ব্যাখ্যাঃ আমরা সেট A-এর সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করতে চাই, যেখানে x হলো 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 150।

1. x, 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য হওয়া মানে x অবশ্যই ল.সা.গু(5,7) দ্বারা বিভাজ্য হবে। $$ল.সা.গু(5,7)=35$$ 2. x < 150 শর্তটি মানতে হলে, 35 দ্বারা বিভাজ্য x-এর সম্ভাব্য মানগুলো হতে পারে: $$35,70,105,140$$ 3. এভাবে, A-এর সদস্য সংখ্যা হবে 4। অতএব, P(A) বা পাওয়ার সেট-এর সদস্য সংখ্যা হবে: $$2^4=16$$

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $A=\{x\in \mathbb{N}:x^2-5x-14=0\}$।

আমাদের প্রথমে $x^2-5x-14=0$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা উৎপাদক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এর সমাধান করতে পারি:

$$x^2-7x+2x-14=0$$$$x(x-7)+2(x-7)=0$$$$(x-7)(x+2)=0$$

সুতরাং, সমীকরণটির দুটি সমাধান হলো:
$$x-7=0⟹x=7$$
$$x+2=0⟹x=-2$$

এখন, সেট $A$-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, $A$ হলো সেই সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যারা $x^2-5x-14=0$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$।

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে $x=7$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কিন্তু $x=-2$ স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

সুতরাং, সেট $A$-এর একমাত্র উপাদান হলো 7।

অতএব, $A=\{7\}$.

সারাংশ: $x^2-5x-14=0$ সমীকরণের সমাধান $x=7$ এবং $x=-2$. যেহেতু $A$ হলো স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যা এই সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাই $A=\{7\}$.

ব্যাখ্যাঃ যদি A ও B স্বাধীন ঘটনা হয়, তাহলে $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$.
এখানে, $$P(A)=\frac{1}{3}$$এবং$$P(B)=\frac{3}{4}$$.
সুতরাং, $$P(A\cap B)=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$.
আমরা জানি, দুটি ঘটনার সংযোগ সেটের সম্ভাবনা $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$.
এখন, মানগুলো বসিয়ে পাই,
$$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$$
$$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+(\frac{3}{4}-\frac{1}{4})$$
$$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{3-1}{4}$$
$$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{2}{4}$$
$$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$
$$P(A\cup B)=\frac{2\times 1+3\times 1}{3\times 2}$$
$$P(A\cup B)=\frac{2+3}{6}$$
$$P(A\cup B)=\frac{5}{6}$$

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: গাণিতিক সরলীকরণ

উভয় ভগ্নাংশের হর $x-1$ একই, তাই আমরা তাদের একত্রিত করতে পারি:

$$\frac{(x-2)+1}{x-1}-2=0$$

$$\frac{x-1}{x-1}-2=0$$

$$1-2=0$$

$$-1=0$$

ধাপ ২: বিশ্লেষণ

আমরা দেখতে পাচ্ছি, এই সমীকরণটি ভুল কারণ $-1=0$ হতে পারে না।
অতএব, এই সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই।
অর্থাৎ সমাধানের সেট খালি:
$\mathrm{\varnothing }$

ব্যাখ্যাঃ আমরা দুটি সেট $A$ এবং $B$ এর ছেদ $A\cap B$ নির্ণয় করব।

প্রদত্ত সেট:

$A=\{x\in \mathbb{N}|2<x\le 8\}$
অর্থাৎ $A=\{3,4,5,6,7,8\}$

$B=\{x\in \mathbb{N}|x$ বিজোড় এবং $x\le 9\}$
অর্থাৎ $B=\{1,3,5,7,9\}$

$A\cap B$ নির্ণয়:

$A$ ও $B$ এর সাধারণ উপাদান (common elements) হলো $3,5,7$।
অতএব,
$$A\cap B=\{3,5,7\}$$

চূড়ান্ত উত্তর:

$$A\cap B=\{3,5,7\}$$

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: প্রদত্ত তথ্য

$$P(A)=\frac{1}{2},P(A\cup B)=\frac{3}{4},P(B^c)=\frac{5}{8}$$

ধাপ ২: $P(B)$ নির্ণয়

$$P(B)=1-P(B^c)=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$$

ধাপ ৩: $P(A\cap B)$ নির্ণয়

সেট তত্ত্ব অনুযায়ী সূত্র:
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

$$\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-P(A\cap B)$$

$$P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{3}{4}$$

সমান হারে ল.সা.গু. নিয়ে হিসাব:
$$P(A\cap B)=\frac{4}{8}+\frac{3}{8}-\frac{6}{8}=\frac{1}{8}$$

