প্রশ্নঃ দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7: 5 এবং তাদের ল.সা.গু 140 হলে সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক. 4
খ. 12
গ. 6
ঘ. 9
উত্তরঃ 4
ব্যাখ্যাঃ দুটি সংখ্যার অনুপাত দেওয়া আছে।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো এবং , যেখানে হলো সংখ্যা দুটির গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক)।
আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = তাদের ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু।
অর্থাৎ,ল স া গ ু
কিন্তু এই পদ্ধতিটি সরাসরি ব্যবহার করার চেয়ে সহজ একটি সম্পর্ক আছে:
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু = তাদের অনুপাতের গুণফল গ.সা.গু।
ল.সা.গু
ল.সা.গু
প্রদত্ত ল.সা.গু হলো ।
সুতরাং,
যেহেতু হলো সংখ্যা দুটির গ.সা.গু,
সুতরাং, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু হলো ।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো
আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = তাদের ল.সা.গু
অর্থাৎ,
কিন্তু এই পদ্ধতিটি সরাসরি ব্যবহার করার চেয়ে সহজ একটি সম্পর্ক আছে:
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু = তাদের অনুপাতের গুণফল
ল.সা.গু
ল.সা.গু
প্রদত্ত ল.সা.গু হলো
সুতরাং,
যেহেতু
সুতরাং, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু হলো
Related MCQ
প্রশ্নঃ এবং -এর সংখ্যা সহগের গ.সা.গু. নিচের কোনটি?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক.
খ.
ক.
খ. কোনটিই নয়
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ. কোনটিই নয়
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ ১ম ধাপ: সংখ্যাসহগের গ.সা.গু. নির্ণয় করা
দুইটি সহগ হল:
এবং
এবং -এর গ.সা.গু. হল ।
২য় ধাপ: চলকের গ.সা.গু. নির্ণয় করা
৩য় ধাপ: চূড়ান্ত উত্তর
সংখ্যা ও চলকের গ.সা.গু. একসাথে লিখলে:
গ স া গ ু
সঠিক উত্তর:
১ম ধাপ: সংখ্যাসহগের গ.সা.গু. নির্ণয় করা
দুইটি সহগ হল:
২য় ধাপ: চলকের গ.সা.গু. নির্ণয় করা
এবং → গ.সা.গু. এবং → গ.সা.গু. এবং → গ.সা.গু.
৩য় ধাপ: চূড়ান্ত উত্তর
সংখ্যা ও চলকের গ.সা.গু. একসাথে লিখলে:
সঠিক উত্তর: (খ)
ক. 252
খ. 155
ক. 252
খ. 522
গ. 225
ক. 522
খ. 252
গ. 225
ঘ. 155
উত্তরঃ 252
ব্যাখ্যাঃ আমরা গরুর সংখ্যা ধরে নিচ্ছি।
প্রশ্ন অনুযায়ী, গরুগুলো
⇒ তিন পথে ভাগ হয়, অর্থাৎ তিন দ্বারা বিভাজ্য।
⇒ সাত ঘাটে পানি পান করে, অর্থাৎ সাত দ্বারা বিভাজ্য।
⇒ নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায়, অর্থাৎ নয় দ্বারা বিভাজ্য।
⇒ বারো জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়, অর্থাৎ বারো দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, হতে হবে ৩, ৭, ৯, ১২ দ্বারা বিভাজ্য একটি সংখ্যা।
ধাপ ২: ল.সা.গু (LCM) নির্ণয়
আমরা ৩, ৭, ৯, ১২-এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
চূড়ান্ত উত্তর:
অর্থাৎ গরুর সংখ্যা ২৫২।
প্রশ্ন অনুযায়ী, গরুগুলো
⇒ তিন পথে ভাগ হয়, অর্থাৎ
⇒ সাত ঘাটে পানি পান করে, অর্থাৎ
⇒ নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায়, অর্থাৎ
⇒ বারো জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়, অর্থাৎ
অতএব,
ধাপ ২: ল.সা.গু (LCM) নির্ণয়
আমরা ৩, ৭, ৯, ১২-এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
চূড়ান্ত উত্তর:
অর্থাৎ গরুর সংখ্যা ২৫২।
ক. ২৬০
খ. ১৩০
ক. ৭৮০
খ. ২৬০
গ. ১৩০
ক. ২৬০
খ. ৭৮০
গ. ১৩০
ঘ. ৪৯০
উত্তরঃ ২৬০
ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:
আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. সংখ্যা দুটির গ. সা. গু.
