ব্যাখ্যাঃ $$1 × 88 = 88$$ $$2 × 44 = 88$$ $$4 × 22 = 88$$ $$8 × 11 = 88$$ $$∴ Divisors of 88 = 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88$$ $$1 × 91 = 91$$ $$7 × 13 = 91$$ $$∴Divisors of 91 1, 7, 13,91$$ $$1 × 95 = 95$$ $$5 × 19 = 95$$ $$∴Divisors of 95 = 1, 5, 19, 95$$ $$1 × 99 = 99$$ $$3 × 33 = 99$$ $$9 × 11 = 99$$ $$∴ Divisors of 99 1,3, 9, 11, 33, 99$$ $$∴88 has the most divisors$$

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করতে আমাদের এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যা ৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য এবং এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

ধাপ ১: ৮, ১০ এবং ১২ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) নির্ণয়
প্রথমে ৮, ১০ এবং ১২ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) নির্ণয় করি।
- ৮ এর মৌলিক উৎপাদক: \(2^3\)
- ১০ এর মৌলিক উৎপাদক: \(2 \times 5\)
- ১২ এর মৌলিক উৎপাদক: \(2^2 \times 3\)

LCM হবে প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল: \[ \text{LCM} = 2^3 \times 3 \times 5 = 120 \] ধাপ ২: পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয়
এখন, আমাদের এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যা ১২০ এর গুণিতক এবং একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

১২০ এর মৌলিক উৎপাদক: \[ 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \] একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হলে, প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে। তাই, আমরা ১২০ কে নিম্নলিখিতভাবে গুণ করব: \[ 120 \times 2 \times 3 \times 5 = 120 \times 30 = 3600 \] এখন, ৩৬০০ এর মৌলিক উৎপাদক: \[ 3600 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \] যেহেতু প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা, তাই ৩৬০০ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

ধাপ ৩: যাচাইকরণ
- ৩৬০০ ÷ ৮ = ৪৫০
- ৩৬০০ ÷ ১০ = ৩৬০
- ৩৬০০ ÷ ১২ = ৩০০

সকল ক্ষেত্রে ফলাফল পূর্ণ সংখ্যা, তাই ৩৬০০ সংখ্যাটি ৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য এবং এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

ফলাফল
স্কুলে কমপক্ষে ৩৬০০ জন ছাত্র আছে।

ব্যাখ্যাঃ যখন \(a + b + c = 0\), তখন একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক পরিচিতি অনুযায়ী: \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \] এখানে \(a + b + c = 0\), সুতরাং উপরের সমীকরণটি হয়: \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 \] অতএব, \[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \] সুতরাং, \(a + b + c = 0\) হলে, \(a^3 + b^3 + c^3\)-এর মান হয় \(3abc\)।

ব্যাখ্যাঃ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হলো:

ক্ষুদ্রতম: ৪১
বৃহত্তম: ৯৭
এখন, তাদের অন্তর গণনা করি: $$৯৭ - ৪১ = ৫৬$$ সুতরাং, ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হলো ৫৬।

ব্যাখ্যাঃ মোট আমের সংখ্যা ছিল ১৮০। দুই দিন পর ৯টি আম পচে গেছে। তাহলে ভালো থাকা আমের সংখ্যা হলো: $$১৮০ - ৯ = ১৭১$$ ভালো থাকা আমের শতকরা হার নির্ণয় করি: \[ \text{ভালো আমের শতকরা হার} = \left(\frac{{ভালো আম}}{{মোট আম}} \times ১০০\right) \] \[ = \left(\frac{{১৭১}}{{১৮০}} \times ১০০\right) \] \[ = ৯৫\%। \] সুতরাং, শতকরা ৯৫% আম ভালো আছে।

ব্যাখ্যাঃ ১ কোটি = ১০ মিলিয়ন, সুতরাং
৯ কোটি = \(৯ \times ১০ \; \text{মিলিয়ন} = ৯০ \; \text{মিলিয়ন}\)।

