প্রশ্নঃ $$2^x + 2^{1-x} =3$$ হলে, $$x =$$ কত?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক. (1, 2)
খ. (0, 2)
গ. (1, 3)
ঘ. (0, 1)
উত্তরঃ (0, 1)
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $2^x + 2^{1-x} = 3$।
আমরা $2^{1-x}$ কে এভাবে লিখতে পারি: $2^{1-x} = \frac{2^1}{2^x} = \frac{2}{2^x}$।
এখন সমীকরণটিকে পুনরায় লিখি:
$2^x + \frac{2}{2^x} = 3$
ধরি, $y = 2^x$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$y + \frac{2}{y} = 3$
এখন উভয় পক্ষকে $y$ দ্বারা গুণ করি (যেহেতু $y = 2^x$, $y$ এর মান কখনো ০ হতে পারে না):
$y^2 + 2 = 3y$
সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে লিখি:
$y^2 - 3y + 2 = 0$
এই দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
$y^2 - 2y - y + 2 = 0$
$y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$
$(y - 1)(y - 2) = 0$
সুতরাং, $y - 1 = 0$ অথবা $y - 2 = 0$।
কেস ১: $y - 1 = 0$
$y = 1$
আমরা ধরেছিলাম $y = 2^x$।
$2^x = 1$
আমরা জানি $2^0 = 1$।
সুতরাং, $x = 0$।
কেস ২: $y - 2 = 0$
$y = 2$
আমরা ধরেছিলাম $y = 2^x$।
$2^x = 2$
আমরা জানি $2^1 = 2$।
সুতরাং, $x = 1$।
অতএব, $x$ এর মান হলো $0$ অথবা $1$।
আমরা $2^{1-x}$ কে এভাবে লিখতে পারি: $2^{1-x} = \frac{2^1}{2^x} = \frac{2}{2^x}$।
এখন সমীকরণটিকে পুনরায় লিখি:
$2^x + \frac{2}{2^x} = 3$
ধরি, $y = 2^x$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$y + \frac{2}{y} = 3$
এখন উভয় পক্ষকে $y$ দ্বারা গুণ করি (যেহেতু $y = 2^x$, $y$ এর মান কখনো ০ হতে পারে না):
$y^2 + 2 = 3y$
সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে লিখি:
$y^2 - 3y + 2 = 0$
এই দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
$y^2 - 2y - y + 2 = 0$
$y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$
$(y - 1)(y - 2) = 0$
সুতরাং, $y - 1 = 0$ অথবা $y - 2 = 0$।
কেস ১: $y - 1 = 0$
$y = 1$
আমরা ধরেছিলাম $y = 2^x$।
$2^x = 1$
আমরা জানি $2^0 = 1$।
সুতরাং, $x = 0$।
কেস ২: $y - 2 = 0$
$y = 2$
আমরা ধরেছিলাম $y = 2^x$।
$2^x = 2$
আমরা জানি $2^1 = 2$।
সুতরাং, $x = 1$।
অতএব, $x$ এর মান হলো $0$ অথবা $1$।
Related MCQ
প্রশ্নঃ $$\log_{\sqrt{8}}{x}=3\frac{1}{3}$$ হলে x এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. 32
খ. 8
গ. 3
ঘ. $$\sqrt{8}$$
উত্তরঃ 32
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করব: \[ \log_{\sqrt{8}}{x} = 3\frac{1}{3} \] 1. ভগ্নাংশকে দশমিক বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করি: \[ 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3} \] 2. লগারিদমিক সংজ্ঞা অনুযায়ী: \[ x = (\sqrt{8})^{\frac{10}{3}} \] 3. \(\sqrt{8}\) লিখি \(\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}}\): \[ x = (8^{\frac{1}{2}})^{\frac{10}{3}} \] 4. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি: \[ x = 8^{\left(\frac{1}{2} \times \frac{10}{3}\right)} \] \[ x = 8^{\frac{10}{6}} = 8^{\frac{5}{3}} \] 5. \(8 = 2^3\) হিসাবে প্রকাশ করি: \[ x = (2^3)^{\frac{5}{3}} \] 6. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি: \[ x = 2^{\left(3 \times \frac{5}{3}\right)} \] \[ x = 2^5 \] \[ x = 32 \] উত্তর: \[ \boxed{32} \]
ক. a + b = 1
খ. a – b = 1
গ. a = b
ঘ. a² – b² = 1
উত্তরঃ a + b = 1
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে সমাধান করবো:
\[
\log\left(\frac{a}{b}\right) + \log\left(\frac{b}{a}\right) = \log(a + b)
\]
ধাপে ধাপে সমাধান:
১. Logarithmic সূত্র অনুযায়ী,
\[
\log x + \log y = \log (x \cdot y)
\]
তাহলে বামপক্ষকে পরিবর্তন করি:
\[
\log\left(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}\right) = \log(a + b)
\]
২. সরলীকরণ:
\[
\log(1) = \log(a + b)
\]
৩. যেহেতু \(\log 1 = 0\) এবং লগarithemic ফাংশন এক-একভাবে কাজ করে, তাই পাই:
\[
a + b = 1
\]
সঠিক উত্তর: কঃ a + b = 1
\[
\log\left(\frac{a}{b}\right) + \log\left(\frac{b}{a}\right) = \log(a + b)
\]
ধাপে ধাপে সমাধান:
