ব্যাখ্যাঃ আমরা সেট A-এর সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করতে চাই, যেখানে x হলো 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 150।

1. x, 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য হওয়া মানে x অবশ্যই ল.সা.গু(5,7) দ্বারা বিভাজ্য হবে। \[ ল.সা.গু(5,7) = 35 \] 2. x < 150 শর্তটি মানতে হলে, 35 দ্বারা বিভাজ্য x-এর সম্ভাব্য মানগুলো হতে পারে: \[ 35, 70, 105, 140 \] 3. এভাবে, A-এর সদস্য সংখ্যা হবে 4। অতএব, P(A) বা পাওয়ার সেট-এর সদস্য সংখ্যা হবে: \[ 2^4 = 16 \]

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 - 5x - 14 = 0\}$।

আমাদের প্রথমে $x^2 - 5x - 14 = 0$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা উৎপাদক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এর সমাধান করতে পারি:

$$x^2 - 7x + 2x - 14 = 0$$$$x(x - 7) + 2(x - 7) = 0$$$$(x - 7)(x + 2) = 0$$

সুতরাং, সমীকরণটির দুটি সমাধান হলো:
$$x - 7 = 0 \implies x = 7$$
$$x + 2 = 0 \implies x = -2$$

এখন, সেট $A$-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, $A$ হলো সেই সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যারা $x^2 - 5x - 14 = 0$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$।

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে $x = 7$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কিন্তু $x = -2$ স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

সুতরাং, সেট $A$-এর একমাত্র উপাদান হলো 7।

অতএব, $A = \{7\}$.

সারাংশ: $x^2 - 5x - 14 = 0$ সমীকরণের সমাধান $x = 7$ এবং $x = -2$. যেহেতু $A$ হলো স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যা এই সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাই $A = \{7\}$.

ব্যাখ্যাঃ যদি A ও B স্বাধীন ঘটনা হয়, তাহলে $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$.
এখানে, $$P(A) = \frac{1}{3}$$এবং$$P(B) = \frac{3}{4}$$.
সুতরাং, $$P(A \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$.
আমরা জানি, দুটি ঘটনার সংযোগ সেটের সম্ভাবনা $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$.
এখন, মানগুলো বসিয়ে পাই,
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right)$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{3-1}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{2}{4}$$
$$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$$
$$P(A \cup B) = \frac{2 \times 1 + 3 \times 1}{3 \times 2}$$
$$P(A \cup B) = \frac{2 + 3}{6}$$
$$P(A \cup B) = \frac{5}{6}$$

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: গাণিতিক সরলীকরণ

উভয় ভগ্নাংশের হর \(x-1\) একই, তাই আমরা তাদের একত্রিত করতে পারি:

\[
\frac{(x-2) + 1}{x-1} - 2 = 0
\]

\[
\frac{x-1}{x-1} - 2 = 0
\]

\[
1 - 2 = 0
\]

\[
-1 = 0
\]

ধাপ ২: বিশ্লেষণ

আমরা দেখতে পাচ্ছি, এই সমীকরণটি ভুল কারণ \(-1 = 0\) হতে পারে না।
অতএব, এই সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই।
অর্থাৎ সমাধানের সেট খালি:
\(
\emptyset
\)

ব্যাখ্যাঃ আমরা দুটি সেট \(A\) এবং \(B\) এর ছেদ \(A \cap B\) নির্ণয় করব।

প্রদত্ত সেট:

\(A = \{ x \in \mathbb{N} | 2 < x \leq 8 \} \)
অর্থাৎ \(A = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)

\(B = \{ x \in \mathbb{N} | x\) বিজোড় এবং \(x \leq 9 \} \)
অর্থাৎ \(B = \{1, 3, 5, 7, 9\}\)

\(A \cap B\) নির্ণয়:

\(A\) ও \(B\) এর সাধারণ উপাদান (common elements) হলো \(3, 5, 7\)।
অতএব,
\[
A \cap B = \{3, 5, 7\}
\]

চূড়ান্ত উত্তর:

\[
A \cap B = \{3, 5, 7\}
\]

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: প্রদত্ত তথ্য

\[
P(A) = \frac{1}{2},~~ P(A \cup B) = \frac{3}{4},~~ P(B^c) = \frac{5}{8}
\]

ধাপ ২: \( P(B) \) নির্ণয়

\[
P(B) = 1 - P(B^c) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}
\]

ধাপ ৩: \( P(A \cap B) \) নির্ণয়

সেট তত্ত্ব অনুযায়ী সূত্র:
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]

\[
\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - P(A \cap B)
\]

\[
P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{3}{4}
\]

সমান হারে ল.সা.গু. নিয়ে হিসাব:
\[
P(A \cap B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{6}{8} = \frac{1}{8}
\]

ধাপ ৪: \( P(A^c \cap B^c) \) নির্ণয়

পরিপূরক সূত্র ব্যবহার:
\[
P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)
\]

\[
P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\]

চূড়ান্ত উত্তর:

\[
\mathbf{P(A^c \cap B^c) = \frac{1}{4}}
\]

