ব্যাখ্যাঃ আমরা (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² প্রসারিত করি: $$(x+2y{)}^2+(y+2z{)}^2+(z+2x{)}^2$$ $$=x^2+4y^2+4xy+y^2+4z^2+4yz+z^2+4x^2+4zx+4xz$$ $$=(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+zx)+4(x^2+y^2+z^2)$$ $$=5(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+zx)$$ $$=5(2)+4(1)$$ $$=10+4$$ $$=14$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 14}}$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: $$3x-y=3$$ $$5x+y=21$$ দুইটি সমীকরণ যোগ করি: $$(3x-y)+(5x+y)=3+21$$ $$8x=24$$ $$x=\frac{24}{8}=3$$ x = 3 মান প্রথম সমীকরণে বসাই: $$3(3)-y=3$$ $$9-y=3$$ $$y=9-3=6$$ উত্তর: $$(x,y)=(3,6)$$

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু (গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক) নির্ণয় করি:

গ.সা.গু:

আমরা সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করলে পাই:
$$x^{2}y+x{y}^2=xy(x+y)$$
$$x^2+xy=x(x+y)$$

এখানে উভয় রাশির গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক হলো $x(x+y)$।

ল.সা.গু:

ল.সা.গু বের করতে হলে প্রথমে দুটি রাশির গুণফল ভাগ করতে হবে তাদের গ.সা.গু দ্বারা:
$$\frac{(x^{2}y+x{y}^2)\cdot (x^2+xy)}{gcd}$$

অর্থাৎ,
$$\frac{xy(x+y)\cdot x(x+y)}{x(x+y)}$$
= $xy(x+y)$

গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল:

গ.সা.গু × ল.সা.গু =
$$x(x+y)\times xy(x+y)$$
= $x^{2}y(x+y{)}^2$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে (x + 5)² প্রসারিত করি:

$$(x+5{)}^2=(x+5)(x+5)$$

এখন গুণ করি:

$$x^2+5x+5x+25$$

$$x^2+10x+25$$

এখন এই সমীকরণকে $x^2+bx+c$ এর সঙ্গে তুলনা করলে পাই:

b = 10
c = 25

তাহলে, b = 10 এবং c = 25 হলে সমীকরণটি অভেদ হবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা $p^2+q^2$ নির্ণয়ের জন্য পরিচিত সূত্র $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ ব্যবহার করবো।

প্রথমে, দেওয়া আছে:
$p+q=5$
$p-q=3$

এখন দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাই:
$$(p+q)+(p-q)=5+3$$
$$2p=8$$
$$p=4$$

এখন $p-q=3$ ব্যবহার করে q এর মান নির্ণয় করি:
$$4-q=3$$
$$q=1$$

এখন, $p^2+q^2$ নির্ণয় করি:
$$p^2+q^2=4^2+1^2=16+1=17$$

$p^2+q^2=17$

ব্যাখ্যাঃ আমরা অসমতাটি বিশ্লেষণ করি:

$$5x-x^2-6>0$$
$$-x^2+5x-6>0$$
$$x^2-5x+6<0$$
$$x^2-5x+6=0$$

এটি সহজভাবে ফ্যাক্টর করা যায়:

$$(x-2)(x-3)=0$$

অর্থাৎ, $x=2$ এবং $x=3$ হলো মূলদ্বয়।

এখন, আমরা দেখতে চাই কখন এই রাশিটি ঋণাত্মক অর্থাৎ:

$$(x-2)(x-3)<0$$

এই ধরণের অসমতা তখনই সত্য হয় যখন $x$ থাকে দুই মূলের মধ্যে।

অতএব, সমাধান:

$$\boxed{{\displaystyle 2<x<3}}$$

সঠিক উত্তর: $2<x<3$

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: আগে বের করি $x+\frac{1}{x}$

$$x=2+\sqrt{3}\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$$

ধরি, $\frac{1}{x}$ কে সরল করি:

$$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$$

$$x+\frac{1}{x}=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$$

ধাপ ২: এখন ব্যবহার করি সূত্র:

$$x^3+\frac{1}{x^3}={(x+\frac{1}{x})}^3-3(x+\frac{1}{x})$$

বসাই:

$$x^3+\frac{1}{x^3}=4^3-3\times 4=64-12=\boxed{{\displaystyle 52}}$$

ব্যাখ্যাঃ $$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2{b}^2}$$
$$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=7^2-2\times 12=49-24=25$$
$$ab=12\Rightarrow a{b}^2=(ab{)}^2=144$$
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{25}{144}$$

