২৪৫০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

শেয়ার করুন

চাকরি প্রস্তুতির বই ইতিহাস সূচক ও লগারিদম

প্রশ্নঃ ২৪৫০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]

ক. ৩

খ. ২

গ. ৪

ঘ. ৫

উত্তরঃ ২

ব্যাখ্যাঃ পূর্ণবর্গ সংখ্যা পাওয়ার জন্য আমাদের ২৪৫০ সংখ্যাটির মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করতে হবে।

প্রথমে মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করি:

2450 = 2 \times 5^{2} \times 7^{2}

পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত সমান হতে হবে। এখানে 2 একক ঘাতে আছে, তাই একে পূর্ণবর্গ করতে আরও 2 দ্বারা গুণ করতে হবে।

সুতরাং, ২৪৫০ সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা গুণ করলে এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

পূর্ণবর্গ সংখ্যা:

2450 \times 2 = 4900 = (70)^{2}

সুতরাং, গুণনীয়ক হবে ২।

বিকল্প নিয়ম:
২৪৫০ × ২
= ৪৯০০
= ✓৪৯০০
= ৭০
অর্থাৎ ২ দ্বারা গুণ করতে হবে ।

Related MCQ

প্রশ্নঃ $\log_{\sqrt{8}} x = 3 \frac{1}{3}$ হলে x এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৬তম ]

ক. 3

খ.

\sqrt{8}

গ. 32

ক. 32

খ. 8

গ. 3

ঘ.

\sqrt{8}

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করব:

\log_{\sqrt{8}} x = 3 \frac{1}{3}

1. ভগ্নাংশকে দশমিক বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করি:

3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3}

2. লগারিদমিক সংজ্ঞা অনুযায়ী:

x = (\sqrt{8})^{\frac{10}{3}}

3. $\sqrt{8}$ লিখি $\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}}$ :

x = (8^{\frac{1}{2}})^{\frac{10}{3}}

4. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি:

x = 8^{(\frac{1}{2} \times \frac{10}{3})}

x = 8^{\frac{10}{6}} = 8^{\frac{5}{3}}

5. $8 = 2^{3}$ হিসাবে প্রকাশ করি:

x = (2^{3})^{\frac{5}{3}}

6. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি:

x = 2^{(3 \times \frac{5}{3})}

x = 2^{5}

x = 32

উত্তর:

32

প্রশ্নঃ যদি $l o g (\frac{a}{b}) + l o g (\frac{b}{a}) = l o g (a + b)$ হয়, তবে-

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. a + b = 1

খ. a – b = 1

গ. a = b

ঘ. a² – b² = 1

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে সমাধান করবো:

\log (\frac{a}{b}) + \log (\frac{b}{a}) = \log (a + b)

ধাপে ধাপে সমাধান:

১. Logarithmic সূত্র অনুযায়ী,

\log x + \log y = \log (x \cdot y)

তাহলে বামপক্ষকে পরিবর্তন করি:

\log (\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}) = \log (a + b)

২. সরলীকরণ:

\log (1) = \log (a + b)

৩. যেহেতু $\log 1 = 0$ এবং লগarithemic ফাংশন এক-একভাবে কাজ করে, তাই পাই:

a + b = 1

সঠিক উত্তর: কঃ a + b = 1

প্রশ্নঃ $2^{x + 7} = 4^{x + 2}$ হলে x এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. 2

খ. 3

গ. 4

ঘ. 6

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি সরলীকরণ করবো:

2^{x + 7} = 4^{x + 2}

ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
আমরা জানি,

4 = 2^{2}

, তাই $4^{x + 2}$ -কে $2$ এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়:

2^{x + 7} = (2^{2})^{x + 2}

এখন, ঘাতের নিয়ম অনুসারে:

(2^{2})^{x + 2} = 2^{2 (x + 2)}

তাহলে, সমীকরণ দাঁড়ায়:

2^{x + 7} = 2^{2 x + 4}

x + 7 = 2 x + 4

x + 7 - 4 = 2 x

x + 3 = 2 x

3 = 2 x - x

x = 3

সঠিক উত্তর:

x = 3

প্রশ্নঃ $\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} + 1 = 5$ হলে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৬তম ]