১. Logarithmic সূত্র অনুযায়ী,
\[
\log x + \log y = \log (x \cdot y)
\]
তাহলে বামপক্ষকে পরিবর্তন করি:
\[
\log\left(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}\right) = \log(a + b)
\]
২. সরলীকরণ:
\[
\log(1) = \log(a + b)
\]
৩. যেহেতু \(\log 1 = 0\) এবং লগarithemic ফাংশন এক-একভাবে কাজ করে, তাই পাই:
\[
a + b = 1
\]
সঠিক উত্তর: কঃ a + b = 1
প্রশ্নঃ $$2^{x + 7} = 4^{x + 2}$$ হলে x এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
ক. 2
খ. 3
গ. 4
ঘ. 6
উত্তরঃ 3
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি সরলীকরণ করবো:
\[
2^{x + 7} = 4^{x + 2}
\]
ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
আমরা জানি, \( 4 = 2^2 \), তাই \(4^{x + 2}\)-কে \(2\) এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়:
\[
2^{x + 7} = (2^2)^{x + 2}
\]
এখন, ঘাতের নিয়ম অনুসারে:
\[
(2^2)^{x + 2} = 2^{2(x + 2)}
\]
তাহলে, সমীকরণ দাঁড়ায়:
\[
2^{x + 7} = 2^{2x + 4}
\]
\[
x + 7 = 2x + 4
\]
\[
x + 7 - 4 = 2x
\]
\[
x + 3 = 2x
\]
\[
3 = 2x - x
\]
\[
x = 3
\]
সঠিক উত্তর: \( x = 3 \)
\[
2^{x + 7} = 4^{x + 2}
\]
ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
আমরা জানি, \( 4 = 2^2 \), তাই \(4^{x + 2}\)-কে \(2\) এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়:
\[
2^{x + 7} = (2^2)^{x + 2}
\]
এখন, ঘাতের নিয়ম অনুসারে:
\[
(2^2)^{x + 2} = 2^{2(x + 2)}
\]
তাহলে, সমীকরণ দাঁড়ায়:
\[
2^{x + 7} = 2^{2x + 4}
\]
\[
x + 7 = 2x + 4
\]
\[
x + 7 - 4 = 2x
\]
\[
x + 3 = 2x
\]
\[
3 = 2x - x
\]
\[
x = 3
\]
সঠিক উত্তর: \( x = 3 \)
প্রশ্নঃ $$\frac{1}{2}×2^{x-3}+1=5$$ হলে $$x$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. 3
খ. 4
গ. 5
ঘ. 6
উত্তরঃ 6
ব্যাখ্যাঃ
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} + 1 = 5$$
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} = 5 - 1$$
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} = 4$$
$$2^{x-3} = 8$$
$$2^{x-3} = 2^3$$
$$x - 3 = 3$$
$$x = 3 + 3$$
$$x = 6$$
সুতরাং, \(x\) এর মান হলো 6।
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} + 1 = 5$$
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} = 5 - 1$$
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} = 4$$
$$2^{x-3} = 8$$
$$2^{x-3} = 2^3$$
$$x - 3 = 3$$
$$x = 3 + 3$$
$$x = 6$$
সুতরাং, \(x\) এর মান হলো 6।
প্রশ্নঃ $$2log{105}+log{1036}-log{109=?}$$
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. 2
খ. 100
গ. 37
ঘ. 4.6
উত্তরঃ 2
ব্যাখ্যাঃ $$
\begin{aligned}
&= 2\log_{10}5 + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(5^2) + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}25 + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(25 \times 36) - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(900) - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}\left(\frac{900}{9}\right) \\
&= \log_{10}(100) \\
&= \log_{10}(10^2) \\
&= 2\log_{10}(10) \\
&= 2 \times 1 \\
&= 2
\end{aligned}
$$
\begin{aligned}
&= 2\log_{10}5 + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(5^2) + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}25 + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(25 \times 36) - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(900) - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}\left(\frac{900}{9}\right) \\
&= \log_{10}(100) \\
&= \log_{10}(10^2) \\
&= 2\log_{10}(10) \\
&= 2 \times 1 \\
&= 2
\end{aligned}
$$
প্রশ্নঃ $$log{10x} = -1$$ হয়, তাহলে নিচের কোনটি $$x$$ এর মান?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. 0.1
খ. 0.01
গ. $$\frac{1}{10000}$$
ঘ. 0.001
উত্তরঃ 0.1
ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে \( x \) এর মান নির্ণয় করতে যাচ্ছি।
ধাপে ধাপে সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[
