ব্যাখ্যাঃ আমরা (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² প্রসারিত করি: \[ (x + 2y)^2 + (y + 2z)^2 + (z + 2x)^2 \] \[ = x^2 + 4y^2 + 4xy + y^2 + 4z^2 + 4yz + z^2 + 4x^2 + 4zx + 4xz \] \[ = (x^2 + y^2 + z^2) + 4(xy + yz + zx) + 4(x^2 + y^2 + z^2) \] \[ = 5(x^2 + y^2 + z^2) + 4(xy + yz + zx) \] \[ = 5(2) + 4(1) \] \[ = 10 + 4 \] \[ = 14 \] উত্তর: \[ \boxed{14} \]

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: \[ 3x - y = 3 \] \[ 5x + y = 21 \] দুইটি সমীকরণ যোগ করি: \[ (3x - y) + (5x + y) = 3 + 21 \] \[ 8x = 24 \] \[ x = \frac{24}{8} = 3 \] x = 3 মান প্রথম সমীকরণে বসাই: \[ 3(3) - y = 3 \] \[ 9 - y = 3 \] \[ y = 9 - 3 = 6 \] উত্তর: \[ (x, y) = (3, 6) \]

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু (গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক) নির্ণয় করি:

গ.সা.গু:

আমরা সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করলে পাই:
$$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$$
$$x^2 + xy = x(x + y)$$

এখানে উভয় রাশির গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক হলো \(x(x + y)\)।

ল.সা.গু:

ল.সা.গু বের করতে হলে প্রথমে দুটি রাশির গুণফল ভাগ করতে হবে তাদের গ.সা.গু দ্বারা:
$$\frac{(x^2y + xy^2) \cdot (x^2 + xy)}{gcd}$$

অর্থাৎ,
$$\frac{xy(x + y) \cdot x(x + y)}{x(x + y)}$$
= \(xy(x + y)\)

গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল:

গ.সা.গু × ল.সা.গু =
$$x(x + y) \times xy(x + y)$$
= \(x^2y(x + y)^2\)।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে (x + 5)² প্রসারিত করি:

\[
(x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5)
\]

এখন গুণ করি:

\[
x^2 + 5x + 5x + 25
\]

\[
x^2 + 10x + 25
\]

এখন এই সমীকরণকে \( x^2 + bx + c \) এর সঙ্গে তুলনা করলে পাই:

b = 10
c = 25

তাহলে, b = 10 এবং c = 25 হলে সমীকরণটি অভেদ হবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা \(p^2 + q^2\) নির্ণয়ের জন্য পরিচিত সূত্র \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\) ব্যবহার করবো।

প্রথমে, দেওয়া আছে:
\(p + q = 5\)
\(p - q = 3\)

এখন দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাই:
\[
(p + q) + (p - q) = 5 + 3
\]
\[
2p = 8
\]
\[
p = 4
\]

এখন \(p - q = 3\) ব্যবহার করে q এর মান নির্ণয় করি:
\[
4 - q = 3
\]
\[
q = 1
\]

এখন, \(p^2 + q^2\) নির্ণয় করি:
\[
p^2 + q^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17
\]

\(p^2 + q^2 = 17\)

ব্যাখ্যাঃ আমরা অসমতাটি বিশ্লেষণ করি:

$$
5x - x^2 - 6 > 0
$$
$$
- x^2 + 5x - 6 > 0
$$
$$
x^2 - 5x + 6 < 0
$$
$$
x^2 - 5x + 6 = 0
$$

এটি সহজভাবে ফ্যাক্টর করা যায়:

$$
(x - 2)(x - 3) = 0
$$

অর্থাৎ, $x = 2$ এবং $x = 3$ হলো মূলদ্বয়।

এখন, আমরা দেখতে চাই কখন এই রাশিটি ঋণাত্মক অর্থাৎ:

$$
(x - 2)(x - 3) < 0
$$

এই ধরণের অসমতা তখনই সত্য হয় যখন $x$ থাকে দুই মূলের মধ্যে।

অতএব, সমাধান:

$$
\boxed{2 < x < 3}
$$

সঠিক উত্তর: $2 < x < 3$

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: আগে বের করি $x + \frac{1}{x}$

$$
x = 2 + \sqrt{3}
\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}
$$

ধরি, $\frac{1}{x}$ কে সরল করি:

$$
\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}
$$

$$
x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4
$$

ধাপ ২: এখন ব্যবহার করি সূত্র:

$$
x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)
$$

বসাই:

$$
x^3 + \frac{1}{x^3} = 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = \boxed{52}
$$

