ব্যাখ্যাঃ কোন ভগ্নাংশটি $\frac{২}{৩}$হতে বড় তা নির্ণয় করার জন্য, আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করে $\frac{২}{৩}$ এর দশমিক মানের সাথে তুলনা করতে পারি। $$\frac{২}{৩}=০.৬৬৬...$$ এখন প্রতিটি বিকল্পের দশমিক মান বের করা যাক:
Option 1: $$\frac{৩৩}{৫০}=\frac{৬৬}{১০০}=০.৬৬$$ Option 2: $$৮÷১১=০.৭২৭২৭২...$$ Option 3: $$\frac{৩}{৫}=০.৬$$ Option 4: $$১৩÷২৭=০.৪৮১৪৮১...$$

এখন আমরা প্রতিটি দশমিক মানকে $\frac{২}{৩}$ এর দশমিক মান (০.৬৬৬...) এর সাথে তুলনা করি:

• Option 1: ০.৬৬ < ০.৬৬৬...
• Option 2: ০.৭২৭২৭২... > ০.৬৬৬...
• Option 3: ০.৬ < ০.৬৬৬...
• Option 4: ০.৪৮১৪৮১... < ০.৬৬৬...

সুতরাং, $\frac{৮}{১১}$ভগ্নাংশটি$\frac{২}{৩}$ হতে বড়।

ব্যাখ্যাঃ ধারাটির প্রতিটি সংখ্যা তার আগের সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে ভাগ করে পাওয়া যাচ্ছে:

• ৮ ÷ ২ = ৪
  
• ৪ ÷ ২ = ২
  
• ২ ÷ ২ = ১
  
• ১ ÷ ২ = $\frac{১}{২}$
  
• $\frac{১}{২}$ ÷ ২ = $\frac{১}{৪}$
  

সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে:

$\frac{১}{৪}$ ÷ ২ = $\frac{১}{৮}$

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো কঃ $\frac{১}{৮}$।

ব্যাখ্যাঃ সকল ভগ্নাংশের ল.সা.গু (LCM) অনুযায়ী লব ও হরকে সামঞ্জস্য করলে তুলনা সহজ হয়। তবে সরাসরি দশমিক রূপ ব্যবহার করেও তুলনা করা যায়।

দশমিক রূপে প্রকাশ:

$$\frac{5}{12}=0.4167$$

$$\frac{6}{13}\approx 0.4615$$

$$\frac{11}{24}\approx 0.4583$$

$$\frac{3}{8}=0.375$$

তুলনা:

বৃহত্তম মান $0.4615$, অর্থাৎ $\frac{6}{13}$।

চূড়ান্ত উত্তর:

খঃ $\frac{6}{13}$

ব্যাখ্যাঃ নিচে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর তুলনা:
$$\frac{18}{16}=1.125$$
$$\frac{5}{3}=1.6667$$
$$\frac{16}{31}=0.5161$$
$$\frac{4}{12}=0.3333$$

সবচেয়ে ছোট সংখ্যা:

$$\frac{4}{12}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

এখানে, $a=0.9$এবং$b=0.4$

সুতরাং, $$(0.9{)}^3+(0.4{)}^3=(0.9+0.4)((0.9{)}^2-(0.9)(0.4)+(0.4{)}^2)$$

এখন, প্রদত্ত রাশিমালাটিকে আমরা লিখতে পারি:
$$\frac{(0.9+0.4)((0.9{)}^2-(0.9)(0.4)+(0.4{)}^2)}{0.9+0.4}$$
$$(0.9+0.4)$$
$$(0.9{)}^2-(0.9)(0.4)+(0.4{)}^2$$
$$(0.81)-(0.36)+(0.16)$$
$$=0.81-0.36+0.16$$
$$=0.45+0.16$$
$$=0.61$$

সুতরাং, $\frac{(0.9{)}^3+(0.4{)}^3}{0.9+0.4}$ এর মান 0.61।

ব্যাখ্যাঃ কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম তা নির্ণয় করার জন্য, আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করব অথবা তাদের সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করব। দশমিকে রূপান্তর করা তুলনামূলকভাবে সহজ।

কঃ $\frac{৩}{৫}=0.6$

খঃ $\frac{৫}{৮}=0.625$

গঃ $\frac{৬}{১১}\approx 0.5454...$

ঘঃ $\frac{৮}{১৪}=\frac{৪}{৭}\approx 0.5714...$

এখন দশমিক মানগুলো তুলনা করি:
$0.6$
$0.625$
$0.5454...$
$0.5714...$

এই মানগুলোর মধ্যে $0.625$ সবচেয়ে বড়।

সুতরাং, খঃ $\frac{৫}{৮}$ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

ব্যাখ্যাঃ $1.16$ সংখ্যাটিকে মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে হবে: প্রথমে, একে পূর্ণসংখ্যা + ভগ্নাংশ আকারে লিখি: $$1.16=1+0.16$$ এখন, $0.16$ কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি: $$0.16=\frac{16}{100}$$ এখন, সরলীকরণ করি: $$\frac{16}{100}=\frac{4}{25}$$ অতএব, $1.16$ এর মিশ্র ভগ্নাংশ হলো $$1\frac{4}{25}$$ ✅ উত্তর: $1\frac{4}{25}$

ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে সমস্যাটির সমাধান করবো। ### ধাপ ১: "৩০ কে অর্ধেক দিয়ে ভাগ করা" এখানে "অর্ধেক দিয়ে ভাগ করা" মানে $\frac{1}{2}$ দ্বারা ভাগ করা, যা গুণনের বিপরীত। অতএব, $$30÷\frac{1}{2}=30\times 2=60$$ ### ধাপ ২: ১০ যোগ করা $$60+10=70$$ ### উত্তর: সঠিক উত্তর ৭০। ✅

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ভগ্নাংশটি হলো: $$\frac{113}{355}$$ এই ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত কিনা তা নির্ণয় করতে হলে, আমাদের লব (113) এবং হর (355) এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) নির্ণয় করতে হবে। ### ধাপ ১: গ.সা.গু. নির্ণয় 113 একটি মৌলিক সংখ্যা (Prime Number), কারণ এটি শুধুমাত্র 1 এবং 113 দ্বারা বিভাজ্য। 355 কে 113 দ্বারা ভাগ করলে: $$355÷113=3\text{ এবং অবশিষ্ট }16$$ যেহেতু অবশিষ্ট 0 নয়, তাই 113 এবং 355 পরস্পর সহমৌলিক (Co-prime)। অর্থাৎ, তাদের গ.সা.গু. 1। ### ধাপ ২: ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে যেহেতু লব এবং হরের গ.সা.গু. 1, তাই ভগ্নাংশটি ইতিমধ্যেই লঘিষ্ঠ আকারে রয়েছে। ### উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle \frac{113}{355}}}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ভগ্নাংশের লব $x$ এবং হর $y$। আমাদের বলা হয়েছে যে $y-x=2$। এখন, ধরি উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে নতুন ভগ্নাংশ হবে $\frac{x-3}{y-3}$ এবং এই ভগ্নাংশের সঙ্গে $\frac{1}{4}$ যোগ করলে যোগফল হবে ১: $$\frac{x-3}{y-3}+\frac{1}{4}=1$$ প্রথমে $y$-এর মান $x$-এর সমীকরণে বসাই: $$y=x+2$$ এখন মূল সমীকরণে $y$-এর মান বসাই: $$\frac{x-3}{(x+2)-3}+\frac{1}{4}=1$$ $$\frac{x-3}{x-1}+\frac{1}{4}=1$$ এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: $$\frac{x-3}{x-1}=1-\frac{1}{4}$$ $$\frac{x-3}{x-1}=\frac{4-1}{4}$$ $$\frac{x-3}{x-1}=\frac{3}{4}$$ এখন, ক্রস গুণিতক করে সমীকরণটি সমাধান করি: $$4(x-3)=3(x-1)$$ $$4x-12=3x-3$$ $$4x-3x=-3+12$$ $$x=9$$ তাহলে, $y$ হবে: $$y=x+2=9+2=11$$ সুতরাং, ভগ্নাংশটি হল $\frac{9}{11}$।

ব্যাখ্যাঃ আপনার চিত্রের ভিত্তিতে প্রদত্ত সংখ্যাগুলি হল:

1. $0.3$
2. $\frac{3}{9}=0.3333$
3. $\sqrt{0.3}=0.5477$
4. $\frac{2}{5}=0.4$

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে $\sqrt{0.3}$ সংখ্যাটি বৃহত্তম।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন আমাদের একটি ভগ্নাংশ দেওয়া হয়েছে, $\frac{২}{৩}$।

এখন দেখি, কোন ভগ্নাংশটি $\frac{২}{৩}$ থেকে বড়: $$\frac{2}{3}=0.6666$$ চলুন কিছু ভগ্নাংশ দেখি এবং তাদের দশমিক মান বের করি:

ক. $\frac{৩০}{৫০}=0.6000$

খ. $\frac{৮}{১১}=0.7272$

গ. $\frac{২}{৫}=0.4000$

ঘ. $\frac{১৩}{২৭}=0.4814$

∴ $\frac{৮}{১১}$ ভগ্নাংশটি $\frac{২}{৩}$ থেকে বড়।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে প্রতিটি সংখ্যা দশমিক আকারে রূপান্তর করি:

কঃ $0.3$

খঃ $\sqrt{0.3}\approx 0.5477$

গঃ $\frac{2}{5}=0.4$

ঘঃ $\frac{1}{3}\approx 0.3333$

তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো $\sqrt{0.3}\approx 0.5477$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরীক্ষায় মোট প্রশ্নের সংখ্যা $n$।

প্রথম ২০টি প্রশ্ন থেকে ছাত্রটি শুদ্ধ উত্তর দিয়েছে ১৫টি প্রশ্নে।
বাকি প্রশ্নের সংখ্যা হবে $n-20$।

