ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করব: \[ \log_{\sqrt{8}}{x} = 3\frac{1}{3} \] 1. ভগ্নাংশকে দশমিক বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করি: \[ 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3} \] 2. লগারিদমিক সংজ্ঞা অনুযায়ী: \[ x = (\sqrt{8})^{\frac{10}{3}} \] 3. \(\sqrt{8}\) লিখি \(\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}}\): \[ x = (8^{\frac{1}{2}})^{\frac{10}{3}} \] 4. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি: \[ x = 8^{\left(\frac{1}{2} \times \frac{10}{3}\right)} \] \[ x = 8^{\frac{10}{6}} = 8^{\frac{5}{3}} \] 5. \(8 = 2^3\) হিসাবে প্রকাশ করি: \[ x = (2^3)^{\frac{5}{3}} \] 6. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি: \[ x = 2^{\left(3 \times \frac{5}{3}\right)} \] \[ x = 2^5 \] \[ x = 32 \] উত্তর: \[ \boxed{32} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে সমাধান করবো:

\[
\log\left(\frac{a}{b}\right) + \log\left(\frac{b}{a}\right) = \log(a + b)
\]

ধাপে ধাপে সমাধান:

১. Logarithmic সূত্র অনুযায়ী,
\[
\log x + \log y = \log (x \cdot y)
\]
তাহলে বামপক্ষকে পরিবর্তন করি:

\[
\log\left(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}\right) = \log(a + b)
\]

২. সরলীকরণ:
\[
\log(1) = \log(a + b)
\]

৩. যেহেতু \(\log 1 = 0\) এবং লগarithemic ফাংশন এক-একভাবে কাজ করে, তাই পাই:

\[
a + b = 1
\]

সঠিক উত্তর: কঃ a + b = 1

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি সরলীকরণ করবো:

\[
2^{x + 7} = 4^{x + 2}
\]

ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
আমরা জানি, \( 4 = 2^2 \), তাই \(4^{x + 2}\)-কে \(2\) এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়:

\[
2^{x + 7} = (2^2)^{x + 2}
\]

এখন, ঘাতের নিয়ম অনুসারে:

\[
(2^2)^{x + 2} = 2^{2(x + 2)}
\]

তাহলে, সমীকরণ দাঁড়ায়:

\[
2^{x + 7} = 2^{2x + 4}
\]


\[
x + 7 = 2x + 4
\]

\[
x + 7 - 4 = 2x
\]

\[
x + 3 = 2x
\]

\[
3 = 2x - x
\]

\[
x = 3
\]

সঠিক উত্তর: \( x = 3 \)

ব্যাখ্যাঃ
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} + 1 = 5$$
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} = 5 - 1$$
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} = 4$$
$$2^{x-3} = 8$$
$$2^{x-3} = 2^3$$
$$x - 3 = 3$$
$$x = 3 + 3$$
$$x = 6$$
সুতরাং, \(x\) এর মান হলো 6।

ব্যাখ্যাঃ $$
\begin{aligned}
&= 2\log_{10}5 + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(5^2) + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}25 + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(25 \times 36) - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(900) - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}\left(\frac{900}{9}\right) \\
&= \log_{10}(100) \\
&= \log_{10}(10^2) \\
&= 2\log_{10}(10) \\
&= 2 \times 1 \\
&= 2
\end{aligned}
$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে \( x \) এর মান নির্ণয় করতে যাচ্ছি।

ধাপে ধাপে সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:
\[
\log{10x} = -1
\]

১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা

লগারিদম সংজ্ঞা অনুযায়ী—
\[
10^{\log{10x}} = 10^{-1}
\]

যেহেতু \( \log{10x} \) কেবলমাত্র \( x \) কে প্রকাশ করে, তাই—
\[
x = 10^{-1}
\]

২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা

\[
x = \frac{1}{10}
\]

সুতরাং, $$x = \frac{1}{10}$$ বা \( 0.1 \)।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $i = \sqrt{-1}$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, এবং $i^4 = 1$.

এখন, $-49$ কে $4$ দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই:
$$-49 = 4 \times (-13) + 3$$

সুতরাং,
$$i^{-49} = i^{4 \times (-13) + 3} = (i^4)^{-13} \times i^3$$

যেহেতু $i^4 = 1$, তাই
$$i^{-49} = (1)^{-13} \times i^3 = 1 \times i^3 = i^3$$

আমরা জানি $i^3 = -i$.