উত্তর: ঘঃ ৯০ মিলিয়ন।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বইয়ের মূল্য \(x\) টাকা।
তাহলে, কলমের মূল্য হবে \(x - ৭\) টাকা।
উভয়ের মূল্য মোট ৪৩ টাকা দেওয়া আছে, তাই \[ x + (x - ৭) = ৪৩ \] \[ ২x - ৭ = ৪৩ \] \[ ২x = ৪৩ + ৭ \] \[ ২x = ৫০ \] \[ x = \frac{৫০}{২} = ২৫ \] সুতরাং, বইয়ের মূল্য \(২৫\) টাকা এবং কলমের মূল্য \(২৫ - ৭ = ১৮\) টাকা।
তাহলে, কলমের মূল্য ১৮ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটির দশমিক অঙ্ক \(x\) এবং একক অঙ্ক \(y\)।
তাহলে সংখ্যাটি হবে: \(10x + y\)।
অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যা হবে: \(10y + x\)।

প্রশ্ন অনুসারে, \[ (10y + x) - (10x + y) = 63 \] \[ 10y + x - 10x - y = 63 \] \[ 9y - 9x = 63 \] \[ 9(y - x) = 63 \] \[ y - x = \frac{63}{9} = 7 \] সুতরাং, সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য হলো ৭।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পাত্রটির ওজন \(x\) কেজি এবং তেলের সম্পূর্ণ পরিমাণের ওজন \(y\) কেজি।

তাহলে, তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন হবে: \[ x + y = ৩২ \] অর্ধেক তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন হবে: \[ x + \frac{y}{2} = ২০ \] এখন এই দুটি সমীকরণ থেকে সমাধান করি: প্রথম সমীকরণ: \[ x + y = ৩২ \quad ...(১) \] দ্বিতীয় সমীকরণ: \[ x + \frac{y}{2} = ২০ \quad ...(২) \] সমীকরণ (২) থেকে \(x\)-এর মান বের করি: \[ x = ২০ - \frac{y}{2} \quad ...(৩) \] এখন সমীকরণ (৩) -এর মান সমীকরণ (১)-এ বসাই: \[ \left(২০ - \frac{y}{2}\right) + y = ৩২ \] \[ ২০ + \frac{y}{2} = ৩২ \] \[ \frac{y}{2} = ৩২ - ২০ \] \[ \frac{y}{2} = ১২ \] \[ y = ১২ \times ২ = ২৪ \] তেলের ওজন \(y = ২৪\) কেজি। এখন \(x + y = ৩২\)-এ \(y = ২৪\) বসাই: \[ x + ২৪ = ৩২ \] \[ x = ৩২ - ২৪ = ৮ \] সুতরাং, পাত্রটির ওজন ৮ কেজি।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রাথমিকভাবে বাসে যাওয়ার ছাত্রসংখ্যা ছিল \(x\)।
তাহলে, প্রাথমিক অবস্থায় প্রতি ছাত্রের ভাড়া হবে: \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} \] এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেয়, অর্থাৎ মোট ছাত্রসংখ্যা হলো \(x + ১০\)।
তখন, প্রতি ছাত্রের ভাড়া হয়: \[ \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} \] প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} - \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} = ৮ \] এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{{২৪০০(x + ১০) - ২৪০০x}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ \frac{{২৪০০ \times ১০}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ ২৪০০০ = ৮x(x + ১০) \] \[ ২৪০০০ = ৮(x^2 + ১০x) \] \[ x^2 + ১০x - ৩০০০ = ০ \] এটি একটি স্বাভাবিক বর্গ সমীকরণ, যা সমাধান করতে পারি: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \] এখানে, \(a = ১\), \(b = ১০\), এবং \(c = -৩০০০\)। \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০^2 - ৪(১)(-৩০০০)}}}}{{২(১)}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০০ + ১২০০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১২১০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm ১১০}}{{২}} \] দুটি মান পাওয়া যায়: \[ x = \frac{{-১০ + ১১০}}{{২}} = \frac{{১০০}}{{২}} = ৫০ \] \[ x = \frac{{-১০ - ১১০}}{{২}} = \frac{{-১২০}}{{২}} = -৬০ \; (\text{নেতিবাচক মান বাস্তবসম্মত নয়}) \] সুতরাং, প্রাথমিক ছাত্রসংখ্যা ছিল \(৫০\)।
এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেওয়ার পরে মোট ছাত্রসংখ্যা: \(৫০ + ১০ = ৬০\)।

