যদি (x^3+hx+10=0 ) এর সমাধান (2 ) হয়, তবে (h ) এর মান কত?

প্রশ্নঃ x² + y² + z² = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² এর মান-

[ বিসিএস ৪৬তম ]

ক. 12

খ. 19

গ. 16

ঘ. 14

ব্যাখ্যাঃ আমরা (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² প্রসারিত করি:

(x + 2 y)^{2} + (y + 2 z)^{2} + (z + 2 x)^{2}

= x^{2} + 4 y^{2} + 4 x y + y^{2} + 4 z^{2} + 4 y z + z^{2} + 4 x^{2} + 4 z x + 4 x z

= (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 4 (x y + y z + z x) + 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2})

= 5 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 4 (x y + y z + z x)

= 5 (2) + 4 (1)

= 10 + 4

= 14

উত্তর:

14

প্রশ্নঃ 3x – y = 3, 5x + y = 21 হলে (x, y) এর মান-

[ বিসিএস ৪৬তম ]

ক. (2, 5)

খ. (2, 6)

গ. (3, 5)

ঘ. (3, 6)

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ:

3 x - y = 3

5 x + y = 21

দুইটি সমীকরণ যোগ করি:

(3 x - y) + (5 x + y) = 3 + 21

8 x = 24

x = \frac{24}{8} = 3

x = 3 মান প্রথম সমীকরণে বসাই:

3 (3) - y = 3

9 - y = 3

y = 9 - 3 = 6

উত্তর:

(x, y) = (3, 6)

প্রশ্নঃ $x^{2} y + x y^{2}$ এবং $x^{2} + x y$ রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর গুণফল কত?

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. x²y²(x + y)

খ. xy(x² + y²)

গ. x²y(x + y)²

ঘ. xy²(x² + y)

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু (গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক) নির্ণয় করি:

গ.সা.গু:

আমরা সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করলে পাই:

x^{2} y + x y^{2} = x y (x + y)

x^{2} + x y = x (x + y)

এখানে উভয় রাশির গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক হলো $x (x + y)$ ।

ল.সা.গু:

ল.সা.গু বের করতে হলে প্রথমে দুটি রাশির গুণফল ভাগ করতে হবে তাদের গ.সা.গু দ্বারা:

\frac{(x^{2} y + x y^{2}) \cdot (x^{2} + x y)}{g c d}

অর্থাৎ,

\frac{x y (x + y) \cdot x (x + y)}{x (x + y)}

= $x y (x + y)$

গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল:

গ.সা.গু × ল.সা.গু =

x (x + y) \times x y (x + y)

= $x^{2} y (x + y)^{2}$ ।

প্রশ্নঃ (x + 5)² = x² + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. 3, 10

খ. 10, 15

গ. 15, 25

ঘ. 10, 25

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে (x + 5)² প্রসারিত করি:

(x + 5)^{2} = (x + 5) (x + 5)

এখন গুণ করি:

x^{2} + 5 x + 5 x + 25

x^{2} + 10 x + 25

এখন এই সমীকরণকে

x^{2} + b x + c

এর সঙ্গে তুলনা করলে পাই:

b = 10
c = 25

তাহলে, b = 10 এবং c = 25 হলে সমীকরণটি অভেদ হবে।

প্রশ্নঃ p + q = 5 এবং p – q = 3 হলে p² + q² এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. 8

খ. 17

গ. 19

ঘ. 34

ব্যাখ্যাঃ আমরা $p^{2} + q^{2}$ নির্ণয়ের জন্য পরিচিত সূত্র $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$ ব্যবহার করবো।

প্রথমে, দেওয়া আছে:
$p + q = 5$
$p - q = 3$

এখন দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাই:

(p + q) + (p - q) = 5 + 3

2 p = 8

p = 4

এখন $p - q = 3$ ব্যবহার করে q এর মান নির্ণয় করি:

4 - q = 3

q = 1

এখন, $p^{2} + q^{2}$ নির্ণয় করি:

p^{2} + q^{2} = 4^{2} + 1^{2} = 16 + 1 = 17

$p^{2} + q^{2} = 17$

প্রশ্নঃ $5 x - x^{2} - 6 > 0$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

[ বিসিএস ৪৩তম ]

ক.

x < 2

খ.

2 < x < 3

ক.

2 < x < 3

খ.

2 > x > 3

গ.

x < 2

ক.

x > 3, x < 2

খ.

2 > x > 3

গ.

x < 2

ঘ.