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$।

প্রথমে $\frac{1}{x}$ এর মান বের করি:
$\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ দিয়ে গুণ করি:
$\frac{1}{x}=\frac{1\times (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$
$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}$
$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$
$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}$
$\frac{1}{x}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

এখন, $x+\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করি:
$x+\frac{1}{x}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$x+\frac{1}{x}=2\sqrt{3}$

এখন আমরা $x^3+\frac{1}{x^3}$ এর মান বের করব। আমরা জানি যে $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$।
এখানে $a=x$ এবং $b=\frac{1}{x}$।

$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x}{)}^3-3\times x\times \frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})$
$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x}{)}^3-3(x+\frac{1}{x})$

$x+\frac{1}{x}=2\sqrt{3}$ এই মানটি বসিয়ে পাই:
$x^3+\frac{1}{x^3}=(2\sqrt{3}{)}^3-3(2\sqrt{3})$
$x^3+\frac{1}{x^3}=2^3\times (\sqrt{3}{)}^3-6\sqrt{3}$
$x^3+\frac{1}{x^3}=8\times (3\sqrt{3})-6\sqrt{3}$
$x^3+\frac{1}{x^3}=24\sqrt{3}-6\sqrt{3}$
$x^3+\frac{1}{x^3}=(24-6)\sqrt{3}$
$x^3+\frac{1}{x^3}=18\sqrt{3}$

সুতরাং, $x^3+\frac{1}{x^3}$ এর মান হলো $18\sqrt{3}$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2-3x+1=0$

প্রথমে, $x$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$x-3+\frac{1}{x}=0$
$x+\frac{1}{x}=3$

এখন, $(x^2-\frac{1}{x^2})$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$।
সুতরাং, $(x^2-\frac{1}{x^2})=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$

আমরা $x+\frac{1}{x}=3$ জানি।
এখন $x-\frac{1}{x}$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$
তাহলে, $(x-\frac{1}{x}{)}^2=(x+\frac{1}{x}{)}^2-4\cdot x\cdot \frac{1}{x}$
$(x-\frac{1}{x}{)}^2=(3{)}^2-4\cdot 1$
$(x-\frac{1}{x}{)}^2=9-4$
$(x-\frac{1}{x}{)}^2=5$
$x-\frac{1}{x}=\pm \sqrt{5}$

এখন $(x^2-\frac{1}{x^2})$ এর মান বের করি:
$(x^2-\frac{1}{x^2})=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$
$(x^2-\frac{1}{x^2})=3\cdot (\pm \sqrt{5})$
$(x^2-\frac{1}{x^2})=\pm 3\sqrt{5}$

সুতরাং, $(x^2-\frac{1}{x^2})$ এর মান $\pm 3\sqrt{5}$।

ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:

দেওয়া আছে দুটি সমীকরণ:
১) $x^2+y^2=185$
২) $x-y=3$

২নং সমীকরণ থেকে আমরা $x$-কে $y$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x=y+3$

এখন, $x$-এর এই মানটি ১নং সমীকরণে বসাই:
$(y+3{)}^2+y^2=185$

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ সূত্র ব্যবহার করে $(y+3{)}^2$-কে বিস্তৃত করি:
$y^2+2\cdot y\cdot 3+3^2+y^2=185$
$y^2+6y+9+y^2=185$

একই পদগুলো যোগ করি:
$2y^2+6y+9=185$

$185$-কে বাম পাশে নিয়ে আসি:
$2y^2+6y+9-185=0$
$2y^2+6y-176=0$

সমীকরণটিকে সহজ করার জন্য উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করি:
$y^2+3y-88=0$

এখন, $y$-এর মান নির্ণয় করার জন্য এই দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করব। আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল $-88$ এবং যোগফল $+3$ হয়। সংখ্যা দুটি হলো $+11$ এবং $-8$।

$(y+11)(y-8)=0$

এখান থেকে $y$-এর দুটি সম্ভাব্য মান পাওয়া যায়:
$y+11=0⟹y=-11$
অথবা, $y-8=0⟹y=8$

এখন $y$-এর প্রতিটি মানের জন্য $x$-এর মান বের করি ($x=y+3$ ব্যবহার করে):

ক্ষেত্র ১: যদি $y=-11$ হয়
$x=-11+3$
$x=-8$
একটি সমাধান হলো $(x,y)=(-8,-11)$।

ক্ষেত্র ২: যদি $y=8$ হয়
$x=8+3$
$x=11$
অন্য একটি সমাধান হলো $(x,y)=(11,8)$।

সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের একটি সমাধান হলো $(11,8)$।
(অন্য সমাধানটি হলো $(-8,-11)$।)

