১. একটি থলিতে 5টি নীল, 10টি সাদা, 20টি কালো বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করব, অর্থাৎ নীল বা কালো বল পাওয়া যাবে।
1. মোট বল সংখ্যা: 2. সাদা না হওয়ার বল সংখ্যা (নীল + কালো): 3. সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা: অতএব, দৈবভাবে একটি বল তোলার ক্ষেত্রে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা বা ৭১.৪৩%।
1. মোট বল সংখ্যা:
২. 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
ব্যাখ্যাঃ মোট সংখ্যা: 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38। এখানে মোট 10টি সংখ্যা আছে।
এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 29, 31, 37। এখানে 3টি মৌলিক সংখ্যা আছে।
কোনো সংখ্যা বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা হলো:
সুতরাং, 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা .
সারাংশ: 29 থেকে 38 পর্যন্ত মোট 10টি সংখ্যার মধ্যে 3টি মৌলিক সংখ্যা (29, 31, 37) রয়েছে। তাই একটি সংখ্যা দৈবচয়ণে বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা .
এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 29, 31, 37। এখানে 3টি মৌলিক সংখ্যা আছে।
কোনো সংখ্যা বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা হলো:
সুতরাং, 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা
সারাংশ: 29 থেকে 38 পর্যন্ত মোট 10টি সংখ্যার মধ্যে 3টি মৌলিক সংখ্যা (29, 31, 37) রয়েছে। তাই একটি সংখ্যা দৈবচয়ণে বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা
৩. ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে, সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-
[ বিসিএস ৪১তম ]
ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা =
৪৪০টি
ধাপ ২: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট কতগুলো পূর্ণসংখ্যার বর্গ রয়েছে তা বের করি।
বর্গসংখ্যাগুলো হল:
আমরা দেখি,
অর্থাৎ, থেকে পর্যন্ত মোট ২০টি বর্গসংখ্যা আছে।## সম্ভাবনা:
উত্তর: কঃ
৪৪০টি
ধাপ ২: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট কতগুলো পূর্ণসংখ্যার বর্গ রয়েছে তা বের করি।
বর্গসংখ্যাগুলো হল:
আমরা দেখি,
অর্থাৎ,
উত্তর: কঃ
৪. 30 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যেকোনো একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ব্যাখ্যাঃ ৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা:
এগুলোর মোট সংখ্যা ।
মৌলিক সংখ্যা (যেগুলো শুধুমাত্র 1 এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য):
অতএব, মৌলিক সংখ্যা = ২টি।
৫-এর গুণিতক হলো:
অতএব, ৫-এর গুণিতক সংখ্যা = ৩টি।
কোনো সংখ্যা মৌলিক অথবা ৫-এর গুণিতক হতে পারে, তাই সম্ভাব্য সংখ্যা =
সুতরাং, মোট সম্ভাবনা:
এগুলোর মোট সংখ্যা
মৌলিক সংখ্যা (যেগুলো শুধুমাত্র 1 এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য):
অতএব, মৌলিক সংখ্যা = ২টি।
৫-এর গুণিতক হলো:
অতএব, ৫-এর গুণিতক সংখ্যা = ৩টি।
কোনো সংখ্যা মৌলিক অথবা ৫-এর গুণিতক হতে পারে, তাই সম্ভাব্য সংখ্যা =
সুতরাং, মোট সম্ভাবনা:
৫. একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 8 টি সাদা বল এবং 10 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত?
