প্রশ্নঃ $$x^2+y^2=185,$$ $$x-y=3$$ এর একটি সমাধান হল:
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. (7, 4)
খ. (9, 6)
গ. (10, 7)
ঘ. (11, 8)
উত্তরঃ (11, 8)
ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:
দেওয়া আছে দুটি সমীকরণ:
১) $x^2+y^2=185$
২) $x-y=3$
২নং সমীকরণ থেকে আমরা $x$-কে $y$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = y+3$
এখন, $x$-এর এই মানটি ১নং সমীকরণে বসাই:
$(y+3)^2 + y^2 = 185$
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ সূত্র ব্যবহার করে $(y+3)^2$-কে বিস্তৃত করি:
$y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 + y^2 = 185$
$y^2 + 6y + 9 + y^2 = 185$
একই পদগুলো যোগ করি:
$2y^2 + 6y + 9 = 185$
$185$-কে বাম পাশে নিয়ে আসি:
$2y^2 + 6y + 9 - 185 = 0$
$2y^2 + 6y - 176 = 0$
সমীকরণটিকে সহজ করার জন্য উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করি:
$y^2 + 3y - 88 = 0$
এখন, $y$-এর মান নির্ণয় করার জন্য এই দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করব। আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল $-88$ এবং যোগফল $+3$ হয়। সংখ্যা দুটি হলো $+11$ এবং $-8$।
$(y+11)(y-8) = 0$
এখান থেকে $y$-এর দুটি সম্ভাব্য মান পাওয়া যায়:
$y+11 = 0 \implies y = -11$
অথবা, $y-8 = 0 \implies y = 8$
এখন $y$-এর প্রতিটি মানের জন্য $x$-এর মান বের করি ($x = y+3$ ব্যবহার করে):
ক্ষেত্র ১: যদি $y = -11$ হয়
$x = -11 + 3$
$x = -8$
একটি সমাধান হলো $(x, y) = (-8, -11)$।
ক্ষেত্র ২: যদি $y = 8$ হয়
$x = 8 + 3$
$x = 11$
অন্য একটি সমাধান হলো $(x, y) = (11, 8)$।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের একটি সমাধান হলো $(11, 8)$।
(অন্য সমাধানটি হলো $(-8, -11)$।)
দেওয়া আছে দুটি সমীকরণ:
১) $x^2+y^2=185$
২) $x-y=3$
২নং সমীকরণ থেকে আমরা $x$-কে $y$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = y+3$
এখন, $x$-এর এই মানটি ১নং সমীকরণে বসাই:
$(y+3)^2 + y^2 = 185$
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ সূত্র ব্যবহার করে $(y+3)^2$-কে বিস্তৃত করি:
$y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 + y^2 = 185$
$y^2 + 6y + 9 + y^2 = 185$
একই পদগুলো যোগ করি:
$2y^2 + 6y + 9 = 185$
$185$-কে বাম পাশে নিয়ে আসি:
$2y^2 + 6y + 9 - 185 = 0$
$2y^2 + 6y - 176 = 0$
সমীকরণটিকে সহজ করার জন্য উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করি:
$y^2 + 3y - 88 = 0$
এখন, $y$-এর মান নির্ণয় করার জন্য এই দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করব। আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল $-88$ এবং যোগফল $+3$ হয়। সংখ্যা দুটি হলো $+11$ এবং $-8$।
$(y+11)(y-8) = 0$
এখান থেকে $y$-এর দুটি সম্ভাব্য মান পাওয়া যায়:
$y+11 = 0 \implies y = -11$
অথবা, $y-8 = 0 \implies y = 8$
এখন $y$-এর প্রতিটি মানের জন্য $x$-এর মান বের করি ($x = y+3$ ব্যবহার করে):
ক্ষেত্র ১: যদি $y = -11$ হয়
$x = -11 + 3$
$x = -8$
একটি সমাধান হলো $(x, y) = (-8, -11)$।
ক্ষেত্র ২: যদি $y = 8$ হয়
$x = 8 + 3$
$x = 11$
অন্য একটি সমাধান হলো $(x, y) = (11, 8)$।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের একটি সমাধান হলো $(11, 8)$।
(অন্য সমাধানটি হলো $(-8, -11)$।)
Related MCQ
প্রশ্নঃ 3x – y = 3, 5x + y = 21 হলে (x, y) এর মান-
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. (3, 6)
খ. (3, 5)
ক. (2, 5)
খ. (3, 5)
গ. (3, 6)
ক. (2, 5)
খ. (2, 6)
গ. (3, 5)
ঘ. (3, 6)
উত্তরঃ (3, 6)
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: \[ 3x - y = 3 \] \[ 5x + y = 21 \] দুইটি সমীকরণ যোগ করি: \[ (3x - y) + (5x + y) = 3 + 21 \] \[ 8x = 24 \] \[ x = \frac{24}{8} = 3 \] x = 3 মান প্রথম সমীকরণে বসাই: \[ 3(3) - y = 3 \] \[ 9 - y = 3 \] \[ y = 9 - 3 = 6 \] উত্তর: \[ (x, y) = (3, 6) \]
ক. 10, 25
খ. 3, 10
ক. 10, 25
খ. 15, 25
গ. 3, 10
ক. 3, 10
খ. 10, 15
গ. 15, 25
ঘ. 10, 25
উত্তরঃ 10, 25
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে (x + 5)² প্রসারিত করি:
\[
(x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5)
\]
এখন গুণ করি:
\[
x^2 + 5x + 5x + 25
\]
\[
x^2 + 10x + 25
\]
এখন এই সমীকরণকে \( x^2 + bx + c \) এর সঙ্গে তুলনা করলে পাই:
b = 10
c = 25
তাহলে, b = 10 এবং c = 25 হলে সমীকরণটি অভেদ হবে।
\[
(x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5)
\]
এখন গুণ করি:
\[
x^2 + 5x + 5x + 25
\]
\[
x^2 + 10x + 25
\]
এখন এই সমীকরণকে \( x^2 + bx + c \) এর সঙ্গে তুলনা করলে পাই:
b = 10
c = 25
তাহলে, b = 10 এবং c = 25 হলে সমীকরণটি অভেদ হবে।
প্রশ্নঃ $$6x^2 – 7x – 4 = 0$$ সমীকরণে মূলদ্বয়ে প্রকৃতি কোনটি?