ক. 3

খ. 4

গ. 5

ঘ. 6

ব্যাখ্যাঃ

\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} + 1 = 5

\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} = 5 - 1

\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} = 4

2^{x - 3} = 8

2^{x - 3} = 2^{3}

x - 3 = 3

x = 3 + 3

x = 6

সুতরাং,

x

এর মান হলো 6।

প্রশ্নঃ $2 l o g 105 + l o g 1036 - l o g 109 = ?$

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক. 2

খ. 100

গ. 37

ঘ. 4.6

ব্যাখ্যাঃ

\begin{aligned} = 2 \log_{10} 5 + \log_{10} 36 - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (5^{2}) + \log_{10} 36 - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} 25 + \log_{10} 36 - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (25 \times 36) - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (900) - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (\frac{900}{9}) \\ = \log_{10} (100) \\ = \log_{10} (10^{2}) \\ = 2 \log_{10} (10) \\ = 2 \times 1 \\ = 2 \end{aligned}

প্রশ্নঃ $l o g 10 x = - 1$ হয়, তাহলে নিচের কোনটি $x$ এর মান?

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক.

\frac{1}{10000}

খ. 0.1

ক. 0.1

খ. 0.01

গ.

\frac{1}{10000}

ঘ. 0.001

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে $x$ এর মান নির্ণয় করতে যাচ্ছি।

ধাপে ধাপে সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

\log 10 x = - 1

১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা

লগারিদম সংজ্ঞা অনুযায়ী—

10^{\log 10 x} = 10^{- 1}

যেহেতু $\log 10 x$ কেবলমাত্র $x$ কে প্রকাশ করে, তাই—

x = 10^{- 1}

২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা

x = \frac{1}{10}

সুতরাং, $x = \frac{1}{10}$ বা $0.1$ ।

প্রশ্নঃ যদি $\sqrt[4]{x^{3}} = 2$ হয়, তাহলে $x^{\frac{3}{2}} = ?$

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক. 8

খ. 16

গ. 4

ঘ. 64

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে,

\sqrt[4]{x^{3}} = 2

সমীকরণটি সমাধান করা যাক।

\sqrt[4]{x^{3}} = x^{\frac{3}{4}}

x^{\frac{3}{4}} = 2

(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}

x = 2^{\frac{4}{3}}

এখন, আমাদের

x^{\frac{3}{2}}

এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা

x

এর মানটি এখানে বসাব:

x^{\frac{3}{2}} = (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{2}}

(a^{m})^{n} = a^{m \times n}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{3} \times \frac{3}{2}}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4 \times 3}{3 \times 2}}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{12}{6}}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{2}

x^{\frac{3}{2}} = 4

অতএব, যদি

\sqrt[4]{x^{3}} = 2

হয়, তাহলে

x^{\frac{3}{2}} = 4

.

উত্তর:

4

প্রশ্নঃ $2^{l o g_{2} 3 + l o g_{2} 5}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৩তম ]

ক. 8

খ. 2

গ. 15

ঘ. 10

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত প্রকাশটি সরলীকরণ করতে পারি:

2^{\log_{2} 3 + \log_{2} 5}

ধাপে ধাপে সমাধান:

ধাপ ১: লগারিদমের যোগের সূত্র প্রয়োগ

\log_{b} x + \log_{b} y = \log_{b} (x \times y)

\log_{2} 3 + \log_{2} 5 = \log_{2} (3 \times 5) = \log_{2} 15

ধাপ ২: সূচকের লগারিদম সূত্র প্রয়োগ

a^{\log_{a} x} = x

এটি প্রয়োগ করলে,

2^{\log_{2} 15} = 15

চূড়ান্ত উত্তর:

15

প্রশ্নঃ $4^{x} + 4^{1 - x} = 4$ হলে, $x =$ কত?

[ বিসিএস ৪৩তম ]

ক.

\frac{1}{3}

খ.

\frac{1}{2}

ক.

\frac{1}{4}

খ.

1

গ.

\frac{1}{2}

ক.

\frac{1}{4}

খ.

\frac{1}{3}

গ.

\frac{1}{2}

ঘ.

1

উত্তরঃ

\frac{1}{2}

ব্যাখ্যাঃ

4^{x} + 4^{1 - x} = 4

আমরা $4^{1 - x}$ কে $\frac{4}{4^{x}}$ হিসেবে লিখতে পারি:

4^{x} + \frac{4}{4^{x}} = 4

ধরুন, $y = 4^{x}$ , তাহলে সমীকরণটি হয়:

y + \frac{4}{y} = 4

y^{2} + 4 = 4 y

y^{2} - 4 y + 4 = 0

(y - 2)^{2} = 0

y - 2 = 0

y = 2

4^{x} = 2

x = \log_{4} 2

আমরা জানি, $\log_{4} 2 = \frac{1}{2}$

চূড়ান্ত উত্তর:

x = \frac{1}{2}

প্রশ্নঃ $l o g_{x} \frac{1}{9} = - 2$ হলে x এর মান কোনটি?

