\) কে \(x^2-6\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
[ বিসিএস ১১তম ]
ক. \(-3\)
খ. \(6\)
ক. \(-3\)
খ. \(-6\)
গ. \(3\)
ক. \(-6\)
খ. \(3\)
গ. \(6\)
ঘ. \(-3\)
উত্তরঃ \(-3\)
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা \( (x+3)(x-3) \) প্রকাশ করি: \[ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 \] এখন, \( x^2 - 6 \) দিয়ে ভাগ করি: \[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 6} \] এখানে \( x^2 - 9 \) কে \( x^2 - 6 \) দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল \( 1 \) এবং ভাগশেষ \( -3 \) হবে। তাহলে, \[ \boxed{-3} \]
প্রশ্নঃ \(a+b=5\) এবং \(a-b=3\) হলে \(ab\) এর মান কত?
[ বিসিএস ১০তম ]
ক. 4
খ. 5
ক. 4
খ. 5
গ. 2
ক. 2
খ. 3
গ. 4
ঘ. 5
উত্তরঃ 4
ব্যাখ্যাঃ আমরা দেওয়া সমীকরণগুলোকে ব্যবহার করবো: \[a + b = 5\] \[a - b = 3\] প্রথমে, \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় করি। দুটি সমীকরণ যোগ করি: \[ (a + b) + (a - b) = 5 + 3 \] \[ 2a = 8 \] \[ a = 4 \] এখন, \(a\) এর মান ব্যবহার করে \(b\) এর মান নির্ণয় করি: \[ a + b = 5 \] \[ 4 + b = 5 \] \[ b = 1 \] এখন \(ab\) এর মান নির্ণয় করি: \[ ab = 4 \times 1 = 4 \] অতএব, \(ab\) এর মান 4।
প্রশ্নঃ যদি \((x-5)(a+x)=x^2-25\) তবে \(a\) এর মান কত?
[ বিসিএস ১০তম ]
ক. \(-25\)
খ. \(5\)
ক. \(5\)
খ. \(-25\)
গ. \(-5\)
ক. \(-5\)
খ. \(5\)
গ. \(25\)
ঘ. \(-25\)
উত্তরঃ \(5\)
ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে: \[ (x-5)(a+x) = x^2 - 25 \] প্রথমে, \( (x-5)(a+x) \) কে সরলীকরণ করি: \[ (x-5)(a+x) = (x-5)a + (x-5)x \] \[ = xa + x^2 - 5a - 5x \] এখন, সমীকরণটি সমান হলে: \[ xa + x^2 - 5a - 5x = x^2 - 25 \] উভয় পক্ষ থেকে \( x^2 \) বাদ দিলে: \[ xa - 5a - 5x = -25 \] \( x \) এর সহগ সমীকরণ: \[ a - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 5 \] ধ্রুবক পদ সমীকরণ: \[ -5a = -25 \quad \Rightarrow \quad a = 5 \] অতএব, \( a \) এর মান \( 5 \)।
ক. \(±3\)
খ. \(±7\)
ক. \(±9\)
খ. \(±7\)
গ. \(±3\)
ক. \(±9\)
খ. \(±7\)
গ. \(±5\)
ঘ. \(±3\)
উত্তরঃ \(±7\)
ব্যাখ্যাঃ আমরা \(a^2 + \frac{1}{a^2} = 51\) থেকে \(a - \frac{1}{a}\)-এর মান বের করতে পারি। ধাপে ধাপে সমাধান নিচে দেখানো হলো:
১. \(a - \frac{1}{a}\)-এর বর্গের সূত্র ব্যবহার করি: \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \] ২. এখানে \(a^2 + \frac{1}{a^2} = 51\) দেওয়া আছে, তাই: \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 51 - 2 = 49 \] ৩. বর্গমূল নিয়ে পাই: \[ a - \frac{1}{a} = \sqrt{49} \quad \text{বা} \quad a - \frac{1}{a} = -\sqrt{49} \] ৪. তাই: \[ a - \frac{1}{a} = 7 \quad \text{বা} \quad a - \frac{1}{a} = -7 \] উত্তর: \(a - \frac{1}{a}\)-এর মান \(7\) বা \(-7\)।