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. বাস্তব ও অসমান
খ. বাস্তব ও সমান
ক. অবাস্তব
খ. বাস্তব ও অসমান
গ. পূর্ণ বর্গ সংখ্যা
ক. বাস্তব ও সমান
খ. বাস্তব ও অসমান
গ. অবাস্তব
ঘ. পূর্ণ বর্গ সংখ্যা
উত্তরঃ বাস্তব ও অসমান
ব্যাখ্যাঃ $6x^2 – 7x – 4 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি জানার জন্য, আমাদের প্রথমে এই দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক (discriminant) নির্ণয় করতে হবে। একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ এর নিরূপক হলো $\Delta = b^2 – 4ac$.
প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে আমরা পাই:
$a = 6$
$b = -7$
$c = -4$
এখন, নিরূপক $\Delta$ এর মান নির্ণয় করি:
$\Delta = (-7)^2 – 4(6)(-4)$
$\Delta = 49 – (-96)$
$\Delta = 49 + 96$
$\Delta = 145$
যেহেতু নিরূপক $\Delta > 0$ এবং $\Delta$ একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা নয় ($12^2 = 144$ এবং $13^2 = 169$), তাই সমীকরণের মূলদ্বয় হবে:
সুতরাং, $6x^2 – 7x – 4 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব, অসমান এবং অমূলদ।
প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে আমরা পাই:
$a = 6$
$b = -7$
$c = -4$
এখন, নিরূপক $\Delta$ এর মান নির্ণয় করি:
$\Delta = (-7)^2 – 4(6)(-4)$
$\Delta = 49 – (-96)$
$\Delta = 49 + 96$
$\Delta = 145$
যেহেতু নিরূপক $\Delta > 0$ এবং $\Delta$ একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা নয় ($12^2 = 144$ এবং $13^2 = 169$), তাই সমীকরণের মূলদ্বয় হবে:
- বাস্তব (real)
- অসমান (unequal)
- অমূলদ (irrational)
সুতরাং, $6x^2 – 7x – 4 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব, অসমান এবং অমূলদ।
প্রশ্নঃ দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 54 বৃদ্ধি পায়। অংক দুটির যোগফল 12 হলে সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ৩৭তম ]
ক. 57
খ. 75
ক. 57
খ. 75
গ. 93
ক. 57
খ. 75
গ. 57
ঘ. 93
উত্তরঃ 57
ব্যাখ্যাঃ ধরি
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অংক x
" দশক " " y
$\therefore$ সংখ্যাটি $= x + 10y$
প্রশ্নমতে
$10x + y = x + 10y + 54$
$\Rightarrow 10x - x + y - 10y = 54$
$9x - 9y = 54$
$\therefore x - y = 6$ ...................... (i)
আবার, $x + y = 12$ .........(ii)
(i) + (ii) হতে পাই
$2x = 18$
$\therefore x = 9$
(i) এ x এর মান বসাই
$9 - y = 6$ $\therefore y = 3$
$\therefore$ সংখ্যাটি $= x + 10y = 9 + 10 \times 3 = 39$
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অংক x
" দশক " " y
$\therefore$ সংখ্যাটি $= x + 10y$
প্রশ্নমতে
$10x + y = x + 10y + 54$
$\Rightarrow 10x - x + y - 10y = 54$
$9x - 9y = 54$
$\therefore x - y = 6$ ...................... (i)
আবার, $x + y = 12$ .........(ii)
(i) + (ii) হতে পাই
$2x = 18$
$\therefore x = 9$
(i) এ x এর মান বসাই
$9 - y = 6$ $\therefore y = 3$
$\therefore$ সংখ্যাটি $= x + 10y = 9 + 10 \times 3 = 39$
প্রশ্নঃ x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x এর ধনাত্মক মানটি-
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 6
খ. 3
ক. 3
খ. 6
গ. 4
ক. 3
খ. 4
গ. 5
ঘ. 6
উত্তরঃ 6
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$x - y = ২$ ------ (১)
$xy = ২৪$ ------ (২)
আমরা জানি, $(x - y)^২ = x^২ - ২xy + y^২$
বা, $(x - y)^২ = x^২ + y^২ - ২xy$
আবার, $x^২ + y^২ = (x + y)^২ - ২xy$
সুতরাং, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ২xy - ২xy$
বা, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ৪xy$
দেওয়া আছে $x - y = ২$ এবং $xy = ২৪$।
মান বসিয়ে পাই:
$(২)^২ = (x + y)^২ - ৪ \times ২৪$
$৪ = (x + y)^২ - ৯৬$
$(x + y)^২ = ৪ + ৯৬$
$(x + y)^২ = ১০০$
$x + y = \pm \sqrt{১০০}$
$x + y = \pm ১০$ ------ (৩)
এখন আমাদের কাছে দুটি সমীকরণ আছে:
১) $x - y = ২$
২) $x + y = ১০$ (ধনাত্মক মান নিয়ে)
অথবা,
২) $x + y = -১০$ (ঋণাত্মক মান নিয়ে)
কেস ১: যখন $x + y = ১০$
$x - y = ২$
$x + y = ১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + ১০$
$২x = ১২$
$x = \frac{১২}{২}$
$x = ৬$
$x = ৬$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$৬ - y = ২$
$y = ৬ - ২$
$y = ৪$
এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $৬ \times ৪ = ২৪$, যা সঠিক।
কেস ২: যখন $x + y = -১০$
$x - y = ২$
$x + y = -১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + (-১০)$
$২x = -৮$
$x = \frac{-৮}{২}$
$x = -৪$
$x = -৪$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$-৪ - y = ২$
$-y = ২ + ৪$
$-y = ৬$
$y = -৬$
এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $(-৪) \times (-৬) = ২৪$, যা সঠিক।
প্রশ্নানুসারে $x$ এর ধনাত্মক মানটি চাওয়া হয়েছে।
ধনাত্মক মানটি হলো $x = ৬$।
সুতরাং, $x$ এর ধনাত্মক মানটি হলো ৬।
$x - y = ২$ ------ (১)
$xy = ২৪$ ------ (২)
আমরা জানি, $(x - y)^২ = x^২ - ২xy + y^২$
বা, $(x - y)^২ = x^২ + y^২ - ২xy$
আবার, $x^২ + y^২ = (x + y)^২ - ২xy$
সুতরাং, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ২xy - ২xy$