সুতরাং, বাসে ৬০ জন ছাত্র গিয়েছিল।

ব্যাখ্যাঃ এটি একটি সরল পিথাগোরাস উপপাদ্যের সমস্যা। ধরি, দেয়ালের দূরত্বটি \(x\) মিটার।

পিথাগোরাস উপপাদ্য অনুযায়ী: \[ \text{Hypotenuse}^2 = \text{Base}^2 + \text{Height}^2 \] অতএব, \[ ৫০^2 = x^2 + ৪০^2 \] \[ ২৫০০ = x^2 + ১৬০০ \] \[ x^2 = ২৫০০ - ১৬০০ = ৯০০ \] \[ x = \sqrt{৯০০} = ৩০ \] সুতরাং, দেয়ালের দূরত্ব হলো ৩০ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র \(O\), এবং \(AB\) হলো জ্যা। ব্যাসার্ধ \(r = ১৫\) সেমি এবং \(AB = ২৪\) সেমি। আমরা খুঁজছি \(O\) থেকে জ্যা \(AB\)-এর সর্বনিম্ন দূরত্ব, অর্থাৎ উল্লম্ব দূরত্ব \(OM\), যেখানে \(M\) হলো \(AB\)-এর মধ্যবিন্দু। পিথাগোরাস উপপাদ্যের প্রয়োগ:
জ্যা \(AB\)-কে দুই সমান ভাগে ভাগ করলে: \[ AM = \frac{AB}{2} = \frac{২৪}{২} = ১২ \; \text{সেমি।} \] ত্রিভুজ \(OAM\)-এ, \(OA = r = ১৫ \; \text{সেমি}\), এবং \(AM = ১২ \; \text{সেমি}\)।
এখন \(OM\)-এর মান পিথাগোরাস উপপাদ্য অনুযায়ী: \[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \] \[ 15^2 = OM^2 + 12^2 \] \[ 225 = OM^2 + 144 \] \[ OM^2 = 225 - 144 = 81 \] \[ OM = \sqrt{81} = 9 \; \text{সেমি।} \] সুতরাং, কেন্দ্র থেকে জ্যা \(AB\)-এর সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ৯ সেমি।

ব্যাখ্যাঃ এখানে সমস্যাটি এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করার, যা ৫, ৮, এবং ২০-এর গুণিতক এবং প্রতিবার ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে ৪। ধাপে ধাপে সমাধান করা যাক:

১. LCM নির্ণয়:
প্রথমে, \(৫\), \(৮\), এবং \(২০\)-এর লঘিষ্ঠ গুণিতক (LCM) বের করি। \(৮ = 2^3\), \(২০ = 2^2 \times 5\)।
সুতরাং, \[ \text{LCM} = 2^3 \times 5 = ৪০ \] ২. শর্ত যোগ করা:
আমরা একটি সংখ্যা \(৪০\)-এর গুণিতক খুঁজছি, যা প্রতিটি ভাগে অবশিষ্ট রাখে \(৪\)। তাই সংখ্যা হবে: \[ \text{সংখ্যা} = ৪০k + ৪ \] যেখানে \(k\) হল একটি পূর্ণসংখ্যা।
৩. নিম্নতম সংখ্যা নির্ধারণ:
\(k = ১\) হলে, \[ \text{সংখ্যা} = ৪০ \times ১ + ৪ = ৪৪ \] সুতরাং, ঐ স্কুলে ছাত্র সংখ্যা হবে ৪৪।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ঘরের প্রস্থ \(x\) মিটার।
তাহলে, ঘরের দৈর্ঘ্য হবে \(x + ৪\) মিটার।

