১. এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
এখন,
সুতরাং,
যেহেতু
আমরা জানি
অতএব,
সুতরাং,
উত্তর:
২. বাস্তব সংখ্যায় অসমতাটির সমাধান-
[ বিসিএস ৪৩তম ]
ধাপ ১: পদের পারস্পরিক পরিবর্তন
আমরা উভয় পক্ষে প্রতিপাদক রাশির (Reciprocal) ব্যবহার করতে পারি, তবে চিহ্ন পরিবর্তনের কথা মনে রাখতে হবে।
যেহেতু
(ক) যখন , অর্থাৎ
(খ) যখন , অর্থাৎ
এক্ষেত্রে অসমতার দিক বদলে যাবে, তাই
ধাপ ২: সংযুক্ত সমাধান সেট
আমরা দেখতে পাচ্ছি, যখন
আর যখন
অতএব, চূড়ান্ত সমাধান সেট:
চূড়ান্ত উত্তর:
৩. ১০০ থেকে ২০০ এর মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কয়টি?
[ বিসিএস ৪১তম ]
১০০ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩৩ এবং ভাগশেষ থাকে ১। সুতরাং, ১০০ এর পরে প্রথম ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটি হলো ১০০ + (৩ - ১) = ১০২।
২০০ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় ৬৬ এবং ভাগশেষ থাকে ২। সুতরাং, ২০০ এর আগে শেষ ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটি হলো ২০০ - ২ = ১৯৮।
এখন, আমরা একটি সমান্তর ধারা পেলাম যেখানে প্রথম পদ (a) = ১০২, শেষ পদ (l) = ১৯৮ এবং সাধারণ অন্তর (d) = ৩।
ধরি, এই ধারায় মোট n সংখ্যক পদ আছে। তাহলে, সমান্তর ধারার শেষ পদের সূত্র অনুযায়ী:
এখানে,
১৯৮ = ১০২ + (n - 1)৩
১৯৮ - ১০২ = (n - 1)৩
৯৬ = (n - 1)৩
৩২ = n - 1
n = ৩২ + ১
n = ৩৩
সুতরাং, ১০০ থেকে ২০০ এর মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য মোট ৩৩ টি সংখ্যা আছে।
৪. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
* কঃ ৪৭
(যেমন:
সুতরাং,
* খঃ ৮৭
* গঃ ৯১
* ঘঃ ১৪৩
সুতরাং, কঃ ৪৭ হলো মৌলিক সংখ্যা।
৫. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
আসুন প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করি:
* কঃ ২৬৩
২৬৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৬৩।
* খঃ ২৩৩
২৩৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৩৩।
* গঃ ২৫৩
২৫৩ মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ, ২৫৩ কে
সুতরাং, ২৫৩ এর উৎপাদকগুলো হলো
* ঘঃ ২৪১
২৪১ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৪১।
সুতরাং, যে সংখ্যাটি মৌলিক নয়, সেটি হলো গঃ ২৫৩।
১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা:
19
29
59
এদের যোগফল:
সুতরাং, উত্তর: ১০৭ ✅
৬০ ও ৮০ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে যথাক্রমে ৬১ ও ৭৯। ∴ এ দুটি সংখ্যার অন্তর হবে (৭৯ - ৬১) = ১৮।
১১. ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা–
[ বিসিএস ২৬তম ]
৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা (প্রাইম নম্বর) হল:
৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯
এই সংখ্যা গুলির মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো মোট ৪টি।
১২. যদি একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে -
[ বিসিএস ২৬তম ]
১৩. দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নির্ণয় করুন, যাদের বর্গের অন্তর ৪৭-
[ বিসিএস ২৬তম ]
১৪. সংখ্যাটি কি সংখ্যা?
[ বিসিএস ২৫তম ]
১৬. দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে বড় সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ২২তম ]
১৭. ৯৯৯৯৯৯-এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
[ বিসিএস ২১তম ]
### ধাপ ১: ল.সা.গু নির্ণয় প্রথমে ২, ৩, ৪, ৫, ৬ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু (LCM) বের করি—
অর্থাৎ,
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ২১।
অর্থাৎ,
১৮. যদি এর মূল দুটি সমান এবং তবে এর মান কত?
[ বিসিএস ১৭তম ]
বিয়োজনের সূত্র অনুযায়ী:
তাহলে,
অতএব,
১৯. নিম্নলিখিত চারটি সংখ্যার মধ্যে কোনটির ভাজক সংখ্যা বিজোড়?