[ বিসিএস ৪২তম ]

ক. 3

খ.

- \frac{1}{3}

ক. 3

খ.

\frac{1}{3}

গ.

- \frac{1}{3}

ক. 3

খ. 2

গ.

\frac{1}{3}

ঘ.

- \frac{1}{3}

ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমিক ফর্মকে সূচকীয় (exponential) ফর্মে রূপান্তর করি:

x^{- 2} = \frac{1}{9}

\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{9}

x^{2} = 9

x = \pm 3

ভিত্তির শর্ত পরীক্ষা

লগারিদমের ভিত্তি (

x

) ধনাত্মক হতে হয়, তাই $x = - 3$ গ্রহণযোগ্য নয়।
তাই $x = 3$ হল সঠিক উত্তর।

প্রশ্নঃ $x + 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} = 0$ হলে, $x^{3} + 6$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক. 4

খ.

6 x

ক.

6 x

খ. 4

গ. 8

ক.

4 x

খ.

6 x

গ. 4

ঘ. 8

উত্তরঃ

6 x

ব্যাখ্যাঃ

x = - (2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}})

x^{3} = - ((2^{\frac{1}{3}})^{3} + (2^{\frac{2}{3}})^{3} + 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot (2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}))

x^{3} = - (2 + 4 + 3 \cdot 2 \cdot (- x))

x^{3} = - (6 - 6 x)

x^{3} = - 6 + 6 x

x^{3} + 6 = 6 x

প্রশ্নঃ $5^{x} + {8.5}^{x} + {16.5}^{x} = 1$ হলে, $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

- 1

খ.

- 2

ক.

- 3

খ.

- 2

গ.

- \frac{1}{2}

ক.

- 3

খ.

- 2

গ.

- 1

ঘ.

- \frac{1}{2}

উত্তরঃ

- 2

ব্যাখ্যাঃ

5^{x} + {8.5}^{x} + {16.5}^{x} = 1

5^{x} + (2^{3} \cdot 5^{x}) + (2^{4} \cdot 5^{x}) = 1

5^{x} (1 + 8 + 16) = 1

5^{x} \times 25 = 1

5^{x} = \frac{1}{25}

5^{x} = 5^{- 2}

সুতরাং, $x = - 2$ ।

প্রশ্নঃ $l o g_{2} l o g_{\sqrt{e}} e^{2} = ?$

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

2

খ.

- 2

ক.

2

খ.

- 2

গ.

- 1

ক.

- 2

খ.

- 1

গ.

1

ঘ.

2

উত্তরঃ

2

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ভিতরের লগারিদমটা আগে সমাধান করি:

\log_{\sqrt{e}} e^{2}

এখানে

\sqrt{e} = e^{1 / 2}

, তাই আমরা পরিবর্তন করি:

\log_{e^{1 / 2}} e^{2}

লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী:

\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}

= \frac{\log_{e} e^{2}}{\log_{e} e^{1 / 2}} = \frac{2}{1 / 2} = 4

ধাপ ২: এখন আসে বাইরের লগারিদম:

\log_{2} 4 = 2

উত্তর: ঘঃ 2

প্রশ্নঃ $x^{x^{\sqrt{x}}} = (x \sqrt{x})^{x}$ হয়, তবে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪০তম ]

ক.

\frac{3}{2}

খ.

\frac{9}{4}

ক.

\frac{4}{9}

খ.

\frac{2}{3}

গ.

\frac{9}{4}

ক.

\frac{3}{2}

খ.

\frac{4}{9}

গ.

\frac{9}{4}

ঘ.

\frac{2}{3}

উত্তরঃ

\frac{9}{4}

ব্যাখ্যাঃ

প্রশ্নঃ কোন শর্তে $l o g_{a} 1 = 0 ?$

[ বিসিএস ৪০তম ]

ক.

a > 0, a \neq 1

খ.

a \neq 1, a < 0

ক.

a > 0, a \neq 1

খ.

a \neq 0, a > 1

গ.

a \neq 1, a < 0

ক.

a > 0, a \neq 1

খ.

a \neq 0, a > 1

গ.

a > 0, a = 1

ঘ.

a \neq 1, a < 0

উত্তরঃ

a > 0, a \neq 1

ব্যাখ্যাঃ লগারিদমের মৌলিক সূত্র অনুযায়ী,

\log_{a} 1 = 0 কারণ a^{0} = 1

এটি তখনই বৈধ যখন বেস

a

এর মান হয় ধনাত্মক এবং ১ এর সমান নয়, অর্থাৎ:

a > 0 এবং a \neq 1

প্রশ্নঃ $125 (\sqrt{5})^{2 x} = 1$ হলে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৯তম ]

ক.

7

খ.

- 3

ক.

3

খ.

7

গ.

- 3

ক.

3

খ.

- 3

গ.

7

ঘ.

9

উত্তরঃ

- 3

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

125 (\sqrt{5})^{2 x} = 1

প্রথমে,

125

কে

5

এর ঘাত হিসেবে লিখি:

125 = 5^{3}

এবং

\sqrt{5}

কে

5

এর ঘাত হিসেবে লিখি:

\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}

এখন সমীকরণে মানগুলো বসাই:

5^{3} \cdot (5^{\frac{1}{2}})^{2 x} = 1

5^{3} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2 x} = 1

5^{3} \cdot 5^{x} = 1

ঘাতের নিয়ম অনুযায়ী,

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

, তাই:

5^{3 + x} = 1

যেহেতু

1

কে যেকোনো সংখ্যার

0

ঘাত হিসেবে লেখা যায় (

a^{0} = 1

), আমরা

1

কে

5^{0}

হিসেবে লিখব:

5^{3 + x} = 5^{0}

এখন, যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি একই (5), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:

3 + x = 0

x = - 3

সুতরাং,

x

এর মান হলো

- 3

।

প্রশ্নঃ $l o g_{x} (\frac{1}{8}) = - 2$ হলে, $x =$ কত?

[ বিসিএস ৩৮তম ]

ক. 4

খ.

2 \sqrt{2}

ক. 2

খ.

\sqrt{2}

গ.

2 \sqrt{2}

ক. 2

খ.

\sqrt{2}

গ.

2 \sqrt{2}

ঘ. 4

উত্তরঃ

2 \sqrt{2}

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে,

\log_{x} (\frac{1}{8}) = - 2

।

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি

\log_{b} a = c

হয়, তাহলে

b^{c} = a

।

এই সংজ্ঞাটি প্রয়োগ করে আমরা পাই:

x^{- 2} = \frac{1}{8}

এখন, ঋণাত্মক ঘাতকে ধনাত্মক ঘাতকে পরিবর্তন করি:

\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{8}

উভয় পক্ষকে উল্টিয়ে পাই:

x^{2} = 8

x

এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষের বর্গমূল করি:

x = \sqrt{8}

x = \sqrt{4 \times 2}

x = 2 \sqrt{2}

যেহেতু ভিত্তি

x

অবশ্যই ধনাত্মক হবে (লগারিদমের শর্ত অনুযায়ী), তাই আমরা শুধু ধনাত্মক বর্গমূলটি নিব।

সুতরাং,

x = 2 \sqrt{2}

।

প্রশ্নঃ $2^{x} + 2^{1 - x} = 3$ হলে, $x =$ কত?

[ বিসিএস ৩৮তম ]

ক. (1, 2)

খ. (0, 2)

গ. (1, 3)

ঘ. (0, 1)

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে,

2^{x} + 2^{1 - x} = 3

।

আমরা

2^{1 - x}

কে এভাবে লিখতে পারি:

2^{1 - x} = \frac{2^{1}}{2^{x}} = \frac{2}{2^{x}}

।

এখন সমীকরণটিকে পুনরায় লিখি:

2^{x} + \frac{2}{2^{x}} = 3

ধরি,

y = 2^{x}

। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

y + \frac{2}{y} = 3

এখন উভয় পক্ষকে

y

দ্বারা গুণ করি (যেহেতু

y = 2^{x}

y

এর মান কখনো ০ হতে পারে না):

y^{2} + 2 = 3 y

সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে লিখি:

y^{2} - 3 y + 2 = 0

এই দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:

y^{2} - 2 y - y + 2 = 0

y (y - 2) - 1 (y - 2) = 0

(y - 1) (y - 2) = 0

সুতরাং,

y - 1 = 0

অথবা

y - 2 = 0

।

কেস ১: $y - 1 = 0$

y = 1

আমরা ধরেছিলাম

y = 2^{x}

।

2^{x} = 1

আমরা জানি

2^{0} = 1

।
সুতরাং,

x = 0

।

কেস ২: $y - 2 = 0$

y = 2

আমরা ধরেছিলাম

y = 2^{x}

।

2^{x} = 2

আমরা জানি

2^{1} = 2

।
সুতরাং,

x = 1

।

অতএব,

x

এর মান হলো

0

অথবা

1

।

প্রশ্নঃ $l o g_{x} (\frac{3}{2}) = - \frac{1}{2}$ হলে, $x$ -এর মান-

[ বিসিএস ৩৭তম ]

ক.