ব্যাখ্যাঃ $$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}
$$
$$
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2 \times 12 = 49 - 24 = 25
$$
$$
ab = 12 \Rightarrow ab^2 = (ab)^2 = 144
$$
$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{25}{144}
$$

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$।

প্রথমে $\frac{1}{x}$ এর মান বের করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$
হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ দিয়ে গুণ করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1}$
$\frac{1}{x} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

এখন, $x + \frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করি:
$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$

এখন আমরা $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান বের করব। আমরা জানি যে $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$।
এখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \times x \times \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 (x + \frac{1}{x})$

$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$ এই মানটি বসিয়ে পাই:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (2\sqrt{3})^3 - 3 (2\sqrt{3})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 2^3 \times (\sqrt{3})^3 - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 8 \times (3\sqrt{3}) - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (24 - 6)\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3}$

সুতরাং, $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান হলো $18\sqrt{3}$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 - 3x + 1 = 0$

প্রথমে, $x$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$
$x + \frac{1}{x} = 3$

এখন, $(x^2 - \frac{1}{x^2})$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$।
সুতরাং, $(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$

আমরা $x + \frac{1}{x} = 3$ জানি।
এখন $x - \frac{1}{x}$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
তাহলে, $(x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
$(x - \frac{1}{x})^2 = (3)^2 - 4 \cdot 1$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 9 - 4$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 5$
$x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{5}$

এখন $(x^2 - \frac{1}{x^2})$ এর মান বের করি:
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = 3 \cdot (\pm \sqrt{5})$
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = \pm 3\sqrt{5}$

সুতরাং, $(x^2-\frac{1}{x^2})$ এর মান $\pm 3\sqrt{5}$।

ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:

দেওয়া আছে দুটি সমীকরণ:
১) $x^2+y^2=185$
২) $x-y=3$

২নং সমীকরণ থেকে আমরা $x$-কে $y$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = y+3$

এখন, $x$-এর এই মানটি ১নং সমীকরণে বসাই:
$(y+3)^2 + y^2 = 185$

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ সূত্র ব্যবহার করে $(y+3)^2$-কে বিস্তৃত করি:
$y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 + y^2 = 185$
$y^2 + 6y + 9 + y^2 = 185$

একই পদগুলো যোগ করি:
$2y^2 + 6y + 9 = 185$

$185$-কে বাম পাশে নিয়ে আসি:
$2y^2 + 6y + 9 - 185 = 0$
$2y^2 + 6y - 176 = 0$

সমীকরণটিকে সহজ করার জন্য উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করি:
$y^2 + 3y - 88 = 0$

এখন, $y$-এর মান নির্ণয় করার জন্য এই দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করব। আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল $-88$ এবং যোগফল $+3$ হয়। সংখ্যা দুটি হলো $+11$ এবং $-8$।

$(y+11)(y-8) = 0$

এখান থেকে $y$-এর দুটি সম্ভাব্য মান পাওয়া যায়:
$y+11 = 0 \implies y = -11$
অথবা, $y-8 = 0 \implies y = 8$

এখন $y$-এর প্রতিটি মানের জন্য $x$-এর মান বের করি ($x = y+3$ ব্যবহার করে):

ক্ষেত্র ১: যদি $y = -11$ হয়
$x = -11 + 3$
$x = -8$
একটি সমাধান হলো $(x, y) = (-8, -11)$।

ক্ষেত্র ২: যদি $y = 8$ হয়
$x = 8 + 3$
$x = 11$
অন্য একটি সমাধান হলো $(x, y) = (11, 8)$।

সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের একটি সমাধান হলো $(11, 8)$।
(অন্য সমাধানটি হলো $(-8, -11)$।)

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $x-\frac{1}{x}=1$

আমাদের $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$।

এখানে $a=x$ এবং $b=\frac{1}{x}$ ধরে পাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3} = \left(x-\frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x-\frac{1}{x}\right)$$