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $x-\frac{1}{x}=1$

আমাদের $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, $a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$।

এখানে $a=x$ এবং $b=\frac{1}{x}$ ধরে পাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3}={(x-\frac{1}{x})}^3+3\cdot x\cdot \frac{1}{x}(x-\frac{1}{x})$$

এখন, $x-\frac{1}{x}=1$ মানটি সমীকরণে বসাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3}=(1{)}^3+3\cdot 1\cdot (1)$$$$x^3-\frac{1}{x^3}=1+3$$$$x^3-\frac{1}{x^3}=4$$

সুতরাং, $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান হলো 4।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$x-y=২$ ------ (১)
$xy=২৪$ ------ (২)

আমরা জানি, $(x-y{)}^{২}=x^{২}-২xy+y^{২}$
বা, $(x-y{)}^{২}=x^{২}+y^{২}-২xy$

আবার, $x^{২}+y^{২}=(x+y{)}^{২}-২xy$

সুতরাং, $(x-y{)}^{২}=(x+y{)}^{২}-২xy-২xy$
বা, $(x-y{)}^{২}=(x+y{)}^{২}-৪xy$

দেওয়া আছে $x-y=২$ এবং $xy=২৪$।
মান বসিয়ে পাই:
$(২{)}^{২}=(x+y{)}^{২}-৪\times ২৪$
$৪=(x+y{)}^{২}-৯৬$
$(x+y{)}^{২}=৪+৯৬$
$(x+y{)}^{২}=১০০$
$x+y=\pm \sqrt{১০০}$
$x+y=\pm ১০$ ------ (৩)

এখন আমাদের কাছে দুটি সমীকরণ আছে:
১) $x-y=২$
২) $x+y=১০$ (ধনাত্মক মান নিয়ে)
অথবা,
২) $x+y=-১০$ (ঋণাত্মক মান নিয়ে)

কেস ১: যখন $x+y=১০$
$x-y=২$
$x+y=১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x-y)+(x+y)=২+১০$
$২x=১২$
$x=\frac{১২}{২}$
$x=৬$

$x=৬$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$৬-y=২$
$y=৬-২$
$y=৪$

এই মানগুলো দিয়ে $xy=২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $৬\times ৪=২৪$, যা সঠিক।

কেস ২: যখন $x+y=-১০$
$x-y=২$
$x+y=-১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x-y)+(x+y)=২+(-১০)$
$২x=-৮$
$x=\frac{-৮}{২}$
$x=-৪$

$x=-৪$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$-৪-y=২$
$-y=২+৪$
$-y=৬$
$y=-৬$

এই মানগুলো দিয়ে $xy=২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $(-৪)\times (-৬)=২৪$, যা সঠিক।

প্রশ্নানুসারে $x$ এর ধনাত্মক মানটি চাওয়া হয়েছে।
ধনাত্মক মানটি হলো $x=৬$।

সুতরাং, $x$ এর ধনাত্মক মানটি হলো ৬।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে সমীকরণটি:
$\frac{3}{x}+\frac{4}{x+1}=2$

বামদিকের ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু. করি:
ল.সা.গু. হলো $x(x+1)$।

$\frac{3(x+1)+4x}{x(x+1)}=2$
$\frac{3x+3+4x}{x^2+x}=2$
$\frac{7x+3}{x^2+x}=2$

এখন আর গুণন (cross-multiplication) করি:
$7x+3=2(x^2+x)$
$7x+3=2x^2+2x$

সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপে সাজাই ($a{x}^2+bx+c=0$):
$0=2x^2+2x-7x-3$
$0=2x^2-5x-3$

এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি। আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।
$2x^2-5x-3=0$
$2x^2-6x+x-3=0$
$2x(x-3)+1(x-3)=0$
$(x-3)(2x+1)=0$

অতএব, দুটি সম্ভাব্য সমাধান আছে:
১) $x-3=0$
$x=3$

২) $2x+1=0$
$2x=-1$
$x=-\frac{1}{2}$

সুতরাং, $x$ এর মানগুলো হলো $3$ অথবা $-\frac{1}{2}$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: $$f(x)=x^3+k{x}^2-6x-9$$ আমাদের $f(3)=0$ হলে $k$ এর মান বের করতে হবে। ধাপ 1: $x=3$ বসিয়ে ফাংশনের মান নির্ণয় করি। $$f(3)=(3{)}^3+k(3{)}^2-6(3)-9$$ ধাপ 2: মানগুলি গণনা করি। $$f(3)=27+9k-18-9$$ ধাপ 3: সমীকরণটি সরলীকরণ করি। $$f(3)=27-18-9+9k=0+9k=9k$$ ধাপ 4: $f(3)=0$ হলে, $$9k=0$$ ধাপ 5: $k$ এর মান নির্ণয় করি। $$k=\frac{0}{9}=0$$ সুতরাং, $k$ এর মান হলো: $$\boxed{{\displaystyle 0}}$$

