প্রশ্নঃ কোনো পরীক্ষায় একটি ছাত্র n সংখ্যক প্রশ্নের প্রথম ২০টি প্রশ্ন হতে ১৫টি প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দেয় এবং বাকি প্রশ্নগুলোর এক-তৃতীয়াংশের শুদ্ধ উত্তর দিতে পারে। এভাবে সে যদি ৫০% প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দিয়ে থাকে তবে ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?
[ বিসিএস ১৩তম ]
ক. ২০টি
খ. ৩০টি
গ. ৪০টি
ঘ. ৫০টি
উত্তরঃ ৫০টি
ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরীক্ষায় মোট প্রশ্নের সংখ্যা \( n \)।
প্রথম ২০টি প্রশ্ন থেকে ছাত্রটি শুদ্ধ উত্তর দিয়েছে ১৫টি প্রশ্নে।
বাকি প্রশ্নের সংখ্যা হবে \( n - 20 \)।
এই বাকি প্রশ্নগুলোর এক-তৃতীয়াংশ শুদ্ধ উত্তর দিতে পেরেছে, অর্থাৎ \( \frac{1}{3} (n - 20) \)।
সবমোট শুদ্ধ উত্তরের সংখ্যা: \[ 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] আমরা জানি, ছাত্রটি মোট প্রশ্নের ৫০% শুদ্ধ উত্তর দিয়েছে: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} n - \frac{20}{3} \] সবগুলোকে সাধারণ গুণনীয়কে নিয়ে সমাধান করি: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} n - \frac{20}{3} \] \[ \frac{3}{6} n = 15 + \frac{2}{6} n - \frac{20}{3} \] \[ \frac{3}{6} n - \frac{2}{6} n = 15 - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = 15 - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = \frac{45}{3} - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = \frac{25}{3} \] \[ n = \frac{25}{3} \times 6 \] \[ n = 50 \] অতএব, ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা ছিল \( 50 \)।
প্রথম ২০টি প্রশ্ন থেকে ছাত্রটি শুদ্ধ উত্তর দিয়েছে ১৫টি প্রশ্নে।
বাকি প্রশ্নের সংখ্যা হবে \( n - 20 \)।
এই বাকি প্রশ্নগুলোর এক-তৃতীয়াংশ শুদ্ধ উত্তর দিতে পেরেছে, অর্থাৎ \( \frac{1}{3} (n - 20) \)।
সবমোট শুদ্ধ উত্তরের সংখ্যা: \[ 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] আমরা জানি, ছাত্রটি মোট প্রশ্নের ৫০% শুদ্ধ উত্তর দিয়েছে: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} n - \frac{20}{3} \] সবগুলোকে সাধারণ গুণনীয়কে নিয়ে সমাধান করি: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} n - \frac{20}{3} \] \[ \frac{3}{6} n = 15 + \frac{2}{6} n - \frac{20}{3} \] \[ \frac{3}{6} n - \frac{2}{6} n = 15 - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = 15 - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = \frac{45}{3} - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = \frac{25}{3} \] \[ n = \frac{25}{3} \times 6 \] \[ n = 50 \] অতএব, ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা ছিল \( 50 \)।
Related MCQ
প্রশ্নঃ নিচের কোন ভগ্নাংশটি $$\frac{২}{৩}$$ হতে বড়?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. $$\frac{৩}{৫}$$
খ. $$\frac{৮}{১১}$$
ক. $$\frac{৮}{১১}$$
খ. $$\frac{১৩}{২৭}$$
গ. $$\frac{৩৩}{৫০}$$
ক. $$\frac{৩৩}{৫০}$$
খ. $$\frac{৮}{১১}$$
গ. $$\frac{৩}{৫}$$
ঘ. $$\frac{১৩}{২৭}$$
উত্তরঃ $$\frac{৮}{১১}$$
ব্যাখ্যাঃ কোন ভগ্নাংশটি \(\frac{২}{৩}\)হতে বড় তা নির্ণয় করার জন্য, আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করে \(\frac{২}{৩}\) এর দশমিক মানের সাথে তুলনা করতে পারি। $$\frac{২}{৩} = ০.৬৬৬...$$ এখন প্রতিটি বিকল্পের দশমিক মান বের করা যাক:
Option 1: $$\frac{৩৩}{৫০} = \frac{৬৬}{১০০} = ০.৬৬$$ Option 2: $$৮ \div ১১ = ০.৭২৭২৭২...$$ Option 3: $$\frac{৩}{৫} = ০.৬$$ Option 4: $$১৩ \div ২৭ = ০.৪৮১৪৮১...$$
Option 1: $$\frac{৩৩}{৫০} = \frac{৬৬}{১০০} = ০.৬৬$$ Option 2: $$৮ \div ১১ = ০.৭২৭২৭২...$$ Option 3: $$\frac{৩}{৫} = ০.৬$$ Option 4: $$১৩ \div ২৭ = ০.৪৮১৪৮১...$$
এখন আমরা প্রতিটি দশমিক মানকে \(\frac{২}{৩}\) এর দশমিক মান (০.৬৬৬...) এর সাথে তুলনা করি:
- Option 1: ০.৬৬ < ০.৬৬৬...
