2^ log_ 2 3 + log_ 2 5 এর মান কত?

প্রশ্নঃ $\log_{\sqrt{8}} x = 3 \frac{1}{3}$ হলে x এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৬তম ]

ক.

\sqrt{8}

খ. 32

ক. 8

খ. 32

গ.

\sqrt{8}

ক. 32

খ. 8

গ. 3

ঘ.

\sqrt{8}

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করব:

\log_{\sqrt{8}} x = 3 \frac{1}{3}

1. ভগ্নাংশকে দশমিক বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করি:

3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3}

2. লগারিদমিক সংজ্ঞা অনুযায়ী:

x = (\sqrt{8})^{\frac{10}{3}}

3. $\sqrt{8}$ লিখি $\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}}$ :

x = (8^{\frac{1}{2}})^{\frac{10}{3}}

4. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি:

x = 8^{(\frac{1}{2} \times \frac{10}{3})}

x = 8^{\frac{10}{6}} = 8^{\frac{5}{3}}

5. $8 = 2^{3}$ হিসাবে প্রকাশ করি:

x = (2^{3})^{\frac{5}{3}}

6. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি:

x = 2^{(3 \times \frac{5}{3})}

x = 2^{5}

x = 32

উত্তর:

32

প্রশ্নঃ যদি $l o g (\frac{a}{b}) + l o g (\frac{b}{a}) = l o g (a + b)$ হয়, তবে-

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. a + b = 1

খ. a – b = 1

গ. a = b

ঘ. a² – b² = 1

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে সমাধান করবো:

\log (\frac{a}{b}) + \log (\frac{b}{a}) = \log (a + b)

ধাপে ধাপে সমাধান:

১. Logarithmic সূত্র অনুযায়ী,

\log x + \log y = \log (x \cdot y)

তাহলে বামপক্ষকে পরিবর্তন করি:

\log (\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}) = \log (a + b)

২. সরলীকরণ:

\log (1) = \log (a + b)

৩. যেহেতু $\log 1 = 0$ এবং লগarithemic ফাংশন এক-একভাবে কাজ করে, তাই পাই:

a + b = 1

সঠিক উত্তর: কঃ a + b = 1

প্রশ্নঃ $2^{x + 7} = 4^{x + 2}$ হলে x এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. 2

খ. 3

গ. 4

ঘ. 6

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি সরলীকরণ করবো:

2^{x + 7} = 4^{x + 2}

ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
আমরা জানি,

4 = 2^{2}

, তাই $4^{x + 2}$ -কে $2$ এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়:

2^{x + 7} = (2^{2})^{x + 2}

এখন, ঘাতের নিয়ম অনুসারে:

(2^{2})^{x + 2} = 2^{2 (x + 2)}

তাহলে, সমীকরণ দাঁড়ায়:

2^{x + 7} = 2^{2 x + 4}

x + 7 = 2 x + 4

x + 7 - 4 = 2 x

x + 3 = 2 x

3 = 2 x - x

x = 3

সঠিক উত্তর:

x = 3

প্রশ্নঃ $\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} + 1 = 5$ হলে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৬তম ]

ক. 3

খ. 4

গ. 5

ঘ. 6

ব্যাখ্যাঃ

\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} + 1 = 5

\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} = 5 - 1

\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} = 4

2^{x - 3} = 8

2^{x - 3} = 2^{3}

x - 3 = 3

x = 3 + 3

x = 6

সুতরাং,

x

এর মান হলো 6।

প্রশ্নঃ $2 l o g 105 + l o g 1036 - l o g 109 = ?$

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক. 2

খ. 100

গ. 37

ঘ. 4.6

ব্যাখ্যাঃ

\begin{aligned} = 2 \log_{10} 5 + \log_{10} 36 - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (5^{2}) + \log_{10} 36 - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} 25 + \log_{10} 36 - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (25 \times 36) - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (900) - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (\frac{900}{9}) \\ = \log_{10} (100) \\ = \log_{10} (10^{2}) \\ = 2 \log_{10} (10) \\ = 2 \times 1 \\ = 2 \end{aligned}

প্রশ্নঃ $l o g 10 x = - 1$ হয়, তাহলে নিচের কোনটি $x$ এর মান?

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক. 0.1

খ. 0.001

গ.

\frac{1}{10000}

ক. 0.1

খ. 0.01

গ.