\sqrt{\frac{2}{3}}

খ.

\frac{4}{9}

ক.

\frac{4}{9}

খ.

\sqrt{\frac{2}{3}}

গ.

\frac{9}{4}

ক.

\frac{4}{9}

খ.

\frac{9}{4}

গ.

\sqrt{\frac{3}{2}}

ঘ.

\sqrt{\frac{2}{3}}

উত্তরঃ

\frac{4}{9}

প্রশ্নঃ $l o g_{\sqrt{3}} 81$ কত?

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. 8

খ.

27 \sqrt{3}

গ. 4

ক. 4

খ.

27 \sqrt{3}

গ. 8

ঘ.

\frac{1}{8}

প্রশ্নঃ যদি $(25)^{2 x + 3} = 5^{3 x + 6}$ হয় তবে $x =$ কত?

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. 0

খ. 4

গ.

- 1

ক. 0

খ. 1

গ.

- 1

ঘ. 4

প্রশ্নঃ $\sqrt{১ ৫ . ৬ ০ ২ ৫} = ?$

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. ৩.৮৫

খ. ৩.৭৫

গ. ৩.৯৫

ঘ. ৩.৬৫

প্রশ্নঃ $\sqrt{- 8} \times \sqrt{- 2} =$ কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

4 i

খ.

- 4

ক.

- 4

খ.

- 4 i

গ. 4

ক. 4

খ.

4 i

গ.

- 4

ঘ.

- 4 i

উত্তরঃ

- 4

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি,

\sqrt{- 1} = i

(কাল্পনিক একক)।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\sqrt{- 8} = \sqrt{8 \times (- 1)} = \sqrt{8} \times \sqrt{- 1} = \sqrt{4 \times 2} \times i = 2 \sqrt{2} i

এবং,

\sqrt{- 2} = \sqrt{2 \times (- 1)} = \sqrt{2} \times \sqrt{- 1} = \sqrt{2} i

এখন, এদের গুণফল হবে:

\sqrt{- 8} \times \sqrt{- 2} = (2 \sqrt{2} i) \times (\sqrt{2} i)

= 2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \times (i \times i)

= 2 \times 2 \times i^{2}

আমরা জানি,

i^{2} = - 1

.

সুতরাং,

= 4 \times (- 1)

= - 4

অতএব,

\sqrt{- 8} \times \sqrt{- 2} = - 4

প্রশ্নঃ $l o g_{a} (\frac{1}{9})$ এর মান-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. 2

খ. -2

গ. 3

ঘ. -3

প্রশ্নঃ $l o g_{a} x = 1, l o g_{a} y = 2$ এবং $l o g_{a} z = 3$ হলে, $l o g_{a} (\frac{x ² y ²}{z})$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. 1

খ. 2

গ. 4

ঘ. 5

প্রশ্নঃ $\sqrt{169}$ is equal to -

[ বিসিএস ৩৪তম ]

ক. 11

খ. 13

গ. 15

ঘ. 17

প্রশ্নঃ $(\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{4})^{6}$ = কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক. 12

খ. 48

গ. 36

ঘ. 144

প্রশ্নঃ যদি $(\frac{a}{b})^{x - 3} = (\frac{b}{a})^{x - 5}$ হয় তবে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক. 8

খ. 3

গ. 5

ঘ. 4

প্রশ্নঃ $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{3}}} =$ কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক.

a^{3}

খ.

a^{\frac{1}{3}}

ক. a

খ. 1

গ.

a^{\frac{1}{3}}

ক. a

খ. 1

গ.

a^{\frac{1}{3}}

ঘ.

a^{3}

উত্তরঃ

a^{\frac{1}{3}}

প্রশ্নঃ $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}$ কত?

[ বিসিএস ৩২তম ]

ক.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

খ.

3 + \sqrt{2}

ক.

\sqrt{3} + \sqrt{2}

খ.

\sqrt{3} + 2

গ.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ক.

\sqrt{3} + \sqrt{2}

খ.

3 + \sqrt{2}

গ.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ঘ.

\sqrt{3} + 2

উত্তরঃ

\sqrt{3} - \sqrt{2}

প্রশ্নঃ $l o g_{2} \frac{1}{32}$ এর মান –

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক.