১. \(a - \frac{1}{a}\)-এর বর্গের সূত্র ব্যবহার করি: \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \] ২. এখানে \(a^2 + \frac{1}{a^2} = 51\) দেওয়া আছে, তাই: \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 51 - 2 = 49 \] ৩. বর্গমূল নিয়ে পাই: \[ a - \frac{1}{a} = \sqrt{49} \quad \text{বা} \quad a - \frac{1}{a} = -\sqrt{49} \] ৪. তাই: \[ a - \frac{1}{a} = 7 \quad \text{বা} \quad a - \frac{1}{a} = -7 \] উত্তর: \(a - \frac{1}{a}\)-এর মান \(7\) বা \(-7\)।
ক. \(\frac{y^2-x^2}{xy}\)
খ. \(\frac{2x^2-y^2}{xy}\)
ক. \(\frac{y^2-x^2}{xy}\)
খ. \(\frac{x^2-y^2}{xy}\)
গ. \(\frac{x^2-2y^2}{xy}\)
ক. \(\frac{x^2-y^2}{xy}\)
খ. \(\frac{2x^2-y^2}{xy}\)
গ. \(\frac{y^2-x^2}{xy}\)
ঘ. \(\frac{x^2-2y^2}{xy}\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2-x^2}{xy}\)
ব্যাখ্যাঃ আমরা \(\frac{x}{y}\)-এর সাথে একটি সংখ্যা যোগ করে যোগফল \(\frac{y}{x}\) করতে চাই। ধরে নিই, যোগ করা সংখ্যাটি হল \(k\)।
তাহলে, সমীকরণটি হবে: \[ \frac{x}{y} + k = \frac{y}{x} \] এখন \(k\)-এর মান নির্ণয় করি। \[ k = \frac{y}{x} - \frac{x}{y} \] লসাগু \(xy\)-এর সাহায্যে ভগ্নাংশগুলোর বিয়োগ করি: \[ k = \frac{y^2 - x^2}{xy} \]
তাহলে, সমীকরণটি হবে: \[ \frac{x}{y} + k = \frac{y}{x} \] এখন \(k\)-এর মান নির্ণয় করি। \[ k = \frac{y}{x} - \frac{x}{y} \] লসাগু \(xy\)-এর সাহায্যে ভগ্নাংশগুলোর বিয়োগ করি: \[ k = \frac{y^2 - x^2}{xy} \]
প্রশ্নঃ \(x^3+x^2y,~~ x^2y+xy^2\) এর ল.সা.গু কোনটি?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. \(xy(x+y)\)
খ. \(x^2y(x+y)\)
ক. \(x^2y(x+y)\)
খ. \(xy\)
গ. \(x+y\)
ক. \(xy\)
খ. \(x+y\)
গ. \(xy(x+y)\)
ঘ. \(x^2y(x+y)\)
উত্তরঃ \(x^2y(x+y)\)
ব্যাখ্যাঃ \(x^3 + x^2y\) এবং \(x^2y + xy^2\)-এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হলে আমরা তাদের গুণনীয়কগুলো নির্ণয় করে সাধারণ গুণনীয়ক বের করব।
১. প্রথম বহুপদী: \[ x^3 + x^2y = x^2(x + y) \] ২. দ্বিতীয় বহুপদী: \[ x^2y + xy^2 = xy(x + y) \] এখন \(x^3 + x^2y\) এবং \(x^2y + xy^2\)-এর সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজতে হলে \(x^2\), \(xy\), এবং \((x + y)\) মিলিত বহুগুণ বের করতে হবে। তাদের ল.সা.গু হবে: \[ x^2y(x + y) \] ল.সা.গু হলো \(x^2y(x + y)\)।
১. প্রথম বহুপদী: \[ x^3 + x^2y = x^2(x + y) \] ২. দ্বিতীয় বহুপদী: \[ x^2y + xy^2 = xy(x + y) \] এখন \(x^3 + x^2y\) এবং \(x^2y + xy^2\)-এর সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজতে হলে \(x^2\), \(xy\), এবং \((x + y)\) মিলিত বহুগুণ বের করতে হবে। তাদের ল.সা.গু হবে: \[ x^2y(x + y) \] ল.সা.গু হলো \(x^2y(x + y)\)।
ক. 154
খ. 364
ক. 364
খ. 154
গ. 334
ক. 334
খ. 154