\frac{1}{10000}

ঘ. 0.001

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে $x$ এর মান নির্ণয় করতে যাচ্ছি।

ধাপে ধাপে সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

\log 10 x = - 1

১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা

লগারিদম সংজ্ঞা অনুযায়ী—

10^{\log 10 x} = 10^{- 1}

যেহেতু $\log 10 x$ কেবলমাত্র $x$ কে প্রকাশ করে, তাই—

x = 10^{- 1}

২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা

x = \frac{1}{10}

সুতরাং, $x = \frac{1}{10}$ বা $0.1$ ।

প্রশ্নঃ যদি $\sqrt[4]{x^{3}} = 2$ হয়, তাহলে $x^{\frac{3}{2}} = ?$

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক. 8

খ. 16

গ. 4

ঘ. 64

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে,

\sqrt[4]{x^{3}} = 2

সমীকরণটি সমাধান করা যাক।

\sqrt[4]{x^{3}} = x^{\frac{3}{4}}

x^{\frac{3}{4}} = 2

(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}

x = 2^{\frac{4}{3}}

এখন, আমাদের

x^{\frac{3}{2}}

এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা

x

এর মানটি এখানে বসাব:

x^{\frac{3}{2}} = (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{2}}

(a^{m})^{n} = a^{m \times n}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{3} \times \frac{3}{2}}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4 \times 3}{3 \times 2}}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{12}{6}}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{2}

x^{\frac{3}{2}} = 4

অতএব, যদি

\sqrt[4]{x^{3}} = 2

হয়, তাহলে

x^{\frac{3}{2}} = 4

.

উত্তর:

4

প্রশ্নঃ $4^{x} + 4^{1 - x} = 4$ হলে, $x =$ কত?

[ বিসিএস ৪৩তম ]

ক.

\frac{1}{3}

খ.

\frac{1}{2}

ক.

\frac{1}{2}

খ.

\frac{1}{4}

গ.

1

ক.

\frac{1}{4}

খ.

\frac{1}{3}

গ.

\frac{1}{2}

ঘ.

1

উত্তরঃ

\frac{1}{2}

ব্যাখ্যাঃ

4^{x} + 4^{1 - x} = 4

আমরা $4^{1 - x}$ কে $\frac{4}{4^{x}}$ হিসেবে লিখতে পারি:

4^{x} + \frac{4}{4^{x}} = 4

ধরুন, $y = 4^{x}$ , তাহলে সমীকরণটি হয়:

y + \frac{4}{y} = 4

y^{2} + 4 = 4 y

y^{2} - 4 y + 4 = 0

(y - 2)^{2} = 0

y - 2 = 0

y = 2

4^{x} = 2

x = \log_{4} 2

আমরা জানি, $\log_{4} 2 = \frac{1}{2}$

চূড়ান্ত উত্তর:

x = \frac{1}{2}

প্রশ্নঃ $l o g_{x} \frac{1}{9} = - 2$ হলে x এর মান কোনটি?

[ বিসিএস ৪২তম ]

ক.

- \frac{1}{3}

খ. 3

ক. 2

খ.

- \frac{1}{3}

গ. 3

ক. 3

খ. 2

গ.

\frac{1}{3}

ঘ.

- \frac{1}{3}

ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমিক ফর্মকে সূচকীয় (exponential) ফর্মে রূপান্তর করি:

x^{- 2} = \frac{1}{9}

\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{9}

x^{2} = 9

x = \pm 3

ভিত্তির শর্ত পরীক্ষা

লগারিদমের ভিত্তি (

x

) ধনাত্মক হতে হয়, তাই $x = - 3$ গ্রহণযোগ্য নয়।
তাই $x = 3$ হল সঠিক উত্তর।

প্রশ্নঃ $x + 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} = 0$ হলে, $x^{3} + 6$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক. 8

খ.

6 x

ক. 4

খ.

6 x

গ. 8

ক.

4 x

খ.

6 x

গ. 4

ঘ. 8

উত্তরঃ

6 x

ব্যাখ্যাঃ

x = - (2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}})

x^{3} = - ((2^{\frac{1}{3}})^{3} + (2^{\frac{2}{3}})^{3} + 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot (2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}))

x^{3} = - (2 + 4 + 3 \cdot 2 \cdot (- x))

x^{3} = - (6 - 6 x)

x^{3} = - 6 + 6 x

x^{3} + 6 = 6 x

প্রশ্নঃ $5^{x} + {8.5}^{x} + {16.5}^{x} = 1$ হলে, $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

- 2

খ.

- \frac{1}{2}

ক.

- 3

খ.

- 2

গ.

- \frac{1}{2}

ক.

- 3

খ.

- 2

গ.

- 1

ঘ.

- \frac{1}{2}

উত্তরঃ

- 2

ব্যাখ্যাঃ

5^{x} + {8.5}^{x} + {16.5}^{x} = 1

5^{x} + (2^{3} \cdot 5^{x}) + (2^{4} \cdot 5^{x}) = 1

5^{x} (1 + 8 + 16) = 1

5^{x} \times 25 = 1

5^{x} = \frac{1}{25}

5^{x} = 5^{- 2}

সুতরাং, $x = - 2$ ।

প্রশ্নঃ $l o g_{2} l o g_{\sqrt{e}} e^{2} = ?$

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

2

খ.

1

ক.

2

খ.

- 1

গ.

1

ক.