2 < x < 3

উত্তরঃ

2 < x < 3

ব্যাখ্যাঃ আমরা অসমতাটি বিশ্লেষণ করি:

5 x - x^{2} - 6 > 0

- x^{2} + 5 x - 6 > 0

x^{2} - 5 x + 6 < 0

x^{2} - 5 x + 6 = 0

এটি সহজভাবে ফ্যাক্টর করা যায়:

(x - 2) (x - 3) = 0

অর্থাৎ,

x = 2

এবং

x = 3

হলো মূলদ্বয়।

এখন, আমরা দেখতে চাই কখন এই রাশিটি ঋণাত্মক অর্থাৎ:

(x - 2) (x - 3) < 0

এই ধরণের অসমতা তখনই সত্য হয় যখন

x

থাকে দুই মূলের মধ্যে।

অতএব, সমাধান:

2 < x < 3

সঠিক উত্তর: $2 < x < 3$

প্রশ্নঃ $x = \sqrt{4} + \sqrt{3}$ হলে, $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৩তম ]

ক.

2 \sqrt{5}

খ.

52

ক.

5 \sqrt{2}

খ.

52

গ.

2 \sqrt{5}

ক.

5 \sqrt{3}

খ.

52

গ.

5 \sqrt{2}

ঘ.

2 \sqrt{5}

উত্তরঃ

52

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: আগে বের করি $x + \frac{1}{x}$

x = 2 + \sqrt{3} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}

ধরি,

\frac{1}{x}

কে সরল করি:

\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}

x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4

ধাপ ২: এখন ব্যবহার করি সূত্র:

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = {(x + \frac{1}{x})}^{3} - 3 (x + \frac{1}{x})

বসাই:

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 4^{3} - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52

প্রশ্নঃ $a + b = 7$ এবং $a b = 12$ হলে $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

\frac{3}{25}

খ.

\frac{25}{144}

ক.

\frac{25}{144}

খ.

\frac{31}{144}

গ.

\frac{11}{49}

ক.

\frac{3}{25}

খ.

\frac{25}{144}

গ.

\frac{31}{144}

ঘ.

\frac{11}{49}

উত্তরঃ

\frac{25}{144}

ব্যাখ্যাঃ

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} b^{2}}

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 7^{2} - 2 \times 12 = 49 - 24 = 25

a b = 12 \Rightarrow a b^{2} = (a b)^{2} = 144

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{25}{144}

প্রশ্নঃ $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হলে, $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৮তম ]

ক.

18 \sqrt{3}

খ.

3 \sqrt{2}

ক.

18 \sqrt{3}

খ. 8

গ.

3 \sqrt{2}

ক.

3 \sqrt{2}

খ.

18 \sqrt{3}

গ.

12 \sqrt{3}

ঘ. 8

উত্তরঃ

18 \sqrt{3}

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে,

x = \sqrt{3} + \sqrt{2}

।

প্রথমে

\frac{1}{x}

এর মান বের করি:

\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}

হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে

(\sqrt{3} - \sqrt{2})

দিয়ে গুণ করি:

\frac{1}{x} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})}

\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}}

\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2}

\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1}

\frac{1}{x} = \sqrt{3} - \sqrt{2}

এখন,

x + \frac{1}{x}

এর মান নির্ণয় করি:

x + \frac{1}{x} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})

x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}

x + \frac{1}{x} = 2 \sqrt{3}

এখন আমরা

x^{3} + \frac{1}{x^{3}}

এর মান বের করব। আমরা জানি যে

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)

।
এখানে

a = x

এবং

b = \frac{1}{x}

।

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 \times x \times \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x})

x + \frac{1}{x} = 2 \sqrt{3}

এই মানটি বসিয়ে পাই:

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (2 \sqrt{3})^{3} - 3 (2 \sqrt{3})

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 2^{3} \times (\sqrt{3})^{3} - 6 \sqrt{3}

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 8 \times (3 \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3}

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 24 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (24 - 6) \sqrt{3}

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 18 \sqrt{3}

সুতরাং,

x^{3} + \frac{1}{x^{3}}

এর মান হলো

18 \sqrt{3}

।

প্রশ্নঃ $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ হলে, $(x^{2} - \frac{1}{x^{2}})$ এর মান-

[ বিসিএস ৩৭তম ]

ক.

3 \sqrt{5}

খ.

4 \sqrt{5}

ক.

5 \sqrt{3}

খ.

4 \sqrt{5}

গ.

3 \sqrt{5}

ক.

5 \sqrt{3}

খ.

3 \sqrt{5}

গ.

4 \sqrt{5}

ঘ.

6 \sqrt{5}

উত্তরঃ

3 \sqrt{5}

প্রশ্নঃ $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ হলে-

[ বিসিএস ৩৭তম ]

ক.

2 < x < 3

খ.

x < 2

ক.

x < 2

খ.

x < 3

গ.

2 < x < 3

ক.

2 < x < 3

খ.