আয়তকার ঘরের পরিসীমা \(2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})\)।
প্রশ্ন অনুসারে: \[ 2 \times (x + (x + ৪)) = ৩২ \] এখন সমীকরণটি সরল করি: \[ 2 \times (2x + ৪) = ৩২ \] \[ 4x + ৮ = ৩২ \] \[ 4x = ৩২ - ৮ = ২৪ \] \[ x = \frac{২৪}{৪} = ৬ \] তাহলে, ঘরের প্রস্থ \(৬\) মিটার এবং দৈর্ঘ্য \(৬ + ৪ = ১০\) মিটার।

সুতরাং, ঘরের দৈর্ঘ্য হলো ১০ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, রাস্তা সহ আয়তকার বাগানের বাইরের ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ:

- বাইরের দৈর্ঘ্য: \(৮০ + ৫ + ৫ = ৯০\) ফুট
- বাইরের প্রস্থ: \(৭০ + ৫ + ৫ = ৮০\) ফুট

সুতরাং, বাইরের ক্ষেত্রফল: \[ ৯০ \times ৮০ = ৭২০০ \; \text{বর্গফুট।} \] এখন, শুধু বাগানের ক্ষেত্রফল: \[ ৮০ \times ৭০ = ৫৬০০ \; \text{বর্গফুট।} \] তাহলে, রাস্তার ক্ষেত্রফল: \[ ৭২০০ - ৫৬০০ = ১৬০০ \; \text{বর্গফুট।} \] সুতরাং, রাস্তাটির ক্ষেত্রফল হলো ১৬০০ বর্গফুট।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, চতুর্থ পরীক্ষায় রহিম যে নম্বর পাবে তা \(x\)।

রহিমের মোট চারটি পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বরের গড় ৮৭ হতে হলে: \[ \frac{{৮২ + ৮৫ + ৯২ + x}}{৪} = ৮৭ \] এখন সমীকরণটি সরল করি: \[ ৮২ + ৮৫ + ৯২ + x = ৮৭ \times ৪ \] \[ ২৫৯ + x = ৩৪৮ \] \[ x = ৩৪৮ - ২৫৯ = ৮৯ \] সুতরাং, রহিমকে চতুর্থ পরীক্ষায় ৮৯ নম্বর পেতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা এমন একটি সংখ্যার খোঁজ করব যা \(৯\), \(১৫\), এবং \(২৫\)-এর লঘিষ্ঠ গুণিতক (LCM)-এর গুণিতক এবং \(১৯৭\)-এর সাথে যোগ করার পর তা প্রাপ্ত হবে।

১. LCM নির্ণয় করা: \(৯ = 3^2\), \(১৫ = 3 \times 5\), \(২৫ = 5^2\)। তাহলে, \[ \text{LCM} = 3^2 \times 5^2 = ৯ \times ২৫ = ২২৫ \] ২. ১৯৭-এর সাথে \(২২৫\)-এর গুণিতক যোগ করা: ধরি, \(১৯৭ + x\) সংখ্যাটি \(২২৫\) দ্বারা বিভাজ্য হবে। অতএব, \[ ১৯৭ + x = ২২৫k \; (\text{যেখানে } k \text{ একটি পূর্ণসংখ্যা}) \] \[ x = ২২৫k - ১৯৭ \] ৩. কমপক্ষে \(x\) নির্ণয় করা: \(k = ১\) হলে: \[ x = ২২৫ \times ১ - ১৯৭ = ২২৫ - ১৯৭ = ২৮ \] সুতরাং, \(১৯৭\)-এর সাথে ২৮ যোগ করলে সংখ্যাটি \(৯\), \(১৫\), এবং \(২৫\)-এর দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি সমাধান করতে ভেন চিত্র বা সেট তত্ত্বের ধারণা ব্যবহার করা যেতে পারে। ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা করা যাক:

১. তথ্য বিশ্লেষণ:
- গণিতে পাশ করেছে: ৮০%
- বাংলায় পাশ করেছে: ৭০%
- উভয় বিষয়ে পাশ করেছে: ৬০%