অতএব,
$$i^{-49} = -i$$

সুতরাং, $$i^{-49}$$ এর মান $-i$.
$\\~\\$
উত্তর: $-i$

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, $$\sqrt[4]{x^3}=2$$ সমীকরণটি সমাধান করা যাক।

$$\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$$

$$x^{\frac{3}{4}} = 2$$

$$(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$$

$$x = 2^{\frac{4}{3}}$$

এখন, আমাদের \(x^{\frac{3}{2}}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা $x$ এর মানটি এখানে বসাব:

$$x^{\frac{3}{2}} = (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{2}}$$

$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$

$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{3} \times \frac{3}{2}}$$

$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4 \times 3}{3 \times 2}}$$

$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{12}{6}}$$

$$x^{\frac{3}{2}} = 2^2$$

$$x^{\frac{3}{2}} = 4$$

অতএব, যদি $$\sqrt[4]{x^3}=2$$হয়, তাহলে$$x^{\frac{3}{2}}=4$$.

উত্তর: $4$

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত প্রকাশটি সরলীকরণ করতে পারি:

\[
2^{\log_{2}{3} + \log_{2}{5}}
\]

ধাপে ধাপে সমাধান:

ধাপ ১: লগারিদমের যোগের সূত্র প্রয়োগ
\[
\log_{b}{x} + \log_{b}{y} = \log_{b}{(x \times y)}
\]

\[
\log_{2}{3} + \log_{2}{5} = \log_{2}{(3 \times 5)} = \log_{2}{15}
\]

ধাপ ২: সূচকের লগারিদম সূত্র প্রয়োগ
\[
a^{\log_{a}{x}} = x
\]

এটি প্রয়োগ করলে,
\[
2^{\log_{2}{15}} = 15
\]

চূড়ান্ত উত্তর:

\[
\mathbf{15}
\]

ব্যাখ্যাঃ \[
4^x + 4^{1 - x} = 4
\]

আমরা \( 4^{1-x} \) কে \( \frac{4}{4^x} \) হিসেবে লিখতে পারি:
\[
4^x + \frac{4}{4^x} = 4
\]

ধরুন, \( y = 4^x \), তাহলে সমীকরণটি হয়:
\[
y + \frac{4}{y} = 4
\]
\[
y^2 + 4 = 4y
\]
\[
y^2 - 4y + 4 = 0
\]
\[
(y - 2)^2 = 0
\]

\[
y - 2 = 0
\]

\[
y = 2
\]
\[
4^x = 2
\]

\[
x = \log_4{2}
\]

আমরা জানি, \( \log_4{2} = \frac{1}{2} \)

চূড়ান্ত উত্তর:

\(
\mathbf{x = \frac{1}{2}}
\)

ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমিক ফর্মকে সূচকীয় (exponential) ফর্মে রূপান্তর করি:
\[
x^{-2} = \frac{1}{9}
\]
\[
\frac{1}{x^2} = \frac{1}{9}
\]
\[
x^2 = 9
\]
\[
x = \pm3
\]

ভিত্তির শর্ত পরীক্ষা

লগারিদমের ভিত্তি (\(x\)) ধনাত্মক হতে হয়, তাই \(x = -3\) গ্রহণযোগ্য নয়।
তাই \(x = 3\) হল সঠিক উত্তর।

ব্যাখ্যাঃ \[
5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1
\]
\[
5^x + (2^{3} \cdot 5^x) + (2^{4} \cdot 5^x) = 1
\]
\[
5^x \left(1 + 8 + 16 \right) = 1
\]
\[
5^x \times 25 = 1
\]
\[
5^x = \frac{1}{25}
\]
\[
5^x = 5^{-2}
\]
সুতরাং, \( x = -2 \)।

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ভিতরের লগারিদমটা আগে সমাধান করি:
$$
\log_{\sqrt{e}}{e^2}
$$
এখানে $\sqrt{e} = e^{1/2}$, তাই আমরা পরিবর্তন করি:
$$
\log_{e^{1/2}}{e^2}
$$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী:
$$
\log_{a}{b} = \frac{\log{b}}{\log{a}}
$$
$$
= \frac{\log_e{e^2}}{\log_e{e^{1/2}}} = \frac{2}{1/2} = 4
$$
ধাপ ২: এখন আসে বাইরের লগারিদম:
$$
\log_{2}{4} = 2
$$