- 3 < x < - 2

গ.

x < 2

ঘ.

x < 3

উত্তরঃ

2 < x < 3

প্রশ্নঃ $x^{2} + y^{2} = 185,$ $x - y = 3$ এর একটি সমাধান হল:

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. (7, 4)

খ. (9, 6)

গ. (10, 7)

ঘ. (11, 8)

প্রশ্নঃ $x - \frac{1}{x} = 1$ হলে, $x^{3} - \frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. 1

খ. 2

গ. 3

ঘ. 4

প্রশ্নঃ x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x এর ধনাত্মক মানটি-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. 3

খ. 4

গ. 5

ঘ. 6

প্রশ্নঃ $\frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} = 2$ হলে, $x$ এর মান-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. 1

খ. 2

গ. 3

ঘ. 4

প্রশ্নঃ $| x - 3 | < 5$ হলে-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক.

- 8 < x < - 2

খ.

- 2 < x < 8

ক.

- 2 < x < 8

খ.

2 < x < 8

গ.

- 4 < x < - 2

ক.

2 < x < 8

খ.

- 2 < x < 8

গ.

- 8 < x < - 2

ঘ.

- 4 < x < - 2

উত্তরঃ

- 2 < x < 8

প্রশ্নঃ $x^{- 3} - 0.001 = 0$ হলে, $x^{2}$ এর মান-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. 100

খ.

\frac{1}{100}

ক.

\frac{1}{10}

খ. 100

গ.

\frac{1}{100}

ক. 100

খ.

\frac{1}{10}

গ. 10

ঘ.

\frac{1}{100}

প্রশ্নঃ যদি $\frac{Q}{P} = \frac{1}{4}$ হয় তবে $\frac{P + Q}{P - Q}$ এর মান –

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক.

\frac{5}{7}

খ.

\frac{5}{3}

ক.

\frac{3}{5}

খ.

\frac{5}{3}

গ.

\frac{5}{7}

ক.

\frac{5}{3}

খ.

\frac{2}{3}

গ.

\frac{3}{5}

ঘ.

\frac{5}{7}

উত্তরঃ

\frac{5}{3}

প্রশ্নঃ যদি $a + b = 2, a b = 1$ হয় তবে $a$ এবং $b$ এর মান যথাক্রমে–

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক.

0, 2

খ.

1, 1

ক.

1, 1

খ.

- 1, 3

গ.

0, 2

ক.

0, 2

খ.

1, 1

গ.

- 1, 3

ঘ.

- 3, - 4

উত্তরঃ

1, 1

প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার যোগফল 48 এবং তাদের গুণফল 432। তবে বড় সংখ্যাটি কত?

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক. 36

খ. 37

গ. 38

ঘ. 40

প্রশ্নঃ যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 20 এবং 96 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক (reciprocals) যোগফল কত হবে?

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক.

\frac{13}{4}

খ.

\frac{5}{24}

ক.

\frac{1}{8}

খ.

\frac{13}{4}

গ.

\frac{5}{24}

ক.

\frac{1}{8}

খ.

\frac{1}{6}

গ.

\frac{13}{4}

ঘ.

\frac{5}{24}

উত্তরঃ

\frac{5}{24}

প্রশ্নঃ $a + b = 7$ এবং $a^{2} + b^{2} = 25$ হলে নিচের কোনটি $a b$ এর মান হবে?

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক. 12

খ. 10

গ. 6

ঘ. কোনটিই নয়

প্রশ্নঃ $f (x) = x^{3} + k x^{2} - 6 x - 9; k$ এর মান কত হলে $f (3) = 0$ হবে।

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক. 1

খ. -1

গ. 2

ঘ. 0

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ফাংশনটি হলো:

f (x) = x^{3} + k x^{2} - 6 x - 9

আমাদের

f (3) = 0

হলে

k

এর মান বের করতে হবে। ধাপ 1:

x = 3

বসিয়ে ফাংশনের মান নির্ণয় করি।

f (3) = (3)^{3} + k (3)^{2} - 6 (3) - 9

ধাপ 2: মানগুলি গণনা করি।

f (3) = 27 + 9 k - 18 - 9

ধাপ 3: সমীকরণটি সরলীকরণ করি।

f (3) = 27 - 18 - 9 + 9 k = 0 + 9 k = 9 k

ধাপ 4:

f (3) = 0

হলে,

9 k = 0

ধাপ 5:

k

এর মান নির্ণয় করি।

k = \frac{0}{9} = 0

সুতরাং,

k

এর মান হলো:

0

প্রশ্নঃ $a - \frac{1}{a} = 3$ হলে $a^{3} + \frac{1}{a^{3}}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক. 9