- 2

খ.

- 1

গ.

1

ঘ.

2

উত্তরঃ

2

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ভিতরের লগারিদমটা আগে সমাধান করি:

\log_{\sqrt{e}} e^{2}

এখানে

\sqrt{e} = e^{1 / 2}

, তাই আমরা পরিবর্তন করি:

\log_{e^{1 / 2}} e^{2}

লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী:

\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}

= \frac{\log_{e} e^{2}}{\log_{e} e^{1 / 2}} = \frac{2}{1 / 2} = 4

ধাপ ২: এখন আসে বাইরের লগারিদম:

\log_{2} 4 = 2

উত্তর: ঘঃ 2

প্রশ্নঃ $x^{x^{\sqrt{x}}} = (x \sqrt{x})^{x}$ হয়, তবে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪০তম ]

ক.

\frac{4}{9}

খ.

\frac{9}{4}

ক.

\frac{9}{4}

খ.

\frac{2}{3}

গ.

\frac{4}{9}

ক.

\frac{3}{2}

খ.

\frac{4}{9}

গ.

\frac{9}{4}

ঘ.

\frac{2}{3}

উত্তরঃ

\frac{9}{4}

ব্যাখ্যাঃ

প্রশ্নঃ কোন শর্তে $l o g_{a} 1 = 0 ?$

[ বিসিএস ৪০তম ]

ক.

a \neq 1, a < 0

খ.

a > 0, a \neq 1

ক.

a > 0, a \neq 1

খ.

a \neq 0, a > 1

গ.

a > 0, a = 1

ক.

a > 0, a \neq 1

খ.

a \neq 0, a > 1

গ.

a > 0, a = 1

ঘ.

a \neq 1, a < 0

উত্তরঃ

a > 0, a \neq 1

ব্যাখ্যাঃ লগারিদমের মৌলিক সূত্র অনুযায়ী,

\log_{a} 1 = 0 কারণ a^{0} = 1

এটি তখনই বৈধ যখন বেস

a

এর মান হয় ধনাত্মক এবং ১ এর সমান নয়, অর্থাৎ:

a > 0 এবং a \neq 1

প্রশ্নঃ $125 (\sqrt{5})^{2 x} = 1$ হলে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৯তম ]

ক.

- 3

খ.

3

ক.

- 3

খ.

9

গ.

7

ক.

3

খ.

- 3

গ.

7

ঘ.

9

উত্তরঃ

- 3

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

125 (\sqrt{5})^{2 x} = 1

প্রথমে,

125

কে

5

এর ঘাত হিসেবে লিখি:

125 = 5^{3}

এবং

\sqrt{5}

কে

5

এর ঘাত হিসেবে লিখি:

\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}

এখন সমীকরণে মানগুলো বসাই:

5^{3} \cdot (5^{\frac{1}{2}})^{2 x} = 1

5^{3} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2 x} = 1

5^{3} \cdot 5^{x} = 1

ঘাতের নিয়ম অনুযায়ী,

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

, তাই:

5^{3 + x} = 1

যেহেতু

1

কে যেকোনো সংখ্যার

0

ঘাত হিসেবে লেখা যায় (

a^{0} = 1

), আমরা

1

কে

5^{0}

হিসেবে লিখব:

5^{3 + x} = 5^{0}

এখন, যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি একই (5), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:

3 + x = 0

x = - 3

সুতরাং,

x

এর মান হলো

- 3

।

প্রশ্নঃ $l o g_{x} (\frac{1}{8}) = - 2$ হলে, $x =$ কত?

[ বিসিএস ৩৮তম ]

ক. 4

খ.

2 \sqrt{2}

ক.

2 \sqrt{2}

খ. 2

গ. 4

ক. 2

খ.

\sqrt{2}

গ.

2 \sqrt{2}

ঘ. 4

উত্তরঃ

2 \sqrt{2}

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে,

\log_{x} (\frac{1}{8}) = - 2

।

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি

\log_{b} a = c

হয়, তাহলে

b^{c} = a

।

এই সংজ্ঞাটি প্রয়োগ করে আমরা পাই:

x^{- 2} = \frac{1}{8}

এখন, ঋণাত্মক ঘাতকে ধনাত্মক ঘাতকে পরিবর্তন করি:

\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{8}

উভয় পক্ষকে উল্টিয়ে পাই:

x^{2} = 8

x

এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষের বর্গমূল করি:

x = \sqrt{8}

x = \sqrt{4 \times 2}

x = 2 \sqrt{2}

যেহেতু ভিত্তি

x

অবশ্যই ধনাত্মক হবে (লগারিদমের শর্ত অনুযায়ী), তাই আমরা শুধু ধনাত্মক বর্গমূলটি নিব।

সুতরাং,

x = 2 \sqrt{2}

।

প্রশ্নঃ $2^{x} + 2^{1 - x} = 3$ হলে, $x =$ কত?