- Option 2: ০.৭২৭২৭২... > ০.৬৬৬...
- Option 3: ০.৬ < ০.৬৬৬...
- Option 4: ০.৪৮১৪৮১... < ০.৬৬৬...
ক. $$\frac{১}{৮}$$
খ. $$\frac{১}{৪}$$
ক. $$\frac{১}{৮}$$
খ. $$\frac{১}{৪}$$
গ. $$\frac{১}{৫}$$
ক. $$\frac{১}{৮}$$
খ. $$\frac{১}{৪}$$
গ. $$\frac{১}{৫}$$
ঘ. $$\frac{১}{৬}$$
উত্তরঃ $$\frac{১}{৮}$$
ব্যাখ্যাঃ ধারাটির প্রতিটি সংখ্যা তার আগের সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে ভাগ করে পাওয়া যাচ্ছে:
সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে:
$\frac{১}{৪}$ ÷ ২ = $\frac{১}{৮}$
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো কঃ $\frac{১}{৮}$।
- ৮ ÷ ২ = ৪
- ৪ ÷ ২ = ২
- ২ ÷ ২ = ১
- ১ ÷ ২ = $\frac{১}{২}$
- $\frac{১}{২}$ ÷ ২ = $\frac{১}{৪}$
সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে:
$\frac{১}{৪}$ ÷ ২ = $\frac{১}{৮}$
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো কঃ $\frac{১}{৮}$।
প্রশ্নঃ $$\frac{5}{12},\frac{6}{13},\frac{11}{24}$$ এবং $$\frac{3}{8}$$ এর মধ্যে বড় ভগ্নাংশটি-
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. $$\frac{6}{13}$$
খ. $$\frac{3}{8}$$
ক. $$\frac{11}{24}$$
খ. $$\frac{3}{8}$$
গ. $$\frac{6}{13}$$
ক. $$\frac{5}{12}$$
খ. $$\frac{6}{13}$$
গ. $$\frac{11}{24}$$
ঘ. $$\frac{3}{8}$$
উত্তরঃ $$\frac{6}{13}$$
ব্যাখ্যাঃ সকল ভগ্নাংশের ল.সা.গু (LCM) অনুযায়ী লব ও হরকে সামঞ্জস্য করলে তুলনা সহজ হয়। তবে সরাসরি দশমিক রূপ ব্যবহার করেও তুলনা করা যায়।
দশমিক রূপে প্রকাশ:
\[
\frac{5}{12} = 0.4167
\]
\[
\frac{6}{13} \approx 0.4615
\]
\[
\frac{11}{24} \approx 0.4583
\]
\[
\frac{3}{8} = 0.375
\]
তুলনা:
বৃহত্তম মান \( 0.4615 \), অর্থাৎ \( \frac{6}{13} \)।
চূড়ান্ত উত্তর:
খঃ \( \frac{6}{13} \)
দশমিক রূপে প্রকাশ:
\[
\frac{5}{12} = 0.4167
\]
\[
\frac{6}{13} \approx 0.4615
\]
\[
\frac{11}{24} \approx 0.4583
\]
\[
\frac{3}{8} = 0.375
\]
তুলনা:
বৃহত্তম মান \( 0.4615 \), অর্থাৎ \( \frac{6}{13} \)।
চূড়ান্ত উত্তর:
খঃ \( \frac{6}{13} \)
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি সবচেয়ে ছোট সংখ্যা?