বা, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ৪xy$
দেওয়া আছে $x - y = ২$ এবং $xy = ২৪$।
মান বসিয়ে পাই:
$(২)^২ = (x + y)^২ - ৪ \times ২৪$
$৪ = (x + y)^২ - ৯৬$
$(x + y)^২ = ৪ + ৯৬$
$(x + y)^২ = ১০০$
$x + y = \pm \sqrt{১০০}$
$x + y = \pm ১০$ ------ (৩)
এখন আমাদের কাছে দুটি সমীকরণ আছে:
১) $x - y = ২$
২) $x + y = ১০$ (ধনাত্মক মান নিয়ে)
অথবা,
২) $x + y = -১০$ (ঋণাত্মক মান নিয়ে)
কেস ১: যখন $x + y = ১০$
$x - y = ২$
$x + y = ১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + ১০$
$২x = ১২$
$x = \frac{১২}{২}$
$x = ৬$
$x = ৬$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$৬ - y = ২$
$y = ৬ - ২$
$y = ৪$
এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $৬ \times ৪ = ২৪$, যা সঠিক।
কেস ২: যখন $x + y = -১০$
$x - y = ২$
$x + y = -১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + (-১০)$
$২x = -৮$
$x = \frac{-৮}{২}$
$x = -৪$
$x = -৪$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$-৪ - y = ২$
$-y = ২ + ৪$
$-y = ৬$
$y = -৬$
এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $(-৪) \times (-৬) = ২৪$, যা সঠিক।
প্রশ্নানুসারে $x$ এর ধনাত্মক মানটি চাওয়া হয়েছে।
ধনাত্মক মানটি হলো $x = ৬$।
সুতরাং, $x$ এর ধনাত্মক মানটি হলো ৬।
প্রশ্নঃ $$\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} =2 $$ হলে, $$x$$ এর মান-
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 3
খ. 4
ক. 3
খ. 1
গ. 2
ক. 1
খ. 2
গ. 3
ঘ. 4
উত্তরঃ 3
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে সমীকরণটি:
$\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2$
বামদিকের ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু. করি:
ল.সা.গু. হলো $x(x+1)$।
$\frac{3(x+1) + 4x}{x(x+1)} = 2$
$\frac{3x + 3 + 4x}{x^2 + x} = 2$
$\frac{7x + 3}{x^2 + x} = 2$
এখন আর গুণন (cross-multiplication) করি:
$7x + 3 = 2(x^2 + x)$
$7x + 3 = 2x^2 + 2x$
সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপে সাজাই ($ax^2 + bx + c = 0$):
$0 = 2x^2 + 2x - 7x - 3$
$0 = 2x^2 - 5x - 3$
এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি। আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।
$2x^2 - 5x - 3 = 0$
$2x^2 - 6x + x - 3 = 0$
$2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(x - 3)(2x + 1) = 0$
অতএব, দুটি সম্ভাব্য সমাধান আছে:
১) $x - 3 = 0$
$x = 3$
২) $2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$
সুতরাং, $x$ এর মানগুলো হলো $3$ অথবা $-\frac{1}{2}$।
$\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2$
বামদিকের ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু. করি:
ল.সা.গু. হলো $x(x+1)$।
$\frac{3(x+1) + 4x}{x(x+1)} = 2$
$\frac{3x + 3 + 4x}{x^2 + x} = 2$
$\frac{7x + 3}{x^2 + x} = 2$
এখন আর গুণন (cross-multiplication) করি:
$7x + 3 = 2(x^2 + x)$
$7x + 3 = 2x^2 + 2x$
সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপে সাজাই ($ax^2 + bx + c = 0$):
$0 = 2x^2 + 2x - 7x - 3$
$0 = 2x^2 - 5x - 3$
এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি। আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।
$2x^2 - 5x - 3 = 0$
$2x^2 - 6x + x - 3 = 0$
$2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(x - 3)(2x + 1) = 0$
অতএব, দুটি সম্ভাব্য সমাধান আছে:
১) $x - 3 = 0$
$x = 3$
২) $2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$
সুতরাং, $x$ এর মানগুলো হলো $3$ অথবা $-\frac{1}{2}$।
ক. ৯০
খ. ১০০
ক. ১০
খ. ১০০
গ. ৯০
ক. ১০
খ. ৯
গ. ৯০
ঘ. ১০০
উত্তরঃ ৯০
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যাটি x. এখানে, ০.১ পৌনোপৌনিক = ১/৯ এবং ০.১ = ১/১০ প্রশ্নমতে, x/৯ - x/১০ = ১ বা, (১০x - ৯x)/৯০ =১ বা, x = ৯০ সুতরাং, সংখ্যাটি ৯০
ক. 75
খ. 70
ক. 70
খ. 75
গ. 85
ক. 70
খ. 85
গ. 75
ঘ. 100
উত্তরঃ 75
ক. 16টি
খ. 15টি
ক. 15টি
খ. 14টি
গ. 16টি
ক. 13টি
খ. 14টি
গ. 15টি
ঘ. 16টি
উত্তরঃ 15টি
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, মামুন $x$ সংখ্যক কলম কিনেছিল এবং প্রতিটি কলমের মূল্য ছিল $y$ টাকা।
শর্তানুসারে,
$xy = ২৪০$ ... (১)
যদি সে একটি কলম বেশি পেত ($x+১$ টি), তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য ১ টাকা কম পড়ত ($y-১$ টাকা)। এক্ষেত্রেও মোট মূল্য একই থাকত।
$(x+১)(y-১) = ২৪০$ ... (২)
সমীকরণ (১) থেকে পাই, $y = \frac{২৪০}{x}$।
এই মানটি সমীকরণ (২) এ বসিয়ে পাই:
$(x+১)(\frac{২৪০}{x}-১) = ২৪০$
$x(\frac{২৪০}{x}) - x(১) + ১(\frac{২৪০}{x}) - ১(১) = ২৪০$
$২৪০ - x + \frac{২৪০}{x} - ১ = ২৪০$
$-x + \frac{২৪০}{x} - ১ = ০$
উভয় পক্ষকে $x$ দিয়ে গুণ করে পাই:
$-x^২ + ২৪০ - x = ০$
$x^২ + x - ২৪০ = ০$
এখন আমরা এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করব।
$x^২ + ১৬x - ১৫x - ২৪০ = ০$
$x(x+১৬) - ১৫(x+১৬) = ০$
$(x+১৬)(x-১৫) = ০$
সুতরাং, $x+১৬ = ০$ বা $x-১৫ = ০$।
$x = -১৬$ অথবা $x = ১৫$।
যেহেতু কলমের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = ১৫$।
অর্থাৎ, মামুন ১৫টি কলম কিনেছিল।
ধরি, মামুন $x$ সংখ্যক কলম কিনেছিল এবং প্রতিটি কলমের মূল্য ছিল $y$ টাকা।
শর্তানুসারে,
$xy = ২৪০$ ... (১)
যদি সে একটি কলম বেশি পেত ($x+১$ টি), তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য ১ টাকা কম পড়ত ($y-১$ টাকা)। এক্ষেত্রেও মোট মূল্য একই থাকত।
$(x+১)(y-১) = ২৪০$ ... (২)
সমীকরণ (১) থেকে পাই, $y = \frac{২৪০}{x}$।
এই মানটি সমীকরণ (২) এ বসিয়ে পাই:
$(x+১)(\frac{২৪০}{x}-১) = ২৪০$
$x(\frac{২৪০}{x}) - x(১) + ১(\frac{২৪০}{x}) - ১(১) = ২৪০$
$২৪০ - x + \frac{২৪০}{x} - ১ = ২৪০$
$-x + \frac{২৪০}{x} - ১ = ০$
উভয় পক্ষকে $x$ দিয়ে গুণ করে পাই:
$-x^২ + ২৪০ - x = ০$
$x^২ + x - ২৪০ = ০$
এখন আমরা এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করব।
$x^২ + ১৬x - ১৫x - ২৪০ = ০$
$x(x+১৬) - ১৫(x+১৬) = ০$
$(x+১৬)(x-১৫) = ০$
সুতরাং, $x+১৬ = ০$ বা $x-১৫ = ০$।
$x = -১৬$ অথবা $x = ১৫$।
যেহেতু কলমের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = ১৫$।
অর্থাৎ, মামুন ১৫টি কলম কিনেছিল।
প্রশ্নঃ $$3x-7y+10=0$$ এবং $$y-2x-3=0$$ এর সমাধান–
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. $$x=-1, y=-1$$
খ. $$x=-1, y=1$$
ক. $$x=1, y=1$$
খ. $$x=-1, y=1$$
গ. $$x=-1, y=-1$$
ক. $$x=1, y=-1$$
খ. $$x=1, y=1$$
গ. $$x=-1, y=-1$$
ঘ. $$x=-1, y=1$$
উত্তরঃ $$x=-1, y=1$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা \(3x - 7y + 10 = 0\) এবং \(y - 2x - 3 = 0\)-এর সমাধান বের করতে একটি সমীকরণ পদ্ধতি (substitution বা elimination) ব্যবহার করব। নিচে ধাপে ধাপে সমাধান দেওয়া হলো:
ধাপ ১: \(y\)-এর মান বের করা
দ্বিতীয় সমীকরণটি থেকে \(y\)-এর মান বের করি: \[ y - 2x - 3 = 0 \implies y = 2x + 3 \] ধাপ ২: প্রথম সমীকরণে \(y\)-এর মান বসানো
\(y = 2x + 3\)-কে প্রথম সমীকরণে (\(3x - 7y + 10 = 0\)) বসাই: \[ 3x - 7(2x + 3) + 10 = 0 \] এখন সরল করি: \[ 3x - 14x - 21 + 10 = 0 \] \[ -11x - 11 = 0 \] ধাপ ৩: \(x\)-এর মান বের করা \(-11x - 11 = 0\) সমীকরণ থেকে: \[ -11x = 11 \implies x = -1 \] ধাপ ৪: \(y\)-এর মান বের করা \(x = -1\)-কে \(y = 2x + 3\)-এ বসাই: \[ y = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \] চূড়ান্ত উত্তর: \[ x = -1 \quad \text{এবং} \quad y = 1 \] তাহলে, সমাধান হলো \(x = -1\) এবং \(y = 1\)।
ধাপ ১: \(y\)-এর মান বের করা
দ্বিতীয় সমীকরণটি থেকে \(y\)-এর মান বের করি: \[ y - 2x - 3 = 0 \implies y = 2x + 3 \] ধাপ ২: প্রথম সমীকরণে \(y\)-এর মান বসানো
\(y = 2x + 3\)-কে প্রথম সমীকরণে (\(3x - 7y + 10 = 0\)) বসাই: \[ 3x - 7(2x + 3) + 10 = 0 \] এখন সরল করি: \[ 3x - 14x - 21 + 10 = 0 \] \[ -11x - 11 = 0 \] ধাপ ৩: \(x\)-এর মান বের করা \(-11x - 11 = 0\) সমীকরণ থেকে: \[ -11x = 11 \implies x = -1 \] ধাপ ৪: \(y\)-এর মান বের করা \(x = -1\)-কে \(y = 2x + 3\)-এ বসাই: \[ y = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \] চূড়ান্ত উত্তর: \[ x = -1 \quad \text{এবং} \quad y = 1 \] তাহলে, সমাধান হলো \(x = -1\) এবং \(y = 1\)।
ক. $$1, 1$$
খ. $$– 3, – 4$$
ক. $$1, 1$$
খ. $$– 1, 3$$
গ. $$0, 2$$
ক. $$0, 2$$
খ. $$1, 1$$
গ. $$– 1, 3$$
ঘ. $$– 3, – 4$$
উত্তরঃ $$1, 1$$
ব্যাখ্যাঃ
বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী আমরা জানি, $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
এখানে,
$a+b=2$
$ab=1$
মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$(a-b)^2 = (2)^2 - 4(1)$
$(a-b)^2 = 4 - 4$
$(a-b)^2 = 0$
$a-b = 0$
$a=b$
এখন $a=b$ সম্পর্কটি $a+b=2$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$a+a = 2$
$2a = 2$
$a = 1$
যেহেতু $a=b$, তাই $b$ এর মানও $1$ হবে।
সুতরাং, $a$ এবং $b$ এর মান যথাক্রমে $1$ এবং $1$।
বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী আমরা জানি, $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
এখানে,
$a+b=2$
$ab=1$
মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$(a-b)^2 = (2)^2 - 4(1)$
$(a-b)^2 = 4 - 4$
$(a-b)^2 = 0$
$a-b = 0$
$a=b$
এখন $a=b$ সম্পর্কটি $a+b=2$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$a+a = 2$
$2a = 2$
$a = 1$
যেহেতু $a=b$, তাই $b$ এর মানও $1$ হবে।
সুতরাং, $a$ এবং $b$ এর মান যথাক্রমে $1$ এবং $1$।
ক. 40
খ. 36
ক. 37
খ. 36
গ. 38
ক. 36
খ. 37
গ. 38
ঘ. 40
উত্তরঃ 36
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $x$ এবং $y$।
প্রশ্নানুসারে,
$x+y = 48$ ---(i)
$xy = 432$ ---(ii)
এখন আমরা জানি, $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$
মান বসিয়ে পাই,
$(x-y)^2 = (48)^2 - 4(432)$
$(x-y)^2 = 2304 - 1728$
$(x-y)^2 = 576$
$x-y = \sqrt{576}$
$x-y = 24$ ---(iii)
এখন সমীকরণ (i) এবং (iii) যোগ করে পাই,
$(x+y)+(x-y) = 48+24$
$2x = 72$
$x = \frac{72}{2}$
$x = 36$
$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
$36+y = 48$
$y = 48-36$
$y = 12$
সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো ৩৬ এবং ১২। এদের মধ্যে বড় সংখ্যাটি হলো ৩৬।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $x$ এবং $y$।
প্রশ্নানুসারে,
$x+y = 48$ ---(i)
$xy = 432$ ---(ii)
এখন আমরা জানি, $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$
মান বসিয়ে পাই,
$(x-y)^2 = (48)^2 - 4(432)$
$(x-y)^2 = 2304 - 1728$
$(x-y)^2 = 576$
$x-y = \sqrt{576}$
$x-y = 24$ ---(iii)
এখন সমীকরণ (i) এবং (iii) যোগ করে পাই,
$(x+y)+(x-y) = 48+24$
$2x = 72$
$x = \frac{72}{2}$
$x = 36$
$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
$36+y = 48$
$y = 48-36$
$y = 12$
সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো ৩৬ এবং ১২। এদের মধ্যে বড় সংখ্যাটি হলো ৩৬।
প্রশ্নঃ যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 20 এবং 96 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক (reciprocals) যোগফল কত হবে?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. $$\frac{5}{24}$$
খ. $$\frac{13}{4}$$
ক. $$\frac{5}{24}$$
খ. $$\frac{1}{8}$$
গ. $$\frac{1}{6}$$
ক. $$\frac{1}{8}$$
খ. $$\frac{1}{6}$$
গ. $$\frac{13}{4}$$
ঘ. $$\frac{5}{24}$$
উত্তরঃ $$\frac{5}{24}$$
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $a$ এবং $b$।
প্রশ্নানুসারে,
$a+b = 20$
$ab = 96$
সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতিক হলো $\frac{1}{a}$ এবং $\frac{1}{b}$।
ব্যস্তানুপাতিক যোগফল = $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
$= \frac{a+b}{ab}$
এখন, $a+b$ এবং $ab$ এর মান বসিয়ে পাই:
$= \frac{20}{96}$
$= \frac{5}{24}$
সুতরাং, সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল হলো $\frac{5}{24}$।
প্রশ্নানুসারে,
$a+b = 20$
$ab = 96$
সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতিক হলো $\frac{1}{a}$ এবং $\frac{1}{b}$।
ব্যস্তানুপাতিক যোগফল = $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
$= \frac{a+b}{ab}$
এখন, $a+b$ এবং $ab$ এর মান বসিয়ে পাই:
$= \frac{20}{96}$
$= \frac{5}{24}$
সুতরাং, সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল হলো $\frac{5}{24}$।
ক. a + ৪০ = ১১
খ. a = ৪০ + ১১
ক. a = ৪০ + ১১
খ. a + ১১ = ৪০
গ. a + ৪০ = ১১
ক. a + ১১ = ৪০
খ. a + ৪০ = ১১
গ. a = ৪০ + ১১
ঘ. a = ৪০ + ১
উত্তরঃ a = ৪০ + ১১
ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি হলো: \[ a - 11 = 40 \] এখন, উভয় পাশে \( 11 \) যোগ করি: \[ a - 11 + 11 = 40 + 11 \] \[ a = 51 \] সুতরাং, \( a = 51 \) ✅
ক. ৪০
খ. ৬০
ক. ৪০
খ. ৫০
গ. ৬০
ক. ৪০
খ. ৪৮
গ. ৫০
ঘ. ৬০
উত্তরঃ ৬০
ব্যাখ্যাঃ
আপনাকে সাহায্য করতে পেরে আমি আনন্দিত। এখানে, শিক্ষা সফরে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল, তা বের করার জন্য একটি পদ্ধতি অনুসরণ করা হলো: ধাপ ১: চলক ধরা মনে করি, প্রথমে বাসে x জন ছাত্র/ছাত্রী ছিল। ধাপ ২: মাথাপিছু ভাড়া নির্ণয় ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলে, জন প্রতি ভাড়া হবে ২৪০০/x টাকা। ধাপ ৩: নতুন সংখ্যা ও ভাড়ার সম্পর্ক তৈরি ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী বেশি যাওয়ায়, মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা দাঁড়ায় x + ১০ জন। এখন, জন প্রতি ভাড়া হয় ২৪০০/(x + ১০) টাকা। ধাপ ৪: সমীকরণ গঠন প্রশ্নমতে, পূর্বের ভাড়া থেকে বর্তমান ভাড়া ৮ টাকা কম হওয়ায়, আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি পাই: ২৪০০/x - ২৪০০/(x + ১০) = ৮ ধাপ ৫: সমীকরণ সমাধান উভয় পক্ষকে ৮ দিয়ে ভাগ করে পাই: ৩০০/x - ৩০০/(x + ১০) = ১ উভয় পক্ষকে x(x + ১০) দিয়ে গুণ করে পাই: ৩০০(x + ১০) - ৩০০x = x(x + ১০) সরলীকরণ করে পাই: x^২ + ১০x - ৩০০০ = ০ এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে সমাধান করে পাই: x = -৬০ অথবা x = ৫০ যেহেতু ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = ৫০। ধাপ ৬: মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা নির্ণয় অতএব, প্রথমে বাসে ৫০ জন ছাত্র/ছাত্রী ছিল। মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা = ৫০ + ১০ = ৬০ জন। উত্তর: শিক্ষা সফরে মোট ৬০ জন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল। যদি কোথাও বুঝতে অসুবিধা হয়, তবে জিজ্ঞাসা করতে পারেন।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার $$\frac{১}{২}$$ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির $$\frac{২}{৩}$$ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. ৩৫
খ. ৩৬
ক. ৩৬
খ. ৬৩
গ. ৩৫
ক. ৫৩
খ. ৬৩
গ. ৩৬
ঘ. ৩৫
উত্তরঃ ৩৬
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি \( x \)। প্রশ্ন অনুসারে: $$\frac{১}{২}x + ৬ = \frac{২}{৩}x$$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে: প্রথমে উভয় পাশে ৬ বাদ দিন: $$\frac{১}{২}x = \frac{২}{৩}x - ৬$$ এরপর \( x \)-এর একই গুণফলটি পাওয়ার জন্য উভয় পাশে ৬ গুণ করুন: $$৬(\frac{১}{২}x) = ৬(\frac{২}{৩}x - ৬)$$ সরলীকরণ করে: $$৩x = ৪x - ৩৬$$ পরবর্তীতে, উভয় দিকে \( ৪x \)-এর গুণফল বাদ দিন: $$৩৬ = ৪x - ৩x$$ অতঃপর: $$৩৬ = x$$ সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৬। আশা করছি এটি আপনার জন্য সহায়ক হয়েছে! ????