[ বিসিএস ৩৭তম ]
ব্যাখ্যাঃ চলুন, নতুন তথ্য দিয়ে সমস্যাটি সমাধান করা যাক:
প্রদত্ত তথ্য:
নীল বল = ৬টি
সাদা বল = ৮টি
কালো বল = ১০টি
প্রথমে মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করি:
মোট বল = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪টি
এখন, সাদা বল না হওয়ার সম্ভাবনা বের করতে হবে।
এর মানে হলো, বলটি নীল অথবা কালো হবে।
সাদা বলের সংখ্যা = ৮টি
সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা = নীল বল + কালো বল = ৬ + ১০ = ১৬টি
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা =
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা =
এই ভগ্নাংশটিকে সরল করি। ১৬ এবং ২৪ উভয়ই ৮ দ্বারা বিভাজ্য:
বিকল্প পদ্ধতি (সাদা হওয়ার সম্ভাবনা বাদ দিয়ে):
সাদা হওয়ার সম্ভাবনা =
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা =
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা =
সুতরাং, দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা হলো ।
প্রদত্ত তথ্য:
নীল বল = ৬টি
সাদা বল = ৮টি
কালো বল = ১০টি
প্রথমে মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করি:
মোট বল = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪টি
এখন, সাদা বল না হওয়ার সম্ভাবনা বের করতে হবে।
এর মানে হলো, বলটি নীল অথবা কালো হবে।
সাদা বলের সংখ্যা = ৮টি
সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা = নীল বল + কালো বল = ৬ + ১০ = ১৬টি
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা =
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা =
এই ভগ্নাংশটিকে সরল করি। ১৬ এবং ২৪ উভয়ই ৮ দ্বারা বিভাজ্য:
বিকল্প পদ্ধতি (সাদা হওয়ার সম্ভাবনা বাদ দিয়ে):
সাদা হওয়ার সম্ভাবনা =
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা =
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা =
সুতরাং, দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা হলো
৬. আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী-২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
1
ব্যাখ্যাঃ আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী, ২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে মোট ৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে হলে আমাদের কয়েকটি বিষয় বিবেচনা করতে হবে:
ঐ সপ্তাহে যেকোনো একটি নির্দিষ্ট দিনে (যেমন বুধবার) বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয়ের জন্য, আমাদের ধরতে হবে যে বৃষ্টি হওয়া বা না হওয়া ঘটনাগুলো সপ্তাহের ৭ দিনের মধ্যে সমানভাবে বিন্যস্ত।
বৃষ্টি না হওয়ার অনুকূল ঘটনা = ২ দিন
মোট সম্ভাব্য ঘটনা = ৭ দিন
সুতরাং, বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা:
অতএব, ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা হলো ।
- মোট দিনের সংখ্যা: এক সপ্তাহ মানে ৭ দিন।
- বৃষ্টি হয়েছে: ৫ দিন
- বৃষ্টি হয়নি:
দিন
ঐ সপ্তাহে যেকোনো একটি নির্দিষ্ট দিনে (যেমন বুধবার) বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয়ের জন্য, আমাদের ধরতে হবে যে বৃষ্টি হওয়া বা না হওয়া ঘটনাগুলো সপ্তাহের ৭ দিনের মধ্যে সমানভাবে বিন্যস্ত।
বৃষ্টি না হওয়ার অনুকূল ঘটনা = ২ দিন
মোট সম্ভাব্য ঘটনা = ৭ দিন
সুতরাং, বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা:
অতএব, ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা হলো
৭. ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলির একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখাটি বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা প্রথমে ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে কতগুলো সংখ্যা পুরো বর্গ সংখ্যা তা নির্ণয় করব।
ধাপ ১: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা
বর্গ সংখ্যা মানে হলো এমন সংখ্যা যা কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গফল। আমরা শর্ত পূরণ করে এমন -এর মান নির্ণয় করি।
-
- সর্বোচ্চ হয়, কিন্তু ৪৪১ > ৪৪০, তাই -এর মান হবে ২০।
অতএব, ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা হলো: এখানে মোট টি বর্গ সংখ্যা রয়েছে।
ধাপ ২: সম্ভাবনার গণনা
সম্ভাবনার সূত্র: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৪৪০।
বর্গ সংখ্যার সংখ্যা = ২০।
সুতরাং, সম্ভাবনা: উত্তর: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত নেওয়া সংখ্যাটি বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা হলো ।
ধাপ ১: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা
বর্গ সংখ্যা মানে হলো এমন সংখ্যা যা কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গফল। আমরা
-
- সর্বোচ্চ
অতএব, ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা হলো:
ধাপ ২: সম্ভাবনার গণনা
সম্ভাবনার সূত্র:
বর্গ সংখ্যার সংখ্যা = ২০।
সুতরাং, সম্ভাবনা: