ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করব, অর্থাৎ নীল বা কালো বল পাওয়া যাবে।

1. মোট বল সংখ্যা: $$5+10+20=35$$ 2. সাদা না হওয়ার বল সংখ্যা (নীল + কালো): $$5+20=25$$ 3. সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা: $$\frac{\text{সাদা না হওয়ার বল সংখ্যা}}{\text{মোট বল সংখ্যা}}=\frac{25}{35}=\frac{5}{7}$$ অতএব, দৈবভাবে একটি বল তোলার ক্ষেত্রে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{5}{7}$ বা ৭১.৪৩%।

ব্যাখ্যাঃ মোট সংখ্যা: 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38। এখানে মোট 10টি সংখ্যা আছে।

এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 29, 31, 37। এখানে 3টি মৌলিক সংখ্যা আছে।

কোনো সংখ্যা বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা হলো:
$$\frac{\text{মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা}}{\text{মোট সংখ্যার সংখ্যা}}=\frac{3}{10}$$

সুতরাং, 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{10}$.

সারাংশ: 29 থেকে 38 পর্যন্ত মোট 10টি সংখ্যার মধ্যে 3টি মৌলিক সংখ্যা (29, 31, 37) রয়েছে। তাই একটি সংখ্যা দৈবচয়ণে বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{10}$.

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা =
৪৪০টি
ধাপ ২: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট কতগুলো পূর্ণসংখ্যার বর্গ রয়েছে তা বের করি।
বর্গসংখ্যাগুলো হল:
$$1^2=1,2^2=4,3^2=9,...,n^2\le 440$$
আমরা দেখি,
$$\lfloor \sqrt{440}\rfloor =\lfloor 20.97\rfloor =20$$
অর্থাৎ, $1^2$ থেকে ${20}^2=400$ পর্যন্ত মোট ২০টি বর্গসংখ্যা আছে।## সম্ভাবনা:
$$\text{Probability}=\frac{\text{বাঞ্ছিত ফলের সংখ্যা}}{\text{সম্ভাব্য মোট ফল}}=\frac{20}{440}=\frac{1}{22}$$

উত্তর: কঃ $\frac{১}{২২}$

ব্যাখ্যাঃ ৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা:
$$30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40$$
এগুলোর মোট সংখ্যা $n=11$।

মৌলিক সংখ্যা (যেগুলো শুধুমাত্র 1 এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য):
$$31,37$$
অতএব, মৌলিক সংখ্যা = ২টি।

৫-এর গুণিতক হলো:
$$30,35,40$$
অতএব, ৫-এর গুণিতক সংখ্যা = ৩টি।


কোনো সংখ্যা মৌলিক অথবা ৫-এর গুণিতক হতে পারে, তাই সম্ভাব্য সংখ্যা =
$$2(মৌলিক)+3(৫-এরগুণিতক)=5$$
সুতরাং, মোট সম্ভাবনা: $\frac{5}{11}$

ব্যাখ্যাঃ চলুন, নতুন তথ্য দিয়ে সমস্যাটি সমাধান করা যাক:

প্রদত্ত তথ্য:
নীল বল = ৬টি
সাদা বল = ৮টি
কালো বল = ১০টি

প্রথমে মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করি:
মোট বল = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪টি

এখন, সাদা বল না হওয়ার সম্ভাবনা বের করতে হবে।
এর মানে হলো, বলটি নীল অথবা কালো হবে।

সাদা বলের সংখ্যা = ৮টি
সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা = নীল বল + কালো বল = ৬ + ১০ = ১৬টি

সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{সাদা না হওয়া বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}}$
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{১৬}{২৪}$

এই ভগ্নাংশটিকে সরল করি। ১৬ এবং ২৪ উভয়ই ৮ দ্বারা বিভাজ্য:
$\frac{১৬÷৮}{২৪÷৮}=\frac{২}{৩}$

বিকল্প পদ্ধতি (সাদা হওয়ার সম্ভাবনা বাদ দিয়ে):
সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{সাদা বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}}=\frac{৮}{২৪}=\frac{১}{৩}$

সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $১-(\text{সাদা হওয়ার সম্ভাবনা})$
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = $১-\frac{১}{৩}=\frac{৩-১}{৩}=\frac{২}{৩}$

সুতরাং, দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা হলো $\frac{২}{৩}$।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা প্রথমে ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে কতগুলো সংখ্যা পুরো বর্গ সংখ্যা তা নির্ণয় করব।

ধাপ ১: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা
বর্গ সংখ্যা মানে হলো এমন সংখ্যা যা কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গফল। আমরা $n^2\le 440$ শর্ত পূরণ করে এমন $n$-এর মান নির্ণয় করি।

- $n^2=1^2,2^2,3^2,\dots$
- সর্বোচ্চ $n^2={21}^2=441$ হয়, কিন্তু ৪৪১ > ৪৪০, তাই $n$-এর মান হবে ২০।

অতএব, ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গ সংখ্যা হলো: $$1^2,2^2,3^2,\dots ,{20}^2$$ এখানে মোট $20$টি বর্গ সংখ্যা রয়েছে।

ধাপ ২: সম্ভাবনার গণনা

সম্ভাবনার সূত্র: $$\text{সম্ভাবনা}=\frac{\text{বর্গ সংখ্যার সংখ্যা}}{\text{মোট সংখ্যা}}$$ ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৪৪০।
বর্গ সংখ্যার সংখ্যা = ২০।

সুতরাং, সম্ভাবনা: $$\text{সম্ভাবনা}=\frac{২০}{৪৪০}=\frac{১}{২২}$$ উত্তর: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত নেওয়া সংখ্যাটি বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা হলো $\frac{১}{২২}$।