এখন, $x-\frac{1}{x}=1$ মানটি সমীকরণে বসাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3} = (1)^3 + 3 \cdot 1 \cdot (1)$$$$x^3-\frac{1}{x^3} = 1 + 3$$$$x^3-\frac{1}{x^3} = 4$$

সুতরাং, $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান হলো 4।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$x - y = ২$ ------ (১)
$xy = ২৪$ ------ (২)

আমরা জানি, $(x - y)^২ = x^২ - ২xy + y^২$
বা, $(x - y)^২ = x^২ + y^২ - ২xy$

আবার, $x^২ + y^২ = (x + y)^২ - ২xy$

সুতরাং, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ২xy - ২xy$
বা, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ৪xy$

দেওয়া আছে $x - y = ২$ এবং $xy = ২৪$।
মান বসিয়ে পাই:
$(২)^২ = (x + y)^২ - ৪ \times ২৪$
$৪ = (x + y)^২ - ৯৬$
$(x + y)^২ = ৪ + ৯৬$
$(x + y)^২ = ১০০$
$x + y = \pm \sqrt{১০০}$
$x + y = \pm ১০$ ------ (৩)

এখন আমাদের কাছে দুটি সমীকরণ আছে:
১) $x - y = ২$
২) $x + y = ১০$ (ধনাত্মক মান নিয়ে)
অথবা,
২) $x + y = -১০$ (ঋণাত্মক মান নিয়ে)

কেস ১: যখন $x + y = ১০$
$x - y = ২$
$x + y = ১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + ১০$
$২x = ১২$
$x = \frac{১২}{২}$
$x = ৬$

$x = ৬$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$৬ - y = ২$
$y = ৬ - ২$
$y = ৪$

এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $৬ \times ৪ = ২৪$, যা সঠিক।

কেস ২: যখন $x + y = -১০$
$x - y = ২$
$x + y = -১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + (-১০)$
$২x = -৮$
$x = \frac{-৮}{২}$
$x = -৪$

$x = -৪$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$-৪ - y = ২$
$-y = ২ + ৪$
$-y = ৬$
$y = -৬$

এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $(-৪) \times (-৬) = ২৪$, যা সঠিক।

প্রশ্নানুসারে $x$ এর ধনাত্মক মানটি চাওয়া হয়েছে।
ধনাত্মক মানটি হলো $x = ৬$।

সুতরাং, $x$ এর ধনাত্মক মানটি হলো ৬।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে সমীকরণটি:
$\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2$

বামদিকের ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু. করি:
ল.সা.গু. হলো $x(x+1)$।

$\frac{3(x+1) + 4x}{x(x+1)} = 2$
$\frac{3x + 3 + 4x}{x^2 + x} = 2$
$\frac{7x + 3}{x^2 + x} = 2$

এখন আর গুণন (cross-multiplication) করি:
$7x + 3 = 2(x^2 + x)$
$7x + 3 = 2x^2 + 2x$

সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপে সাজাই ($ax^2 + bx + c = 0$):
$0 = 2x^2 + 2x - 7x - 3$
$0 = 2x^2 - 5x - 3$

এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি। আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।
$2x^2 - 5x - 3 = 0$
$2x^2 - 6x + x - 3 = 0$
$2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(x - 3)(2x + 1) = 0$

অতএব, দুটি সম্ভাব্য সমাধান আছে:
১) $x - 3 = 0$
$x = 3$

২) $2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$

সুতরাং, $x$ এর মানগুলো হলো $3$ অথবা $-\frac{1}{2}$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি:
$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$

প্রশ্নে দেওয়া:

$x + y = 2$
$x^2 + y^2 = 4$



আমরা জানি:

$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$

$2^2 = 4 + 2xy \Rightarrow 4 = 4 + 2xy \Rightarrow 2xy = 0
\Rightarrow xy = 0$

এখন মূল সূত্রে বসাই:

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$

$= 2^3 - 3 \cdot 0 \cdot 2 = 8 - 0 = 8$

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু $\frac{Q}{P} = \frac{1}{4}$।

তাহলে, $P = 4Q$।

এখন, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মধ্যে $P$ এর মান বসিয়ে পাই:

$\frac{4Q+Q}{4Q-Q}$
$= \frac{5Q}{3Q}$
$= \frac{5}{3}$

সুতরাং, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মান হলো $\frac{5}{3}$।

ব্যাখ্যাঃ
বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী আমরা জানি, $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$

এখানে,
$a+b=2$
$ab=1$

মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$(a-b)^2 = (2)^2 - 4(1)$
$(a-b)^2 = 4 - 4$
$(a-b)^2 = 0$
$a-b = 0$
$a=b$

এখন $a=b$ সম্পর্কটি $a+b=2$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$a+a = 2$
$2a = 2$
$a = 1$

যেহেতু $a=b$, তাই $b$ এর মানও $1$ হবে।

সুতরাং, $a$ এবং $b$ এর মান যথাক্রমে $1$ এবং $1$।

ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $x$ এবং $y$।
প্রশ্নানুসারে,
$x+y = 48$ ---(i)
$xy = 432$ ---(ii)

এখন আমরা জানি, $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$

মান বসিয়ে পাই,
$(x-y)^2 = (48)^2 - 4(432)$
$(x-y)^2 = 2304 - 1728$
$(x-y)^2 = 576$
$x-y = \sqrt{576}$
$x-y = 24$ ---(iii)

এখন সমীকরণ (i) এবং (iii) যোগ করে পাই,
$(x+y)+(x-y) = 48+24$
$2x = 72$
$x = \frac{72}{2}$
$x = 36$

$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
$36+y = 48$
$y = 48-36$
$y = 12$

সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো ৩৬ এবং ১২। এদের মধ্যে বড় সংখ্যাটি হলো ৩৬।

ব্যাখ্যাঃ বীজগণিতের সূত্র অনুসারে আমরা জানি, $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$।

এখন, প্রদত্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$(7)^2 = 25 + 2ab$
$49 = 25 + 2ab$
$2ab = 49 - 25$
$2ab = 24$
$ab = \frac{24}{2}$
$ab = 12$

সুতরাং, $ab$ এর মান হবে ১২।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \[ f(x) = x^3 + kx^2 - 6x - 9 \] আমাদের \( f(3) = 0 \) হলে \( k \) এর মান বের করতে হবে। ধাপ 1: \( x = 3 \) বসিয়ে ফাংশনের মান নির্ণয় করি। \[ f(3) = (3)^3 + k(3)^2 - 6(3) - 9 \] ধাপ 2: মানগুলি গণনা করি। \[ f(3) = 27 + 9k - 18 - 9 \] ধাপ 3: সমীকরণটি সরলীকরণ করি। \[ f(3) = 27 - 18 - 9 + 9k = 0 + 9k = 9k \] ধাপ 4: \( f(3) = 0 \) হলে, \[ 9k = 0 \] ধাপ 5: \( k \) এর মান নির্ণয় করি। \[ k = \frac{0}{9} = 0 \] সুতরাং, \( k \) এর মান হলো: \[ \boxed{0} \]

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হল: \[ a - \frac{1}{a} = 3 \] আমাদের নির্ণয় করতে হবে: \[ a^3 + \frac{1}{a^3} \] ### ধাপ ১: \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) নির্ণয় করা আমরা জানি, \[ \left( a - \frac{1}{a} \right)^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \] এখন উভয় পাশে বর্গ করলে পাইঃ \[ (3)^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \] \[ 9 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \] \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 11 \] ### ধাপ ২: \( a^3 + \frac{1}{a^3} \) নির্ণয় করা আমরা জানি, \[ a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right) \times \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) + \left(a - \frac{1}{a}\right) \] এখন, \[ a^3 + \frac{1}{a^3} = (3 \times 11) + 3 \] \[ = 33 + 3 \] \[ = 36 \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \[ \mathbf{36} \]

ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি হলো: \[ a - 11 = 40 \] এখন, উভয় পাশে \( 11 \) যোগ করি: \[ a - 11 + 11 = 40 + 11 \] \[ a = 51 \] সুতরাং, \( a = 51 \) ✅