[ বিসিএস ৩৮তম ]

ক. (1, 2)

খ. (0, 2)

গ. (1, 3)

ঘ. (0, 1)

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে,

2^{x} + 2^{1 - x} = 3

।

আমরা

2^{1 - x}

কে এভাবে লিখতে পারি:

2^{1 - x} = \frac{2^{1}}{2^{x}} = \frac{2}{2^{x}}

।

এখন সমীকরণটিকে পুনরায় লিখি:

2^{x} + \frac{2}{2^{x}} = 3

ধরি,

y = 2^{x}

। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

y + \frac{2}{y} = 3

এখন উভয় পক্ষকে

y

দ্বারা গুণ করি (যেহেতু

y = 2^{x}

,

y

এর মান কখনো ০ হতে পারে না):

y^{2} + 2 = 3 y

সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে লিখি:

y^{2} - 3 y + 2 = 0

এই দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:

y^{2} - 2 y - y + 2 = 0

y (y - 2) - 1 (y - 2) = 0

(y - 1) (y - 2) = 0

সুতরাং,

y - 1 = 0

অথবা

y - 2 = 0

।

কেস ১: $y - 1 = 0$

y = 1

আমরা ধরেছিলাম

y = 2^{x}

।

2^{x} = 1

আমরা জানি

2^{0} = 1

।
সুতরাং,

x = 0

।

কেস ২: $y - 2 = 0$

y = 2

আমরা ধরেছিলাম

y = 2^{x}

।

2^{x} = 2

আমরা জানি

2^{1} = 2

।
সুতরাং,

x = 1

।

অতএব,

x

এর মান হলো

0

অথবা

1

।

প্রশ্নঃ $l o g_{x} (\frac{3}{2}) = - \frac{1}{2}$ হলে, $x$ -এর মান-

[ বিসিএস ৩৭তম ]

ক.

\frac{4}{9}

খ.

\sqrt{\frac{3}{2}}

ক.

\frac{9}{4}

খ.

\sqrt{\frac{3}{2}}

গ.

\frac{4}{9}

ক.

\frac{4}{9}

খ.

\frac{9}{4}

গ.

\sqrt{\frac{3}{2}}

ঘ.

\sqrt{\frac{2}{3}}

উত্তরঃ

\frac{4}{9}

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ:

\log_{x} (\frac{3}{2}) = - \frac{1}{2}

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি

\log_{b} a = c

হয়, তাহলে

b^{c} = a

লেখা যায়।

এই সংজ্ঞা ব্যবহার করে, আমরা প্রদত্ত সমীকরণকে এভাবে লিখতে পারি:

x^{- \frac{1}{2}} = \frac{3}{2}

আমরা জানি যে

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

। সুতরাং,

\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}

আমরা আরও জানি যে

a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}

। সুতরাং,

\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2}

এখন

x

-এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষকে উল্টে দিই:

\sqrt{x} = \frac{2}{3}

এবার

x

-এর মান পেতে উভয় পক্ষকে বর্গ করি:

(\sqrt{x})^{2} = {(\frac{2}{3})}^{2}

x = \frac{2^{2}}{3^{2}}

x = \frac{4}{9}

সুতরাং,

x

-এর মান $\frac{4}{9}$ ।

প্রশ্নঃ $l o g_{\sqrt{3}} 81$ কত?

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. 8

খ.

\frac{1}{8}

ক. 8

খ.

27 \sqrt{3}

গ.

\frac{1}{8}

ক. 4

খ.

27 \sqrt{3}

গ. 8

ঘ.

\frac{1}{8}

ব্যাখ্যাঃ আমরা

l o g_{\sqrt{3}} 81

-এর মান নির্ণয় করব।

ধরি,

l o g_{\sqrt{3}} 81 = y

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, এর অর্থ হলো:

(\sqrt{3})^{y} = 81

এখন, উভয় পক্ষকে

3

-এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করি:

\sqrt{3} = 3^{1 / 2}

81 = 3^{4}

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়ায়:

(3^{1 / 2})^{y} = 3^{4}

3^{(1 / 2) y} = 3^{4}

যেহেতু ভিত্তি (base) উভয় পাশে একই (

3

), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:

\frac{1}{2} y = 4

y = 4 \times 2

y = 8

সুতরাং,

l o g_{\sqrt{3}} 81

এর মান হলো ৮।

প্রশ্নঃ যদি $(25)^{2 x + 3} = 5^{3 x + 6}$ হয় তবে $x =$ কত?

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. 0

খ.

- 1

ক. 0

খ. 1

গ.

