ব্যাখ্যাঃ কোন ভগ্নাংশটি \(\frac{২}{৩}\)হতে বড় তা নির্ণয় করার জন্য, আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করে \(\frac{২}{৩}\) এর দশমিক মানের সাথে তুলনা করতে পারি। $$\frac{২}{৩} = ০.৬৬৬...$$ এখন প্রতিটি বিকল্পের দশমিক মান বের করা যাক:
Option 1: $$\frac{৩৩}{৫০} = \frac{৬৬}{১০০} = ০.৬৬$$ Option 2: $$৮ \div ১১ = ০.৭২৭২৭২...$$ Option 3: $$\frac{৩}{৫} = ০.৬$$ Option 4: $$১৩ \div ২৭ = ০.৪৮১৪৮১...$$

এখন আমরা প্রতিটি দশমিক মানকে \(\frac{২}{৩}\) এর দশমিক মান (০.৬৬৬...) এর সাথে তুলনা করি:

• Option 1: ০.৬৬ < ০.৬৬৬...
• Option 2: ০.৭২৭২৭২... > ০.৬৬৬...
• Option 3: ০.৬ < ০.৬৬৬...
• Option 4: ০.৪৮১৪৮১... < ০.৬৬৬...

সুতরাং, \(\frac{৮}{১১}\)ভগ্নাংশটি\(\frac{২}{৩}\) হতে বড়।

ব্যাখ্যাঃ নিচে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর তুলনা:
\[
\frac{18}{16} = 1.125
\]
\[
\frac{5}{3} = 1.6667
\]
\[
\frac{16}{31} = 0.5161
\]
\[
\frac{4}{12} = 0.3333
\]

সবচেয়ে ছোট সংখ্যা:

\[
\frac{4}{12}
\]

ব্যাখ্যাঃ কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম তা নির্ণয় করার জন্য, আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করব অথবা তাদের সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করব। দশমিকে রূপান্তর করা তুলনামূলকভাবে সহজ।

কঃ $\frac{৩}{৫} = 0.6$

খঃ $\frac{৫}{৮} = 0.625$

গঃ $\frac{৬}{১১} \approx 0.5454...$

ঘঃ $\frac{৮}{১৪} = \frac{৪}{৭} \approx 0.5714...$

এখন দশমিক মানগুলো তুলনা করি:
$0.6$
$0.625$
$0.5454...$
$0.5714...$

এই মানগুলোর মধ্যে $0.625$ সবচেয়ে বড়।

সুতরাং, খঃ $\frac{৫}{৮}$ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু সব ভগ্নাংশের লব বা হর এক নয়, তাই আমরা তাদের দশমিক মানে রূপান্তর করে সহজেই ছোট সংখ্যাটি বের করতে পারি।

• ক: $\frac{2}{11}$ = 0.1818...
  
• খ: $\frac{3}{11}$ = 0.2727...
  
• গ: $\frac{2}{13}$ = 0.1538...
  
• ঘ: $\frac{4}{15}$ = 0.2666...
  

এই দশমিক মানগুলো তুলনা করলে দেখা যায়, 0.1538... সবচেয়ে ছোট। সুতরাং, $\frac{2}{13}$ হলো সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ।

সঠিক উত্তর: গ।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী: - ৪টি ১ টাকার নোটের মোট মূল্য = \( 4 \times 1 = 4 \) টাকা - ৮টি ২ টাকার নোটের মোট মূল্য = \( 8 \times 2 = 16 \) টাকা - ৮টি ৫ টাকার নোটের মোট মূল্য = \( 8 \times 5 = 40 \) টাকা এখন, প্রথম দুটি মান যোগ করি: \[ 4 + 16 = 20 \text{ টাকা} \] এটি ৮টি ৫ টাকার নোটের মোট টাকার কত অংশ তা নির্ণয় করতে, \[ \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \] ✅ উত্তর: \( \frac{1}{2} \)

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ভগ্নাংশটি হলো: \[ \frac{113}{355} \] এই ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত কিনা তা নির্ণয় করতে হলে, আমাদের লব (113) এবং হর (355) এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) নির্ণয় করতে হবে। ### ধাপ ১: গ.সা.গু. নির্ণয় 113 একটি মৌলিক সংখ্যা (Prime Number), কারণ এটি শুধুমাত্র 1 এবং 113 দ্বারা বিভাজ্য। 355 কে 113 দ্বারা ভাগ করলে: \[ 355 \div 113 = 3 \text{ এবং অবশিষ্ট } 16 \] যেহেতু অবশিষ্ট 0 নয়, তাই 113 এবং 355 পরস্পর সহমৌলিক (Co-prime)। অর্থাৎ, তাদের গ.সা.গু. 1। ### ধাপ ২: ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে যেহেতু লব এবং হরের গ.সা.গু. 1, তাই ভগ্নাংশটি ইতিমধ্যেই লঘিষ্ঠ আকারে রয়েছে। ### উত্তর: \[ \boxed{\frac{113}{355}} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ব্যক্তির মোট সম্পত্তির মূল্য \(x\) টাকা। ১. প্রথম ব্যয়: \[ \text{ব্যয়} = \frac{3}{7}x \] \[ \text{অবশিষ্ট} = x - \frac{3}{7}x = \frac{4}{7}x \] ২. দ্বিতীয় ব্যয়: \[ \text{ব্যয়} = \frac{5}{12} \times \frac{4}{7}x = \frac{5}{21}x \] \[ \text{অবশিষ্ট} = \frac{4}{7}x - \frac{5}{21}x = \frac{12}{21}x - \frac{5}{21}x = \frac{7}{21}x = \frac{1}{3}x \] ৩. অবশিষ্ট টাকা: \[ \frac{1}{3}x = 1000 \] \[ x = 1000 \times 3 = 3000 \] উত্তর: \[ \boxed{3000 \text{ টাকা}} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ভগ্নাংশের লব \( x \) এবং হর \( y \)। আমাদের বলা হয়েছে যে \( y - x = 2 \)। এখন, ধরি উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে নতুন ভগ্নাংশ হবে \(\frac{x - 3}{y - 3}\) এবং এই ভগ্নাংশের সঙ্গে \(\frac{1}{4}\) যোগ করলে যোগফল হবে ১: \[ \frac{x - 3}{y - 3} + \frac{1}{4} = 1 \] প্রথমে \( y \)-এর মান \( x \)-এর সমীকরণে বসাই: \[ y = x + 2 \] এখন মূল সমীকরণে \( y \)-এর মান বসাই: \[ \frac{x - 3}{(x + 2) - 3} + \frac{1}{4} = 1 \] \[ \frac{x - 3}{x - 1} + \frac{1}{4} = 1 \] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{x - 3}{x - 1} = 1 - \frac{1}{4} \] \[ \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{4 - 1}{4} \] \[ \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{3}{4} \] এখন, ক্রস গুণিতক করে সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 4(x - 3) = 3(x - 1) \] \[ 4x - 12 = 3x - 3 \] \[ 4x - 3x = -3 + 12 \] \[ x = 9 \] তাহলে, \( y \) হবে: \[ y = x + 2 = 9 + 2 = 11 \] সুতরাং, ভগ্নাংশটি হল \(\frac{9}{11}\)।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, একজন চাকুরিজীবীর মোট বেতন \( ১০০ \) টাকা।