এখানে দেওয়া আছে:
দুটি সংখ্যার গুণফল = ৩৩৮০
গ. সা. গু. = ১৩
ধরি, সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. =
তাহলে, সূত্র অনুযায়ী:
৩ ৩ ৮ ০ ১ ৩
এখন, -এর মান নির্ণয় করতে ১৩ দিয়ে ৩৩৮০-কে ভাগ করতে হবে:
৩ ৩ ৮ ০ ১ ৩
২ ৬ ০
সুতরাং, সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. হলো ২৬০।
আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল. সা. গু.
এখানে দেওয়া আছে:
দুটি সংখ্যার গুণফল = ৩৩৮০
গ. সা. গু. = ১৩
ধরি, সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. =
তাহলে, সূত্র অনুযায়ী:
এখন,
সুতরাং, সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. হলো ২৬০।
প্রশ্নঃ দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. 11 এবং ল.সা.গু. 7700। একটি সংখ্যা 275 হলে, অপর সংখ্যাটি -
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 308
খ. 279
ক. 308
খ. 279
গ. 283
ক. 318
খ. 308
গ. 283
ঘ. 279
উত্তরঃ 308
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. (GCD) = ১১
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. (LCM) = ৭৭০০
একটি সংখ্যা = ২৭৫
আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল তাদের গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. এর গুণফলের সমান।
অর্থাৎ, প্রথম সংখ্যা দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. ল.সা.গু.
ধরি, অপর সংখ্যাটি ।
তাহলে,
২ ৭ ৫ ১ ১ ৭ ৭ ০ ০
১ ১ ৭ ৭ ০ ০ ২ ৭ ৫
এখন, কাটাকাটি করি:
২ ৭ ৫ কে ১ ১ দিয়ে ভাগ করলে ২ ৫ হয় (২ ৭ ৫ ১ ১ ২ ৫ )।
১ ৭ ৭ ০ ০ ২ ৫
৭ ৭ ০ ০ ২ ৫
এখন, ৭৭০০ কে ২৫ দিয়ে ভাগ করি:
৭ ৭ ০ ০ ২ ৫ ৭ ৬ ০ ০ ২ ৫ ১ ০ ০ ২ ৫ ৩ ০ ৪ ৪ ৩ ০ ৮
অথবা,
৭ ৭ ০ ০ ২ ৫ ৭ ৭ ১ ০ ০ ২ ৫ ৭ ৭ ৪ ৩ ০ ৮
সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হলো ৩০৮।
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. (GCD) = ১১
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. (LCM) = ৭৭০০
একটি সংখ্যা = ২৭৫
আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল তাদের গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. এর গুণফলের সমান।
অর্থাৎ, প্রথম সংখ্যা
ধরি, অপর সংখ্যাটি
তাহলে,
এখন, কাটাকাটি করি:
এখন, ৭৭০০ কে ২৫ দিয়ে ভাগ করি:
অথবা,
সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হলো ৩০৮।
প্রশ্নঃ এবং এর গ.সা.গু. কত?
[ বিসিএস ২৫তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা উভয় বহুপদীর (polynomials) গুণনীয়ক বিচ্ছেদ (factorization) করতে পারি। প্রথম বহুপদী: এর গুণনীয়ক বিচ্ছেদ করে পাই: দ্বিতীয় বহুপদী: এখন, উপযুক্ত পদ্ধতি ব্যবহার করে গুণনীয়ক বিচ্ছেদ করতে পারি: আমরা দেখতে পাচ্ছি যে উভয় বহুপদীতে সাধারণ গুণনীয়ক হল । তাহলে, এবং এর গ.সা.গু. হল ।
প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার গ.সা.গু বিয়োগফল এবং ল.সা.গু. যথাক্রমে ১২, ৬০ এবং ২৪৪৮ । সংখ্যা দুটি কত?