- 1

ঘ. 4

ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি নিচে সমাধান করা হলো:

(25)^{2 x + 3} = 5^{3 x + 6}

আমরা জানি যে

25 = 5^{2}

। এই মানটি সমীকরণে বসাই:

(5^{2})^{2 x + 3} = 5^{3 x + 6}

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী,

(a^{m})^{n} = a^{m n}

, তাই আমরা বাম পাশের ঘাতগুলো গুণ করব:

5^{2 (2 x + 3)} = 5^{3 x + 6}

5^{4 x + 6} = 5^{3 x + 6}

যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (base) একই (

5

), তাই ঘাতগুলোও সমান হতে হবে:

4 x + 6 = 3 x + 6

এখন

x

-এর মান নির্ণয় করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি:

4 x - 3 x = 6 - 6

x = 0

সুতরাং,

x

-এর মান হলো ০।

প্রশ্নঃ $\sqrt{১ ৫ . ৬ ০ ২ ৫} = ?$

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. ৩.৮৫

খ. ৩.৭৫

গ. ৩.৯৫

ঘ. ৩.৬৫

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে দশমিক বাদ দিয়ে সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করি, অর্থাৎ

\sqrt{১ ৫ ৬ ০ ২ ৫}

।
যেহেতু সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক ৫, তাই এর বর্গমূলের শেষ অঙ্ক ৫ হবে।
আমরা জানি

395^{2} = 156025

।

এখন, আসল সংখ্যাটিতে দশমিক বিন্দুর পর ৪টি অঙ্ক আছে। তাই বর্গমূলে দশমিক বিন্দুর পর

৪ \div ২ = ২

টি অঙ্ক থাকবে।

সুতরাং,

\sqrt{১ ৫ . ৬ ০ ২ ৫} = ৩ . ৯ ৫

অতএব, $\sqrt{১৫.৬০২৫} = ৩.৯৫$।

প্রশ্নঃ $\sqrt{- 8} \times \sqrt{- 2} =$ কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

- 4

খ. 4

ক.

- 4

খ.

4 i

গ. 4

ক. 4

খ.

4 i

গ.

- 4

ঘ.

- 4 i

উত্তরঃ

- 4

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি,

\sqrt{- 1} = i

(কাল্পনিক একক)।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\sqrt{- 8} = \sqrt{8 \times (- 1)} = \sqrt{8} \times \sqrt{- 1} = \sqrt{4 \times 2} \times i = 2 \sqrt{2} i

এবং,

\sqrt{- 2} = \sqrt{2 \times (- 1)} = \sqrt{2} \times \sqrt{- 1} = \sqrt{2} i

এখন, এদের গুণফল হবে:

\sqrt{- 8} \times \sqrt{- 2} = (2 \sqrt{2} i) \times (\sqrt{2} i)

= 2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \times (i \times i)

= 2 \times 2 \times i^{2}

আমরা জানি,

i^{2} = - 1

.

সুতরাং,

= 4 \times (- 1)

= - 4

অতএব,

\sqrt{- 8} \times \sqrt{- 2} = - 4

প্রশ্নঃ $l o g_{a} (\frac{1}{9})$ এর মান-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. 2

খ. -2

গ. 3

ঘ. -3

প্রশ্নঃ $l o g_{a} x = 1, l o g_{a} y = 2$ এবং $l o g_{a} z = 3$ হলে, $l o g_{a} (\frac{x ² y ²}{z})$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. 1

খ. 2

গ. 4

ঘ. 5

প্রশ্নঃ $\sqrt{169}$ is equal to -

[ বিসিএস ৩৪তম ]

ক. 11

খ. 13

গ. 15

ঘ. 17

প্রশ্নঃ $(\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{4})^{6}$ = কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক. 12

খ. 48

গ. 36

ঘ. 144

প্রশ্নঃ যদি $(\frac{a}{b})^{x - 3} = (\frac{b}{a})^{x - 5}$ হয় তবে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক. 8

খ. 3

গ. 5

ঘ. 4

প্রশ্নঃ $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{3}}} =$ কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক.

a^{3}

খ.

a^{\frac{1}{3}}

ক. 1

খ.

a^{\frac{1}{3}}

গ.

a^{3}

ক. a

খ. 1

গ.

a^{\frac{1}{3}}

ঘ.

a^{3}

উত্তরঃ

a^{\frac{1}{3}}

প্রশ্নঃ $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}$ কত?

[ বিসিএস ৩২তম ]

ক.

\sqrt{3} + \sqrt{2}

খ.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ক.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

খ.

\sqrt{3} + 2

গ.

\sqrt{3} + \sqrt{2}

ক.

\sqrt{3} + \sqrt{2}

খ.

3 + \sqrt{2}

গ.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ঘ.

\sqrt{3} + 2

উত্তরঃ

\sqrt{3} - \sqrt{2}

প্রশ্নঃ $l o g_{2} \frac{1}{32}$ এর মান –

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক.

- 5

খ.

\frac{1}{25}

ক.

\frac{1}{25}

খ.

- 5

গ.

\frac{1}{5}

ক.

\frac{1}{25}

খ.