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার $$\frac{১}{২}$$ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির $$\frac{২}{৩}$$ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
ক. ৬৩
খ. ৫৩
ক. ৩৫
খ. ৬৩
গ. ৫৩
ক. ৩৫
খ. ৫৩
গ. ৬৩
ঘ. ৩৬
উত্তরঃ ৬৩
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি \( x \)। প্রশ্ন অনুসারে: $$\frac{১}{২}x + ৬ = \frac{২}{৩}x$$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে: প্রথমে উভয় পাশে ৬ বাদ দিন: $$\frac{১}{২}x = \frac{২}{৩}x - ৬$$ এরপর \( x \)-এর একই গুণফলটি পাওয়ার জন্য উভয় পাশে ৬ গুণ করুন: $$৬(\frac{১}{২}x) = ৬(\frac{২}{৩}x - ৬)$$ সরলীকরণ করে: $$৩x = ৪x - ৩৬$$ পরবর্তীতে, উভয় দিকে \( ৪x \)-এর গুণফল বাদ দিন: $$৩৬ = ৪x - ৩x$$ অতঃপর: $$৩৬ = x$$ সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৬।
প্রশ্নঃ \(x^3 = 64\) হলে \(x\) এর মান কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
ক. 4
খ. 6
ক. 4
খ. 6
গ. 5
ক. 3
খ. 4
গ. 5
ঘ. 6
উত্তরঃ 4
ব্যাখ্যাঃ আমরা \( x^3 = 64 \) সমীকরণটি সমাধান করতে চাই। প্রথমে, উভয় পাশে ঘনমূল (\(\sqrt[3]{}\)) নিই— \[ x = \sqrt[3]{64} \] আমরা জানি, \[ 64 = 4^3 \] তাহলে, \[ x = 4 \] সুতরাং, \( x \) এর মান হবে ৪।
প্রশ্নঃ একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চ ৪ জন করে ছাত্র বসালে ৩ টি বেঞ্চ খালি থাকে । আবার, প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
ক. ৬০
খ. ৫৫
ক. ৫৫
খ. ৫০
গ. ৬০
ক. ৫৫
খ. ৬০
গ. ৬৫
ঘ. ৫০
উত্তরঃ ৬০
ব্যাখ্যাঃ মনে করি, বেঞ্চের সংখ্যা $B$ এবং ছাত্র সংখ্যা $S$।
প্রথম শর্তানুযায়ী:
প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসালে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে।
অর্থাৎ, ছাত্র বসেছে $(B - 3)$টি বেঞ্চে।
তাহলে, ছাত্র সংখ্যা $S = 4 \times (B - 3)$
$S = 4B - 12$ --- (১)
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী:
প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
অর্থাৎ, সব বেঞ্চে ৩ জন করে বসার পর ৬ জন অতিরিক্ত থাকে।
তাহলে, ছাত্র সংখ্যা $S = 3B + 6$ --- (২)
এখন, (১) ও (২) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$4B - 12 = 3B + 6$
$4B - 3B = 6 + 12$
$B = 18$
বেঞ্চের সংখ্যা ১৮টি।
এখন, বেঞ্চের সংখ্যা (১) নং সমীকরণে বসিয়ে ছাত্র সংখ্যা নির্ণয় করি:
$S = 4B - 12$
$S = 4 \times 18 - 12$
$S = 72 - 12$
$S = 60$
সুতরাং, ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।
উত্তর: ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।
প্রথম শর্তানুযায়ী:
প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসালে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে।
অর্থাৎ, ছাত্র বসেছে $(B - 3)$টি বেঞ্চে।
তাহলে, ছাত্র সংখ্যা $S = 4 \times (B - 3)$
$S = 4B - 12$ --- (১)
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী:
প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
অর্থাৎ, সব বেঞ্চে ৩ জন করে বসার পর ৬ জন অতিরিক্ত থাকে।
তাহলে, ছাত্র সংখ্যা $S = 3B + 6$ --- (২)
এখন, (১) ও (২) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$4B - 12 = 3B + 6$
$4B - 3B = 6 + 12$
$B = 18$
বেঞ্চের সংখ্যা ১৮টি।
এখন, বেঞ্চের সংখ্যা (১) নং সমীকরণে বসিয়ে ছাত্র সংখ্যা নির্ণয় করি:
$S = 4B - 12$
$S = 4 \times 18 - 12$
$S = 72 - 12$
$S = 60$
সুতরাং, ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।
উত্তর: ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।
প্রশ্নঃ 35 বর্গ সে: মি: ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সেঃ মিঃ এবং প্রন্থ (x-2) সেঃ মিঃ হলে, x এর মান কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 7
খ. -5
ক. 7
খ. 5
গ. -5
ক. 7
খ. 5
গ. -5
ঘ. -7
উত্তরঃ 7
ব্যাখ্যাঃ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ
এখানে, ক্ষেত্রফল = 35 বর্গ সেমি
দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি
প্রস্থ = $(x-2)$ সেমি
প্রশ্নানুসারে,
$x(x-2) = 35$
$x^2 - 2x = 35$
$x^2 - 2x - 35 = 0$
এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করতে হবে।
মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:
$x^2 - 7x + 5x - 35 = 0$
$x(x-7) + 5(x-7) = 0$
$(x-7)(x+5) = 0$
এখানে দুটি সমাধান পাওয়া যায়:
$x-7 = 0 \Rightarrow x = 7$
অথবা
$x+5 = 0 \Rightarrow x = -5$
যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = 7$।
অতএব, $x$ এর মান হল 7।
এখানে, ক্ষেত্রফল = 35 বর্গ সেমি
দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি
প্রস্থ = $(x-2)$ সেমি
প্রশ্নানুসারে,
$x(x-2) = 35$
$x^2 - 2x = 35$
$x^2 - 2x - 35 = 0$
এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করতে হবে।
মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:
$x^2 - 7x + 5x - 35 = 0$
$x(x-7) + 5(x-7) = 0$
$(x-7)(x+5) = 0$
এখানে দুটি সমাধান পাওয়া যায়:
$x-7 = 0 \Rightarrow x = 7$
অথবা
$x+5 = 0 \Rightarrow x = -5$
যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = 7$।
অতএব, $x$ এর মান হল 7।
প্রশ্নঃ $2^{x+1}=32$ হলে x এর মান কত?