খ. 18

গ. 27

ঘ. 36

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হল:

a - \frac{1}{a} = 3

আমাদের নির্ণয় করতে হবে:

a^{3} + \frac{1}{a^{3}}

### ধাপ ১: $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ নির্ণয় করা আমরা জানি,

{(a - \frac{1}{a})}^{2} = a^{2} - 2 + \frac{1}{a^{2}}

এখন উভয় পাশে বর্গ করলে পাইঃ

(3)^{2} = a^{2} - 2 + \frac{1}{a^{2}}

9 = a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - 2

a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 11

### ধাপ ২: $a^{3} + \frac{1}{a^{3}}$ নির্ণয় করা আমরা জানি,

a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = (a - \frac{1}{a}) \times (a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + (a - \frac{1}{a})

এখন,

a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = (3 \times 11) + 3

= 33 + 3

= 36

### চূড়ান্ত উত্তর:

36

প্রশ্নঃ ৪০ সংখ্যাটি a হতে ১১ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কি হবে?

[ বিসিএস ২৯তম ]

ক. a + ১১ = ৪০

খ. a + ৪০ = ১১

গ. a = ৪০ + ১১

ঘ. a = ৪০ + ১

ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি হলো:

a - 11 = 40

এখন, উভয় পাশে

11

যোগ করি:

a - 11 + 11 = 40 + 11

a = 51

সুতরাং, $a = 51$ ✅

প্রশ্নঃ যদি (x - y)² = 14 এবং xy = 2 হয়, তবে x² + y² = কত?

[ বিসিএস ২৭তম ]

ক. 12

খ. 14

গ. 16

ঘ. 18

ব্যাখ্যাঃ

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমরা প্রথমে (x - y)² এর সূত্রটি ব্যবহার করব এবং তারপর প্রদত্ত মানগুলি ব্যবহার করে x² + y² এর মান বের করব।
আমরা জানি যে,
(x - y)² = x² - 2xy + y²
প্রশ্নমতে, (x - y)² = 14 এবং xy = 2।
সুতরাং,
14 = x² - 2(2) + y²
বা, 14 = x² - 4 + y²
বা, 14 + 4 = x² + y²
বা, 18 = x² + y²
অতএব, x² + y² = 18।
সুতরাং, নির্ণেয় উত্তর হলো 18।

প্রশ্নঃ $x + y = 8, x - y = 6$ হলে, $x^{2} + y^{2}$ এর মান –

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক. 40

খ. 60

গ. 50

ঘ. 80

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণ দুটি ব্যবহার করে

x^{2} + y^{2}

এর মান বের করবো। প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:

x + y = 8

x - y = 6

### ধাপ ১: $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় দুটি সমীকরণ যোগ করলে,

(x + y) + (x - y) = 8 + 6

2 x = 14

x = 7

এখন,

x + y = 8

সমীকরণে

x = 7

বসালে,

7 + y = 8

y = 1

### ধাপ ২: $x^{2} + y^{2}$ এর মান নির্ণয়

x^{2} + y^{2} = 7^{2} + 1^{2}

= 49 + 1

= 50

অতএব, $x^{2} + y^{2}$ এর মান হবে ৫০। ✅

প্রশ্নঃ $a + \frac{1}{a} = \sqrt{3}$ হলে, $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ এর মান–

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক. 6

খ. 4

গ. 2

ঘ. 1

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে

a^{2} + \frac{1}{a^{2}}

এর মান বের করব। প্রদত্ত সমীকরণ:

a + \frac{1}{a} = \sqrt{3}

### ধাপ ১: উভয় পাশে বর্গ করা

{(a + \frac{1}{a})}^{2} = (\sqrt{3})^{2}

a^{2} + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2}} = 3

a^{2} + 2 + \frac{1}{a^{2}} = 3

### ধাপ ২: সমাধান করা

a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 3 - 2

a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 1

অতএব, $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ এর মান হবে ১।

প্রশ্নঃ $x^{2} - 8 x - 8 y + 16 + y^{2}$ -এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক.

6 x y

$

খ.

2 x y

ক.

- 2 x y

খ.

8 x y

গ.

2 x y

ক.

- 2 x y

খ.

8 x y

গ.

6 x y

$

ঘ.

2 x y

উত্তরঃ

2 x y

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদী $x^{2} - 8 x - 8 y + 16 + y^{2}$ এর সঙ্গে এমন একটি সংখ্যা যোগ করব, যাতে এটি একটি পূর্ণবর্গ হয়ে যায়। --- ### ধাপ ১: পূর্ণবর্গের কাঠামো খুঁজে বের করা প্রদত্ত বহুপদীটি আমরা নতুনভাবে সাজাই:

x^{2} - 8 x + y^{2} - 8 y + 16

এটি আমরা $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ আকারে আনতে চাই। --- ### ধাপ ২: পূর্ণবর্গের জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যা খোঁজা আমরা লক্ষ করি, যদি $2 x y$ যোগ করি, তাহলে একে একটি পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা সম্ভব। অর্থাৎ,

x^{2} - 8 x + y^{2} - 8 y + 16 + 2 x y

এটি $(x - y)^{2}$ বা $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ রূপে রূপান্তরিত হবে। --- ### উত্তর:

2 x y

যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ বহুপদীতে পরিণত হবে। ✅

প্রশ্নঃ $x^{2} - y^{2} + 2 y - 1$ এর একটি উৎপাদক-

[ বিসিএস ৩২তম | বিসিএস ২৬তম ]

ক.

x + y - 1

খ.

x - y

ক.

x + y - 1

খ.

x - y

গ.

x + y + 1

ক.

x + y + 1

খ.

x - y

গ.

x + y - 1

ঘ.

x - y - 1

উত্তরঃ

x + y - 1

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদীটি $x^{2} - y^{2} + 2 y - 1$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব। --- ### ধাপ ১: পরিচিত রূপে সাজানো প্রদত্ত বহুপদীটি লিখতে পারি:

x^{2} - (y^{2} - 2 y + 1)

এখানে, $y^{2} - 2 y + 1$ অংশটিকে পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা যায়:

y^{2} - 2 y + 1 = (y - 1)^{2}

তাহলে, সমীকরণটি হয়:

x^{2} - (y - 1)^{2}

--- ### ধাপ ২: উৎপাদক রূপে লেখা ( $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ সূত্র প্রয়োগ)

x^{2} - (y - 1)^{2} = (x - (y - 1)) (x + (y - 1))

= (x - y + 1) (x + y - 1)

--- ### উত্তর: একটি উৎপাদক হলো $(x + y - 1)$ ✅

প্রশ্নঃ $x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ হলে, $x^{2} + \frac{1}{x^{3}}$ -এর মান-

[ বিসিএস ২৫তম ]

ক. 2

খ. 4

গ. 0

ঘ. 6

ব্যাখ্যাঃ

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 x . \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})

(\sqrt{3})^{3} - 3 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 0

প্রশ্নঃ $x + y = 6$ এবং $x y = 8$ হলে $(x - y)^{2}$ –এর মান কত?

[ বিসিএস ২৫তম ]

ক. 4

খ. 6

গ. 8

ঘ. 12

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ:

x + y = 6

x y = 8

আমরা

(x - y)^{2}

এর মান নির্ণয় করতে চাই। ### সমাধান: আমরা জানি,

(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4 x y

প্রদত্ত মানগুলি বসালে:

(x - y)^{2} = (6)^{2} - 4 \times 8

(x - y)^{2} = 36 - 32

(x - y)^{2} = 4

### উত্তর:

4

প্রশ্নঃ $x + y = 7$ এবং $xy = 10$ হলে, $(x - y)^{2}$ -এর মান কত?

[ বিসিএস ২৪তম ]

ক. 3

খ. 6

গ. 9

ঘ. 12

ব্যাখ্যাঃ আমরা

(x - y)^{2}

এর মান নির্ণয় করতে পারি। প্রথমে,

(x - y)^{2}

এর সম্প্রসারণ করি:

(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

এখন,

x^{2} + y^{2}

এর মান নির্ণয় করার জন্য

(x + y)^{2}

ব্যবহার করি:

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

আমাদের জানা আছে

x + y = 7

এবং

x y = 10

, তাই:

(x + y)^{2} = 7^{2} = 49

49 = x^{2} + 2 x y + y^{2}

এখন,

x^{2} + y^{2}

নির্ণয় করি:

x^{2} + y^{2} = 49 - 2 x y

যেহেতু

x y = 10

:

x^{2} + y^{2} = 49 - 2 \times 10 = 49 - 20 = 29

এখন,

(x - y)^{2}

নির্ণয় করি:

(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

(x - y)^{2} = 29 - 20 = 9

তাহলে,

(x - y)^{2}

এর মান হল ৯।

প্রশ্নঃ $x + y = 12$ এবং $x - y = 2$ হলে $x y$ -এর মান কত?

[ বিসিএস ২২তম ]

ক. 35

খ. 140

গ. 70

ঘ. 144

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা দুটি সমীকরণ সমাধান করব:

x + y = 12

x - y = 2

এই দুটি সমীকরণকে যোগ করে পাই:

(x + y) + (x - y) = 12 + 2

2 x = 14

x = 7

এখন

x

-এর মান

x + y = 12

সমীকরণে বসাই:

7 + y = 12

y = 12 - 7

y = 5

তাহলে,

x = 7

এবং

y = 5

। এখন

x y

-এর মান নির্ণয় করি:

x y = 7 \times 5 = 35

তাহলে,

x y

-এর মান হল ৩৫।

প্রশ্নঃ $\frac{x}{y}$ এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল $\frac{2 y}{x}$ হবে?