\log{10x} = -1
\]
১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা
লগারিদম সংজ্ঞা অনুযায়ী—
\[
10^{\log{10x}} = 10^{-1}
\]
যেহেতু \( \log{10x} \) কেবলমাত্র \( x \) কে প্রকাশ করে, তাই—
\[
x = 10^{-1}
\]
২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা
\[
x = \frac{1}{10}
\]
সুতরাং, $$x = \frac{1}{10}$$ বা \( 0.1 \)।
ধাপে ধাপে সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[
\log{10x} = -1
\]
১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা
লগারিদম সংজ্ঞা অনুযায়ী—
\[
10^{\log{10x}} = 10^{-1}
\]
যেহেতু \( \log{10x} \) কেবলমাত্র \( x \) কে প্রকাশ করে, তাই—
\[
x = 10^{-1}
\]
২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা
\[
x = \frac{1}{10}
\]
সুতরাং, $$x = \frac{1}{10}$$ বা \( 0.1 \)।
প্রশ্নঃ যদি $$\sqrt[4]{x^3}=2$$ হয়, তাহলে $$x^{\frac{3}{2}}=?$$
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. 8
খ. 16
গ. 4
ঘ. 64
উত্তরঃ 4
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, $$\sqrt[4]{x^3}=2$$ সমীকরণটি সমাধান করা যাক।
$$\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$$
$$x^{\frac{3}{4}} = 2$$
$$(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$$
$$x = 2^{\frac{4}{3}}$$
এখন, আমাদের \(x^{\frac{3}{2}}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা $x$ এর মানটি এখানে বসাব:
$$x^{\frac{3}{2}} = (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{2}}$$
$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{3} \times \frac{3}{2}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4 \times 3}{3 \times 2}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{12}{6}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^2$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 4$$
অতএব, যদি $$\sqrt[4]{x^3}=2$$হয়, তাহলে$$x^{\frac{3}{2}}=4$$.
উত্তর: $4$
$$\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$$
$$x^{\frac{3}{4}} = 2$$
$$(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$$
$$x = 2^{\frac{4}{3}}$$
এখন, আমাদের \(x^{\frac{3}{2}}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা $x$ এর মানটি এখানে বসাব:
$$x^{\frac{3}{2}} = (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{2}}$$
$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{3} \times \frac{3}{2}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4 \times 3}{3 \times 2}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{12}{6}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^2$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 4$$
অতএব, যদি $$\sqrt[4]{x^3}=2$$হয়, তাহলে$$x^{\frac{3}{2}}=4$$.
উত্তর: $4$
প্রশ্নঃ $$2^{log_{2}{3} + log_{2}{5}}$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৩তম ]
ক. 8
খ. 2
গ. 15
ঘ. 10
উত্তরঃ 15
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত প্রকাশটি সরলীকরণ করতে পারি:
\[
2^{\log_{2}{3} + \log_{2}{5}}
\]
ধাপে ধাপে সমাধান:
ধাপ ১: লগারিদমের যোগের সূত্র প্রয়োগ
\[
\log_{b}{x} + \log_{b}{y} = \log_{b}{(x \times y)}
\]
\[
\log_{2}{3} + \log_{2}{5} = \log_{2}{(3 \times 5)} = \log_{2}{15}
\]
ধাপ ২: সূচকের লগারিদম সূত্র প্রয়োগ
\[
a^{\log_{a}{x}} = x
\]
এটি প্রয়োগ করলে,
\[
2^{\log_{2}{15}} = 15
\]
চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\mathbf{15}
\]
\[
2^{\log_{2}{3} + \log_{2}{5}}
\]
ধাপে ধাপে সমাধান:
ধাপ ১: লগারিদমের যোগের সূত্র প্রয়োগ
\[
\log_{b}{x} + \log_{b}{y} = \log_{b}{(x \times y)}
\]
\[
\log_{2}{3} + \log_{2}{5} = \log_{2}{(3 \times 5)} = \log_{2}{15}
\]
ধাপ ২: সূচকের লগারিদম সূত্র প্রয়োগ
\[
a^{\log_{a}{x}} = x
\]
এটি প্রয়োগ করলে,
\[
2^{\log_{2}{15}} = 15
\]
চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\mathbf{15}
\]
প্রশ্নঃ $$4^x + 4^{1 - x} = 4$$ হলে, $$x =$$ কত?