\frac{1}{5}

খ.

- 5

ক.

\frac{1}{25}

খ.

- 5

গ.

\frac{- 1}{5}

ক.

\frac{1}{25}

খ.

- 5

গ.

\frac{1}{5}

ঘ.

\frac{- 1}{5}

উত্তরঃ

- 5

প্রশ্নঃ $(\sqrt{3} . \sqrt{5})^{4}$ - এর মান কত?

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক. 30

খ. 60

গ. 225

ঘ. 15

ব্যাখ্যাঃ

(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^{4} = (\sqrt{15})^{4}

এখন,

(\sqrt{15})^{4}

কে লিখতে পারি:

(\sqrt{15})^{4} = (\sqrt{15})^{2} \cdot (\sqrt{15})^{2}

এখন,

(\sqrt{15})^{2} = 15

হয়, তাই:

(\sqrt{15})^{2} \cdot (\sqrt{15})^{2} = 15 \cdot 15 = 225

সুতরাং,

(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^{4} = 225

প্রশ্নঃ $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}$ সমান-

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক.

\sqrt{3} + 2

খ.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ক.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

খ.

8 - \sqrt{2}

গ.

\sqrt{3} + \sqrt{2}

ক.

\sqrt{3} + \sqrt{2}

খ.

8 - \sqrt{2}

গ.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ঘ.

\sqrt{3} + 2

উত্তরঃ

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ভগ্নাংশটি সরলীকরণ করব:

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}

### ধাপ ১: হর থেকে ঐকিক পদ সরানো (যূক্পদ মুক্ত করা) হরকে যূক্পদ মুক্ত করতে আমরা সঙ্গতি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করব। সঙ্গতি ভগ্নাংশ হবে $\sqrt{6} - 2$ , তাই আমরা হর ও লব দুটোতেই এটি দ্বারা গুণ করবো:

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \times \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} - 2}

### ধাপ ২: হরের গুণফল নির্ণয়

(\sqrt{6} + 2) (\sqrt{6} - 2)

এটি $a^{2} - b^{2}$ সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

6 - 4 = 2

অর্থাৎ, হর = 2। ### ধাপ ৩: লবের গুণফল নির্ণয়

\sqrt{2} (\sqrt{6} - 2)

= \sqrt{12} - 2 \sqrt{2}

= 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}

### ধাপ ৪: ভগ্নাংশ সরলীকরণ

\frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2}

= \sqrt{3} - \sqrt{2}

--- ### উত্তর:

\sqrt{3} - \sqrt{2} ✅

প্রশ্নঃ $(\frac{১ ২ ৫}{২ ৭})^{- \frac{২}{৩}}$ - এর সহজ প্রকাশ?

[ বিসিএস ১৭তম ]

ক.

\frac{৩}{২ ০}

খ.

\frac{৯}{২ ৫}

ক.

\frac{৫}{২ ০}

খ.

\frac{৩}{২ ০}

গ.

\frac{৯}{২ ৫}

ক.

\frac{১}{২ ৫}

খ.

\frac{৫}{২ ০}

গ.

\frac{৯}{২ ৫}

ঘ.

\frac{৩}{২ ০}

উত্তরঃ

\frac{৯}{২ ৫}

ব্যাখ্যাঃ ধরি,

{(\frac{১ ২ ৫}{২ ৭})}^{- \frac{২}{৩}}

প্রথমে ভগ্নাংশটির হারের মান বের করি:

\frac{১ ২ ৫}{২ ৭} = (\frac{৫^{৩}}{৩^{৩}}) = {(\frac{৫}{৩})}^{৩}

এখন, এই মানটির উপর শক্তি প্রয়োগ করি:

{(\frac{৫}{৩})}^{৩}

এই মানটির উপর

- \frac{২}{৩}

প্রয়োগ করতে হবে:

{({(\frac{৫}{৩})}^{৩})}^{- \frac{২}{৩}}

এখন আমরা শক্তির নিয়ম প্রয়োগ করি:

{({(\frac{৫}{৩})}^{৩})}^{- \frac{২}{৩}} = {(\frac{৫}{৩})}^{৩ \cdot - \frac{২}{৩}} = {(\frac{৫}{৩})}^{- ২}

এখন শক্তি সরল করি:

{(\frac{৫}{৩})}^{- ২} = {(\frac{৩}{৫})}^{২}

শেষে,

{(\frac{৩}{৫})}^{২} = \frac{৯}{২ ৫}

অতএব,

(\frac{১ ২ ৫}{২ ৭})^{- \frac{২}{৩}}

এর সরল প্রকাশ হলো

\frac{৯}{২ ৫}

।

প্রশ্নঃ $a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$ কখন হবে?