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. $$\frac{১৮}{১৬}$$
খ. $$\frac{৪}{১২}$$
ক. $$\frac{৪}{১২}$$
খ. $$\frac{১৬}{৩১}$$
গ. $$\frac{১৮}{১৬}$$
ক. $$\frac{১৮}{১৬}$$
খ. $$\frac{৫}{৩}$$
গ. $$\frac{১৬}{৩১}$$
ঘ. $$\frac{৪}{১২}$$
উত্তরঃ $$\frac{৪}{১২}$$
ব্যাখ্যাঃ নিচে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর তুলনা:
\[
\frac{18}{16} = 1.125
\]
\[
\frac{5}{3} = 1.6667
\]
\[
\frac{16}{31} = 0.5161
\]
\[
\frac{4}{12} = 0.3333
\]
সবচেয়ে ছোট সংখ্যা:
\[
\frac{4}{12}
\]
\[
\frac{18}{16} = 1.125
\]
\[
\frac{5}{3} = 1.6667
\]
\[
\frac{16}{31} = 0.5161
\]
\[
\frac{4}{12} = 0.3333
\]
সবচেয়ে ছোট সংখ্যা:
\[
\frac{4}{12}
\]
প্রশ্নঃ $$\frac{(0.9)^3+(0.4)^3}{0.9+0.4}$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. 0.81
খ. 0.61
ক. 0.61
খ. 0.81
গ. 0.51
ক. 0.36
খ. 0.51
গ. 0.81
ঘ. 0.61
উত্তরঃ 0.61
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$
এখানে, $a = 0.9$এবং$b = 0.4$
সুতরাং, $$(0.9)^3+(0.4)^3 = (0.9+0.4)((0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2)$$
এখন, প্রদত্ত রাশিমালাটিকে আমরা লিখতে পারি:
$$\frac{(0.9+0.4)((0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2)}{0.9+0.4}$$
$$(0.9+0.4)$$
$$(0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2$$
$$(0.81) - (0.36) + (0.16)$$
$$= 0.81 - 0.36 + 0.16$$
$$= 0.45 + 0.16$$
$$= 0.61$$
সুতরাং, $\frac{(0.9)^3+(0.4)^3}{0.9+0.4}$ এর মান 0.61।
এখানে, $a = 0.9$এবং$b = 0.4$
সুতরাং, $$(0.9)^3+(0.4)^3 = (0.9+0.4)((0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2)$$
এখন, প্রদত্ত রাশিমালাটিকে আমরা লিখতে পারি:
$$\frac{(0.9+0.4)((0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2)}{0.9+0.4}$$
$$(0.9+0.4)$$
$$(0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2$$
$$(0.81) - (0.36) + (0.16)$$
$$= 0.81 - 0.36 + 0.16$$
$$= 0.45 + 0.16$$
$$= 0.61$$
সুতরাং, $\frac{(0.9)^3+(0.4)^3}{0.9+0.4}$ এর মান 0.61।
প্রশ্নঃ নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক. $$\frac{৮}{১৪}$$
খ. $$\frac{৫}{৮}$$
ক. $$\frac{৫}{৮}$$
খ. $$\frac{৬}{১১}$$
গ. $$\frac{৮}{১৪}$$
ক. $$\frac{৩}{৫}$$
খ. $$\frac{৫}{৮}$$
গ. $$\frac{৬}{১১}$$
ঘ. $$\frac{৮}{১৪}$$
উত্তরঃ $$\frac{৫}{৮}$$
ব্যাখ্যাঃ কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম তা নির্ণয় করার জন্য, আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করব অথবা তাদের সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করব। দশমিকে রূপান্তর করা তুলনামূলকভাবে সহজ।
কঃ $\frac{৩}{৫} = 0.6$
খঃ $\frac{৫}{৮} = 0.625$
গঃ $\frac{৬}{১১} \approx 0.5454...$
ঘঃ $\frac{৮}{১৪} = \frac{৪}{৭} \approx 0.5714...$
এখন দশমিক মানগুলো তুলনা করি:
$0.6$
$0.625$
$0.5454...$
$0.5714...$
এই মানগুলোর মধ্যে $0.625$ সবচেয়ে বড়।
সুতরাং, খঃ $\frac{৫}{৮}$ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।
কঃ $\frac{৩}{৫} = 0.6$
খঃ $\frac{৫}{৮} = 0.625$
গঃ $\frac{৬}{১১} \approx 0.5454...$
ঘঃ $\frac{৮}{১৪} = \frac{৪}{৭} \approx 0.5714...$
এখন দশমিক মানগুলো তুলনা করি:
$0.6$
$0.625$
$0.5454...$
$0.5714...$
এই মানগুলোর মধ্যে $0.625$ সবচেয়ে বড়।
সুতরাং, খঃ $\frac{৫}{৮}$ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।
ক. ৯০
খ. ১০০
ক. ৯০
খ. ১০০
গ. ৯
ক. ১০
খ. ৯
গ. ৯০
ঘ. ১০০
উত্তরঃ ৯০
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যাটি x. এখানে, ০.১ পৌনোপৌনিক = ১/৯ এবং ০.১ = ১/১০ প্রশ্নমতে, x/৯ - x/১০ = ১ বা, (১০x - ৯x)/৯০ =১ বা, x = ৯০ সুতরাং, সংখ্যাটি ৯০
প্রশ্নঃ $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}$$ কত?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. $$\sqrt{3}+\sqrt{2}$$
খ. $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$
ক. $$\sqrt{3}+\sqrt{2}$$