উত্তর: ঘঃ 2

ব্যাখ্যাঃ

ব্যাখ্যাঃ লগারিদমের মৌলিক সূত্র অনুযায়ী,

$$\log_a 1 = 0 \quad \text{কারণ} \quad a^0 = 1$$

এটি তখনই বৈধ যখন বেস $a$ এর মান হয় ধনাত্মক এবং ১ এর সমান নয়, অর্থাৎ:

$a > 0 \quad \text{এবং} \quad a \neq 1$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $125(\sqrt{5})^{2x} = 1$

প্রথমে, $125$ কে $5$ এর ঘাত হিসেবে লিখি: $125 = 5^3$
এবং $\sqrt{5}$ কে $5$ এর ঘাত হিসেবে লিখি: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

এখন সমীকরণে মানগুলো বসাই:
$5^3 \cdot (5^{\frac{1}{2}})^{2x} = 1$
$5^3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2x} = 1$
$5^3 \cdot 5^x = 1$

ঘাতের নিয়ম অনুযায়ী, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, তাই:
$5^{3+x} = 1$

যেহেতু $1$ কে যেকোনো সংখ্যার $0$ ঘাত হিসেবে লেখা যায় ($a^0 = 1$), আমরা $1$ কে $5^0$ হিসেবে লিখব:
$5^{3+x} = 5^0$

এখন, যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি একই (5), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:
$3+x = 0$
$x = -3$

সুতরাং, $x$ এর মান হলো $-3$।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $\log_{x}{(\frac{1}{8})} = -2$।

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $\log_{b}{a} = c$ হয়, তাহলে $b^c = a$।

এই সংজ্ঞাটি প্রয়োগ করে আমরা পাই:
$x^{-2} = \frac{1}{8}$

এখন, ঋণাত্মক ঘাতকে ধনাত্মক ঘাতকে পরিবর্তন করি:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{8}$

উভয় পক্ষকে উল্টিয়ে পাই:
$x^2 = 8$

$x$ এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষের বর্গমূল করি:
$x = \sqrt{8}$
$x = \sqrt{4 \times 2}$
$x = 2\sqrt{2}$

যেহেতু ভিত্তি $x$ অবশ্যই ধনাত্মক হবে (লগারিদমের শর্ত অনুযায়ী), তাই আমরা শুধু ধনাত্মক বর্গমূলটি নিব।

সুতরাং, $x = 2\sqrt{2}$।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $2^x + 2^{1-x} = 3$।

আমরা $2^{1-x}$ কে এভাবে লিখতে পারি: $2^{1-x} = \frac{2^1}{2^x} = \frac{2}{2^x}$।

এখন সমীকরণটিকে পুনরায় লিখি:
$2^x + \frac{2}{2^x} = 3$

ধরি, $y = 2^x$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$y + \frac{2}{y} = 3$

এখন উভয় পক্ষকে $y$ দ্বারা গুণ করি (যেহেতু $y = 2^x$, $y$ এর মান কখনো ০ হতে পারে না):
$y^2 + 2 = 3y$

সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে লিখি:
$y^2 - 3y + 2 = 0$

এই দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
$y^2 - 2y - y + 2 = 0$
$y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$
$(y - 1)(y - 2) = 0$

সুতরাং, $y - 1 = 0$ অথবা $y - 2 = 0$।

কেস ১: $y - 1 = 0$
$y = 1$
আমরা ধরেছিলাম $y = 2^x$।
$2^x = 1$
আমরা জানি $2^0 = 1$।
সুতরাং, $x = 0$।

কেস ২: $y - 2 = 0$
$y = 2$
আমরা ধরেছিলাম $y = 2^x$।
$2^x = 2$
আমরা জানি $2^1 = 2$।
সুতরাং, $x = 1$।

অতএব, $x$ এর মান হলো $0$ অথবা $1$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: $\log_{x}{(\frac{3}{2})}=-\frac{1}{2}$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $\log_{b}{a} = c$ হয়, তাহলে $b^c = a$ লেখা যায়।

এই সংজ্ঞা ব্যবহার করে, আমরা প্রদত্ত সমীকরণকে এভাবে লিখতে পারি:
$x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$

আমরা জানি যে $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$। সুতরাং,
$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}$

আমরা আরও জানি যে $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$। সুতরাং,
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2}$

এখন $x$-এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষকে উল্টে দিই:
$\sqrt{x} = \frac{2}{3}$

এবার $x$-এর মান পেতে উভয় পক্ষকে বর্গ করি:
$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$x = \frac{2^2}{3^2}$
$x = \frac{4}{9}$

সুতরাং, $x$-এর মান $\frac{4}{9}$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা $log_{\sqrt{3}}~{81}$-এর মান নির্ণয় করব।

ধরি, $log_{\sqrt{3}}~{81} = y$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, এর অর্থ হলো:
$(\sqrt{3})^y = 81$

এখন, উভয় পক্ষকে $3$-এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করি:
$\sqrt{3} = 3^{1/2}$
$81 = 3^4$

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$(3^{1/2})^y = 3^4$
$3^{(1/2)y} = 3^4$

যেহেতু ভিত্তি (base) উভয় পাশে একই ($3$), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:
$\frac{1}{2}y = 4$

$y = 4 \times 2$
$y = 8$

সুতরাং, $log_{\sqrt{3}}~{81}$ এর মান হলো ৮।

ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি নিচে সমাধান করা হলো:
$$(25)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$

আমরা জানি যে $25 = 5^2$। এই মানটি সমীকরণে বসাই:
$$(5^2)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, $(a^m)^n = a^{mn}$, তাই আমরা বাম পাশের ঘাতগুলো গুণ করব:
$$5^{2(2x+3)} = 5^{3x+6}$$
$$5^{4x+6} = 5^{3x+6}$$

যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (base) একই ($5$), তাই ঘাতগুলোও সমান হতে হবে:
$$4x+6 = 3x+6$$

এখন $x$-এর মান নির্ণয় করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি:
$4x - 3x = 6 - 6$
$$x = 0$$

সুতরাং, $x$-এর মান হলো ০।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $\sqrt{-1} = i$ (কাল্পনিক একক)।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$\sqrt{-8} = \sqrt{8 \times (-1)} = \sqrt{8} \times \sqrt{-1} = \sqrt{4 \times 2} \times i = 2\sqrt{2}i$$এবং,$$\sqrt{-2} = \sqrt{2 \times (-1)} = \sqrt{2} \times \sqrt{-1} = \sqrt{2}i$$

এখন, এদের গুণফল হবে:
$$\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = (2\sqrt{2}i) \times (\sqrt{2}i)$$$$= 2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \times (i \times i)$$$$= 2 \times 2 \times i^2$$
আমরা জানি, $i^2 = -1$.

সুতরাং,
$$= 4 \times (-1)$$
$$= -4$$

অতএব, $$\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = -4$$

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে সমীকরণটি:
$x^{-3} - 0.001 = 0$

আমরা $x^{-3}$ কে $\frac{1}{x^3}$ লিখতে পারি।
এবং $0.001$ কে $\frac{1}{1000}$ লিখতে পারি।

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$\frac{1}{x^3} - \frac{1}{1000} = 0$
$\frac{1}{x^3} = \frac{1}{1000}$

উভয় পক্ষের হর তুলনা করে পাই:
$x^3 = 1000$

এখন $x$ এর মান বের করি:
$x = \sqrt[3]{1000}$
$x = 10$

প্রশ্নে $x^2$ এর মান চাওয়া হয়েছে।
$x^2 = (10)^2$
$x^2 = 100$

সুতরাং, $x^2$ এর মান ১০০।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $\frac{1}{9} = 9^{-1}$।
তাহলে, এক্সপ্রেশনটি দাঁড়ায়:
$log_a{(9^{-1})}$

লগারিদমের একটি ধর্ম হলো $log_b{(M^P)} = P \cdot log_b{(M)}$।
এই ধর্মটি প্রয়োগ করলে পাই:
$log_a{(9^{-1})} = -1 \cdot log_a{(9)}$
বা, $$-log_a{(9)}$$

যদি $a = 9$ হয়, তবে:
$log_9{(\frac{1}{9})} = log_9{(9^{-1})} = -1 \cdot log_9{(9)}$
আমরা জানি $log_b{(b)} = 1$, তাই $log_9{(9)} = 1$।
সুতরাং, $-1 \times 1 = -1$।