[ বিসিএস ২০তম ]

ক.

\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}

খ.

\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

ক.

\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

খ.

\frac{x^{2} - y^{2}}{x y}

গ.

\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x y}

ক.

\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

খ.

\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x y}

গ.

\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}

ঘ.

\frac{x^{2} - y^{2}}{x y}

উত্তরঃ

\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো,

\frac{x}{y}

এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল

\frac{2 y}{x}

হবে?

ধরা যাক, যোগফল হবে

k

।

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়াবে:

\frac{x}{y} + k = \frac{2 y}{x}

k

-এর মান নির্ণয়ের জন্য:

k = \frac{2 y}{x} - \frac{x}{y}

এখন সাধারণ হার নির্ণয় করতে ল.সা.গু (LCM) নেব:

k = \frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

তাহলে, সঠিক উত্তর:

k = \frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

প্রশ্নঃ $x^{2} + y^{2} = 8$ এবং $x y = 7$ হলে $(x + y)^{2}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ২০তম ]

ক. ১৪

খ. ১৬

গ. ২২

ঘ. ৩০

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি,

(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y

প্রশ্নে প্রদত্ত,

x^{2} + y^{2} = 8

x y = 7

অতএব,

(x + y)^{2} = 8 + 2 \times 7

(x + y)^{2} = 8 + 14

(x + y)^{2} = 22

অতএব,

(x + y)^{2}

এর মান হলো ২২।

প্রশ্নঃ যদি $x + 5 y = 16$ এবং $x = 3 y$ হয়, তাহলে $y =$ কত?

[ বিসিএস ১৮তম ]

ক.

- 2

খ.

2

ক.

- 2

খ.

2

গ.

8

ক.

- 24

খ.

- 2

গ.

8

ঘ.

2

উত্তরঃ

2

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে প্রদত্ত:

1.

x + 5 y = 16

2.

x = 3 y

প্রথম সমীকরণে

x = 3 y

বসাই:

3 y + 5 y = 16

8 y = 16

y = \frac{16}{8}

y = 2

অতএব,

y

এর মান হলো ২।

প্রশ্নঃ $x - [x - x - (x + 1)]$ - এর মান কত?

[ বিসিএস ১৭তম ]

ক.

- 1

খ.

x + 1

ক.

- 1

খ.

1

গ.

x + 1

ক.

x + 1

খ.

1

গ.

- 1

ঘ.

x - 1

উত্তরঃ

- 1

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটিকে সরল করি:

x - [x - {x - (x + 1)}]

প্রথমে ভেতরের অংশটি সমাধান করি:

x - (x + 1) = - 1

এখন,

x - [x - {- 1}]

এর পরবর্তী ধাপ:

x - [x + 1] = x - x - 1 = - 1

অতএব,

x - [x - {x - (x + 1)}]

এর মান হলো -১।

প্রশ্নঃ $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b}{a^{2} - b^{2} + c^{2} + 2 a c} =$ কত?

[ বিসিএস ১৬তম ]

ক.

\frac{a - b + c}{a + b - c}

খ.

\frac{a + b - c}{a - b + c}

ক.

\frac{a - b + c}{a + b - c}

খ.

\frac{a + b - c}{a - b + c}

গ.

\frac{a + b - c}{a + b + c}

ক.

a + b + c

খ.

\frac{a + b - c}{a - b + c}

গ.

\frac{a - b + c}{a + b - c}

ঘ.

\frac{a + b - c}{a + b + c}

উত্তরঃ

\frac{a + b - c}{a - b + c}

ব্যাখ্যাঃ

\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b}{a^{2} - b^{2} + c^{2} + 2 a c}

\Rightarrow \frac{(a + b)^{2} - c^{2}}{(a + c)^{2} - b^{2}}

\Rightarrow \frac{(a + b + c) (a + b - c)}{(a + c + b) (a + c - b)}

\Rightarrow \frac{a + b - c}{a - b + c}

প্রশ্নঃ $a + b + c = 9, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 29$ হলে $a b + b c + c a$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৬তম ]

ক. 52

খ. 46

গ. 26

ঘ. 22

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি ছিলঃ

a + b + c = 9

এবং

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 29

।

a b + b c + c a

এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা নিচের পরিচিত পরিচয়ের ব্যবহার করিঃ

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + b c + c a)

প্রথমে, আমরা জানি যে:

(9)^{2} = 29 + 2 (a b + b c + c a)

এখন, সরল করিঃ

81 = 29 + 2 (a b + b c + c a)

29 উভয় দিক থেকে বিয়োগ করুন:

52 = 2 (a b + b c + c a)