[ বিসিএস ৪৩তম ]
ক. $$\frac{1}{4}$$
খ. $$\frac{1}{3}$$
গ. $$\frac{1}{2}$$
ঘ. $$1$$
উত্তরঃ $$\frac{1}{2}$$
ব্যাখ্যাঃ \[
4^x + 4^{1 - x} = 4
\]
আমরা \( 4^{1-x} \) কে \( \frac{4}{4^x} \) হিসেবে লিখতে পারি:
\[
4^x + \frac{4}{4^x} = 4
\]
ধরুন, \( y = 4^x \), তাহলে সমীকরণটি হয়:
\[
y + \frac{4}{y} = 4
\]
\[
y^2 + 4 = 4y
\]
\[
y^2 - 4y + 4 = 0
\]
\[
(y - 2)^2 = 0
\]
\[
y - 2 = 0
\]
\[
y = 2
\]
\[
4^x = 2
\]
\[
x = \log_4{2}
\]
আমরা জানি, \( \log_4{2} = \frac{1}{2} \)
চূড়ান্ত উত্তর:
\(
\mathbf{x = \frac{1}{2}}
\)
4^x + 4^{1 - x} = 4
\]
আমরা \( 4^{1-x} \) কে \( \frac{4}{4^x} \) হিসেবে লিখতে পারি:
\[
4^x + \frac{4}{4^x} = 4
\]
ধরুন, \( y = 4^x \), তাহলে সমীকরণটি হয়:
\[
y + \frac{4}{y} = 4
\]
\[
y^2 + 4 = 4y
\]
\[
y^2 - 4y + 4 = 0
\]
\[
(y - 2)^2 = 0
\]
\[
y - 2 = 0
\]
\[
y = 2
\]
\[
4^x = 2
\]
\[
x = \log_4{2}
\]
আমরা জানি, \( \log_4{2} = \frac{1}{2} \)
চূড়ান্ত উত্তর:
\(
\mathbf{x = \frac{1}{2}}
\)
প্রশ্নঃ $$log_{x}{\frac{1}{9}} =-2$$ হলে x এর মান কোনটি?
[ বিসিএস ৪২তম ]
ক. 3
খ. 2
গ. $$\frac{1}{3}$$
ঘ. $$-\frac{1}{3}$$
উত্তরঃ 3
ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমিক ফর্মকে সূচকীয় (exponential) ফর্মে রূপান্তর করি:
\[
x^{-2} = \frac{1}{9}
\]
\[
\frac{1}{x^2} = \frac{1}{9}
\]
\[
x^2 = 9
\]
\[
x = \pm3
\]
ভিত্তির শর্ত পরীক্ষা
লগারিদমের ভিত্তি (\(x\)) ধনাত্মক হতে হয়, তাই \(x = -3\) গ্রহণযোগ্য নয়।
তাই \(x = 3\) হল সঠিক উত্তর।
\[
x^{-2} = \frac{1}{9}
\]
\[
\frac{1}{x^2} = \frac{1}{9}
\]
\[
x^2 = 9
\]
\[
x = \pm3
\]
ভিত্তির শর্ত পরীক্ষা
লগারিদমের ভিত্তি (\(x\)) ধনাত্মক হতে হয়, তাই \(x = -3\) গ্রহণযোগ্য নয়।
তাই \(x = 3\) হল সঠিক উত্তর।
ক. $$4x$$
খ. $$6x$$
গ. 4
ঘ. 8
উত্তরঃ $$6x$$
ব্যাখ্যাঃ \[
x = - \left(2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}\right)
\]
\[
x^3 = - \left( (2^{\frac{1}{3}})^3 + (2^{\frac{2}{3}})^3 + 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot (2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}) \right)
\]
\[
x^3 = - (2 + 4 + 3 \cdot 2 \cdot (-x))
\]
\[
x^3 = -(6 - 6x)
\]
\[
x^3 = -6 + 6x
\]
\[
x^3 + 6 = 6x
\]
x = - \left(2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}\right)
\]
\[
x^3 = - \left( (2^{\frac{1}{3}})^3 + (2^{\frac{2}{3}})^3 + 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot (2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}) \right)
\]
\[
