ব্যাখ্যাঃ ১. মোট সংখ্যা যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য
১ হতে বড় এবং ১০০০ এর মধ্যে ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: $$\frac{990}{30}=33$$ (৩০, ৬০, ৯০, ..., ৯৯০)

২. সংখ্যা যা ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
কোন সংখ্যা যদি ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি LCM(30, 16) = 240 দ্বারা বিভাজ্য হবে। $$\frac{960}{240}=4$$ (২৪০, ৪৮০, ৭২০, ৯৬০)

৩. চূড়ান্ত সংখ্যা
৩৩টি সংখ্যা আছে যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য, এর মধ্যে ৪টি ১৬ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, চূড়ান্ত সংখ্যা: $$33-4=29$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 29}}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পাঁচটি ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যা হলো $x-2,x-1,x,x+1,x+2$।
এদের গড় দেওয়া আছে $15$, অর্থাৎ $$\frac{(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)}{5}=15$$ $$\frac{5x}{5}=15$$ $$x=15$$ এখন, সবচেয়ে বড় পূর্ণ সংখ্যা হবে $x+2$, অর্থাৎ $$15+2=17$$ তাই, সবচেয়ে বড় পূর্ণ সংখ্যা $17$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $i=\sqrt{-1}$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, এবং $i^4=1$.

এখন, $-49$ কে $4$ দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই:
$$-49=4\times (-13)+3$$

সুতরাং,
$$i^{-49}=i^{4\times (-13)+3}=(i^4{)}^{-13}\times i^3$$

যেহেতু $i^4=1$, তাই
$$i^{-49}=(1{)}^{-13}\times i^3=1\times i^3=i^3$$

আমরা জানি $i^3=-i$.

অতএব,
$$i^{-49}=-i$$

সুতরাং, $$i^{-49}$$ এর মান $-i$.
$$
উত্তর: $-i$

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত অসমতা $\frac{1}{(3x-5)}<\frac{1}{3}$ ধাপে ধাপে সমাধান করবো।

ধাপ ১: পদের পারস্পরিক পরিবর্তন

আমরা উভয় পক্ষে প্রতিপাদক রাশির (Reciprocal) ব্যবহার করতে পারি, তবে চিহ্ন পরিবর্তনের কথা মনে রাখতে হবে।

যেহেতু $3x-5$ কোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, তাই আমাদের প্রকৃত ক্ষেত্রে $3x-5$ এর চিহ্ন বুঝতে হবে।

(ক) যখন $3x-5>0$, অর্থাৎ $x>\frac{5}{3}$

$$(3x-5)>3$$

$$3x>8$$

$$x>\frac{8}{3}$$

(খ) যখন $3x-5<0$, অর্থাৎ $x<\frac{5}{3}$

এক্ষেত্রে অসমতার দিক বদলে যাবে, তাই
$$(3x-5)<3$$

$$3x<8$$

$$x<\frac{8}{3}$$

ধাপ ২: সংযুক্ত সমাধান সেট

আমরা দেখতে পাচ্ছি, যখন $x>\frac{5}{3}$, তখন $x>\frac{8}{3}$ শর্ত প্রযোজ্য।
আর যখন $x<\frac{5}{3}$, তখন $x<\frac{8}{3}$ শর্ত প্রযোজ্য।

অতএব, চূড়ান্ত সমাধান সেট:
$$x<\frac{5}{3}\text{or}x>\frac{8}{3}$$

চূড়ান্ত উত্তর:

$$(-\mathrm{\infty },\frac{5}{3})\cup (\frac{8}{3},\mathrm{\infty })$$

ব্যাখ্যাঃ

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে ১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে এবং তারপর যেসব সংখ্যার একই স্থানীয় অংক (একক স্থান) ৯, সেগুলোর যোগফল বের করতে হবে।
১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা: $$11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59$$ এখন, যেসব সংখ্যার একক স্থান ৯:
19
29
59
এদের যোগফল:
$$19+29+59=107$$
সুতরাং, উত্তর: ১০৭ ✅

ব্যাখ্যাঃ

• পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো 10000 - চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হলো 9999 এদের অন্তর: $$10000-9999=1$$ সুতরাং, উত্তর: 1 ✅

ব্যাখ্যাঃ ৬০ ও ৮০ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে যথাক্রমে ৬১ ও ৭৯। ∴ এ দুটি সংখ্যার অন্তর হবে (৭৯ - ৬১) = ১৮।

ব্যাখ্যাঃ ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা (প্রাইম নম্বর) হল:
৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯
এই সংখ্যা গুলির মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো মোট ৪টি।

ব্যাখ্যাঃ $$p$$ একটি মৌলিক সংখ্যা। সুতরাং $$p$$ সংখ্যাটি স্বাভাবিক, পূর্ণ ও মূলদ সংখ্যা। পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল করলে সেটি অমূলদ। সুতরাং $$\sqrt{p}$$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা $n$ এবং $n+1$ তাহলে তাদের বর্গের অন্তর হবে: $(n+1{)}^2-n^2=47$ এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করতে পারি: $$(n^2+2n+1)-n^2=47$$ $$2n+1=47$$ $$2n=46$$ $$n=23$$ সুতরাং, দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হল ২৩ এবং ২৪।

ব্যাখ্যাঃ $\sqrt{2}$ একটি অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)। এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা একটি সহজ প্রমাণ দেখব। ### প্রমাণ: $\sqrt{2}$ অমূলদ সংখ্যা ধরি, $\sqrt{2}$ একটি মূলদ সংখ্যা (Rational Number)। তাহলে একে $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যাবে, যেখানে $p$ এবং $q$ পরস্পর সহমৌলিক (অর্থাৎ তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক 1) এবং $q\ne 0$। $$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$$ উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই: $$2=\frac{p^2}{q^2}$$ অর্থাৎ, $$p^2=2q^2$$ এখানে $p^2$ একটি জোড় সংখ্যা, কারণ এটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং $p$ অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে (যেহেতু বিজোড় সংখ্যার বর্গ কখনো জোড় হয় না)। ধরি, $p=2k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে: $$(2k{)}^2=2q^2$$ $$4k^2=2q^2$$ $$q^2=2k^2$$ এখানে $q^2$ একটি জোড় সংখ্যা, কারণ এটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং $q$ অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। কিন্তু এখানে $p$ এবং $q$ উভয়ই জোড় সংখ্যা, যা আমাদের প্রাথমিক শর্ত $p$ এবং $q$ পরস্পর সহমৌলিকের বিরোধী। অর্থাৎ, আমাদের ধারণা ভুল। সুতরাং, $\sqrt{2}$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়, অর্থাৎ $\sqrt{2}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle \sqrt{2}\text{ একটি অমূলদ সংখ্যা।}}}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যা $n$, যাতে ৩৪৬ কে $n$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে। আমরা বলতে পারি: $$৩৪৬=kn+৩১$$ এখানে, $k$ একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে: $$৩৪৬-৩১=kn$$ $$৩১৫=kn$$ তাহলে, $n$ হতে হবে ৩১৫ এর একটি গুণিতক। ৩১৫ এর সকল গুণিতক হল: $$১,৩,৫,৭,৯,১৫,২১,৩৫,৪৫,৬৩,১০৫,৩১৫$$ এখন $৩৪৬$ কে $n$ দ্বারা ভাগ করলে ৩১ অবশিষ্ট থাকবে। তাই, আমরা $n$ এর মান নিতে পারি $৩১৫$ এর সকল গুণিতক থেকে (১ বাদ দিয়ে, কারণ তা সম্ভব নয়)। $$৩,৫,৭,৯,১৫,২১,৩৫,৪৫,৬৩,১০৫,৩১৫$$ তাহলে, স্বাভাবিক সংখ্যা যেগুলি দ্বারা ৩৪৬ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে সেগুলি হল: $$৩,৫,৭,৯,১৫,২১,৩৫,৪৫,৬৩,১০৫,৩১৫$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুটি ক্রমিক সংখ্যা $x$ এবং $x+1$। তাহলে, তাদের বর্গের অন্তর হবে: $$(x+1{)}^2-x^2=199$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করি: $$(x+1{)}^2-x^2=199$$ $$x^2+2x+1-x^2=199$$ $$2x+1=199$$ $$2x=198$$ $$x=99$$ তাহলে, দুটি ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে বড় সংখ্যাটি হল: $$x+1=99+1=100$$ সুতরাং, বড় সংখ্যাটি হল ১০০।

ব্যাখ্যাঃ আমরা ৯৯৯৯৯৯-এর সঙ্গে একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $x$ যোগ করতে চাই, যাতে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

### ধাপ ১: ল.সা.গু নির্ণয় প্রথমে ২, ৩, ৪, ৫, ৬ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু (LCM) বের করি— $$\text{LCM}(2,3,4,5,6)=60$$ অর্থাৎ, $৯৯৯৯৯৯+x$ সংখ্যাটি ৬০ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। ### ধাপ ২: ৯৯৯৯৯৯ সংখ্যাটিকে ৬০ দ্বারা ভাগ করে অবশিষ্ট নির্ণয় $$999999÷60=16666\text{ (ভাগফল), অবশিষ্ট }39$$ অতএব, $৯৯৯৯৯৯$ সংখ্যাটিকে ৬০ দ্বারা বিভাজ্য করতে অবশিষ্ট ৩৯ বাদ দিতে হবে।

অর্থাৎ, $x=60-39=21$ ### উত্তর:

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ২১।
অর্থাৎ, $৯৯৯৯৯৯+২১=১০০০০২০$ হবে, যা ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। ????

ব্যাখ্যাঃ যদি $x^2+px+6=0$ এর মূল দুটি সমান হয়, তবে সমীকরণের বিয়োজনকে $\mathrm{\Delta }=0$ হতে হবে।

বিয়োজনের সূত্র অনুযায়ী: $$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$ এখানে, $a=1$, $b=p$, এবং $c=6$।

তাহলে, $$\mathrm{\Delta }=p^2-4\times 1\times 6$$ $$0=p^2-24$$ $$p^2=24$$ $$p=\sqrt{24}$$ পরে, $p>0$ হওয়ার কারণে, $p=\sqrt{24}$ হবে।

অতএব, $p$ এর মান হলো $\sqrt{24}$।

ব্যাখ্যাঃ যদি সংখ্যা পূর্ণ বর্গসংখ্যা হয় তবে সেটির ভাজক সংখ্যা বিজোড় হবে।
তাহলে আসুন আবার দেখি কোন সংখ্যার ভাজক সংখ্যা আসলেই বিজোড়।

আসুন বিশ্লেষণ করি:
- ক: ২০৪৮: ২০৪৮ = 2^11, 2 এর যেকোন গুণনীয়ক পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
- খ: ৫১২: ৫১২ = 2^9, এটি ও পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
- গ: ১০২৪: ১০২৪ = 2^10, এটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
- ঘ: ৪৮: ৪৮ এর কোনও গুণনীয়ক পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।

তাহলে: গ: ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় কারণ এটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক $x$ এবং এককের অঙ্ক $y$।

প্রশ্ন অনুযায়ী:
1. এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি: $$y=x+3$$ 2. সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি: $$10x+y=3(x+y)+4$$ এখন আমরা এই দুটি সমীকরণ সমাধান করি।

প্রথম সমীকরণ থেকে: $$y=x+3$$ এটি দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: $$10x+(x+3)=3(x+(x+3))+4$$ $$10x+x+3=3(2x+3)+4$$ $$11x+3=6x+9+4$$ $$11x+3=6x+13$$ এখন $x$ নির্ণয় করি: $$11x-6x=13-3$$ $$5x=10$$ $$x=2$$ এখন $y$ নির্ণয় করি: $$y=x+3$$ $$y=2+3$$ $$y=5$$ অতএব, সংখ্যাটি হলো $10x+y=10\times 2+5=25$।

অতএব, সংখ্যাটি হলো ২৫।

ব্যাখ্যাঃ $\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{3}$ এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে আমরা নিম্নলিখিত পদ্ধতি ব্যবহার করব।

ধাপ ১: $\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{3}$ এর মান নির্ণয় $$\begin{gathered} \sqrt{2}\approx 1.4142 \\ \sqrt{3}\approx 1.7321 \end{gathered}$$ ধাপ ২: মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা নির্ণয়
$\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{3}$ এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো তাদের গড়: $$\text{গড়}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\approx \frac{1.4142+1.7321}{2}=\frac{3.1463}{2}\approx 1.5731$$ ধাপ ৩: মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ
এই মানটি একটি মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, $1.5$ বা $\frac{3}{2}$ একটি মূলদ সংখ্যা যা $\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{3}$ এর মধ্যবর্তী।