[ বিসিএস ১৭তম ]
ক. ১০৮, ১৪৪
খ. ১৪৪, ২০৪
ক. ১৪৪, ২০৪
খ. ১৪৪, ২০৮
গ. ১১২, ১৪৮
ক. ১০৮, ১৪৪
খ. ১১২, ১৪৮
গ. ১৪৪, ২০৮
ঘ. ১৪৪, ২০৪
উত্তরঃ ১৪৪, ২০৪
ব্যাখ্যাঃ ধরুন, সংখ্যা দুটি হলো এবং ।
গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর সূত্র অনুসারে:গ স া গ ু ল স া গ ু প্রশ্নে দেয়া তথ্য অনুসারে: ১ ২ ২ ৪ ৪ ৮ ২ ৯ ৩ ৭ ৬ এখন, এবং এর একটি সম্পর্ক বের করতে হবে। এবং এর পার্থক্য হলো ৬০: ৬ ০ ধরুন, ৬ ০ তাহলে, ৬ ০ ২ ৯ ৩ ৭ ৬ ৬ ০ ২ ৯ ৩ ৭ ৬ ৬ ০ ২ ৯ ৩ ৭ ৬ ০ এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এখন, আমরা বর্গমূল সূত্র ব্যবহার করে এর মান বের করি: ৬ ০ ৬ ০ ২ ৪ ২ ৯ ৩ ৭ ৬ ২ ৬ ০ ৩ ৬ ০ ০ ১ ১ ৭ ৫ ০ ৪ ২ ৬ ০ ১ ২ ১ ১ ০ ৪ ২ ৬ ০ ৩ ৪ ৮ ২ দুটি মান পাওয়া যায়: ২ ৮ ৮ ২ ১ ৪ ৪ ৪ ০ ৮ ২ ২ ০ ৪ যেহেতু একটি ধনাত্মক সংখ্যা, তাহলে ১ ৪ ৪ । এখন এর মান বের করি: ১ ৪ ৪ ৬ ০ ২ ০ ৪ অতএব, দুটি সংখ্যা হলো ১৪৪ এবং ২০৪।
গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর সূত্র অনুসারে:
ক. ১৬
খ. ১২
ক. ২৪
খ. ১২
গ. ১৬
ক. ১৬
খ. ২৪
গ. ৩২
ঘ. ১২
উত্তরঃ ১৬
ব্যাখ্যাঃ ল.সা.গু (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) এবং গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) এর মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক আছে: ল স া গ ু গ স া গ ু স ং খ ্ য া দ ু ই ট ি র গ ু ণ ফ ল আমাদের দেওয়া আছে সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬ এবং ল.সা.গু ৯৬। আমরা গ.সা.গু নির্ণয় করতে পারি: গ স া গ ু স ং খ ্ য া দ ু ই ট ি র গ ু ণ ফ ল ল স া গ ু গ স া গ ু ১ ৫ ৩ ৬ ৯ ৬ গ স া গ ু ১ ৬ অতএব, গ.সা.গু এর মান হলো ১৬।
প্রশ্নঃ সর্রমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫, ৪২ সারিতে গাছ লাগালে একটিও কম বা বেশী হবে না?
[ প্রা.বি.স.শি. 26-06-2019 ]
ক. ২১০
খ. ২৩০
ক. ২৩০
খ. ২১০
গ. ২২০
ক. ২৩০
খ. ২৪০
গ. ২১০
ঘ. ২২০
উত্তরঃ ২১০
ব্যাখ্যাঃ
৭, ১৪, ২১, ৩৫, ৪২ এর লসাগু ২১০। তাই সর্বনিম্ন ২১০ টি গাছ লাগাগে কম বেশি হবে না।
প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ২ ও ৩৬০ । একটি সংখ্যা ১০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 26-06-2019 ]
ক. ৪৮
খ. ৭২
ক. ৭২
খ. ৬০
গ. ৪৮
ক. ৭২
খ. ৪৮
গ. ২৪
ঘ. ৬০
উত্তরঃ ৭২
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল তাদের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল সমান।
অর্থাৎ,স ং খ ্ য া ১ স ং খ ্ য া ২ গ স া গ ু ল স া গ ু প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হবে ৭২।
অর্থাৎ,