যদি $a = 3$ হয়, তবে:
$log_3{(\frac{1}{9})} = log_3{(3^{-2})} = -2 \cdot log_3{(3)}$
সুতরাং, $-2 \times 1 = -2$।

সাধারণভাবে, $log_a{(\frac{1}{9})}$ এর মান হলো $-log_a{(9)}$।

একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মানের জন্য, $a$ এর সুনির্দিষ্ট মান প্রয়োজন।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$log_a{x} = 1$
$log_a{y} = 2$
$log_a{z} = 3$

আমাদেরকে $log_a{(\frac{x^3y^2}{z})}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।

লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী:
১. $log_b{(\frac{M}{N})} = log_b{M} - log_b{N}$
২. $log_b{(MN)} = log_b{M} + log_b{N}$
৩. $log_b{(M^P)} = P \cdot log_b{M}$

প্রথমে, ভাগের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$log_a{(\frac{x^3y^2}{z})} = log_a{(x^3y^2)} - log_a{z}$

এবার গুণের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$log_a{(x^3y^2)} - log_a{z} = (log_a{x^3} + log_a{y^2}) - log_a{z}$

এখন পাওয়ারের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$(log_a{x^3} + log_a{y^2}) - log_a{z} = (3 \cdot log_a{x} + 2 \cdot log_a{y}) - log_a{z}$

এবার প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে দিই:
$(3 \cdot 1 + 2 \cdot 2) - 3$
$= (3 + 4) - 3$
$= 7 - 3$
$= 4$

সুতরাং, $log_a{(\frac{x^3y^2}{z})}$ এর মান হলো $4$।

ব্যাখ্যাঃ
$(\frac{a}{b})^{x-3}=(\frac{b}{a})^{x-5}$

আমরা জানি যে, $(\frac{b}{a})^{-1} = \frac{a}{b}$
সুতরাং, $(\frac{b}{a})^{x-5}$ কে লেখা যায় $(\frac{a}{b})^{-(x-5)}$

$\implies (\frac{a}{b})^{x-3} = (\frac{a}{b})^{-(x-5)}$

উভয় পাশে ভিত্তি $(\frac{a}{b})$ সমান হওয়ায়, আমরা সূচকগুলোকে সমান লিখতে পারি:
$x-3 = -(x-5)$
$x-3 = -x+5$
$x+x = 5+3$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x=4$

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ধারাটি লক্ষ্য করলে দেখতে পারি যে এটি লগারিদমিক সমষ্টি। ধারাটির সাধারণ পদের রূপ হলো: \[ \log (2) + \log (4) + \log (8) + \ldots \] যদি আমরা লগারিদমিক সূত্র ব্যবহার করি: \[ \log (a \times b) = \log (a) + \log (b) \] এই সূত্রটি ব্যবহার করে, ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো: \[ \log (2) + \log (2^2) + \log (2^3) + \ldots + \log (2^{10}) \] এখন, এই লগারিদমিক সমষ্টিটিকে একটি লগারিদম হিসেবে রূপান্তরিত করতে পারি: \[ \log (2^1 \times 2^2 \times 2^3 \times \ldots \times 2^{10}) \] আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি আসলে একটি গুণন সমীকরণ: \[ \log (2^{1 + 2 + 3 + \ldots + 10}) \] প্রথম দশটি পদ গণনা করে: \[ 1 + 2 + 3 + \ldots + 10 = \frac{10(10 + 1)}{2} = 55 \] অতএব, ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো: \[ \log (2^{55}) \] এবং শেষ পর্যন্ত আমরা পাই: \[ 55 \log (2) \] ধারণাটি আরও স্পষ্ট করার জন্য: \[ \log (2^1) + \log (2^2) + \log (2^3) + \ldots + \log (2^{10}) = 55 \log (2) \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, \[ \left(\frac{১২৫}{২৭}\right)^{-\frac{২}{৩}} \] প্রথমে ভগ্নাংশটির হারের মান বের করি: \[ \frac{১২৫}{২৭} = \left(\frac{৫^৩}{৩^৩}\right) = \left(\frac{৫}{৩}\right)^৩ \] এখন, এই মানটির উপর শক্তি প্রয়োগ করি: \[ \left(\frac{৫}{৩}\right)^৩ \] এই মানটির উপর \(-\frac{২}{৩}\) প্রয়োগ করতে হবে: \[ \left(\left(\frac{৫}{৩}\right)^৩\right)^{-\frac{২}{৩}} \] এখন আমরা শক্তির নিয়ম প্রয়োগ করি: \[ \left(\left(\frac{৫}{৩}\right)^৩\right)^{-\frac{২}{৩}} = \left(\frac{৫}{৩}\right)^{৩ \cdot -\frac{২}{৩}} = \left(\frac{৫}{৩}\right)^{-২} \] এখন শক্তি সরল করি: \[ \left(\frac{৫}{৩}\right)^{-২} = \left(\frac{৩}{৫}\right)^২ \] শেষে, \[ \left(\frac{৩}{৫}\right)^২ = \frac{৯}{২৫} \] অতএব, \((\frac{১২৫}{২৭})^{-\frac{২}{৩}}\) এর সরল প্রকাশ হলো \(\frac{৯}{২৫}\)।