- 5

গ.

\frac{1}{5}

ঘ.

\frac{- 1}{5}

উত্তরঃ

- 5

প্রশ্নঃ $(\sqrt{3} . \sqrt{5})^{4}$ - এর মান কত?

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক. 30

খ. 60

গ. 225

ঘ. 15

ব্যাখ্যাঃ

(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^{4} = (\sqrt{15})^{4}

এখন,

(\sqrt{15})^{4}

কে লিখতে পারি:

(\sqrt{15})^{4} = (\sqrt{15})^{2} \cdot (\sqrt{15})^{2}

এখন,

(\sqrt{15})^{2} = 15

হয়, তাই:

(\sqrt{15})^{2} \cdot (\sqrt{15})^{2} = 15 \cdot 15 = 225

সুতরাং,

(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^{4} = 225

প্রশ্নঃ $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}$ সমান-

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক.

\sqrt{3} + \sqrt{2}

খ.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ক.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

খ.

\sqrt{3} + 2

গ.

8 - \sqrt{2}

ক.

\sqrt{3} + \sqrt{2}

খ.

8 - \sqrt{2}

গ.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ঘ.

\sqrt{3} + 2

উত্তরঃ

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ভগ্নাংশটি সরলীকরণ করব:

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}

### ধাপ ১: হর থেকে ঐকিক পদ সরানো (যূক্পদ মুক্ত করা) হরকে যূক্পদ মুক্ত করতে আমরা সঙ্গতি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করব। সঙ্গতি ভগ্নাংশ হবে $\sqrt{6} - 2$ , তাই আমরা হর ও লব দুটোতেই এটি দ্বারা গুণ করবো:

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \times \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} - 2}

### ধাপ ২: হরের গুণফল নির্ণয়

(\sqrt{6} + 2) (\sqrt{6} - 2)

এটি $a^{2} - b^{2}$ সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

6 - 4 = 2

অর্থাৎ, হর = 2। ### ধাপ ৩: লবের গুণফল নির্ণয়

\sqrt{2} (\sqrt{6} - 2)

= \sqrt{12} - 2 \sqrt{2}

= 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}

### ধাপ ৪: ভগ্নাংশ সরলীকরণ

\frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2}

= \sqrt{3} - \sqrt{2}

--- ### উত্তর:

\sqrt{3} - \sqrt{2} ✅

প্রশ্নঃ $(\frac{১ ২ ৫}{২ ৭})^{- \frac{২}{৩}}$ - এর সহজ প্রকাশ?

[ বিসিএস ১৭তম ]

ক.

\frac{১}{২ ৫}

খ.

\frac{৯}{২ ৫}

ক.

\frac{৯}{২ ৫}

খ.

\frac{৫}{২ ০}

গ.

\frac{১}{২ ৫}

ক.

\frac{১}{২ ৫}

খ.

\frac{৫}{২ ০}

গ.

\frac{৯}{২ ৫}

ঘ.

\frac{৩}{২ ০}

উত্তরঃ

\frac{৯}{২ ৫}

ব্যাখ্যাঃ ধরি,

{(\frac{১ ২ ৫}{২ ৭})}^{- \frac{২}{৩}}

প্রথমে ভগ্নাংশটির হারের মান বের করি:

\frac{১ ২ ৫}{২ ৭} = (\frac{৫^{৩}}{৩^{৩}}) = {(\frac{৫}{৩})}^{৩}

এখন, এই মানটির উপর শক্তি প্রয়োগ করি:

{(\frac{৫}{৩})}^{৩}

এই মানটির উপর

- \frac{২}{৩}

প্রয়োগ করতে হবে:

{({(\frac{৫}{৩})}^{৩})}^{- \frac{২}{৩}}

এখন আমরা শক্তির নিয়ম প্রয়োগ করি:

{({(\frac{৫}{৩})}^{৩})}^{- \frac{২}{৩}} = {(\frac{৫}{৩})}^{৩ \cdot - \frac{২}{৩}} = {(\frac{৫}{৩})}^{- ২}

এখন শক্তি সরল করি:

{(\frac{৫}{৩})}^{- ২} = {(\frac{৩}{৫})}^{২}

শেষে,

{(\frac{৩}{৫})}^{২} = \frac{৯}{২ ৫}

অতএব,

(\frac{১ ২ ৫}{২ ৭})^{- \frac{২}{৩}}

এর সরল প্রকাশ হলো

\frac{৯}{২ ৫}

।

প্রশ্নঃ $a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$ কখন হবে?

[ বিসিএস ১৪তম ]

ক. m ধনাত্মক হলে

খ. n ধনাত্মক হলে

গ. m ও n ধনাত্মক হলে

ঘ. m ধনাত্মক ও n ঋণাত্মক হলে

ব্যাখ্যাঃ

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

সমীকরণটি প্রযোজ্য হবে যখন

a

একই সংখ্যা এবং

m

ও

n

দুইটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (ধরা যাক

a \neq 0

)।

অর্থাৎ,

a

এর একই ভিত্তি এবং তাদের ঘাত যোগফল সমান হবে, তখনই এই সমীকরণটি সত্যি হবে।

প্রশ্নঃ ৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?