২. ফেলের হার বের করতে:
পরীক্ষার্থীদের মোট সংখ্যা \(১০০\)% ধরা যাক।
যারা অন্তত একটি বিষয়ে পাশ করেছে তাদের সংখ্যা: \[ (\text{গণিতে পাশ}) + (\text{বাংলায় পাশ}) - (\text{উভয়ে পাশ}) = ৮০ + ৭০ - ৬০ = ৯০\%। \] সুতরাং, উভয় বিষয়ে ফেল করেছে: \[ ১০০ - ৯০ = ১০\%। \] উত্তর: উভয় বিষয়ে ১০% পরীক্ষার্থী ফেল করেছে।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, দুটি সংখ্যা হলো \(5x\) এবং \(7x\), যেখানে \(x\) তাদের গ.সা.গু।
প্রশ্ন অনুসারে, \(x = ৮\)।

এখন, দুটি সংখ্যার ল.সা.গু বের করার জন্য সূত্রটি প্রযোজ্য: \[ \text{ল.সা.গু} = \frac{{\text{গুণফল}}}{{\text{গ.সা.গু}}} \] সুতরাং, \[ \text{ল.সা.গু} = \frac{{(5x) \times (7x)}}{x} \] এখানে \(x = ৮\) বসাই: \[ \text{ল.সা.গু} = \frac{{5 \times 7 \times ৮}}{{৮}} \] \[ \text{ল.সা.গু} = 5 \times 7 = ৩৫ \] সুতরাং, তাদের ল.সা.গু হবে ৩৫x = ২৮০।

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, ত্রিভুজের কোণগুলো ৬x, ৮x এবং ১০x।
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি।
সুতরাং, ৬x + ৮x + ১০x = ১৮০ ডিগ্রি
বা, ২৪x = ১৮০ ডিগ্রি
বা, x = ১৮০/২৪ = ৭.৫ ডিগ্রি
এখন, বৃহত্তম কোণটি হলো ১০x।
সুতরাং, বৃহত্তম কোণ = ১০ × ৭.৫ ডিগ্রি = ৭৫ ডিগ্রি।
অতএব, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ ৭৫ ডিগ্রি।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করার জন্য ভাজ্য নির্ণয় করতে হবে।

প্রদত্ত তথ্য:
- ভাজক (d) = ৭৮
- ভাগফল (q) = ২৫
- ভাগশেষ (r) = ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ = \( \frac{78}{3} = 26 \)

ভাজ্য নির্ণয়ের সূত্র: \[ ভাজ্য = (ভাজক \times ভাগফল) + ভাগশেষ \] গণনা: \[ ভাজ্য = (78 \times 25) + 26 \] \[ 78 \times 25 = 1950 \] \[ ভাজ্য = 1950 + 26 = 1976 \] সুতরাং, ভাজ্য হলো ১৯৭৬। \[ \boxed{১৯৭৬} \]

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য ধাপে ধাপে যেতে হবে।

ধরি,
- সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = \( x \)
- সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = \( y \)

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী:
1. অংকদ্বয়ের সমষ্টি ৯: \[ x + y = 9 \quad \text{(1)} \] 2. অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি প্রদত্ত সংখ্যা হতে ২৭ বেশি: \[ 10x + y = 10y + x + 27 \] সমীকরণ সরলীকরণ: \[ 10x + y = 10y + x + 27 \] \[ 10x - x + y - 10y = 27 \] \[ 9x - 9y = 27 \] \[ x - y = 3 \quad \text{(2)} \] সমীকরণ (1) এবং (2) সমাধান: \[ x + y = 9 \] \[ x - y = 3 \] যোগ করে পাই: \[ 2x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] সমীকরণ (1) থেকে: \[ 6 + y = 9 \quad \Rightarrow \quad y = 3 \] সুতরাং, সংখ্যাটি হলো: \[ 10y + x = 10 \times 3 + 6 = 36 \] উত্তর: \[ \boxed{36} \]