এই বাকি প্রশ্নগুলোর এক-তৃতীয়াংশ শুদ্ধ উত্তর দিতে পেরেছে, অর্থাৎ $\frac{1}{3}(n-20)$।

সবমোট শুদ্ধ উত্তরের সংখ্যা: $$15+\frac{1}{3}(n-20)$$ আমরা জানি, ছাত্রটি মোট প্রশ্নের ৫০% শুদ্ধ উত্তর দিয়েছে: $$\frac{1}{2}n=15+\frac{1}{3}(n-20)$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করি: $$\frac{1}{2}n=15+\frac{1}{3}(n-20)$$ $$\frac{1}{2}n=15+\frac{1}{3}n-\frac{20}{3}$$ সবগুলোকে সাধারণ গুণনীয়কে নিয়ে সমাধান করি: $$\frac{1}{2}n=15+\frac{1}{3}n-\frac{20}{3}$$ $$\frac{3}{6}n=15+\frac{2}{6}n-\frac{20}{3}$$ $$\frac{3}{6}n-\frac{2}{6}n=15-\frac{20}{3}$$ $$\frac{1}{6}n=15-\frac{20}{3}$$ $$\frac{1}{6}n=\frac{45}{3}-\frac{20}{3}$$ $$\frac{1}{6}n=\frac{25}{3}$$ $$n=\frac{25}{3}\times 6$$ $$n=50$$ অতএব, ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা ছিল $50$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, স্ট্যাম্প আউট হলো 'ক' জন

∴ কট আউট হলো $\frac{৩ক}{২}$ জন

∴ প্রশ্নানুসারে, ক + $\frac{৩ক}{২}$ + ৫ = ১০

বা, $\frac{৫ক}{২}$ = ৫

∴ ক = ২

∴ কট আউট হলো = $\frac{৩\times ২}{২}$ জন = ৩ জন

ব্যাখ্যাঃ $0÷0$ নির্ণয় করা সম্ভব নয়, কারণ গণিতের নিয়ম অনুযায়ী, এটি একটি অসংজ্ঞায়িত (undefined) রাশি।

এর কারণ হলো:
- ভাগফল $x$-কে নির্ণয় করতে হলে $0÷0=x$, যা থেকে পাই $x\times 0=0$।
- যেকোনো সংখ্যা $x$ এর জন্য $x\times 0=0$ হয়, তাই এখানে $x$-এর একক মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।

অতএব, $0÷0$ অসংজ্ঞায়িত।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ভগ্নাংশ: $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}$$ এখন আমরা লঘিষ্ঠ করার জন্য লব্ধি ও হরকে $\sqrt{6}-2$ দিয়ে গুণ করি, যাকে লঘিষ্ঠকরণ পদ্ধতি বলা হয়। $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}\cdot \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}-2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)}$$ এখন হরের গুণফল বের করি। এটি $(a+b)(a-b)$-এর সূত্র অনুযায়ী হয়: $$(\sqrt{6}{)}^2-(2{)}^2=6-4=2$$ তাহলে ভগ্নাংশটি হয়: $$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-2)}{2}$$ এখন সরল করি: $$\frac{\sqrt{2}\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}\cdot 2}{2}$$ $$=\frac{\sqrt{12}}{2}-\sqrt{2}$$ $\sqrt{12}$ কে সরল করলে পাই $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$। তাহলে চূড়ান্ত রূপটি হবে: $$\frac{2\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$ উত্তর: $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$

ব্যাখ্যাঃ ১ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে ফলাফল হয় $\frac{১}{২}$, যা দশমিক আকারে $০.৫$।

বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করলে:
ক) $০.৫০$ → সঠিক (শূন্য যোগ করলে মান একই থাকে)।
খ) $০.৫০০$ → সঠিক (অতিরিক্ত শূন্য যোগ করলেও মান অপরিবর্তিত থাকে)।
গ) সবগুলোই → সঠিক, কারণ পূর্বের দুটি উত্তরই একই মান প্রকাশ করে।
ঘ) $\frac{১}{২}$ → সঠিক, এটি ভগ্নাংশে সঠিক মান।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো গঃ সবগুলোই।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি $x$। প্রশ্ন অনুসারে: $$\frac{১}{২}x+৬=\frac{২}{৩}x$$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে: প্রথমে উভয় পাশে ৬ বাদ দিন: $$\frac{১}{২}x=\frac{২}{৩}x-৬$$ এরপর $x$-এর একই গুণফলটি পাওয়ার জন্য উভয় পাশে ৬ গুণ করুন: $$৬(\frac{১}{২}x)=৬(\frac{২}{৩}x-৬)$$ সরলীকরণ করে: $$৩x=৪x-৩৬$$ পরবর্তীতে, উভয় দিকে $৪x$-এর গুণফল বাদ দিন: $$৩৬=৪x-৩x$$ অতঃপর: $$৩৬=x$$ সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৬।