ব্যাখ্যাঃ

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমরা প্রথমে (x - y)² এর সূত্রটি ব্যবহার করব এবং তারপর প্রদত্ত মানগুলি ব্যবহার করে x² + y² এর মান বের করব।
আমরা জানি যে,
(x - y)² = x² - 2xy + y²
প্রশ্নমতে, (x - y)² = 14 এবং xy = 2।
সুতরাং,
14 = x² - 2(2) + y²
বা, 14 = x² - 4 + y²
বা, 14 + 4 = x² + y²
বা, 18 = x² + y²
অতএব, x² + y² = 18।
সুতরাং, নির্ণেয় উত্তর হলো 18।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণ দুটি ব্যবহার করে \( x^2 + y^2 \) এর মান বের করবো। প্রদত্ত সমীকরণ দুটি: \[ x + y = 8 \] \[ x - y = 6 \] ### ধাপ ১: \( x \) এবং \( y \) এর মান নির্ণয় দুটি সমীকরণ যোগ করলে, \[ (x + y) + (x - y) = 8 + 6 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] এখন, \( x + y = 8 \) সমীকরণে \( x = 7 \) বসালে, \[ 7 + y = 8 \] \[ y = 1 \] ### ধাপ ২: \( x^2 + y^2 \) এর মান নির্ণয় \[ x^2 + y^2 = 7^2 + 1^2 \] \[ = 49 + 1 \] \[ = 50 \] অতএব, \( x^2 + y^2 \) এর মান হবে ৫০। ✅

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) এর মান বের করব। প্রদত্ত সমীকরণ: \[ a + \frac{1}{a} = \sqrt{3} \] ### ধাপ ১: উভয় পাশে বর্গ করা \[ \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 = (\sqrt{3})^2 \] \[ a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 3 \] \[ a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 3 \] ### ধাপ ২: সমাধান করা \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 3 - 2 \] \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 1 \] অতএব, \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) এর মান হবে ১।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদী \( x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2 \) এর সঙ্গে এমন একটি সংখ্যা যোগ করব, যাতে এটি একটি পূর্ণবর্গ হয়ে যায়। --- ### ধাপ ১: পূর্ণবর্গের কাঠামো খুঁজে বের করা প্রদত্ত বহুপদীটি আমরা নতুনভাবে সাজাই: \[ x^2 - 8x + y^2 - 8y + 16 \] এটি আমরা \( (x - a)^2 + (y - b)^2 \) আকারে আনতে চাই। --- ### ধাপ ২: পূর্ণবর্গের জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যা খোঁজা আমরা লক্ষ করি, যদি \(2xy\) যোগ করি, তাহলে একে একটি পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা সম্ভব। অর্থাৎ, \[ x^2 - 8x + y^2 - 8y + 16 + 2xy \] এটি \( (x - y)^2 \) বা \( (x - a)^2 + (y - b)^2 \) রূপে রূপান্তরিত হবে। --- ### উত্তর: \( 2xy \) যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ বহুপদীতে পরিণত হবে। ✅

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদীটি \( x^2 - y^2 + 2y - 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব। --- ### ধাপ ১: পরিচিত রূপে সাজানো প্রদত্ত বহুপদীটি লিখতে পারি: \[ x^2 - (y^2 - 2y + 1) \] এখানে, \( y^2 - 2y + 1 \) অংশটিকে পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা যায়: \[ y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2 \] তাহলে, সমীকরণটি হয়: \[ x^2 - (y - 1)^2 \] --- ### ধাপ ২: উৎপাদক রূপে লেখা (\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) সূত্র প্রয়োগ) \[ x^2 - (y - 1)^2 = (x - (y - 1))(x + (y - 1)) \] \[ = (x - y + 1)(x + y - 1) \] --- ### উত্তর: একটি উৎপাদক হলো \( (x + y - 1) \) ✅