ব্যাখ্যাঃ

এক খন্ড ‘প্লাটিনাম ও ইরিডিয়ামের তৈরি রড’ এর দৈর্ঘ্য এক মিটার হিসেবে স্বীকৃত। এটি প্যারিসের কাছে আন্তর্জাতিক ব্যুরো অফ ওয়েটস অ্যান্ড মেজারস (BIPM) এ রক্ষিত আছে।

প্রাচীনকালে, বিভিন্ন দেশে দৈর্ঘ্যের ভিন্ন ভিন্ন একক ব্যবহার করা হতো। কিন্তু ১৭৯০ সালে ফরাসি বিপ্লবের সময়, বিজ্ঞানীরা একটি সর্বজনীন দৈর্ঘ্যের একক নির্ধারণের প্রয়োজনীয়তা অনুভব করেন। এরপর তারা "মিটার" নামে একটি নতুন একক তৈরি করেন।

ব্যাখ্যাঃ

এক নটিকেল মাইল সমান ৬,০৭৬.১ ফুট। এটি সামুদ্রিক দূরত্ব এবং বিমানচালনায় ব্যবহৃত হয়, যেখানে ১ নটিকেল মাইল সমান ১ মিনিটের দ্রাঘিমাংশ (latitude) বলে ধরা হয়।

ব্যাখ্যাঃ

গ্রীষ্মের বিকেলে সূর্য পশ্চিম দিকে থাকে। সুতরাং বের হওয়ার সময় আপনার মুখ পশ্চিম দিকে ছিল।

এরপর আপনি বাম দিকে ঘুরলেন। বাম দিকে ঘোরার মানে আপনি এখন দক্ষিণ দিকে মুখোমুখি।

এরপর আপনি ডান দিকে ঘুরলেন। ডান দিকে ঘোরার মানে আপনি এখন পশ্চিম দিকে ফিরে গেছেন।

সুতরাং, এখন আপনার মুখ পশ্চিম দিকে।

ব্যাখ্যাঃ

ল্যাটিন ভাষায় "সেন্টি" (centi) শব্দটি "এক শত ভাগ" বা "শতাংশ" বোঝায়। এটি ল্যাটিন শব্দ "centum" থেকে উদ্ভূত, যার অর্থ "একশ"।

উদাহরণস্বরূপ, মেট্রিক পদ্ধতিতে "সেন্টিমিটার" (centimeter) শব্দটি এক মিটারের শতভাগ অংশ বোঝাতে ব্যবহার করা হয়।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটি \(x\)।

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী: \[ \sqrt{x} + ২০ = ৫^২ \] প্রথমে সমীকরণটি সরল করি: \[ \sqrt{x} + ২০ = ২৫ \] এখন, \(২০\) কে অন্যপাশে সরিয়ে নেই: \[ \sqrt{x} = ২৫ - ২০ \] \[ \sqrt{x} = ৫ \] এখন বর্গ করি উভয় পাশে: \[ x = ৫^২ \] \[ x = ২৫ \] উত্তর: সংখ্যাটি ২৫।

ব্যাখ্যাঃ

এখানে, দুটি ক্রমজোড় সমান হলে তাদের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলোও সমান হবে।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

১. 6x - y = 1
২. 3x + 2y = 13
আমরা এখন এই দুটি সমীকরণ সমাধান করে x এবং y এর মান বের করব।

প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা y এর মান বের করতে পারি:
y = 6x - 1
এখন, এই মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই:
3x + 2(6x - 1) = 13
বা, 3x + 12x - 2 = 13
বা, 15x = 15
বা, x = 1
এখন, x এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই:
6(1) - y = 1
বা, 6 - y = 1
বা, y = 5
সুতরাং, (x, y) = (1, 5)

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক সংখ্যায় রূপান্তর করি:
- ক: \(\frac{২}{৫} = ০.৪\)
- খ: \(\frac{৪}{৯} ≈ ০.৪৪৪\)
- গ: \(\frac{১}{৩} ≈ ০.৩৩৩\)
- ঘ: \(\frac{৩}{৭} ≈ ০.৪২৮\)