ব্যাখ্যাঃ \( \log_2 32 \) এর মান নির্ণয়ের জন্য আমরা দেখি \( 32 \) কে \( 2 \) এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়: \[ 32 = 2^5 \] এখন, লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী: \[ \log_2 32 = \log_2 (2^5) \] \[ = 5 \times \log_2 2 \] \[ = 5 \times 1 \] \[ = 5 \] সুতরাং, \( \log_2 32 = 5 \)।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশি: $\log_{49}{7} + \log_{\sqrt{7}}{7}$

প্রথম পদ: $\log_{49}{7}$
আমরা জানি $49 = 7^2$।
তাহলে, $\log_{49}{7} = \log_{7^2}{7}$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, $\log_{b^n}{a} = \frac{1}{n}\log_b{a}$
সুতরাং, $\log_{7^2}{7} = \frac{1}{2}\log_7{7}$
যেহেতু $\log_b{b} = 1$, তাই $\log_7{7} = 1$।
অতএব, $\log_{49}{7} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

দ্বিতীয় পদ: $\log_{\sqrt{7}}{7}$
আমরা জানি $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$।
তাহলে, $\log_{\sqrt{7}}{7} = \log_{7^{\frac{1}{2}}}{7}$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, $\log_{b^n}{a} = \frac{1}{n}\log_b{a}$
সুতরাং, $\log_{7^{\frac{1}{2}}}{7} = \frac{1}{\frac{1}{2}}\log_7{7}$
$= 2 \times 1 = 2$

এখন, দুটি পদ যোগ করে পাই:
$\log_{49}{7} + \log_{\sqrt{7}}{7} = \frac{1}{2} + 2$
$= \frac{1+4}{2}$
$= \frac{5}{2}$

অতএব, $\log_{49}{7} + \log_{\sqrt{7}}{7}$ এর মান হলো $\frac{5}{2}$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $(\frac{x}{5})^p = 1$

যদি কোনো রাশির ঘাত (power) 0 হয়, তবে সেই রাশির মান 1 হয় (যখন রাশিটি 0 না হয়)।
অর্থাৎ, $a^0 = 1$ (যেখানে $a \ne 0$)

এখানে, যদি $\frac{x}{5} \ne 0$ হয়, তাহলে $p$ এর মান অবশ্যই 0 হবে।

যদি $\frac{x}{5} = 1$ হয়, তাহলে $p$ এর যেকোনো মান হতে পারে।
যদি $\frac{x}{5} = -1$ হয়, তাহলে $p$ এর মান জোড় সংখ্যা হতে পারে।

তবে, সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নের ক্ষেত্রে ভিত্তি (base) 1 না হলে এবং 0 না হলে, সূচক (exponent) 0 হয়ে থাকে।

সুতরাং, যদি $\frac{x}{5} \ne 0$ এবং $\frac{x}{5} \ne 1$ হয়, তবে $p = 0$।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে রাশিগুলিকে $3$ এর ঘাতে প্রকাশ করি:
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3^{\frac{1}{2}}} = (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}}$

এবার মূল সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে দিই:
$(3^{\frac{1}{2}})^{2x+1} = (3^{\frac{1}{6}})^{x-1}$