খ. $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$
গ. $$3+\sqrt{2}$$
ক. $$\sqrt{3}+\sqrt{2}$$
খ. $$3+\sqrt{2}$$
গ. $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$
ঘ. $$\sqrt{3}+2$$
উত্তরঃ $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$
ব্যাখ্যাঃ
ভগ্নাংশের হর (denominator) থেকে বর্গমূল চিহ্নটি সরানোর জন্য আমরা হর-এর অনুবন্ধী রাশি (conjugate) $\sqrt{6}-2$ দিয়ে লব (numerator) ও হর উভয়কেই গুণ করব।
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+2)} \times \frac{(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}-2)}$
লব = $\sqrt{2}(\sqrt{6}-2) = \sqrt{12} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
হর = $(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$
এখন, লব ও হর-এর মান বসিয়ে পাই:
$\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
ভগ্নাংশের হর (denominator) থেকে বর্গমূল চিহ্নটি সরানোর জন্য আমরা হর-এর অনুবন্ধী রাশি (conjugate) $\sqrt{6}-2$ দিয়ে লব (numerator) ও হর উভয়কেই গুণ করব।
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+2)} \times \frac{(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}-2)}$
লব = $\sqrt{2}(\sqrt{6}-2) = \sqrt{12} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
হর = $(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$
এখন, লব ও হর-এর মান বসিয়ে পাই:
$\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
প্রশ্নঃ কোনটি সবচেয়ে ছোট?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. $$\frac{3}{11}$$
খ. $$\frac{2}{13}$$
ক. $$\frac{2}{13}$$
খ. $$\frac{4}{15}$$
গ. $$\frac{3}{11}$$
ক. $$\frac{2}{11}$$
খ. $$\frac{3}{11}$$
গ. $$\frac{2}{13}$$
ঘ. $$\frac{4}{15}$$
উত্তরঃ $$\frac{2}{13}$$
ব্যাখ্যাঃ যেহেতু সব ভগ্নাংশের লব বা হর এক নয়, তাই আমরা তাদের দশমিক মানে রূপান্তর করে সহজেই ছোট সংখ্যাটি বের করতে পারি।
এই দশমিক মানগুলো তুলনা করলে দেখা যায়, 0.1538... সবচেয়ে ছোট। সুতরাং, $\frac{2}{13}$ হলো সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ।
সঠিক উত্তর: গ।
- ক: $\frac{2}{11}$ = 0.1818...
- খ: $\frac{3}{11}$ = 0.2727...
- গ: $\frac{2}{13}$ = 0.1538...
- ঘ: $\frac{4}{15}$ = 0.2666...
এই দশমিক মানগুলো তুলনা করলে দেখা যায়, 0.1538... সবচেয়ে ছোট। সুতরাং, $\frac{2}{13}$ হলো সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ।
সঠিক উত্তর: গ।
প্রশ্নঃ $$১.১৬$$ এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?
[ বিসিএস ২৯তম ]
ক. $$১\frac{৪}{২৫}$$
খ. $$১\frac{৮}{৪৫}$$
ক. $$১\frac{৮}{৪৫}$$
খ. $$১\frac{৪}{২৫}$$
গ. $$১\frac{১৬}{১৯}$$
ক. $$১\frac{১}{৬}$$
খ. $$১\frac{৮}{৪৫}$$
গ. $$১\frac{১৬}{১৯}$$
ঘ. $$১\frac{৪}{২৫}$$
উত্তরঃ $$১\frac{৪}{২৫}$$
ব্যাখ্যাঃ \( 1.16 \) সংখ্যাটিকে মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে হবে: প্রথমে, একে পূর্ণসংখ্যা + ভগ্নাংশ আকারে লিখি: \[ 1.16 = 1 + 0.16 \] এখন, \( 0.16 \) কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি: \[ 0.16 = \frac{16}{100} \] এখন, সরলীকরণ করি: \[ \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \] অতএব, \( 1.16 \) এর মিশ্র ভগ্নাংশ হলো \[ 1\frac{4}{25} \] ✅ উত্তর: \( 1\frac{4}{25} \)
প্রশ্নঃ Divide 30 by half and add 10. What do you get?
[ বিসিএস ২৮তম ]
ক. 45
খ. 70
ক. 25
খ. 70
গ. 45
ক. 25
খ. 45
গ. 55
ঘ. 70
উত্তরঃ 70
ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে সমস্যাটির সমাধান করবো। ### ধাপ ১: "৩০ কে অর্ধেক দিয়ে ভাগ করা" এখানে "অর্ধেক দিয়ে ভাগ করা" মানে \( \frac{1}{2} \) দ্বারা ভাগ করা, যা গুণনের বিপরীত। অতএব, \[ 30 \div \frac{1}{2} = 30 \times 2 = 60 \] ### ধাপ ২: ১০ যোগ করা \[ 60 + 10 = 70 \] ### উত্তর: সঠিক উত্তর ৭০। ✅
প্রশ্নঃ কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত?