ব্যাখ্যাঃ \( A \) এবং \( B \) স্বাধীন ঘটনা, তাই শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার সূত্র অনুযায়ী:
\[
P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
\]

স্বাধীনতার সংজ্ঞা অনুযায়ী:
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
\]
এখন মান বসিয়ে পাই:
\[
P(B | A) = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)}
\]
এখানে \( P(A) \) বাতিল হয়ে যায়, তাই পাই:
\[
P(B | A) = P(B)
\]
এখন \( P(B) \) এর মান বসাই:
\[
P(B | A) = \frac{2}{3}
\]
অর্থাৎ, \( P(B | A) = \frac{2}{3} \)।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমীকরণটি হলো:
$3x – 2 > 2x – 1$

আমরা $x$ এর মান বের করতে চাই যার জন্য এই অসমীকরণটি সত্য হবে।

প্রথমে, আমরা $x$ যুক্ত পদগুলোকে একদিকে এবং ধ্রুবক পদগুলোকে অন্যদিকে নিয়ে যাই। উভয় পক্ষ থেকে $2x$ বিয়োগ করি:
$3x – 2 – 2x > 2x – 1 – 2x$
$x – 2 > – 1$

এরপর, উভয় পক্ষে $2$ যোগ করি:
$x – 2 + 2 > – 1 + 2$
$x > 1$

সুতরাং, অসমীকরণটির সমাধান হলো $x$ এর সেই সকল মান যা $1$ এর থেকে বড়। এটিকে সেট আকারে লিখলে সমাধান সেট হবে:

$\{x \in \mathbb{R} : x > 1\}$

যেখানে $\mathbb{R}$ হলো বাস্তব সংখ্যার সেট।

যদি অপশন দেওয়া থাকে, তবে $\{x : x > 1\}$ অথবা $(1, \infty)$ এই আকারের অপশনটি সঠিক হবে।

ব্যাখ্যাঃ

এখানে, P = {1,2,3,4,6,12} [12 এর গুণনীয়ক]

আবার, Q = {3,6,9,12} [যেহেতু 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12]

∴ P - Q = {1,2,3,4,6,12} - {3,6,9,12}

= {1,2,4}

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সেট $C$ এর সংজ্ঞা হলো:
$C = \{x:x \text{ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং } x^2< 18\}$

আমাদের এমন ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $x$ খুঁজে বের করতে হবে, যার বর্গ $18$ এর চেয়ে কম।

আমরা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলো নিয়ে তাদের বর্গ পরীক্ষা করব:

* $x = -1 \Rightarrow x^2 = (-1)^2 = 1$
$1 < 18$, সুতরাং $-1$ একটি উপাদান।

* $x = -2 \Rightarrow x^2 = (-2)^2 = 4$
$4 < 18$, সুতরাং $-2$ একটি উপাদান।

* $x = -3 \Rightarrow x^2 = (-3)^2 = 9$
$9 < 18$, সুতরাং $-3$ একটি উপাদান।

* $x = -4 \Rightarrow x^2 = (-4)^2 = 16$
$16 < 18$, সুতরাং $-4$ একটি উপাদান।

* $x = -5 \Rightarrow x^2 = (-5)^2 = 25$
$25 \not< 18$ (কারণ $25$ $18$ এর চেয়ে বড়), সুতরাং $-5$ একটি উপাদান নয়।

যেহেতু ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলো আরও ছোট হতে থাকলে তাদের বর্গ আরও বড় হবে, তাই $-5$ বা তার থেকে ছোট কোনো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গ $18$ এর চেয়ে কম হবে না।

সুতরাং, $C$ সেটের উপাদানগুলো হলো $\{-4, -3, -2, -1\}$।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমাদের সেট $A$ এর উপাদানগুলো বের করতে হবে।

সেট $A$ এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:
$A = \{ x : x, Fibonacci$ সংখ্যা এবং $x^2<64 \}$

প্রথমেই আমরা ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো লিখি:
$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$

এখন, আমরা $x^2 < 64$ শর্তটি পূরণ করে এমন ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করব।

• $0^2 = 0 < 64$
  
• $1^2 = 1 < 64$
  
• $2^2 = 4 < 64$
  
• $3^2 = 9 < 64$
  
• $5^2 = 25 < 64$
  
• $8^2 = 64$ (এটি $< 64$ শর্ত পূরণ করে না, কারণ $64$ $64$ এর থেকে ছোট নয়)
  

সুতরাং, সেট $A = \{0, 1, 2, 3, 5 \}$।

এখন আমরা সেট $A$ এর উপাদান সংখ্যা নির্ণয় করব।
$|A| = 5$

এরপর, আমাদের $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা বের করতে হবে।
একটি সেটের ক্ষমতা সেট (Power Set) $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^{|A|}$ সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা হয়, যেখানে $|A|$ হলো সেট $A$ এর উপাদান সংখ্যা।

এখানে $|A| = 5$।
অতএব, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হবে $2^5 = 32$।

$P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হলো $32$টি।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, সেট A, B এবং C এর উপাদানগুলো নির্ণয় করি:

সেট A: $A = \{x | x$ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা $x^2 < 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর চেয়ে কম।
ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাগুলো হলো: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$
$1^2 = 1 < 25$
$2^2 = 4 < 25$
$3^2 = 9 < 25$
$4^2 = 16 < 25$
$5^2 = 25$ (২৫ এর কম নয়)
সুতরাং, $A = \{1, 2, 3, 4\}$

সেট B: $B = \{x|x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x^2 < 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন মৌলিক সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর চেয়ে কম।
মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: $2, 3, 5, 7, \dots$
$2^2 = 4 < 25$
$3^2 = 9 < 25$
$5^2 = 25$ (২৫ এর কম নয়)
সুতরাং, $B = \{2, 3\}$

সেট C: $C = \{x|x$ মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং $x^2 = 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর সমান।
যদি $x^2 = 25$ হয়, তাহলে $x = \pm 5$।
ধনাত্মক মৌলিক সংখ্যাটি হলো ৫।
সুতরাং, $C = \{5\}$

এখন $A \cap B \cap C$ নির্ণয় করতে হবে।
$A \cap B$ মানে A এবং B সেটের সাধারণ উপাদান:
$A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{2, 3\} = \{2, 3\}$

এখন $A \cap B \cap C$ মানে $(A \cap B)$ এবং $C$ সেটের সাধারণ উপাদান:
$A \cap B \cap C = \{2, 3\} \cap \{5\}$

যেহেতু $\{2, 3\}$ এবং $\{5\}$ সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নেই, তাই ছেদ সেটটি হবে একটি ফাঁকা সেট।

সুতরাং, $A \cap B \cap C = \emptyset$ (ফাঁকা সেট)।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সেটটি হলো $A=\{x:x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \leq 5\}$।

প্রথমে, সেট $A$-এর উপাদানগুলো বের করতে হবে। ৫ বা ৫-এর কম মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
$2, 3, 5$

সুতরাং, সেট $A = \{2, 3, 5\}$।

সেট $A$-এর সদস্য সংখ্যা (উপাদানের সংখ্যা) হলো $|A| = 3$।

এখন, $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে। কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা $n$ হলে, তার পাওয়ার সেট (Power Set) $P(A)$-এর সদস্য সংখ্যা হয় $2^n$।

এখানে $n = 3$, তাই $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা হবে $2^3$।
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$।

সুতরাং, $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা হলো ৮।

ব্যাখ্যাঃ
$A = \{৫, ১৫, ২০, ৩০\}$
$B = \{৩, ৫, ১৫, ১৮, ২০\}$

$A \cap B$ (A এবং B এর ছেদ) বলতে A এবং B উভয় সেটে থাকা সাধারণ উপাদানগুলো বোঝানো হয়।

* $A$ এবং $B$ উভয় সেটে আছে এমন সংখ্যাগুলো হলো: ৫, ১৫ এবং ২০।

সুতরাং, $A \cap B = \{৫, ১৫, ২০\}$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x} + 1 \) সমীকরণের জন্য প্রদত্ত গাণিতিক বাক্যগুলো বিশ্লেষণ করি:

কঃ \( f(x) = 1 \) \[ x^2 + \frac{1}{x} + 1 = 1 \] \[ x^2 + \frac{1}{x} = 0 \] এখানে সমীকরণটি সত্য নয় কারণ \( x \) এবং \(\frac{1}{x}\) একে অপরকে বাতিল করে দিতে পারবে না।

খঃ \( f(0) = 1 \) \[ f(0) \] সমীকরণের ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ করতে পারি না কারণ \(\frac{1}{0}\) অসংজ্ঞায়িত। তাই এটি অনুরূপ নয়।

গঃ \( f(-1) = 3 \) \[ f(-1) = (-1)^2 + \frac{1}{-1} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \] যেটা ৩ নয়, তাই এটি সঠিক নয়।

ঘঃ \( f(1) = 3 \) \[ f(1) = (1)^2 + \frac{1}{1} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \] যা সঠিক।

অতএব, \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x} + 1 \) সমীকরণের অনুরূপ \( f(1) = 3 \) গাণিতিক বাক্যটি সঠিক।

ব্যাখ্যাঃ
প্রদত্ত সেটটিতে দুটি শর্ত আছে:
১. $x$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা ($x \in N$)।
২. $x^2 > 8$
৩. $x^3 < 30$

এখন আমরা স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো পরীক্ষা করে দেখব:
যদি $x=1$ হয়, $1^2=1$ যা ৮ এর চেয়ে বড় নয়।
যদি $x=2$ হয়, $2^2=4$ যা ৮ এর চেয়ে বড় নয়।
যদি $x=3$ হয়, $3^2=9$ যা ৮ এর চেয়ে বড় এবং $3^3=27$ যা ৩০ এর চেয়ে ছোট। অর্থাৎ, উভয় শর্তই পূরণ করে।
যদি $x=4$ হয়, $4^2=16$ যা ৮ এর চেয়ে বড়, কিন্তু $4^3=64$ যা ৩০ এর চেয়ে বড়।

সুতরাং, শুধুমাত্র $x=3$ উভয় শর্ত পূরণ করে।