ধাপ ৪: $P(A^c\cap B^c)$ নির্ণয়

পরিপূরক সূত্র ব্যবহার:
$$P(A^c\cap B^c)=1-P(A\cup B)$$

$$P(A^c\cap B^c)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$

চূড়ান্ত উত্তর:

$$\mathbf{P}\mathbf{(}{\mathbf{A}}^{\mathbf{c}}\cap {\mathbf{B}}^{\mathbf{c}}\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$$

ব্যাখ্যাঃ $A$ এবং $B$ স্বাধীন ঘটনা, তাই শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার সূত্র অনুযায়ী:
$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

স্বাধীনতার সংজ্ঞা অনুযায়ী:
$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$
এখন মান বসিয়ে পাই:
$$P(B|A)=\frac{P(A)\times P(B)}{P(A)}$$
এখানে $P(A)$ বাতিল হয়ে যায়, তাই পাই:
$$P(B|A)=P(B)$$
এখন $P(B)$ এর মান বসাই:
$$P(B|A)=\frac{2}{3}$$
অর্থাৎ, $P(B|A)=\frac{2}{3}$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমীকরণটি হলো:
$3x–2>2x–1$

আমরা $x$ এর মান বের করতে চাই যার জন্য এই অসমীকরণটি সত্য হবে।

প্রথমে, আমরা $x$ যুক্ত পদগুলোকে একদিকে এবং ধ্রুবক পদগুলোকে অন্যদিকে নিয়ে যাই। উভয় পক্ষ থেকে $2x$ বিয়োগ করি:
$3x–2–2x>2x–1–2x$
$x–2>–1$

এরপর, উভয় পক্ষে $2$ যোগ করি:
$x–2+2>–1+2$
$x>1$

সুতরাং, অসমীকরণটির সমাধান হলো $x$ এর সেই সকল মান যা $1$ এর থেকে বড়। এটিকে সেট আকারে লিখলে সমাধান সেট হবে:

$\{x\in \mathbb{R}:x>1\}$

যেখানে $\mathbb{R}$ হলো বাস্তব সংখ্যার সেট।

যদি অপশন দেওয়া থাকে, তবে $\{x:x>1\}$ অথবা $(1,\mathrm{\infty })$ এই আকারের অপশনটি সঠিক হবে।

ব্যাখ্যাঃ

এখানে, P = {1,2,3,4,6,12} [12 এর গুণনীয়ক]

আবার, Q = {3,6,9,12} [যেহেতু 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12]

∴ P - Q = {1,2,3,4,6,12} - {3,6,9,12}

= {1,2,4}

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সেট $C$ এর সংজ্ঞা হলো:
$C=\{x:x\text{ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং }{x}^2<18\}$

আমাদের এমন ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $x$ খুঁজে বের করতে হবে, যার বর্গ $18$ এর চেয়ে কম।

আমরা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলো নিয়ে তাদের বর্গ পরীক্ষা করব:

* $x=-1\Rightarrow x^2=(-1{)}^2=1$
$1<18$, সুতরাং $-1$ একটি উপাদান।

* $x=-2\Rightarrow x^2=(-2{)}^2=4$
$4<18$, সুতরাং $-2$ একটি উপাদান।

* $x=-3\Rightarrow x^2=(-3{)}^2=9$
$9<18$, সুতরাং $-3$ একটি উপাদান।

* $x=-4\Rightarrow x^2=(-4{)}^2=16$
$16<18$, সুতরাং $-4$ একটি উপাদান।

* $x=-5\Rightarrow x^2=(-5{)}^2=25$
$25\nless 18$ (কারণ $25$ $18$ এর চেয়ে বড়), সুতরাং $-5$ একটি উপাদান নয়।

যেহেতু ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলো আরও ছোট হতে থাকলে তাদের বর্গ আরও বড় হবে, তাই $-5$ বা তার থেকে ছোট কোনো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গ $18$ এর চেয়ে কম হবে না।

সুতরাং, $C$ সেটের উপাদানগুলো হলো $\{-4,-3,-2,-1\}$।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমাদের সেট $A$ এর উপাদানগুলো বের করতে হবে।

সেট $A$ এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:
$A=\{x:x,Fibonacci$ সংখ্যা এবং $x^2<64\}$

প্রথমেই আমরা ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো লিখি:
$0,1,1,2,3,5,8,13,21,\dots$

এখন, আমরা $x^2<64$ শর্তটি পূরণ করে এমন ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করব।