ব্যাখ্যাঃ $$\mathrm {x^3+{1\over x^3}}= \mathrm {(\mathrm {x+{1\over x})^3}-3x. {1\over x}(x+ {1\over x}})$$ $$({\sqrt{3}})^3-3\sqrt 3=3\sqrt3-3\sqrt 3=0$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: \[ x + y = 6 \] \[ xy = 8 \] আমরা \((x - y)^2\) এর মান নির্ণয় করতে চাই। ### সমাধান: আমরা জানি, \[ (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy \] প্রদত্ত মানগুলি বসালে: \[ (x - y)^2 = (6)^2 - 4 \times 8 \] \[ (x - y)^2 = 36 - 32 \] \[ (x - y)^2 = 4 \] ### উত্তর: \[ \boxed{4} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা \( (x-y)^2 \) এর মান নির্ণয় করতে পারি। প্রথমে, \( (x-y)^2 \) এর সম্প্রসারণ করি: \[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] এখন, \( x^2 + y^2 \) এর মান নির্ণয় করার জন্য \( (x+y)^2 \) ব্যবহার করি: \[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] আমাদের জানা আছে \( x + y = 7 \) এবং \( xy = 10 \), তাই: \[ (x+y)^2 = 7^2 = 49 \] \[ 49 = x^2 + 2xy + y^2 \] এখন, \( x^2 + y^2 \) নির্ণয় করি: \[ x^2 + y^2 = 49 - 2xy \] যেহেতু \( xy = 10 \): \[ x^2 + y^2 = 49 - 2 \times 10 = 49 - 20 = 29 \] এখন, \( (x-y)^2 \) নির্ণয় করি: \[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] \[ (x-y)^2 = 29 - 20 = 9 \] তাহলে, \( (x-y)^2 \) এর মান হল ৯।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা দুটি সমীকরণ সমাধান করব: \[ x + y = 12 \] \[ x - y = 2 \] এই দুটি সমীকরণকে যোগ করে পাই: \[ (x + y) + (x - y) = 12 + 2 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] এখন \( x \)-এর মান \( x + y = 12 \) সমীকরণে বসাই: \[ 7 + y = 12 \] \[ y = 12 - 7 \] \[ y = 5 \] তাহলে, \( x = 7 \) এবং \( y = 5 \)। এখন \( xy \)-এর মান নির্ণয় করি: \[ xy = 7 \times 5 = 35 \] তাহলে, \( xy \)-এর মান হল ৩৫।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো, \(\frac{x}{y}\) এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল \(\frac{2y}{x}\) হবে?

ধরা যাক, যোগফল হবে \(k\)।

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়াবে: \[ \frac{x}{y} + k = \frac{2y}{x} \] \(k\)-এর মান নির্ণয়ের জন্য: \[ k = \frac{2y}{x} - \frac{x}{y} \] এখন সাধারণ হার নির্ণয় করতে ল.সা.গু (LCM) নেব: \[ k = \frac{2y^2 - x^2}{xy} \] তাহলে, সঠিক উত্তর: \[ k = \frac{2y^2 - x^2}{xy} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, \[ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \] প্রশ্নে প্রদত্ত, \[ x^2 + y^2 = 8 \] \[ xy = 7 \] অতএব, \[ (x + y)^2 = 8 + 2 \times 7 \] \[ (x + y)^2 = 8 + 14 \] \[ (x + y)^2 = 22 \] অতএব, \((x+y)^2\) এর মান হলো ২২।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে প্রদত্ত:

1. \( x + 5y = 16 \)
2. \( x = 3y \)

প্রথম সমীকরণে \( x = 3y \) বসাই: \[ 3y + 5y = 16 \] \[ 8y = 16 \] \[ y = \frac{16}{8} \] \[ y = 2 \] অতএব, \( y \) এর মান হলো ২।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটিকে সরল করি: \[ x - [x - \{ x - (x + 1) \}] \] প্রথমে ভেতরের অংশটি সমাধান করি: \[ x - (x + 1) = -1 \] এখন, \[ x - [x - \{ -1 \}] \] এর পরবর্তী ধাপ: \[ x - [x + 1] = x - x - 1 = -1 \] অতএব, \( x - [x - \{ x - (x + 1) \}] \) এর মান হলো -১।

ব্যাখ্যাঃ \[\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab}{a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ac}\] \[\Rightarrow \frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{(a+c)^{2}-b^{2}}\] \[\Rightarrow \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{(a+c+b)(a+c-b)}\] \[\Rightarrow \frac{a+b-c}{a-b+c}\]

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি ছিলঃ \( a + b + c = 9 \) এবং \( a^2 + b^2 + c^2 = 29 \)। \( ab + bc + ca \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা নিচের পরিচিত পরিচয়ের ব্যবহার করিঃ \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] প্রথমে, আমরা জানি যে: \[ (9)^2 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] এখন, সরল করিঃ \[ 81 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] 29 উভয় দিক থেকে বিয়োগ করুন: \[ 52 = 2(ab + bc + ca) \] 2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন: \[ ab + bc + ca = 26 \] অতএব, \( ab + bc + ca \) এর মান 26।