[ বিসিএস ২৪তম ]
ক. \(\mathrm{১১৩\over ৩৫৫}\)
খ. \(\mathrm{৭৭ \over ১৪৩}\)
ক. \(\mathrm{৭৭ \over ১৪৩}\)
খ. \(\mathrm{৩৪৩\over ১০০১}\)
গ. \(\mathrm{১১৩\over ৩৫৫}\)
ক. \(\mathrm{৭৭ \over ১৪৩}\)
খ. \(\mathrm{১০২ \over ২৮৯}\)
গ. \(\mathrm{১১৩\over ৩৫৫}\)
ঘ. \(\mathrm{৩৪৩\over ১০০১}\)
উত্তরঃ \(\mathrm{১১৩\over ৩৫৫}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ভগ্নাংশটি হলো: \[ \frac{113}{355} \] এই ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত কিনা তা নির্ণয় করতে হলে, আমাদের লব (113) এবং হর (355) এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) নির্ণয় করতে হবে। ### ধাপ ১: গ.সা.গু. নির্ণয় 113 একটি মৌলিক সংখ্যা (Prime Number), কারণ এটি শুধুমাত্র 1 এবং 113 দ্বারা বিভাজ্য। 355 কে 113 দ্বারা ভাগ করলে: \[ 355 \div 113 = 3 \text{ এবং অবশিষ্ট } 16 \] যেহেতু অবশিষ্ট 0 নয়, তাই 113 এবং 355 পরস্পর সহমৌলিক (Co-prime)। অর্থাৎ, তাদের গ.সা.গু. 1। ### ধাপ ২: ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে যেহেতু লব এবং হরের গ.সা.গু. 1, তাই ভগ্নাংশটি ইতিমধ্যেই লঘিষ্ঠ আকারে রয়েছে। ### উত্তর: \[ \boxed{\frac{113}{355}} \]
ক. $$\frac{১১}{১৩}$$
খ. $$\frac{৯}{১১}$$
ক. $$\frac{৯}{১১}$$
খ. $$\frac{১১}{১৩}$$
গ. $$\frac{১৩}{১৫}$$
ক. $$\frac{৭}{৯}$$
খ. $$\frac{৯}{১১}$$
গ. $$\frac{১১}{১৩}$$
ঘ. $$\frac{১৩}{১৫}$$
উত্তরঃ $$\frac{৯}{১১}$$
ব্যাখ্যাঃ ধরি, ভগ্নাংশের লব \( x \) এবং হর \( y \)। আমাদের বলা হয়েছে যে \( y - x = 2 \)। এখন, ধরি উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে নতুন ভগ্নাংশ হবে \(\frac{x - 3}{y - 3}\) এবং এই ভগ্নাংশের সঙ্গে \(\frac{1}{4}\) যোগ করলে যোগফল হবে ১: \[ \frac{x - 3}{y - 3} + \frac{1}{4} = 1 \] প্রথমে \( y \)-এর মান \( x \)-এর সমীকরণে বসাই: \[ y = x + 2 \] এখন মূল সমীকরণে \( y \)-এর মান বসাই: \[ \frac{x - 3}{(x + 2) - 3} + \frac{1}{4} = 1 \] \[ \frac{x - 3}{x - 1} + \frac{1}{4} = 1 \] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{x - 3}{x - 1} = 1 - \frac{1}{4} \] \[ \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{4 - 1}{4} \] \[ \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{3}{4} \] এখন, ক্রস গুণিতক করে সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 4(x - 3) = 3(x - 1) \] \[ 4x - 12 = 3x - 3 \] \[ 4x - 3x = -3 + 12 \] \[ x = 9 \] তাহলে, \( y \) হবে: \[ y = x + 2 = 9 + 2 = 11 \] সুতরাং, ভগ্নাংশটি হল \(\frac{9}{11}\)।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
[ বিসিএস ২২তম ]
ক. $$\frac{১}{৩}$$
খ. $$\sqrt{০.৩}$$
ক. $$\frac{১}{৩}$$
খ. $$১\frac{২}{৫}$$
গ. $$\sqrt{০.৩}$$
ক. $$০.৩$$
খ. $$\frac{১}{৩}$$
গ. $$\sqrt{০.৩}$$
ঘ. $$১\frac{২}{৫}$$
উত্তরঃ $$\sqrt{০.৩}$$
ব্যাখ্যাঃ আপনার চিত্রের ভিত্তিতে প্রদত্ত সংখ্যাগুলি হল:
1. \( 0.3 \)
2. \( \frac{3}{9} = 0.3333 \)
3. \( \sqrt{0.3} = 0.5477 \)
4. \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে \( \sqrt{0.3} \) সংখ্যাটি বৃহত্তম।
1. \( 0.3 \)
2. \( \frac{3}{9} = 0.3333 \)
3. \( \sqrt{0.3} = 0.5477 \)
4. \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে \( \sqrt{0.3} \) সংখ্যাটি বৃহত্তম।
প্রশ্নঃ কোন ভগ্নাংশটি \(\frac{২}{৩}\) থেকে বড়?