এখন এই মানগুলোর তুলনা করলে দেখা যায়, \(\frac{১}{৩}\) (গ) সবচেয়ে ছোট।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো গ: \(\frac{১}{৩}\)।

ব্যাখ্যাঃ মে মাসের চতুর্থ সপ্তাহে ৭ দিনের মধ্যে ৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে বলে জানা যায়। সুতরাং, বৃষ্টি না হওয়ার দিন হলো:

\[ ৭ - ৫ = ২ \, \text{দিন} \] এখন, এই ২ দিনের মধ্যে এক দিন রবিবার হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে হবে। যেহেতু সপ্তাহে মোট ৭টি দিন রয়েছে এবং প্রতিটি দিনের সম্ভাবনা সমান, তাই রবিবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা হবে: \[ \frac{\text{বৃষ্টি না হওয়া দিন}}{\text{সপ্তাহের মোট দিন}} = \frac{২}{৭} \] উত্তর: রবিবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac{২}{৭}\) বা প্রায় ০.২৮৬ (২৮.৬%)।

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, সংখ্যা দুটি x এবং y, যেখানে x > y

প্রথম শর্তানুসারে:
(x/২) + (y/২) = ৪০
বা, (x+y)/২ = ৪০
বা, x+y = ৮০ (১)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
(x-y)/৪ = ১৮
বা, x-y = ৭২ (২)
এখন, আমরা (১) এবং (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
২x = ১৫২
বা, x = ৭৬
x এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
৭৬ + y = ৮০
বা, y = ৪
সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি ৪।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য হলো \(x\) ফুট।
তাহলে, বড় অংশের দৈর্ঘ্য হবে \(২০ - x\) ফুট।

প্রশ্নমতে, ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ: \[ x = \frac{২}{৩} \times (২০ - x) \] এখন সমীকরণটি সরল করি: \[ x = \frac{২}{৩} \times ২০ - \frac{২}{৩} \times x \] \[ x + \frac{২}{৩}x = \frac{২}{৩} \times ২০ \] \[ \frac{৩}{৩}x + \frac{২}{৩}x = \frac{৪০}{৩} \] \[ \frac{৫}{৩}x = \frac{৪০}{৩} \] এখন \(x\)-এর মান নির্ণয় করি: \[ x = \frac{৪০}{৩} \div \frac{৫}{৩} \] \[ x = \frac{৪০}{৩} \times \frac{৩}{৫} \] \[ x = ৮ \] উত্তর: ছোট অংশের দৈর্ঘ্য ৮ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
- সাধারণ অন্তর (d) = ৯
- ৭ম পদ (a₇) = ৬০

সমান্তর ধারার n-তম পদের সূত্র: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \times d \] ৭ম পদের জন্য: \[ a_7 = a_1 + (7 - 1) \times 9 \] \[ 60 = a_1 + 6 \times 9 \] \[ 60 = a_1 + 54 \] \[ a_1 = 60 - 54 = 6 \] ১২তম পদের জন্য: \[ a_{12} = a_1 + (12 - 1) \times 9 \] \[ a_{12} = 6 + 11 \times 9 \] \[ a_{12} = 6 + 99 = 105 \] সুতরাং, ১২তম পদটি হলো: \[ \boxed{105} \]

ব্যাখ্যাঃ \[ \frac{2 \times 3 \times 0.5}{1.5} \] ধাপে ধাপে সমাধান:

1. লবের গুণফল নির্ণয়: \[ 2 \times 3 = 6 \] \[ 6 \times 0.5 = 3 \] 2. হর: \[ 1.5 \] 3. লবকে হর দিয়ে ভাগ: \[ \frac{3}{1.5} = 2 \] সুতরাং, রাশিটির মান হলো: \[ \boxed{2} \]