গ. 364
ঘ. 512
উত্তরঃ 364
ব্যাখ্যাঃ
প্রদত্ত রাশিটির মান নির্ণয়ের জন্য আমরা $a^3-b^3$ এর সূত্র ব্যবহার করব, যেখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।
আমরা জানি:
$a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$
এখানে, $x^3- \Big({1\over x}\Big)^3$ = $\Big(x-\frac{1}{x}\Big)^3 + 3(x)\Big(\frac{1}{x}\Big)\Big(x-\frac{1}{x}\Big)$
প্রশ্নমতে, $x-\frac{1}{x}=7$
সুতরাং, মানগুলো বসিয়ে পাই:
$= (7)^3 + 3(1)(7)$
$= 343 + 21$
$= 364$
প্রদত্ত রাশিটির মান নির্ণয়ের জন্য আমরা $a^3-b^3$ এর সূত্র ব্যবহার করব, যেখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।
আমরা জানি:
$a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$
এখানে, $x^3- \Big({1\over x}\Big)^3$ = $\Big(x-\frac{1}{x}\Big)^3 + 3(x)\Big(\frac{1}{x}\Big)\Big(x-\frac{1}{x}\Big)$
প্রশ্নমতে, $x-\frac{1}{x}=7$
সুতরাং, মানগুলো বসিয়ে পাই:
$= (7)^3 + 3(1)(7)$
$= 343 + 21$
$= 364$
প্রশ্নঃ যদি a+b=2, ab=1 হয় তবে a এবং b এর মান কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. 1, 1
খ. -3, -4
ক. -1, 3
খ. -3, -4
গ. 1, 1
ক. 1, 1
খ. -1, 3
গ. -3, -4
ঘ. 0, 2
উত্তরঃ 1, 1
ব্যাখ্যাঃ ধরি, \(a\) এবং \(b\) দুটি সংখ্যা। আমাদের দেওয়া আছে:
১. \(a + b = 2\)
২. \(ab = 1\)
এখন আমরা \(a\) এবং \(b\)-এর মান নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গ সমীকরণ গঠন করব। বর্গ সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো: \[ x^2 - (a+b)x + ab = 0 \] এখন \(a+b = 2\) এবং \(ab = 1\) এর মান ব্যবহার করি: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] এটি একটি পূর্ণ বর্গ ধরণের সমীকরণ: \[ (x - 1)^2 = 0 \] তাহলে, \(x = 1\)। অর্থাৎ, \(a = 1\) এবং \(b = 1\)।
উত্তর: \(a = 1\) এবং \(b = 1\)।
১. \(a + b = 2\)
২. \(ab = 1\)
এখন আমরা \(a\) এবং \(b\)-এর মান নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গ সমীকরণ গঠন করব। বর্গ সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো: \[ x^2 - (a+b)x + ab = 0 \] এখন \(a+b = 2\) এবং \(ab = 1\) এর মান ব্যবহার করি: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] এটি একটি পূর্ণ বর্গ ধরণের সমীকরণ: \[ (x - 1)^2 = 0 \] তাহলে, \(x = 1\)। অর্থাৎ, \(a = 1\) এবং \(b = 1\)।
উত্তর: \(a = 1\) এবং \(b = 1\)।
প্রশ্নঃ যদি x + 5y = 24 এবং x = 3y হয় তাহলে y এর মান কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]
ক. 3
খ. ৪
ক. 3
খ. 9.5
গ. ৪
ক. ৪
খ. 9.5
গ. 3
ঘ. 7
উত্তরঃ 3
ব্যাখ্যাঃ প্রথম সমীকরণটি: \[ x + 5y = 24 \] দ্বিতীয় সমীকরণটি: \[ x = 3y \] প্রথম সমীকরণে \(x = 3y\) বসাই: \[ 3y + 5y = 24 \] সরল করি: \[ 8y = 24 \] এখন \(y\)-এর মান নির্ণয় করি: \[ y = \frac{24}{8} = 3 \] উত্তর: \(y = 3\)।