ঘাতের সূত্র অনুযায়ী, $(a^m)^n = a^{mn}$
$3^{\frac{1}{2}(2x+1)} = 3^{\frac{1}{6}(x-1)}$
$3^{\frac{2x+1}{2}} = 3^{\frac{x-1}{6}}$

যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (base) সমান, তাই ঘাতগুলোও (powers) সমান হবে:
$\frac{2x+1}{2} = \frac{x-1}{6}$

এখন আর গুণন (cross-multiplication) করি:
$6(2x+1) = 2(x-1)$
$12x + 6 = 2x - 2$

$x$ এর পদগুলিকে একপাশে এবং ধ্রুবক পদগুলিকে অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$12x - 2x = -2 - 6$
$10x = -8$
$x = \frac{-8}{10}$
$x = -\frac{4}{5}$

সুতরাং, $x$ এর মান হলো $-\frac{4}{5}$।

ব্যাখ্যাঃ $(-27)^{\frac{4}{3}} = ((-3)^3)^{\frac{4}{3}}$
$= (-3)^{3 \times \frac{4}{3}}$
$= (-3)^4$
$= (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3)$
$= 81$

সুতরাং, $(-27)^{\frac{4}{3}}$ এর মান 81।

ব্যাখ্যাঃ $(x^{p-q})^{p+q} \cdot (x^{q-r})^{q+r} \cdot (x^{r-p})^{r+p}$

ঘাতের ঘাত থাকার কারণে, সূচকগুলো গুণ হবে:
$x^{(p-q)(p+q)} \cdot x^{(q-r)(q+r)} \cdot x^{(r-p)(r+p)}$

আমরা জানি, $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$। এই সূত্র ব্যবহার করে পাই:
$x^{p^2-q^2} \cdot x^{q^2-r^2} \cdot x^{r^2-p^2}$

যেহেতু ভিত্তি একই, তাই সূচকগুলো যোগ হবে:
$= x^{(p^2-q^2) + (q^2-r^2) + (r^2-p^2)}$
$= x^{p^2-q^2+q^2-r^2+r^2-p^2}$
$= x^0$

যে কোনো কিছুর উপর সূচক ০ হলে তার মান ১ হয়।
$= 1$

সুতরাং, রাশিটির মান 1।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নানুসারে,
$log_{10} x = -2$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে,
$x = 10^{-2}$

আমরা জানি, $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$
$x = \frac{1}{10^2}$
$x = \frac{1}{100}$
$x = 0.01$

সুতরাং, $x$ এর মান 0.01।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
$( log_{10} x )^2 = log_{10} x^2$

আমরা জানি, $log_a m^n = n log_a m$।
তাহলে, $log_{10} x^2 = 2 log_{10} x$।

সমীকরণটিতে মান বসিয়ে পাই:
$( log_{10} x )^2 = 2 log_{10} x$

ধরি, $y = log_{10} x$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$y^2 = 2y$
$y^2 - 2y = 0$
$y(y - 2) = 0$

এখান থেকে আমরা পাই,
$y = 0$ অথবা $y - 2 = 0$, অর্থাৎ $y = 2$

যখন $y = 0$:
$log_{10} x = 0$
$x = 10^0$
$x = 1$

যখন $y = 2$:
$log_{10} x = 2$
$x = 10^2$
$x = 100$

সুতরাং, $x$ এর মান 1 অথবা 100।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, রাশিটি হলো:
$-2x^2 + 4x - 5$

আমরা রাশিটিকে এভাবে লিখতে পারি:
$= -2(x^2 - 2x) - 5$
$= -2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 5$
$= -2((x - 1)^2 - 1) - 5$
$= -2(x - 1)^2 + 2 - 5$
$= -2(x - 1)^2 - 3$

এখানে, $(x-1)^2$ এর সর্বনিম্ন মান শূন্য হতে পারে, যখন $x=1$।
সুতরাং, $-2(x-1)^2$ এর সর্বোচ্চ মান শূন্য হতে পারে, যখন $x=1$।

যখন $-2(x-1)^2$ এর মান সর্বোচ্চ (অর্থাৎ ০) হয়, তখন পুরো রাশিটির মান সর্বোচ্চ হয়।
সর্বোচ্চ মান $= 0 - 3 = -3$

সুতরাং, রাশিটির সর্বোচ্চ মান -3।