[ বিসিএস ১৮তম ]
ক. $$\frac{৮}{১১}$$
খ. $$\frac{৩ }{৫}$$
ক. $$\frac{৮}{১১}$$
খ. $$\frac{১৩}{২৭}$$
গ. $$\frac{৩ }{৫}$$
ক. $$\frac{৩৩}{৫০}$$
খ. $$\frac{৮}{১১}$$
গ. $$\frac{৩ }{৫}$$
ঘ. $$\frac{১৩}{২৭}$$
উত্তরঃ $$\frac{৮}{১১}$$
ব্যাখ্যাঃ ধরুন আমাদের একটি ভগ্নাংশ দেওয়া হয়েছে, \(\frac{২}{৩}\)।
এখন দেখি, কোন ভগ্নাংশটি \(\frac{২}{৩}\) থেকে বড়: \[ \frac{2}{3} = 0.6666 \] চলুন কিছু ভগ্নাংশ দেখি এবং তাদের দশমিক মান বের করি:
ক. \(\frac{৩০}{৫০} = 0.6000\)
খ. \(\frac{৮}{১১} = 0.7272\)
গ. \(\frac{২}{৫} = 0.4000\)
ঘ. \(\frac{১৩}{২৭} = 0.4814\)
∴ \(\frac{৮}{১১}\) ভগ্নাংশটি \(\frac{২}{৩}\) থেকে বড়।
এখন দেখি, কোন ভগ্নাংশটি \(\frac{২}{৩}\) থেকে বড়: \[ \frac{2}{3} = 0.6666 \] চলুন কিছু ভগ্নাংশ দেখি এবং তাদের দশমিক মান বের করি:
ক. \(\frac{৩০}{৫০} = 0.6000\)
খ. \(\frac{৮}{১১} = 0.7272\)
গ. \(\frac{২}{৫} = 0.4000\)
ঘ. \(\frac{১৩}{২৭} = 0.4814\)
∴ \(\frac{৮}{১১}\) ভগ্নাংশটি \(\frac{২}{৩}\) থেকে বড়।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
[ বিসিএস ১৫তম ]
ক. \(০.৩\)
খ. \(\sqrt{০.৩}\)
ক. \(\sqrt{০.৩}\)
খ. \(\frac{২}{৫}\)
গ. \(০.৩\)
ক. \(০.৩\)
খ. \(\sqrt{০.৩}\)
গ. \(\frac{২}{৫}\)
ঘ. \(\frac{১}{৩}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{০.৩}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে প্রতিটি সংখ্যা দশমিক আকারে রূপান্তর করি:
কঃ \( 0.3 \)
খঃ \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)
গঃ \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
ঘঃ \( \frac{1}{3} \approx 0.3333 \)
তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)।
কঃ \( 0.3 \)
খঃ \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)
গঃ \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
ঘঃ \( \frac{1}{3} \approx 0.3333 \)
তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)।
প্রশ্নঃ একটি ক্রিকেট দলে যতজন স্ট্যাম্প আউট হলো তার দেড়গুণ কট আউট হলো এবং মোট উইকেটের অর্ধেক বোল্ড আউট হলো। এই দলের কতজন কট আউট হলো?
[ বিসিএস ১১তম ]
ক. ৩ জন
খ. ৫ জন
ক. ৪ জন
খ. ৩ জন
গ. ২ জন
ক. ৪ জন
খ. ৩ জন
গ. ২ জন
ঘ. ৫ জন
উত্তরঃ ৩ জন
ব্যাখ্যাঃ ধরি, স্ট্যাম্প আউট হলো 'ক' জন
∴ কট আউট হলো \(\frac{৩ক}{২}\) জন
∴ প্রশ্নানুসারে, ক + \(\frac{৩ক}{২}\) + ৫ = ১০
বা, \(\frac{৫ক}{২}\) = ৫
∴ ক = ২
∴ কট আউট হলো = \(\frac{৩ × ২}{২}\) জন = ৩ জন
∴ কট আউট হলো \(\frac{৩ক}{২}\) জন
∴ প্রশ্নানুসারে, ক + \(\frac{৩ক}{২}\) + ৫ = ১০
বা, \(\frac{৫ক}{২}\) = ৫
∴ ক = ২
∴ কট আউট হলো = \(\frac{৩ × ২}{২}\) জন = ৩ জন
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. \(\frac{১}{৩}\)
খ. ০.৩
ক. \(\sqrt{০.৩}\)
খ. \(\frac{১}{৩}\)
গ. ০.৩
ক. ০.৩
খ. \(\sqrt{০.৩}\)
গ. \(\frac{১}{৩}\)
ঘ. \(\frac{২}{৫}\)
উত্তরঃ ০.৩
ব্যাখ্যাঃ এই সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয় করে তুলনা করব।
ধাপ 1: সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয়
- ক: \(0.3\)
- খ: \(\sqrt{0.3} \approx 0.5477\)
- গ: \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\)
- ঘ: \(\frac{2}{5} = 0.4\)
ধাপ 2: সংখ্যাগুলো তুলনা
সংখ্যাগুলোকে মানের ভিত্তিতে সাজালে: \[ 0.3 < 0.3333 < 0.4 < 0.5477 \] অর্থাৎ: \[ 0.3 < \frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \sqrt{0.3} \] ধাপ 3: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয়
উপরের তুলনা থেকে দেখা যাচ্ছে যে \(0.3\) হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো: \[ \boxed{\text{কঃ } 0.3} \]
ধাপ 1: সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয়