[ বিসিএস ১৪তম ]

ক. m ধনাত্মক হলে

খ. n ধনাত্মক হলে

গ. m ও n ধনাত্মক হলে

ঘ. m ধনাত্মক ও n ঋণাত্মক হলে

ব্যাখ্যাঃ

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

সমীকরণটি প্রযোজ্য হবে যখন

a

একই সংখ্যা এবং

m

ও

n

দুইটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (ধরা যাক

a \neq 0

)।

অর্থাৎ,

a

এর একই ভিত্তি এবং তাদের ঘাত যোগফল সমান হবে, তখনই এই সমীকরণটি সত্যি হবে।

প্রশ্নঃ ৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?

[ বিসিএস ১৩তম ]

ক. ৩

খ. ৪

গ. ৫

ঘ. ৬

ব্যাখ্যাঃ

32 = 2^{5}

এখন, লগারিদম সূত্র অনুযায়ী:

\log_{2} 32 = \log_{2} 2^{5} = 5

অতএব,

32

এর

2

ভিত্তিক লগারিদম হল

5

।

প্রশ্নঃ $[২ - ৩ (২ - ৩)^{- ১}]^{- ১}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৩তম ]

ক.

\frac{১}{৫}

খ.

- 5

ক.

\frac{১}{৫}

খ.

- 5

গ. 5

ক. 5

খ.

- 5

গ.

\frac{১}{৫}

ঘ.

- \frac{১}{৫}

উত্তরঃ

\frac{১}{৫}

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশিটি হলো:

[২ - ৩ (২ - ৩)^{- ১}]^{- ১}

এটি সমাধান করতে আমরা ধাপে ধাপে এগোই।

ধাপ ১: ভিতরের বন্ধনী সমাধান
প্রথমে ভিতরের বন্ধনী

(২ - ৩)^{- ১}

সমাধান করি:

২ - ৩ = - ১

(২ - ৩)^{- ১} = (- ১)^{- ১} = - ১

ধাপ ২: মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন
এখন মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন করি:

[২ - ৩ \times (- ১)]^{- ১}

ধাপ ৩: গুণন সমাধান

৩ \times (- ১) = - ৩

ধাপ ৪: যোগ সমাধান

২ - (- ৩) = ২ + ৩ = ৫

ধাপ ৫: শেষ ধাপ
এখন রাশিটি হলো:

[৫]^{- ১} = \frac{১}{৫}

ফলাফল

[২ - ৩ (২ - ৩)^{- ১}]^{- ১} = \frac{১}{৫}

অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান $\frac{১}{৫}$ ।

প্রশ্নঃ $a^{- 3} = 0.2$ হলে $a^{12}$ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]

ক. 525

খ. 125

গ. 625

ঘ. 526

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:

a^{- 3} = 0.2

প্রথমে

a^{- 3} = \frac{1}{a^{3}}

, সুতরাং

\frac{1}{a^{3}} = 0.2 \Rightarrow a^{3} = \frac{1}{0.2} = 5

এখন,

a^{12} = (a^{3})^{4} = 5^{4} = 625

উত্তর: $a^{12} = 625$

প্রশ্নঃ $9^{x} + 9^{x} + 9^{x} =$ কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]

ক.

9^{3 x}

খ.

3^{2 x + 1}

ক.

27^{x}

খ.

3 x^{3}

গ.

3^{2 x + 1}

ক.

9^{3 x}

খ.

3^{2 x + 1}

গ.

27^{x}

ঘ.

3 x^{3}

উত্তরঃ

3^{2 x + 1}

ব্যাখ্যাঃ আমরা

9^{x} + 9^{x} + 9^{x}

-কে সহজভাবে লিখতে পারি।
ধরি,

9^{x}

একটি সাধারণ পদ। তাহলে:

9^{x} + 9^{x} + 9^{x} = 3 \cdot 9^{x}

9^{x} + 9^{x} + 9^{x} = 3 \cdot 9^{x}

{3.3}^{2 x}

3^{2 x + 1}

প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গমূল কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. ০.০০১

খ. ১

গ. ০.১

ঘ. ০.০১

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ

০ . ০ ০ ০ ১ = \frac{1}{10000}

ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয়

\sqrt{০ . ০ ০ ০ ১} = \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10000}} = \frac{1}{100} = ০ . ০ ১

উত্তর: ০.০০০১ এর বর্গমূল হলো:

০ . ০ ১

প্রশ্নঃ $\sqrt{২ ৮ ৯}$ এর বর্গমূল হল-

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. অমূলদ

খ. স্বাভাবিক

গ. পূর্ণসংখ্যা

ঘ. মূলদ

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে,

\sqrt{২ ৮ ৯}

গণনা করি।

\sqrt{২ ৮ ৯} = ১ ৭

এখন বিশ্লেষণ:
১.