[ বিসিএস ১৩তম ]

ক. ৩

খ. ৪

গ. ৫

ঘ. ৬

ব্যাখ্যাঃ

32 = 2^{5}

এখন, লগারিদম সূত্র অনুযায়ী:

\log_{2} 32 = \log_{2} 2^{5} = 5

অতএব,

32

এর

2

ভিত্তিক লগারিদম হল

5

।

প্রশ্নঃ $[২ - ৩ (২ - ৩)^{- ১}]^{- ১}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৩তম ]

ক.

\frac{১}{৫}

খ.

- 5

ক.

\frac{১}{৫}

খ. 5

গ.

- 5

ক. 5

খ.

- 5

গ.

\frac{১}{৫}

ঘ.

- \frac{১}{৫}

উত্তরঃ

\frac{১}{৫}

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশিটি হলো:

[২ - ৩ (২ - ৩)^{- ১}]^{- ১}

এটি সমাধান করতে আমরা ধাপে ধাপে এগোই।

ধাপ ১: ভিতরের বন্ধনী সমাধান
প্রথমে ভিতরের বন্ধনী

(২ - ৩)^{- ১}

সমাধান করি:

২ - ৩ = - ১

(২ - ৩)^{- ১} = (- ১)^{- ১} = - ১

ধাপ ২: মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন
এখন মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন করি:

[২ - ৩ \times (- ১)]^{- ১}

ধাপ ৩: গুণন সমাধান

৩ \times (- ১) = - ৩

ধাপ ৪: যোগ সমাধান

২ - (- ৩) = ২ + ৩ = ৫

ধাপ ৫: শেষ ধাপ
এখন রাশিটি হলো:

[৫]^{- ১} = \frac{১}{৫}

ফলাফল

[২ - ৩ (২ - ৩)^{- ১}]^{- ১} = \frac{১}{৫}

অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান $\frac{১}{৫}$ ।

প্রশ্নঃ $a^{- 3} = 0.2$ হলে $a^{12}$ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]

ক. 525

খ. 125

গ. 625

ঘ. 526

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:

a^{- 3} = 0.2

প্রথমে

a^{- 3} = \frac{1}{a^{3}}

, সুতরাং

\frac{1}{a^{3}} = 0.2 \Rightarrow a^{3} = \frac{1}{0.2} = 5

এখন,

a^{12} = (a^{3})^{4} = 5^{4} = 625

উত্তর: $a^{12} = 625$

প্রশ্নঃ $9^{x} + 9^{x} + 9^{x} =$ কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]

ক.

27^{x}

খ.

3^{2 x + 1}

ক.

27^{x}

খ.

3 x^{3}

গ.

3^{2 x + 1}

ক.

9^{3 x}

খ.

3^{2 x + 1}

গ.

27^{x}

ঘ.

3 x^{3}

উত্তরঃ

3^{2 x + 1}

ব্যাখ্যাঃ আমরা

9^{x} + 9^{x} + 9^{x}

-কে সহজভাবে লিখতে পারি।
ধরি,

9^{x}

একটি সাধারণ পদ। তাহলে:

9^{x} + 9^{x} + 9^{x} = 3 \cdot 9^{x}

9^{x} + 9^{x} + 9^{x} = 3 \cdot 9^{x}

{3.3}^{2 x}

3^{2 x + 1}

প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গমূল কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. ০.০০১

খ. ১

গ. ০.১

ঘ. ০.০১

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ

০ . ০ ০ ০ ১ = \frac{1}{10000}

ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয়

\sqrt{০ . ০ ০ ০ ১} = \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10000}} = \frac{1}{100} = ০ . ০ ১

উত্তর: ০.০০০১ এর বর্গমূল হলো:

০ . ০ ১

প্রশ্নঃ $\sqrt{২ ৮ ৯}$ এর বর্গমূল হল-

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. অমূলদ

খ. স্বাভাবিক

গ. পূর্ণসংখ্যা

ঘ. মূলদ

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে,

\sqrt{২ ৮ ৯}

গণনা করি।

\sqrt{২ ৮ ৯} = ১ ৭

এখন বিশ্লেষণ:
১.

১ ৭

হলো একটি পূর্ণসংখ্যা। তাই এটি পূর্ণসংখ্যা।
২.

১ ৭

হলো একটি মূলদ সংখ্যা, কারণ এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় (

\frac{১ ৭}{১}

)।
৩. এটি কোনো অমূলদ সংখ্যা নয়, কারণ এটি দশমিক বা অসীম ধারা তৈরি করে না।
৪.