• $0^2=0<64$
  
• $1^2=1<64$
  
• $2^2=4<64$
  
• $3^2=9<64$
  
• $5^2=25<64$
  
• $8^2=64$ (এটি $<64$ শর্ত পূরণ করে না, কারণ $64$ $64$ এর থেকে ছোট নয়)
  

সুতরাং, সেট $A=\{0,1,2,3,5\}$।

এখন আমরা সেট $A$ এর উপাদান সংখ্যা নির্ণয় করব।
$|A|=5$

এরপর, আমাদের $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা বের করতে হবে।
একটি সেটের ক্ষমতা সেট (Power Set) $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^{|A|}$ সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা হয়, যেখানে $|A|$ হলো সেট $A$ এর উপাদান সংখ্যা।

এখানে $|A|=5$।
অতএব, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হবে $2^5=32$।

$P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হলো $32$টি।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, সেট A, B এবং C এর উপাদানগুলো নির্ণয় করি:

সেট A: $A=\{x|x$ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা $x^2<25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর চেয়ে কম।
ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাগুলো হলো: $1,2,3,4,5,\dots$
$1^2=1<25$
$2^2=4<25$
$3^2=9<25$
$4^2=16<25$
$5^2=25$ (২৫ এর কম নয়)
সুতরাং, $A=\{1,2,3,4\}$

সেট B: $B=\{x|x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x^2<25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন মৌলিক সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর চেয়ে কম।
মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: $2,3,5,7,\dots$
$2^2=4<25$
$3^2=9<25$
$5^2=25$ (২৫ এর কম নয়)
সুতরাং, $B=\{2,3\}$

সেট C: $C=\{x|x$ মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং $x^2=25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর সমান।
যদি $x^2=25$ হয়, তাহলে $x=\pm 5$।
ধনাত্মক মৌলিক সংখ্যাটি হলো ৫।
সুতরাং, $C=\{5\}$

এখন $A\cap B\cap C$ নির্ণয় করতে হবে।
$A\cap B$ মানে A এবং B সেটের সাধারণ উপাদান:
$A\cap B=\{1,2,3,4\}\cap \{2,3\}=\{2,3\}$

এখন $A\cap B\cap C$ মানে $(A\cap B)$ এবং $C$ সেটের সাধারণ উপাদান:
$A\cap B\cap C=\{2,3\}\cap \{5\}$

যেহেতু $\{2,3\}$ এবং $\{5\}$ সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নেই, তাই ছেদ সেটটি হবে একটি ফাঁকা সেট।

সুতরাং, $A\cap B\cap C=\mathrm{\varnothing }$ (ফাঁকা সেট)।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সেটটি হলো $A=\{x:x\text{ মৌলিক সংখ্যা এবং }x\le 5\}$।

প্রথমে, সেট $A$-এর উপাদানগুলো বের করতে হবে। ৫ বা ৫-এর কম মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
$2,3,5$

সুতরাং, সেট $A=\{2,3,5\}$।

সেট $A$-এর সদস্য সংখ্যা (উপাদানের সংখ্যা) হলো $|A|=3$।

এখন, $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে। কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা $n$ হলে, তার পাওয়ার সেট (Power Set) $P(A)$-এর সদস্য সংখ্যা হয় $2^n$।

এখানে $n=3$, তাই $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা হবে $2^3$।
$2^3=2\times 2\times 2=8$।

সুতরাং, $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা হলো ৮।

ব্যাখ্যাঃ আমরা $f(x)=x^2+\frac{1}{x}+1$ সমীকরণের জন্য প্রদত্ত গাণিতিক বাক্যগুলো বিশ্লেষণ করি:

কঃ $f(x)=1$ $$x^2+\frac{1}{x}+1=1$$ $$x^2+\frac{1}{x}=0$$ এখানে সমীকরণটি সত্য নয় কারণ $x$ এবং $\frac{1}{x}$ একে অপরকে বাতিল করে দিতে পারবে না।

খঃ $f(0)=1$ $$f(0)$$ সমীকরণের ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ করতে পারি না কারণ $\frac{1}{0}$ অসংজ্ঞায়িত। তাই এটি অনুরূপ নয়।

গঃ $f(-1)=3$ $$f(-1)=(-1{)}^2+\frac{1}{-1}+1=1-1+1=1$$ যেটা ৩ নয়, তাই এটি সঠিক নয়।

ঘঃ $f(1)=3$ $$f(1)=(1{)}^2+\frac{1}{1}+1=1+1+1=3$$ যা সঠিক।

অতএব, $f(x)=x^2+\frac{1}{x}+1$ সমীকরণের অনুরূপ $f(1)=3$ গাণিতিক বাক্যটি সঠিক।