১ ৭

হলো একটি পূর্ণসংখ্যা। তাই এটি পূর্ণসংখ্যা।
২.

১ ৭

হলো একটি মূলদ সংখ্যা, কারণ এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় (

\frac{১ ৭}{১}

)।
৩. এটি কোনো অমূলদ সংখ্যা নয়, কারণ এটি দশমিক বা অসীম ধারা তৈরি করে না।
৪.

১ ৭

একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কারণ স্বাভাবিক সংখ্যা হলো সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর: গঃ পূর্ণসংখ্যা এবং ঘঃ মূলদ।

প্রশ্নঃ ০.১ এর বর্গমূল কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. ০.১

খ. ০.০১

গ. ০.২৫

ঘ. ০.৩১

ব্যাখ্যাঃ ০.১ এর বর্গমূল নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করব:

ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ

০ . ১ = \frac{1}{10}

ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয়

\sqrt{০ . ১} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx ০ . ৩ ১ ৬ ২

উত্তর: ০.১ এর বর্গমূল হলো:

০ . ৩ ১

প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গমূল কোনটি?

[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]

ক. ০.০১

খ. ১

গ. ০.২

ঘ. .১

ব্যাখ্যাঃ

০.০১ × ০.০১ = ০.০০০১

সুতরাং ০.০০০১ এর বর্গমূল ০.০১

প্রশ্নঃ 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]

ক. 6

খ. 3

গ. 4

ঘ. 5

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে:

\log_{2} 32 = x ⟹ 2^{x} = 32

এখন,

32

কে

2

-এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করি:

32 = 2^{5}

অতএব,

2^{x} = 2^{5}

ঘাতের সমতা থেকে পাই:

x = 5

উত্তর:

5

প্রশ্নঃ 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]

ক. 4

খ. 5

গ. 6

ঘ. 3

ব্যাখ্যাঃ

\log_{2} 32

এর মান নির্ণয়ের জন্য আমরা দেখি

32

কে

2

এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়:

32 = 2^{5}

এখন, লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী:

\log_{2} 32 = \log_{2} (2^{5})

= 5 \times \log_{2} 2

= 5 \times 1

= 5

সুতরাং, $\log_{2} 32 = 5$ ।

প্রশ্নঃ $\sqrt{0.000009} = ?$

[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]

ক. 0.0003

খ. 0.03

গ. 0.3

ঘ. 0.003

ব্যাখ্যাঃ আমরা

\sqrt{0.000009}

নির্ণয় করতে পারি—

0.000009 = 9 \times 10^{- 6}

এখন, বর্গমূল বের করি:

\sqrt{0.000009} = \sqrt{9 \times 10^{- 6}}

= \sqrt{9} \times \sqrt{10^{- 6}}

= 3 \times 10^{- 3}

= 0.003

সুতরাং, $\sqrt{0.000009} = 0.003$ ।

প্রশ্নঃ $x^{3} = 64$ হলে $x$ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]

ক. 3

খ. 4

গ. 5

ঘ. 6

ব্যাখ্যাঃ আমরা

x^{3} = 64

সমীকরণটি সমাধান করতে চাই। প্রথমে, উভয় পাশে ঘনমূল (

\sqrt[3]{}

) নিই—

x = \sqrt[3]{64}

আমরা জানি,

64 = 4^{3}

তাহলে,

x = 4

সুতরাং, $x$ এর মান হবে ৪।

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ ২৪৫০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

লগইন করুন

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ ২৪৫০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

Related MCQ

ধাপে ধাপে সমাধান:

ধাপে ধাপে সমাধান:

১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা

২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা

সুতরাং, x=110 বা 0.1।

ধাপে ধাপে সমাধান:

চূড়ান্ত উত্তর:

চূড়ান্ত উত্তর:

ভিত্তির শর্ত পরীক্ষা

উত্তর: ঘঃ 2

উত্তর: a12=625

সুতরাং, $x = \frac{1}{10}$ বা $0.1$ ।

উত্তর: $a^{12} = 625$