- ক: \(0.3\)
- খ: \(\sqrt{0.3} \approx 0.5477\)
- গ: \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\)
- ঘ: \(\frac{2}{5} = 0.4\)
ধাপ 2: সংখ্যাগুলো তুলনা
সংখ্যাগুলোকে মানের ভিত্তিতে সাজালে: \[ 0.3 < 0.3333 < 0.4 < 0.5477 \] অর্থাৎ: \[ 0.3 < \frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \sqrt{0.3} \] ধাপ 3: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয়
উপরের তুলনা থেকে দেখা যাচ্ছে যে \(0.3\) হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো: \[ \boxed{\text{কঃ } 0.3} \]
প্রশ্নঃ কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. \(\frac{১১}{১৪}\)
খ. \(\frac{১৭}{২১}\)
ক. \(\frac{১১}{১৪}\)
খ. \(\frac{১৭}{২১}\)
গ. \(\frac{৫}{৬}\)
ক. \(\frac{৫}{৬}\)
খ. \(\frac{১২}{১৫}\)
গ. \(\frac{১১}{১৪}\)
ঘ. \(\frac{১৭}{২১}\)
উত্তরঃ \(\frac{১১}{১৪}\)
ব্যাখ্যাঃ ক. \( \frac{৫}{৬} = ০.৮৩\)
খ. \( \frac{১২}{১৫} = ০.৮\)
গ. \( \frac{১১}{১৪} \approx ০.৭৯\) (ক্ষুদ্রতম)
ঘ. \( \frac{১৭}{২১} \approx ০.৮১\)
খ. \( \frac{১২}{১৫} = ০.৮\)
গ. \( \frac{১১}{১৪} \approx ০.৭৯\) (ক্ষুদ্রতম)
ঘ. \( \frac{১৭}{২১} \approx ০.৮১\)
প্রশ্নঃ ০.৪৭ ̇ কে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করলে কত হবে?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. \(\frac{৪৩}{৯০}\)
খ. \(\frac{৪৭}{৯০}\)
ক. \(\frac{৪৩}{৯০}\)
খ. \(\frac{৪৩}{৯৯}\)
গ. \(\frac{৪৭}{৯০}\)
ক. \(\frac{৪৭}{৯০}\)
খ. \(\frac{৪৩}{৯০}\)
গ. \(\frac{৪৩}{৯৯}\)
ঘ. \(\frac{৪৭}{৯০}\)
উত্তরঃ \(\frac{৪৩}{৯০}\)
ব্যাখ্যাঃ \(০.৪৭ \dot{৭}\) নির্দেশ করে যে, এটি একটি পুনরাবর্তিত দশমিক সংখ্যা যেখানে \(৭\) পুনরাবৃত্তি হচ্ছে। একে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করার ধাপগুলো নিম্নরূপ:
১. ধরি, \(x = ০.৪৭৭৭...\) (পুনরাবৃত্তি আছে)।
২. \(x\)-এর পুনরাবৃত্তি দূর করতে \(১০\) দিয়ে গুণ করি: \(10x = 4.7777...\)
৩. পুনরায় \(১০\) দিয়ে গুণ করি: \(100x = 47.7777...\)
৪. দুইটি সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি: \[ 100x - 10x = 47.7777... - 4.7777... \] \[ 90x = 43 \] ৫. \(x\)-এর মান নির্ণয়: \[ x = \frac{43}{90} \] চূড়ান্ত উত্তর: \(০.৪৭ \dot{৭} = \frac{43}{90}\)।
১. ধরি, \(x = ০.৪৭৭৭...\) (পুনরাবৃত্তি আছে)।
২. \(x\)-এর পুনরাবৃত্তি দূর করতে \(১০\) দিয়ে গুণ করি: \(10x = 4.7777...\)
৩. পুনরায় \(১০\) দিয়ে গুণ করি: \(100x = 47.7777...\)
৪. দুইটি সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি: \[ 100x - 10x = 47.7777... - 4.7777... \] \[ 90x = 43 \] ৫. \(x\)-এর মান নির্ণয়: \[ x = \frac{43}{90} \] চূড়ান্ত উত্তর: \(০.৪৭ \dot{৭} = \frac{43}{90}\)।
প্রশ্নঃ \(০~÷~০\) কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. অনির্ণেয়
খ. ০
ক. ০.০
খ. ০
গ. অনির্ণেয়
ক. ১
খ. অনির্ণেয়
গ. ০.০
ঘ. ০
উত্তরঃ অনির্ণেয়
ব্যাখ্যাঃ \(0 \div 0\) নির্ণয় করা সম্ভব নয়, কারণ গণিতের নিয়ম অনুযায়ী, এটি একটি অসংজ্ঞায়িত (undefined) রাশি।
এর কারণ হলো:
- ভাগফল \(x\)-কে নির্ণয় করতে হলে \(0 \div 0 = x\), যা থেকে পাই \(x \times 0 = 0\)।
- যেকোনো সংখ্যা \(x\) এর জন্য \(x \times 0 = 0\) হয়, তাই এখানে \(x\)-এর একক মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
অতএব, \(0 \div 0\) অসংজ্ঞায়িত।
এর কারণ হলো:
- ভাগফল \(x\)-কে নির্ণয় করতে হলে \(0 \div 0 = x\), যা থেকে পাই \(x \times 0 = 0\)।
- যেকোনো সংখ্যা \(x\) এর জন্য \(x \times 0 = 0\) হয়, তাই এখানে \(x\)-এর একক মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
অতএব, \(0 \div 0\) অসংজ্ঞায়িত।