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 4
খ. 3
ক. 4
খ. 2
গ. 3
ক. 4
খ. 3
গ. 2
ঘ. 5
উত্তরঃ 4
প্রশ্নঃ $4^{x+1}=32$ হলে x এর মান কত?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $\frac{1}{2}$
খ. $\frac{3}{2}$
ক. $\frac{3}{2}$
খ. 1
গ. $\frac{1}{2}$
ক. $\frac{1}{2}$
খ. 1
গ. $\frac{3}{2}$
ঘ. 2
উত্তরঃ $\frac{3}{2}$
প্রশ্নঃ দুইটি সংখ্যার সমষ্টি 47 এবং তাদের অন্তর 7 হলে সংখ্যা দুটি কত?
[ ১৩তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 27 এবং 20
খ. 27 এবং 34
ক. 27 এবং 20
খ. 27 এবং 34
গ. 33 এবং 21
ক. 33 এবং 21
খ. 20 এবং 13
গ. 27 এবং 20
ঘ. 27 এবং 34
উত্তরঃ 27 এবং 20
প্রশ্নঃ $x^2-6x+9=0$ সমীকরণের মূল কয়টি?
[ ১৩তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 3
খ. 2
ক. 3
খ. 2
গ. 4
ক. 1
খ. 2
গ. 3
ঘ. 4
উত্তরঃ 2
প্রশ্নঃ $\frac{9^x-4}{3^x-2}-2$ এর মান কত?
[ ১৩তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. $3^x$
খ. $3^x+2$
ক. $3^x-2$
খ. $2^x$
গ. $3^x$
ক. $3^x$
খ. $3^x+2$
গ. $3^x-2$
ঘ. $2^x$
উত্তরঃ $3^x$
প্রশ্নঃ দুটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ২২১ হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
[ ১২তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. ১১০
খ. ১০
ক. ১০
খ. ১১০
গ. ১১
ক. ৮
খ. ১০
গ. ১১
ঘ. ১১০
উত্তরঃ ১০
প্রশ্নঃ যদি $2x^2+mx+6=0$ সমীকরণের মূর দুইটি সমান হয় এবং $m>0$ হয় তবে m এর মান কত?
[ ১২তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. $2\sqrt{3}$
খ. $4\sqrt{3}$
ক. $4\sqrt{3}$
খ. $\sqrt{3}$
গ. $2\sqrt{6}$
ক. $2\sqrt{3}$
খ. $2\sqrt{6}$
গ. $4\sqrt{3}$
ঘ. $\sqrt{3}$
উত্তরঃ $4\sqrt{3}$
প্রশ্নঃ দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কি কি?
[ ১১তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. (6,5)
খ. (7,6)
ক. (6,5)
খ. (7,4)
গ. (12,1)
ক. (7,6)
খ. (7,4)
গ. (12,1)
ঘ. (6,5)
উত্তরঃ (6,5)
প্রশ্নঃ যদি $x + 2y = 4$ এবং $\frac{x}{y}=2$ হয় তবে $x=$ কত?
[ ১১ তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 2
খ. 1
ক. 2
খ. 3
গ. 1
ক. 1
খ. 2
গ. 3
ঘ. 4
উত্তরঃ 2
প্রশ্নঃ $$(x-4)^{2}=0$$ সমীকরণের মূল কয়টি?
[ ১১ তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 1
খ. 2
ক. 1
খ. 4
গ. 2
ক. 1
খ. 2
গ. 3
ঘ. 4
উত্তরঃ 1
প্রশ্নঃ $3 x^2 − x + 5 = 0$ সমীকরনে $x$ এর সহগ কত?
[ ১১ তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. - 1
খ. 3
ক. - 1
খ. 1
গ. 3
ক. 3
খ. 1
গ. - 1
ঘ. 5
উত্তরঃ - 1
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যার ৫ গুনের সাথে তার বর্গ বিয়োগ করলে এবং ৬ বিয়োগ করলে যোগফল শূন্য হয়। সংখ্যাটি
[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. ৩ অথবা ৪
খ. ২ অথবা ৩
ক. ২ অথবা ৩
খ. ১ অথবা ২
গ. ৩ অথবা ৪
ক. ১ অথবা ২
খ. ৩ অথবা ৪
গ. ২ অথবা ৩
ঘ. ৪ অথবা ৫
উত্তরঃ ২ অথবা ৩
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার $$\frac{1}{2}$$ অংশের সাথে 6 যোগ করলে সংখ্যাটির $$\frac{2}{3}$$ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?
[ ৯ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 36
খ. 53
ক. 36
খ. 63
গ. 35
ক. 53
খ. 63
গ. 36
ঘ. 35
উত্তরঃ 36
প্রশ্নঃ দুইটি সংখ্যার যোগফল 56। যদি সংখ্যা দুইটির অনুপাত 3: 1 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির গুণফল নিচের কোনটি হবে?
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 588
খ. 168
ক. 588
খ. 14
গ. 42
ক. 14
খ. 42
গ. 168
ঘ. 588
উত্তরঃ 588
প্রশ্নঃ k-এর কোন মানের জন্য $2x+5y+8=0$ এবং $2x-ky=3$ সমীকরণ দুটির কোনো সমাধান থাকবে না?