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হল: $$a-\frac{1}{a}=3$$ আমাদের নির্ণয় করতে হবে: $$a^3+\frac{1}{a^3}$$ ### ধাপ ১: $a^2+\frac{1}{a^2}$ নির্ণয় করা আমরা জানি, $${(a-\frac{1}{a})}^2=a^2-2+\frac{1}{a^2}$$ এখন উভয় পাশে বর্গ করলে পাইঃ $$(3{)}^2=a^2-2+\frac{1}{a^2}$$ $$9=a^2+\frac{1}{a^2}-2$$ $$a^2+\frac{1}{a^2}=11$$ ### ধাপ ২: $a^3+\frac{1}{a^3}$ নির্ণয় করা আমরা জানি, $$a^3+\frac{1}{a^3}=(a-\frac{1}{a})\times (a^2+\frac{1}{a^2})+(a-\frac{1}{a})$$ এখন, $$a^3+\frac{1}{a^3}=(3\times 11)+3$$ $$=33+3$$ $$=36$$ ### চূড়ান্ত উত্তর: $$\mathbf{36}$$

ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি হলো: $$a-11=40$$ এখন, উভয় পাশে $11$ যোগ করি: $$a-11+11=40+11$$ $$a=51$$ সুতরাং, $a=51$ ✅

ব্যাখ্যাঃ

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমরা প্রথমে (x - y)² এর সূত্রটি ব্যবহার করব এবং তারপর প্রদত্ত মানগুলি ব্যবহার করে x² + y² এর মান বের করব।
আমরা জানি যে,
(x - y)² = x² - 2xy + y²
প্রশ্নমতে, (x - y)² = 14 এবং xy = 2।
সুতরাং,
14 = x² - 2(2) + y²
বা, 14 = x² - 4 + y²
বা, 14 + 4 = x² + y²
বা, 18 = x² + y²
অতএব, x² + y² = 18।
সুতরাং, নির্ণেয় উত্তর হলো 18।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণ দুটি ব্যবহার করে $x^2+y^2$ এর মান বের করবো। প্রদত্ত সমীকরণ দুটি: $$x+y=8$$ $$x-y=6$$ ### ধাপ ১: $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় দুটি সমীকরণ যোগ করলে, $$(x+y)+(x-y)=8+6$$ $$2x=14$$ $$x=7$$ এখন, $x+y=8$ সমীকরণে $x=7$ বসালে, $$7+y=8$$ $$y=1$$ ### ধাপ ২: $x^2+y^2$ এর মান নির্ণয় $$x^2+y^2=7^2+1^2$$ $$=49+1$$ $$=50$$ অতএব, $x^2+y^2$ এর মান হবে ৫০। ✅

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে $a^2+\frac{1}{a^2}$ এর মান বের করব। প্রদত্ত সমীকরণ: $$a+\frac{1}{a}=\sqrt{3}$$ ### ধাপ ১: উভয় পাশে বর্গ করা $${(a+\frac{1}{a})}^2=(\sqrt{3}{)}^2$$ $$a^2+2\cdot a\cdot \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=3$$ $$a^2+2+\frac{1}{a^2}=3$$ ### ধাপ ২: সমাধান করা $$a^2+\frac{1}{a^2}=3-2$$ $$a^2+\frac{1}{a^2}=1$$ অতএব, $a^2+\frac{1}{a^2}$ এর মান হবে ১।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদী $x^2-8x-8y+16+y^2$ এর সঙ্গে এমন একটি সংখ্যা যোগ করব, যাতে এটি একটি পূর্ণবর্গ হয়ে যায়। --- ### ধাপ ১: পূর্ণবর্গের কাঠামো খুঁজে বের করা প্রদত্ত বহুপদীটি আমরা নতুনভাবে সাজাই: $$x^2-8x+y^2-8y+16$$ এটি আমরা $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$ আকারে আনতে চাই। --- ### ধাপ ২: পূর্ণবর্গের জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যা খোঁজা আমরা লক্ষ করি, যদি $2xy$ যোগ করি, তাহলে একে একটি পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা সম্ভব। অর্থাৎ, $$x^2-8x+y^2-8y+16+2xy$$ এটি $(x-y{)}^2$ বা $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$ রূপে রূপান্তরিত হবে। --- ### উত্তর: $2xy$ যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ বহুপদীতে পরিণত হবে। ✅