তাহলে, কাপড় ক্রয়ে বেতনের খরচ: \[ \frac{১}{১০} \times ১০০ = ১০ \text{ টাকা} \]
খাদ্য ক্রয়ে বেতনের খরচ: \[ \frac{১}{৩} \times ১০০ = ৩৩.৩৩ \text{ টাকা} \]
বাসা ভাড়ায় বেতনের খরচ: \[ \frac{১}{৫} \times ১০০ = ২০ \text{ টাকা} \]
মোট খরচ হবে: \[ ১০ + ৩৩.৩৩ + ২০ = ৬৩.৩৩ \text{ টাকা} \]
তাহলে, অবশিষ্ট বেতন: \[ ১০০ - ৬৩.৩৩ = ৩৬.৬৭ \text{ টাকা} \]
অবশিষ্ট বেতনের শতকরা হার হবে: \[ \frac{৩৬.৬৭}{১০০} \times ১০০ = ৩৬.৬৭\% \]
তাহলে, তার আয়ের শতকরা ৩৬.৬৭ ভাগ বা \(৩৬\frac{ ২}{৩}\%\) অবশিষ্ট রইল।

ব্যাখ্যাঃ $$\mathrm{১৩\frac৩৪\%=\frac{৫৫}৪\%=\frac{\frac{৫৫}৪}{১০০}=\frac{৫৫}৪×\frac{১}{১০০}=\frac{১১}{৮০}}$$

ব্যাখ্যাঃ ক. \( \frac{৫}{৬} = ০.৮৩\)
খ. \( \frac{১২}{১৫} = ০.৮\)
গ. \( \frac{১১}{১৪} \approx ০.৭৯\) (ক্ষুদ্রতম)
ঘ. \( \frac{১৭}{২১} \approx ০.৮১\)

ব্যাখ্যাঃ \(০.৪৭ \dot{৭}\) নির্দেশ করে যে, এটি একটি পুনরাবর্তিত দশমিক সংখ্যা যেখানে \(৭\) পুনরাবৃত্তি হচ্ছে। একে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করার ধাপগুলো নিম্নরূপ:

১. ধরি, \(x = ০.৪৭৭৭...\) (পুনরাবৃত্তি আছে)।
২. \(x\)-এর পুনরাবৃত্তি দূর করতে \(১০\) দিয়ে গুণ করি: \(10x = 4.7777...\)
৩. পুনরায় \(১০\) দিয়ে গুণ করি: \(100x = 47.7777...\)
৪. দুইটি সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি: \[ 100x - 10x = 47.7777... - 4.7777... \] \[ 90x = 43 \] ৫. \(x\)-এর মান নির্ণয়: \[ x = \frac{43}{90} \] চূড়ান্ত উত্তর: \(০.৪৭ \dot{৭} = \frac{43}{90}\)।

ব্যাখ্যাঃ ১ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে ফলাফল হয় \( \frac{১}{২} \), যা দশমিক আকারে \( ০.৫ \)।

বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করলে:
ক) \( ০.৫০ \) → সঠিক (শূন্য যোগ করলে মান একই থাকে)।
খ) \( ০.৫০০ \) → সঠিক (অতিরিক্ত শূন্য যোগ করলেও মান অপরিবর্তিত থাকে)।
গ) সবগুলোই → সঠিক, কারণ পূর্বের দুটি উত্তরই একই মান প্রকাশ করে।
ঘ) \( \frac{১}{২} \) → সঠিক, এটি ভগ্নাংশে সঠিক মান।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো গঃ সবগুলোই।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক সংখ্যায় রূপান্তর করি:
- ক: \(\frac{২}{৫} = ০.৪\)
- খ: \(\frac{৪}{৯} ≈ ০.৪৪৪\)
- গ: \(\frac{১}{৩} ≈ ০.৩৩৩\)
- ঘ: \(\frac{৩}{৭} ≈ ০.৪২৮\)

এখন এই মানগুলোর তুলনা করলে দেখা যায়, \(\frac{১}{৩}\) (গ) সবচেয়ে ছোট।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো গ: \(\frac{১}{৩}\)।