[ ৭ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. -5
খ. 5
ক. -5
খ. 1/5
গ. 5
ক. -5
খ. 5
গ. 1/5
ঘ. 0
উত্তরঃ -5
প্রশ্নঃ $(3x+2)(2x-6)=(4-3x)(1-2x) -10$ হলে, x-এর মান হবে -
[ প্রা. প্র. শি. নি.৯-১০-২০১২ | প্রা. বি. স. শি. নি. ২৯-১০-২০০৮ ]
ক. -3
খ. -2
ক. -3
খ. -2
গ. 5
ক. -2
খ. 4
গ. -3
ঘ. 5
উত্তরঃ -2
প্রশ্নঃ $2x+15=27-4x$ কে সমাধান করলে x এর মান হবে --
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১২-০৯-২০০৯ ]
ক. $1$
খ. $2$
ক. $-2$
খ. $2$
গ. $3$
ক. $1$
খ. $2$
গ. $-2$
ঘ. $3$
উত্তরঃ $2$
প্রশ্নঃ $x-6=7x-48$ কে সমাধান করলে x- এর মান হবে-
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১০-০৯-২০০৯ ]
ক. 7
খ. 5
ক. 3
খ. 7
গ. 5
ক. 3
খ. 5
গ. -6
ঘ. 7
উত্তরঃ 7
প্রশ্নঃ $15-5x=24-8x$ কে সমাধান করলে x এর মান হবে-
[ প্রা. প্র. শি. নি. ০৯-০৯-২০০৯ ]
ক. 8
খ. -3
ক. -3
খ. 8
গ. 9
ক. 8
খ. 9
গ. -3
ঘ. 3
উত্তরঃ -3
প্রশ্নঃ $$\frac{x}{p} + \frac{x}{q} = 1$$ সমীকরণে $x$-এর মান কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ০৮-০৯-২০০৯ ]
ক. $\frac{pq}{p+q}$
খ. $pq$
ক. $\frac{pq}{p+q}$
খ. $\frac{p+q}{pq}$
গ. $pq$
ক. $p+q$
খ. $\frac{pq}{p+q}$
গ. $pq$
ঘ. $\frac{p+q}{pq}$
উত্তরঃ $\frac{pq}{p+q}$
প্রশ্নঃ $$\frac{2p-1}{5} + 1 = \frac{p-1}{10}$$ সমীকরণে $p$-এর মান কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ০৮-০৯-২০০৯ ]
ক. $-3$
খ. $-\frac{1}{3}$
ক. $-3$
খ. $$\frac{2}{3}$$
গ. $3$
ক. $-\frac{1}{3}$
খ. $3$
গ. $-3$
ঘ. $$\frac{2}{3}$$
উত্তরঃ $-3$
প্রশ্নঃ $$\frac{m}{3} + 3 = \frac{2m}{15} + 6$$ সমীকরণে $m$-এর মান কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ০৮-০৯-২০০৯ ]
ক. $15$
খ. $\pm 15$
ক. $15$
খ. $\pm 15$
গ. $-15$
ক. $-15$
খ. $\pm 15$
গ. $14$
ঘ. $15$
উত্তরঃ $15$
প্রশ্নঃ $5x+3y=7$ এবং $4x+5y=3$ হলে, x ও y এর মান হবে যথাক্রমে-
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৮-০৪-২০০৮ ]
ক. $-2,1$
খ. $2,-1$
ক. $1,2$
খ. $2,-1$
গ. $-1,2$
ক. $1,2$
খ. $2,-1$
গ. $-1,2$
ঘ. $-2,1$
উত্তরঃ $2,-1$
প্রশ্নঃ $$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1$$ সমীকরণে x এর মান কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৭-০৪-২০০৮ ]
ক. $a+b$
খ. $\frac{ab}{a+b}$
ক. ab
খ. $\frac{a+b}{ab}$
গ. $\frac{ab}{a+b}$
ক. $a+b$
খ. $\frac{ab}{a+b}$
গ. ab
ঘ. $\frac{a+b}{ab}$
উত্তরঃ $\frac{ab}{a+b}$
প্রশ্নঃ $x+y=2$ এবং $y=3x-2$ হলে, $x$ ও $y$ এর মান হবে যথাক্রমে-
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৬-০৪-২০০৮ ]
ক. $2,1$
খ. $1, 1$
ক. $1, 1$
খ. $1,2$
গ. $2,1$
ক. $1, 1$
খ. $1,2$
গ. $2,2$
ঘ. $2,1$
উত্তরঃ $1, 1$
প্রশ্নঃ দুইটি সংখ্যার যোগফল 18 এবং তাদের অন্তর 4 হলে, সংখ্যা দুইটি হবে যথাক্রমে-
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৬-০৪-২০০৮ ]
ক. $11,6$
খ. $10,6$
ক. $11,6$
খ. $14,4$
গ. $12,6$
ক. $10,6$
খ. $11,6$
গ. $12,6$
ঘ. $14,4$
উত্তরঃ $11,6$
প্রশ্নঃ $$2x+3y=7, 5x-2y=7, 5x-2y-8=0$$ হলে $$(x,y) = ?$$
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
ক. (2,1)
খ. (3,2)
ক. (2,1)
খ. (2,3)
গ. (1,2)
ক. (1,2)
খ. (2,1)
গ. (2,3)
ঘ. (3,2)
উত্তরঃ (2,1)
প্রশ্নঃ $$x^2+y^2+z^2=5, x+y+z=3$$ হলে $$yz+zx-xy$$ এর মান কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
ক. -3
খ. -2
ক. -5
খ. -2
গ. -3
ক. -5
খ. -4
গ. -3
ঘ. -2
উত্তরঃ -2
প্রশ্নঃ $3x^2-2x+1=0$ সমীকরনের মূলদ্বয়ের সমষ্টি কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৭-০১-২০১১ ]
ক. $-\frac{2}{3}$
খ. $-\frac{2}{9}$
ক. $\frac{2}{3}$
খ. $-\frac{2}{3}$
গ. $-\frac{2}{9}$
ক. $\frac{2}{3}$
খ. $\frac{2}{9}$
গ. $-\frac{2}{3}$
ঘ. $-\frac{2}{9}$
উত্তরঃ $-\frac{2}{9}$
প্রশ্নঃ কোনো সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে ৩ যোগ করাতে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ৭ বেশি হলে সংখ্যাটি কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৯-১০-২০০৯ ]
ক. ১৩
খ. ৪
ক. ১০
খ. ৯
গ. ৪
ক. ১০
খ. ৪
গ. ১৩
ঘ. ৯
উত্তরঃ ৪