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন:

a b + b c + c a = 26

অতএব,

a b + b c + c a

এর মান 26।

প্রশ্নঃ $a = 1, b = - 1, c = 2, d = - 2$ হলে, $a - (- b) - (- c) - (- d)$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৫তম ]

ক. 0

খ. 1

গ. 2

ঘ. 3

ব্যাখ্যাঃ

a = 1, b = - 1, c = 2, d = - 2

ধরি,

a - (- b) - (- c) - (- d)

এর মান নির্ণয় করি।

প্রথমে, নেতিবাচক চিহ্নগুলিকে সরিয়ে ফেলি:

a - (- b) - (- c) - (- d) = a + b + c + d

অতএব,

1 + (- 1) + 2 + (- 2)

এর মান বের করি:

1 - 1 + 2 - 2 = 0

অতএব,

a - (- b) - (- c) - (- d)

এর মান হল ০।

প্রশ্নঃ $(2 + x) + 3 = 3 (x + 2)$ হলে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৫তম ]

ক.

- \frac{1}{2}

খ.

\frac{1}{3}

ক.

- \frac{1}{2}

খ.

\frac{1}{2}

গ.

\frac{2}{3}

ক.

- \frac{1}{2}

খ.

\frac{1}{2}

গ.

\frac{1}{3}

ঘ.

\frac{2}{3}

উত্তরঃ

- \frac{1}{2}

ব্যাখ্যাঃ আমরা সমীকরণটি ধাপে ধাপে সমাধান করি:

প্রথমে মূল সমীকরণটি লিখি:

(2 + x) + 3 = 3 (x + 2)

এখন বন্ধনীগুলি সরিয়ে ফেলি:

2 + x + 3 = 3 x + 6

এখন উভয় পক্ষে একত্রিত করি:

5 + x = 3 x + 6

এখন

x

এর শর্তগুলো একপক্ষে এবং ধ্রুবকগুলো অন্যপক্ষে নিয়ে যাই:

5 - 6 = 3 x - x

- 1 = 2 x

এখন

x

নির্ণয় করি:

x = \frac{- 1}{2}

অতএব, সমীকরণের জন্য

x

এর মান হলো

- \frac{1}{2}

।

প্রশ্নঃ $\frac{1}{2} (a + b)^{2} + (a - b)^{2} =$ কত?

[ বিসিএস ১৪তম ]

ক.

a^{2} - b^{2}

খ.

a^{2} + b^{2}

ক.

a^{2} + b^{2}

খ.

\frac{(a + b)^{2}}{2} - \frac{(a - b)^{2}}{2}

গ.

(a + b)^{2} + (a - b)^{2}

ক.

a^{2} + b^{2}

খ.

a^{2} - b^{2}

গ.

\frac{(a + b)^{2}}{2} - \frac{(a - b)^{2}}{2}

ঘ.

(a + b)^{2} + (a - b)^{2}

উত্তরঃ

a^{2} + b^{2}

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে

(a + b)^{2}

এবং

(a - b)^{2}

বের করি:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

এখন এই দুটি যোগ করি:

(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + (a^{2} - 2 a b + b^{2})

= a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2}

= 2 a^{2} + 2 b^{2}

এখন এই যোগফলটির

\frac{1}{2}

অংশ বের করি:

\frac{1}{2} (2 a^{2} + 2 b^{2})

= a^{2} + b^{2}

অতএব,

\frac{1}{2} ((a + b)^{2} + (a - b)^{2}) = a^{2} + b^{2}

প্রশ্নঃ যদি $a^{3} - b^{3} = 513$ এবং $a - b = 3$ হয় তবে $a b$ -এর মান কত?

[ বিসিএস ১১তম ]

ক. 54

খ. 35

গ. 45

ঘ. 55

ব্যাখ্যাঃ ধরি,

a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)

আমাদের দেওয়া আছে

a - b = 3

, তাই

513 = 27 + 9 a b

9 a b = 486

অতএব,

a b = \frac{486}{9} = 54

প্রশ্নঃ $(x + 3) (x - 3)$ কে $x^{2} - 6$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

[ বিসিএস ১১তম ]

ক.

3

খ.

- 3

ক.

3

খ.

- 3

গ.

6

ক.

- 6

খ.

3

গ.

6

ঘ.