ব্যাখ্যাঃ \(a=1, b=-1, c=2, d=-2\)

ধরি, \(a - (-b) - (-c) - (-d)\) এর মান নির্ণয় করি।

প্রথমে, নেতিবাচক চিহ্নগুলিকে সরিয়ে ফেলি: \[a - (-b) - (-c) - (-d) = a + b + c + d\] অতএব, \(1 + (-1) + 2 + (-2)\) এর মান বের করি: \[1 - 1 + 2 - 2 = 0\] অতএব, \(a - (-b) - (-c) - (-d)\) এর মান হল ০।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সমীকরণটি ধাপে ধাপে সমাধান করি:

প্রথমে মূল সমীকরণটি লিখি: \[ (2 + x) + 3 = 3(x + 2) \] এখন বন্ধনীগুলি সরিয়ে ফেলি: \[ 2 + x + 3 = 3x + 6 \] এখন উভয় পক্ষে একত্রিত করি: \[ 5 + x = 3x + 6 \] এখন \(x\) এর শর্তগুলো একপক্ষে এবং ধ্রুবকগুলো অন্যপক্ষে নিয়ে যাই: \[ 5 - 6 = 3x - x \] \[ -1 = 2x \] এখন \(x\) নির্ণয় করি: \[ x = \frac{-1}{2} \] অতএব, সমীকরণের জন্য \( x \) এর মান হলো \(-\frac{1}{2}\)।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে \( (a + b)^2 \) এবং \( (a - b)^2 \) বের করি: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] এখন এই দুটি যোগ করি: \[ (a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) \] \[ = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 \] \[ = 2a^2 + 2b^2 \] এখন এই যোগফলটির \( \frac{1}{2} \) অংশ বের করি: \[ \frac{1}{2} (2a^2 + 2b^2) \] \[ = a^2 + b^2 \] অতএব, \[ \frac{1}{2} ((a + b)^2 + (a - b)^2) = a^2 + b^2 \]

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণে \( x = 2 \) বসিয়ে \( h \) এর মান নির্ণয় করা যাবে। সমীকরণটি হলো: \[ x^3 + hx + 10 = 0 \] \[ (2)^3 + h(2) + 10 = 0 \] \[ 8 + 2h + 10 = 0 \] \[ 18 + 2h = 0 \] \[ 2h = -18 \] \[h = \frac{-18}{2} \] \[h = -9 \] অতএব, \( h \) এর মান -9।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, \[ a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b) \] আমাদের দেওয়া আছে \(a - b = 3\), তাই \[ 513 = 27 + 9ab \] \[ 9ab = 486 \] অতএব, \[ ab = \frac{486}{9} = 54 \]

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা \( (x+3)(x-3) \) প্রকাশ করি: \[ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 \] এখন, \( x^2 - 6 \) দিয়ে ভাগ করি: \[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 6} \] এখানে \( x^2 - 9 \) কে \( x^2 - 6 \) দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল \( 1 \) এবং ভাগশেষ \( -3 \) হবে। তাহলে, \[ \boxed{-3} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা দেওয়া সমীকরণগুলোকে ব্যবহার করবো: \[a + b = 5\] \[a - b = 3\] প্রথমে, \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় করি। দুটি সমীকরণ যোগ করি: \[ (a + b) + (a - b) = 5 + 3 \] \[ 2a = 8 \] \[ a = 4 \] এখন, \(a\) এর মান ব্যবহার করে \(b\) এর মান নির্ণয় করি: \[ a + b = 5 \] \[ 4 + b = 5 \] \[ b = 1 \] এখন \(ab\) এর মান নির্ণয় করি: \[ ab = 4 \times 1 = 4 \] অতএব, \(ab\) এর মান 4।