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
- এক কুড়ি আমের ক্রয় মূল্য = ৪০০ টাকা
- লাভ = ৫%
১. বিক্রয় মূল্য নির্ণয়: \[ বিক্রয়\ মূল্য = ক্রয়\ মূল্য + লাভ \] \[ বিক্রয়\ মূল্য = 400 + (400 \times \frac{5}{100}) = 400 + 20 = 420\ টাকা \] ২. ক্রয় মূল্য ৫% কম হলে নতুন ক্রয় মূল্য: \[ নতুন\ ক্রয়\ মূল্য = 400 - (400 \times \frac{5}{100}) = 400 - 20 = 380\ টাকা \] ৩. নতুন লাভ নির্ণয়: \[ নতুন\ লাভ = বিক্রয়\ মূল্য - নতুন\ ক্রয়\ মূল্য \] \[ নতুন\ লাভ = 420 - 380 = 40\ টাকা \] সুতরাং, ক্রয় মূল্য ৫% কম হলে লাভ হত: \[ \boxed{৪০\ টাকা} \]

ব্যাখ্যাঃ ২০০ থেকে ৫০০ এর মধ্যে ৭ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।

ধাপে ধাপে সমাধান:

১. প্রথম ৭ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয় (২০০ এর পর): \[ 200 \div 7 = 28.57 \] যেহেতু পূর্ণ সংখ্যা প্রয়োজন, তাই পরবর্তী পূর্ণ সংখ্যা হলো ২৯। \[ 7 \times 29 = 203 \] সুতরাং, প্রথম সংখ্যা হলো ২০৩। ২. শেষ ৭ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয় (৫০০ এর আগে): \[ 500 \div 7 = 71.43 \] যেহেতু পূর্ণ সংখ্যা প্রয়োজন, তাই পূর্ববর্তী পূর্ণ সংখ্যা হলো ৭১। \[ 7 \times 71 = 497 \] সুতরাং, শেষ সংখ্যা হলো ৪৯৭। ৩. মোট সংখ্যা নির্ণয়: \[ \text{মোট সংখ্যা} = \frac{497 - 203}{7} + 1 = \frac{294}{7} + 1 = 42 + 1 = 43 \] সুতরাং, ২০০ থেকে ৫০০ এর মধ্যে ৭ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হলো: \[ \boxed{৪৩} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক,
বাবুর কাছে \( x \) টি মার্বেল আছে
তপুর কাছে \( y \) টি মার্বেল আছে

প্রথম শর্ত অনুযায়ী:
যদি বাবু ১০ টি মার্বেল তপুকে দেয়, তবে তাদের সংখ্যা সমান হবে।
অর্থাৎ, \[ x - 10 = y + 10 \] \[ x - y = 20 \] দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী:
যদি তপু ২০ টি মার্বেল বাবুকে দেয়, তবে বাবুর মার্বেলের সংখ্যা তপুর মার্বেলের দ্বিগুণ হবে।
অর্থাৎ, \[ x + 20 = 2(y - 20) \] \[ x + 20 = 2y - 40 \] \[ x - 2y = -60 \] দুইটি সমীকরণ:
1. \( x - y = 20 \)
2. \( x - 2y = -60 \)

প্রথম সমীকরণ থেকে \( x = y + 20 \) বসাই দ্বিতীয় সমীকরণে: \[ (y + 20) - 2y = -60 \] \[ y + 20 - 2y = -60 \] \[ - y + 20 = -60 \] \[ y = 80 \] এখন, \( x = y + 20 \) থেকে: \[ x = 80 + 20 = 100 \] বাবুর কাছে ১০০ টি মার্বেল আছে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, বহুপদের গুণনীয়ক বিশ্লেষণের মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।

প্রদত্ত বহুপদ: \[ x^4 + x^2 + 1 \] এটির একটি উৎপাদক \( x^2 + x + 1 \), তাহলে অপর উৎপাদক \( f(x) \) ধরি।

অর্থাৎ, \[ (x^2 + x + 1) \times f(x) = x^4 + x^2 + 1 \] এখন, \( x^2 + x + 1 \) দ্বারা ভাগ করি—

পদক্রম অনুসারে ভাগ করলে পাই: \[ f(x) = x^2 - x + 1 \] সুতরাং, অপর উৎপাদক হবে \( x^2 - x + 1 \)।