১ ৭

একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কারণ স্বাভাবিক সংখ্যা হলো সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর: গঃ পূর্ণসংখ্যা এবং ঘঃ মূলদ।

প্রশ্নঃ ০.১ এর বর্গমূল কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. ০.১

খ. ০.০১

গ. ০.২৫

ঘ. ০.৩১

ব্যাখ্যাঃ ০.১ এর বর্গমূল নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করব:

ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ

০ . ১ = \frac{1}{10}

ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয়

\sqrt{০ . ১} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx ০ . ৩ ১ ৬ ২

উত্তর: ০.১ এর বর্গমূল হলো:

০ . ৩ ১

প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গমূল কোনটি?

[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]

ক. ০.০১

খ. ১

গ. ০.২

ঘ. .১

ব্যাখ্যাঃ

০.০১ × ০.০১ = ০.০০০১

সুতরাং ০.০০০১ এর বর্গমূল ০.০১

প্রশ্নঃ 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]

ক. 6

খ. 3

গ. 4

ঘ. 5

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে:

\log_{2} 32 = x ⟹ 2^{x} = 32

এখন,

32

কে

2

-এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করি:

32 = 2^{5}

অতএব,

2^{x} = 2^{5}

ঘাতের সমতা থেকে পাই:

x = 5

উত্তর:

5

প্রশ্নঃ ২৪৫০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]

ক. ৩

খ. ২

গ. ৪

ঘ. ৫

ব্যাখ্যাঃ পূর্ণবর্গ সংখ্যা পাওয়ার জন্য আমাদের ২৪৫০ সংখ্যাটির মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করতে হবে।

প্রথমে মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করি:

2450 = 2 \times 5^{2} \times 7^{2}

পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত সমান হতে হবে। এখানে 2 একক ঘাতে আছে, তাই একে পূর্ণবর্গ করতে আরও 2 দ্বারা গুণ করতে হবে।

সুতরাং, ২৪৫০ সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা গুণ করলে এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

পূর্ণবর্গ সংখ্যা:

2450 \times 2 = 4900 = (70)^{2}

সুতরাং, গুণনীয়ক হবে ২।

বিকল্প নিয়ম:
২৪৫০ × ২
= ৪৯০০
= ✓৪৯০০
= ৭০
অর্থাৎ ২ দ্বারা গুণ করতে হবে ।

প্রশ্নঃ 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]

ক. 4

খ. 5

গ. 6

ঘ. 3

ব্যাখ্যাঃ

\log_{2} 32

এর মান নির্ণয়ের জন্য আমরা দেখি

32

কে

2

এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়:

32 = 2^{5}

এখন, লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী:

\log_{2} 32 = \log_{2} (2^{5})

= 5 \times \log_{2} 2

= 5 \times 1

= 5

সুতরাং, $\log_{2} 32 = 5$ ।

প্রশ্নঃ $\sqrt{0.000009} = ?$

[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]

ক. 0.0003

খ. 0.03

গ. 0.3

ঘ. 0.003

ব্যাখ্যাঃ আমরা

\sqrt{0.000009}

নির্ণয় করতে পারি—

0.000009 = 9 \times 10^{- 6}

এখন, বর্গমূল বের করি:

\sqrt{0.000009} = \sqrt{9 \times 10^{- 6}}

= \sqrt{9} \times \sqrt{10^{- 6}}

= 3 \times 10^{- 3}

= 0.003

সুতরাং, $\sqrt{0.000009} = 0.003$ ।

প্রশ্নঃ $x^{3} = 64$ হলে $x$ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]

ক. 3

খ. 4

গ. 5

ঘ. 6

ব্যাখ্যাঃ আমরা

x^{3} = 64

সমীকরণটি সমাধান করতে চাই। প্রথমে, উভয় পাশে ঘনমূল (

\sqrt[3]{}

) নিই—

x = \sqrt[3]{64}

আমরা জানি,

64 = 4^{3}

তাহলে,

x = 4

সুতরাং, $x$ এর মান হবে ৪।

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ $2^{l o g_{2} 3 + l o g_{2} 5}$ এর মান কত?

ধাপে ধাপে সমাধান:

চূড়ান্ত উত্তর:

লগইন করুন

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ 2log23+log25 এর মান কত?

ধাপে ধাপে সমাধান:

চূড়ান্ত উত্তর:

Related MCQ

ধাপে ধাপে সমাধান:

ধাপে ধাপে সমাধান:

১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা

২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা

সুতরাং, x=110 বা 0.1।

চূড়ান্ত উত্তর:

ভিত্তির শর্ত পরীক্ষা

উত্তর: ঘঃ 2

উত্তর: a12=625

প্রশ্নঃ $2^{l o g_{2} 3 + l o g_{2} 5}$ এর মান কত?

সুতরাং, $x = \frac{1}{10}$ বা $0.1$ ।

উত্তর: $a^{12} = 625$