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদীটি $x^2-y^2+2y-1$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব। --- ### ধাপ ১: পরিচিত রূপে সাজানো প্রদত্ত বহুপদীটি লিখতে পারি: $$x^2-(y^2-2y+1)$$ এখানে, $y^2-2y+1$ অংশটিকে পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা যায়: $$y^2-2y+1=(y-1{)}^2$$ তাহলে, সমীকরণটি হয়: $$x^2-(y-1{)}^2$$ --- ### ধাপ ২: উৎপাদক রূপে লেখা ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ সূত্র প্রয়োগ) $$x^2-(y-1{)}^2=(x-(y-1))(x+(y-1))$$ $$=(x-y+1)(x+y-1)$$ --- ### উত্তর: একটি উৎপাদক হলো $(x+y-1)$ ✅

ব্যাখ্যাঃ $${\mathrm{x}}^3+\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}=(\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}{)}^3-3\mathrm{x}.\frac{1}{\mathrm{x}}(\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}})$$ $$(\sqrt{3}{)}^3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: $$x+y=6$$ $$xy=8$$ আমরা $(x-y{)}^2$ এর মান নির্ণয় করতে চাই। ### সমাধান: আমরা জানি, $$(x-y{)}^2=(x+y{)}^2-4xy$$ প্রদত্ত মানগুলি বসালে: $$(x-y{)}^2=(6{)}^2-4\times 8$$ $$(x-y{)}^2=36-32$$ $$(x-y{)}^2=4$$ ### উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 4}}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা $(x-y{)}^2$ এর মান নির্ণয় করতে পারি। প্রথমে, $(x-y{)}^2$ এর সম্প্রসারণ করি: $$(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2$$ এখন, $x^2+y^2$ এর মান নির্ণয় করার জন্য $(x+y{)}^2$ ব্যবহার করি: $$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$$ আমাদের জানা আছে $x+y=7$ এবং $xy=10$, তাই: $$(x+y{)}^2=7^2=49$$ $$49=x^2+2xy+y^2$$ এখন, $x^2+y^2$ নির্ণয় করি: $$x^2+y^2=49-2xy$$ যেহেতু $xy=10$: $$x^2+y^2=49-2\times 10=49-20=29$$ এখন, $(x-y{)}^2$ নির্ণয় করি: $$(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2$$ $$(x-y{)}^2=29-20=9$$ তাহলে, $(x-y{)}^2$ এর মান হল ৯।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা দুটি সমীকরণ সমাধান করব: $$x+y=12$$ $$x-y=2$$ এই দুটি সমীকরণকে যোগ করে পাই: $$(x+y)+(x-y)=12+2$$ $$2x=14$$ $$x=7$$ এখন $x$-এর মান $x+y=12$ সমীকরণে বসাই: $$7+y=12$$ $$y=12-7$$ $$y=5$$ তাহলে, $x=7$ এবং $y=5$। এখন $xy$-এর মান নির্ণয় করি: $$xy=7\times 5=35$$ তাহলে, $xy$-এর মান হল ৩৫।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো, $\frac{x}{y}$ এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল $\frac{2y}{x}$ হবে?

ধরা যাক, যোগফল হবে $k$।

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়াবে: $$\frac{x}{y}+k=\frac{2y}{x}$$ $k$-এর মান নির্ণয়ের জন্য: $$k=\frac{2y}{x}-\frac{x}{y}$$ এখন সাধারণ হার নির্ণয় করতে ল.সা.গু (LCM) নেব: $$k=\frac{2y^2-x^2}{xy}$$ তাহলে, সঠিক উত্তর: $$k=\frac{2y^2-x^2}{xy}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy$$ প্রশ্নে প্রদত্ত, $$x^2+y^2=8$$ $$xy=7$$ অতএব, $$(x+y{)}^2=8+2\times 7$$ $$(x+y{)}^2=8+14$$ $$(x+y{)}^2=22$$ অতএব, $(x+y{)}^2$ এর মান হলো ২২।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে প্রদত্ত:

1. $x+5y=16$
2. $x=3y$

প্রথম সমীকরণে $x=3y$ বসাই: $$3y+5y=16$$ $$8y=16$$ $$y=\frac{16}{8}$$ $$y=2$$ অতএব, $y$ এর মান হলো ২।