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে: \[ (x-5)(a+x) = x^2 - 25 \] প্রথমে, \( (x-5)(a+x) \) কে সরলীকরণ করি: \[ (x-5)(a+x) = (x-5)a + (x-5)x \] \[ = xa + x^2 - 5a - 5x \] এখন, সমীকরণটি সমান হলে: \[ xa + x^2 - 5a - 5x = x^2 - 25 \] উভয় পক্ষ থেকে \( x^2 \) বাদ দিলে: \[ xa - 5a - 5x = -25 \] \( x \) এর সহগ সমীকরণ: \[ a - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 5 \] ধ্রুবক পদ সমীকরণ: \[ -5a = -25 \quad \Rightarrow \quad a = 5 \] অতএব, \( a \) এর মান \( 5 \)।

ব্যাখ্যাঃ আমরা \(a^2 + \frac{1}{a^2} = 51\) থেকে \(a - \frac{1}{a}\)-এর মান বের করতে পারি। ধাপে ধাপে সমাধান নিচে দেখানো হলো:

১. \(a - \frac{1}{a}\)-এর বর্গের সূত্র ব্যবহার করি: \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \] ২. এখানে \(a^2 + \frac{1}{a^2} = 51\) দেওয়া আছে, তাই: \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 51 - 2 = 49 \] ৩. বর্গমূল নিয়ে পাই: \[ a - \frac{1}{a} = \sqrt{49} \quad \text{বা} \quad a - \frac{1}{a} = -\sqrt{49} \] ৪. তাই: \[ a - \frac{1}{a} = 7 \quad \text{বা} \quad a - \frac{1}{a} = -7 \] উত্তর: \(a - \frac{1}{a}\)-এর মান \(7\) বা \(-7\)।

ব্যাখ্যাঃ \(x^3 + x^2y\) এবং \(x^2y + xy^2\)-এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হলে আমরা তাদের গুণনীয়কগুলো নির্ণয় করে সাধারণ গুণনীয়ক বের করব।

১. প্রথম বহুপদী: \[ x^3 + x^2y = x^2(x + y) \] ২. দ্বিতীয় বহুপদী: \[ x^2y + xy^2 = xy(x + y) \] এখন \(x^3 + x^2y\) এবং \(x^2y + xy^2\)-এর সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজতে হলে \(x^2\), \(xy\), এবং \((x + y)\) মিলিত বহুগুণ বের করতে হবে। তাদের ল.সা.গু হবে: \[ x^2y(x + y) \] ল.সা.গু হলো \(x^2y(x + y)\)।

ব্যাখ্যাঃ
প্রদত্ত রাশিটির মান নির্ণয়ের জন্য আমরা $a^3-b^3$ এর সূত্র ব্যবহার করব, যেখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।

আমরা জানি:
$a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$

এখানে, $x^3- \Big({1\over x}\Big)^3$ = $\Big(x-\frac{1}{x}\Big)^3 + 3(x)\Big(\frac{1}{x}\Big)\Big(x-\frac{1}{x}\Big)$

প্রশ্নমতে, $x-\frac{1}{x}=7$
সুতরাং, মানগুলো বসিয়ে পাই:
$= (7)^3 + 3(1)(7)$
$= 343 + 21$
$= 364$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, \(a\) এবং \(b\) দুটি সংখ্যা। আমাদের দেওয়া আছে:

১. \(a + b = 2\)
২. \(ab = 1\)

এখন আমরা \(a\) এবং \(b\)-এর মান নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গ সমীকরণ গঠন করব। বর্গ সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো: \[ x^2 - (a+b)x + ab = 0 \] এখন \(a+b = 2\) এবং \(ab = 1\) এর মান ব্যবহার করি: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] এটি একটি পূর্ণ বর্গ ধরণের সমীকরণ: \[ (x - 1)^2 = 0 \] তাহলে, \(x = 1\)। অর্থাৎ, \(a = 1\) এবং \(b = 1\)।

উত্তর: \(a = 1\) এবং \(b = 1\)।

ব্যাখ্যাঃ প্রথম সমীকরণটি: \[ x + 5y = 24 \] দ্বিতীয় সমীকরণটি: \[ x = 3y \] প্রথম সমীকরণে \(x = 3y\) বসাই: \[ 3y + 5y = 24 \] সরল করি: \[ 8y = 24 \] এখন \(y\)-এর মান নির্ণয় করি: \[ y = \frac{24}{8} = 3 \] উত্তর: \(y = 3\)।