- 3

উত্তরঃ

- 3

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা

(x + 3) (x - 3)

প্রকাশ করি:

(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9

এখন,

x^{2} - 6

দিয়ে ভাগ করি:

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6}

এখানে

x^{2} - 9

কে

x^{2} - 6

দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল

1

এবং ভাগশেষ

- 3

হবে। তাহলে,

- 3

প্রশ্নঃ $a + b = 5$ এবং $a - b = 3$ হলে $a b$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১০তম ]

ক. 2

খ. 3

গ. 4

ঘ. 5

ব্যাখ্যাঃ আমরা দেওয়া সমীকরণগুলোকে ব্যবহার করবো:

a + b = 5

a - b = 3

প্রথমে,

a

এবং

b

এর মান নির্ণয় করি। দুটি সমীকরণ যোগ করি:

(a + b) + (a - b) = 5 + 3

2 a = 8

a = 4

এখন,

a

এর মান ব্যবহার করে

b

এর মান নির্ণয় করি:

a + b = 5

4 + b = 5

b = 1

এখন

a b

এর মান নির্ণয় করি:

a b = 4 \times 1 = 4

অতএব,

a b

এর মান 4।

প্রশ্নঃ যদি $(x - 5) (a + x) = x^{2} - 25$ তবে $a$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১০তম ]

ক.

5

খ.

- 25

ক.

5

খ.

- 25

গ.

- 5

ক.

- 5

খ.

5

গ.

25

ঘ.

- 25

উত্তরঃ

5

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে:

(x - 5) (a + x) = x^{2} - 25

প্রথমে,

(x - 5) (a + x)

কে সরলীকরণ করি:

(x - 5) (a + x) = (x - 5) a + (x - 5) x

= x a + x^{2} - 5 a - 5 x

এখন, সমীকরণটি সমান হলে:

x a + x^{2} - 5 a - 5 x = x^{2} - 25

উভয় পক্ষ থেকে

x^{2}

বাদ দিলে:

x a - 5 a - 5 x = - 25

x

এর সহগ সমীকরণ:

a - 5 = 0 \Rightarrow a = 5

ধ্রুবক পদ সমীকরণ:

- 5 a = - 25 \Rightarrow a = 5

অতএব,

a

এর মান

5

।

প্রশ্নঃ যদি a+b=2, ab=1 হয় তবে a এবং b এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]

ক. 1, 1

খ. -1, 3

গ. -3, -4

ঘ. 0, 2

ব্যাখ্যাঃ ধরি,

a

এবং

b

দুটি সংখ্যা। আমাদের দেওয়া আছে:

১.

a + b = 2

২.

a b = 1

এখন আমরা

a

এবং

b

-এর মান নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গ সমীকরণ গঠন করব। বর্গ সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো:

x^{2} - (a + b) x + a b = 0

এখন

a + b = 2

এবং

a b = 1

এর মান ব্যবহার করি:

x^{2} - 2 x + 1 = 0

এটি একটি পূর্ণ বর্গ ধরণের সমীকরণ:

(x - 1)^{2} = 0

তাহলে,

x = 1

। অর্থাৎ,

a = 1

এবং

b = 1

।

উত্তর:

a = 1

এবং

b = 1

।

প্রশ্নঃ যদি x + 5y = 24 এবং x = 3y হয় তাহলে y এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]

ক. ৪

খ. 9.5

গ. 3

ঘ. 7

ব্যাখ্যাঃ প্রথম সমীকরণটি:

x + 5 y = 24

দ্বিতীয় সমীকরণটি:

x = 3 y

প্রথম সমীকরণে

x = 3 y

বসাই:

3 y + 5 y = 24

সরল করি:

8 y = 24

এখন

y

-এর মান নির্ণয় করি:

y = \frac{24}{8} = 3

উত্তর:

y = 3

।

প্রশ্নঃ (2+x)+3 = 3(x+2) হলে x এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক.

- \frac{১}{৩}

খ.

- \frac{১}{২}

ক.

- \frac{১}{৩}

খ.

- \frac{১}{২}

গ.

\frac{১}{২}

ক.

\frac{১}{৩}

খ.

- \frac{১}{৩}

গ.

\frac{১}{২}

ঘ.

- \frac{১}{২}

উত্তরঃ

- \frac{১}{২}

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

(2 + x) + 3 = 3 (x + 2)

এখন ধাপে ধাপে সমাধান করি:

2 + x + 3 = 3 (x + 2)

5 + x = 3 (x + 2)

5 + x = 3 x + 6

5 - 6 = 3 x - x

- 1 = 2 x

x = \frac{- 1}{2}

উত্তর:

x = - \frac{1}{2}

।

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ যদি $x^{3} + h x + 10 = 0$ এর সমাধান $2$ হয়, তবে $h$ এর মান কত?

লগইন করুন

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ যদি x3+hx+10=0 এর সমাধান 2 হয়, তবে h এর মান কত?

Related MCQ

গ.সা.গু:

ল.সা.গু:

গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল:

ধাপ ১: আগে বের করি x+1x

ধাপ ২: এখন ব্যবহার করি সূত্র:

প্রশ্নঃ যদি $x^{3} + h x + 10 = 0$ এর সমাধান $2$ হয়, তবে $h$ এর মান কত?

ধাপ ১: আগে বের করি $x + \frac{1}{x}$