প্রশ্নঃ \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}=\) কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
খ. \(\sqrt{3}+2\)
ক. \(\sqrt{3}+2\)
খ. \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
গ. \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
ক. \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
খ. \(\sqrt{3}+2\)
গ. \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
ঘ. \(3-\sqrt{2}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ভগ্নাংশ: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \] এখন আমরা লঘিষ্ঠ করার জন্য লব্ধি ও হরকে \(\sqrt{6} - 2\) দিয়ে গুণ করি, যাকে লঘিষ্ঠকরণ পদ্ধতি বলা হয়। \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \cdot \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} - 2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)} \] এখন হরের গুণফল বের করি। এটি \((a + b)(a - b)\)-এর সূত্র অনুযায়ী হয়: \[ (\sqrt{6})^2 - (2)^2 = 6 - 4 = 2 \] তাহলে ভগ্নাংশটি হয়: \[ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2)}{2} \] এখন সরল করি: \[ \frac{\sqrt{2}\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{12}}{2} - \sqrt{2} \] \(\sqrt{12}\) কে সরল করলে পাই \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)। তাহলে চূড়ান্ত রূপটি হবে: \[ \frac{2\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \] উত্তর: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \]
প্রশ্নঃ ১ কে দুই ভাগ করলে কত হয়?
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. ০.৫০
খ. সবগুলোই
ক. ০.৫০
খ. \(\frac{১ }{২}\)
গ. সবগুলোই
ক. ০.৫০
খ. ০.৫০০
গ. সবগুলোই
ঘ. \(\frac{১ }{২}\)
উত্তরঃ সবগুলোই
ব্যাখ্যাঃ ১ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে ফলাফল হয় \( \frac{১}{২} \), যা দশমিক আকারে \( ০.৫ \)।
বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করলে:
ক) \( ০.৫০ \) → সঠিক (শূন্য যোগ করলে মান একই থাকে)।
খ) \( ০.৫০০ \) → সঠিক (অতিরিক্ত শূন্য যোগ করলেও মান অপরিবর্তিত থাকে)।
গ) সবগুলোই → সঠিক, কারণ পূর্বের দুটি উত্তরই একই মান প্রকাশ করে।
ঘ) \( \frac{১}{২} \) → সঠিক, এটি ভগ্নাংশে সঠিক মান।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো গঃ সবগুলোই।
বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করলে:
ক) \( ০.৫০ \) → সঠিক (শূন্য যোগ করলে মান একই থাকে)।
খ) \( ০.৫০০ \) → সঠিক (অতিরিক্ত শূন্য যোগ করলেও মান অপরিবর্তিত থাকে)।
গ) সবগুলোই → সঠিক, কারণ পূর্বের দুটি উত্তরই একই মান প্রকাশ করে।
ঘ) \( \frac{১}{২} \) → সঠিক, এটি ভগ্নাংশে সঠিক মান।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো গঃ সবগুলোই।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার $$\frac{১}{২}$$ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির $$\frac{২}{৩}$$ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
ক. ৬৩
খ. ৫৩
ক. ৬৩
খ. ৫৩
গ. ৩৬
ক. ৩৫
খ. ৫৩
গ. ৬৩
ঘ. ৩৬
উত্তরঃ ৬৩
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি \( x \)। প্রশ্ন অনুসারে: $$\frac{১}{২}x + ৬ = \frac{২}{৩}x$$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে: প্রথমে উভয় পাশে ৬ বাদ দিন: $$\frac{১}{২}x = \frac{২}{৩}x - ৬$$ এরপর \( x \)-এর একই গুণফলটি পাওয়ার জন্য উভয় পাশে ৬ গুণ করুন: $$৬(\frac{১}{২}x) = ৬(\frac{২}{৩}x - ৬)$$ সরলীকরণ করে: $$৩x = ৪x - ৩৬$$ পরবর্তীতে, উভয় দিকে \( ৪x \)-এর গুণফল বাদ দিন: $$৩৬ = ৪x - ৩x$$ অতঃপর: $$৩৬ = x$$ সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৬।