ফলাফল
$\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{3}$ এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো $1.5$ বা $\frac{3}{2}$।

ব্যাখ্যাঃ যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না সেই সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। উপরিউক্ত ৪টি সংখ্যার মধ্যে ৪৭ সংখ্যাটিরই কেবলমাত্র ২টি উৎপাদক আছে বলে এটি মৌলিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মোট ১০টি মৌলিক সংখ্যা আছে। এগুলো হল: $$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$$ মৌলিক সংখ্যা হল যেসব সংখ্যা কেবল ১ এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য হয়।

ব্যাখ্যাঃ একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে, সংখ্যাটির গুণনীয়কগুলোর ঘাত সমান হতে হবে। আমরা $125$-এর মৌলিক গুণনীয়ক বের করি: $$125=5\times 5\times 5=5^3$$ এখন, $5^3$-কে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা বানাতে হলে $5$-এর ঘাতকে জোড় সংখ্যা করতে হবে। সুতরাং, আরও $5$ দিয়ে গুণ করতে হবে যাতে এটি $5^4=(5^2{)}^2$ হয়ে যায়, যা একটি পূর্ণ বর্গ।

তাহলে, $125$-কে $5$ দ্বারা গুণ করতে হবে।

উত্তর: $125$-কে $5$ দ্বারা গুণ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

ব্যাখ্যাঃ মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) হলো এমন একটি সংখ্যা যা শুধুমাত্র ১ এবং নিজেই দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, এই ধরনের সংখ্যার একমাত্র গুণনীয়ক হল ১ এবং নিজেই।

২: এটি শুধুমাত্র ১ এবং নিজেই দ্বারা বিভাজ্য, তাই ২ মৌলিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা হলো ৯৯৯৯ এবং তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ১০০। এখন এগুলো বিয়োগ করলে:

৯৯৯৯ - ১০০ = ৯৮৯৯

অতএব, বিয়োগফল হলো ৯৮৯৯।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি,
ক সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ক²
সুতরাং ১০টি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ১০² = ১০০
উত্তরঃ ১০০

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, ০৪ থেকে ৮৪ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো বের করি: $$৪,৮,১২,১৬,২০,২৪,২৮,৩২,৩৬,৪০,৪৪,৪৮,৫২,৫৬,৬০,৬৪,৬৮,৭২,৭৬,৮০,৮৪$$ এগুলোকে বড় থেকে ছোট করে সাজালে: $$৮৪,৮০,৭৬,৭২,৬৮,৬৪,৬০,৫৬,...$$ এখানে ৮ম সংখ্যাটি হলো ৫৬।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, তিনটি পরপর মৌলিক সংখ্যা হলো $p,q,r$।

প্রশ্ন অনুযায়ী,
প্রথম দুটি সংখ্যা $p$ এবং $q$, যাদের গুণফল: $$p\times q=91$$ শেষ দুটি সংখ্যা $q$ এবং $r$, যাদের গুণফল: $$q\times r=143$$ এখন, আমরা মৌলিক সংখ্যাগুলো পরীক্ষা করি—
$91=7\times 13$,
$143=11\times 13$।

এখানে $q=13$ হলে, প্রথম সংখ্যা $p=7$ এবং শেষ সংখ্যা $r=11$।

সুতরাং, তিনটি পরপর মৌলিক সংখ্যা ৭, ১৩, ১১।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, যদি কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $n$ দ্বারা ৩৬৬ ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে ৩১, তাহলে সেই সংখ্যা অবশ্যই ৩৬৬ - ৩১ = ৩৩৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

এখন, দেওয়া অপশনগুলোর সংখ্যা বিশ্লেষণ করি এবং ৩৩৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো চিহ্নিত করি।

৩৩৫-এর গুণনীয়ক: $$335=5\times 67$$ অর্থাৎ, $335$ শুধুমাত্র ৫ এবং ৬৭ দ্বারা বিভাজ্য।