[ বিসিএস ১৬তম ]
যদি সংখ্যা পূর্ণ বর্গসংখ্যা হয় তবে সেটির ভাজক সংখ্যা বিজোড় হবে।
তাহলে আসুন আবার দেখি কোন সংখ্যার ভাজক সংখ্যা আসলেই বিজোড়।
আসুন বিশ্লেষণ করি:
- ক: ২০৪৮: ২০৪৮ = 2^11, 2 এর যেকোন গুণনীয়ক পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
- খ: ৫১২: ৫১২ = 2^9, এটি ও পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
- গ: ১০২৪: ১০২৪ = 2^10, এটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
- ঘ: ৪৮: ৪৮ এর কোনও গুণনীয়ক পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
তাহলে: গ: ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় কারণ এটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
২০. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি। সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ১৪তম ]
প্রশ্ন অনুযায়ী:
1. এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি:
প্রথম সমীকরণ থেকে:
অতএব, সংখ্যাটি হলো ২৫।
২১. নিচের কোন সংখ্যাটি এবং এর মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা?
[ বিসিএস ১২তম ]
ধাপ ১:
এই মানটি একটি মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ,
ফলাফল
২২. নিচের কোন সংখ্যাটি মৌলিক?
[ বিসিএস ১০তম ]
যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না সেই সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। উপরিউক্ত ৪টি সংখ্যার মধ্যে ৪৭ সংখ্যাটিরই কেবলমাত্র ২টি উৎপাদক আছে বলে এটি মৌলিক সংখ্যা।
২৩. ১ হতে ৩০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?
[ বিসিএস ১০তম ]
২৪. ১২৫ সংখ্যাকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
তাহলে,
উত্তর:
২৫. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) হলো এমন একটি সংখ্যা যা শুধুমাত্র ১ এবং নিজেই দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, এই ধরনের সংখ্যার একমাত্র গুণনীয়ক হল ১ এবং নিজেই।
২: এটি শুধুমাত্র ১ এবং নিজেই দ্বারা বিভাজ্য, তাই ২ মৌলিক সংখ্যা।
২৬. চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা হতে তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা হলো ৯৯৯৯ এবং তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ১০০। এখন এগুলো বিয়োগ করলে:
৯৯৯৯ - ১০০ = ৯৮৯৯
অতএব, বিয়োগফল হলো ৯৮৯৯।
২৭. প্রথম ১০টি বিজোড় সংখ্যার যােগফল কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
আমরা জানি,
ক সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ক²
সুতরাং ১০টি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ১০² = ১০০
উত্তরঃ ১০০
২৮. ০৪ থেকে ৮৪ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোকে বড় হতে ছোট হিসেবে সাজালে ৮ম সংখ্যাটি কত হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
২৯. তিনটি পরপর মৌলিক প্রথম দুইটির গুণফল ৯১, শেষ দুইটির গুণফল ১৪৩ হলে সংখ্যা তিনটি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 26-06-2019 ]
প্রশ্ন অনুযায়ী,
প্রথম দুটি সংখ্যা
এখানে
সুতরাং, তিনটি পরপর মৌলিক সংখ্যা ৭, ১৩, ১১।
৩০. কোন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ৩৬৬ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
এখন, দেওয়া অপশনগুলোর সংখ্যা বিশ্লেষণ করি এবং ৩৩৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো চিহ্নিত করি।
৩৩৫-এর গুণনীয়ক:
৩১. ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ , তাদের সমষ্টি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
যে সকল সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ হয়:
১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯
এখন, এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করি:
- ১৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ১৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
- ২৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ২৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
- ৩৯: এটি মৌলিক সংখ্যা নয় (
)। - ৪৯: এটি মৌলিক সংখ্যা নয় (
)। - ৫৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ৫৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
সুতরাং, ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯, তারা হলো: ১৯, ২৯, ৫৯।
তাদের সমষ্টি:
উত্তর: তাদের সমষ্টি ১০৭।
৩২. ০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল -
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
৩, ২, ১, ০
সুতরাং, বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৩২১০
৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি তৈরি করতে, সবচেয়ে ছোট অঙ্ক থেকে বড় অঙ্ক ক্রমানুসারে সাজাতে হবে। তবে, ০ কে প্রথমে বসালে সেটি ৪ অঙ্কের সংখ্যা হবে না (যেমন: ০১২৩ মানে ১২৩)। তাই, ০ বাদে সবচেয়ে ছোট অঙ্কটি প্রথমে বসাতে হবে, তারপর ০ এবং বাকি অঙ্কগুলো ক্রমানুসারে সাজাতে হবে।
১, ০, ২, ৩
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১০২৩
এবার, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল নির্ণয় করি:
উত্তর: ০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত ৪ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল হলো ২১৮৭।