x^3 = - (2 + 4 + 3 \cdot 2 \cdot (-x))
\]
\[
x^3 = -(6 - 6x)
\]
\[
x^3 = -6 + 6x
\]
\[
x^3 + 6 = 6x
\]
প্রশ্নঃ $$5^x + 8.5^x +16.5^x = 1$$ হলে, $$x$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. $$-3$$
খ. $$-2$$
গ. $$-1$$
ঘ. $$-\frac{1}{2}$$
উত্তরঃ $$-2$$
ব্যাখ্যাঃ \[
5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1
\]
\[
5^x + (2^{3} \cdot 5^x) + (2^{4} \cdot 5^x) = 1
\]
\[
5^x \left(1 + 8 + 16 \right) = 1
\]
\[
5^x \times 25 = 1
\]
\[
5^x = \frac{1}{25}
\]
\[
5^x = 5^{-2}
\]
সুতরাং, \( x = -2 \)।
5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1
\]
\[
5^x + (2^{3} \cdot 5^x) + (2^{4} \cdot 5^x) = 1
\]
\[
5^x \left(1 + 8 + 16 \right) = 1
\]
\[
5^x \times 25 = 1
\]
\[
5^x = \frac{1}{25}
\]
\[
5^x = 5^{-2}
\]
সুতরাং, \( x = -2 \)।
প্রশ্নঃ $$log_{2}{~log_{\sqrt{e}}{~e^2}}=?$$
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. $$-2$$
খ. $$-1$$
গ. $$1$$
ঘ. $$2$$
উত্তরঃ $$2$$
ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ভিতরের লগারিদমটা আগে সমাধান করি:
$$
\log_{\sqrt{e}}{e^2}
$$
এখানে $\sqrt{e} = e^{1/2}$, তাই আমরা পরিবর্তন করি:
$$
\log_{e^{1/2}}{e^2}
$$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী:
$$
\log_{a}{b} = \frac{\log{b}}{\log{a}}
$$
$$
= \frac{\log_e{e^2}}{\log_e{e^{1/2}}} = \frac{2}{1/2} = 4
$$
ধাপ ২: এখন আসে বাইরের লগারিদম:
$$
\log_{2}{4} = 2
$$
$$
\log_{\sqrt{e}}{e^2}
$$
এখানে $\sqrt{e} = e^{1/2}$, তাই আমরা পরিবর্তন করি:
$$
\log_{e^{1/2}}{e^2}
$$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী:
$$
\log_{a}{b} = \frac{\log{b}}{\log{a}}
$$
$$
= \frac{\log_e{e^2}}{\log_e{e^{1/2}}} = \frac{2}{1/2} = 4
$$
ধাপ ২: এখন আসে বাইরের লগারিদম:
$$
\log_{2}{4} = 2
$$
উত্তর: ঘঃ 2
ক. $$\frac{3}{2}$$
খ. $$\frac{4}{9}$$
গ. $$\frac{9}{4}$$
ঘ. $$\frac{2}{3}$$
উত্তরঃ $$\frac{9}{4}$$
ব্যাখ্যাঃ 
প্রশ্নঃ কোন শর্তে $$log_{a}{1}=0?$$
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. $$a > 0, a ≠ 1$$
খ. $$a ≠ 0 , a > 1$$
গ. $$a > 0 , a = 1$$
ঘ. $$a ≠ 1, a < 0$$
উত্তরঃ $$a > 0, a ≠ 1$$
ব্যাখ্যাঃ লগারিদমের মৌলিক সূত্র অনুযায়ী,
$$\log_a 1 = 0 \quad \text{কারণ} \quad a^0 = 1$$
এটি তখনই বৈধ যখন বেস $a$ এর মান হয় ধনাত্মক এবং ১ এর সমান নয়, অর্থাৎ:
$a > 0 \quad \text{এবং} \quad a \neq 1$
$$\log_a 1 = 0 \quad \text{কারণ} \quad a^0 = 1$$
এটি তখনই বৈধ যখন বেস $a$ এর মান হয় ধনাত্মক এবং ১ এর সমান নয়, অর্থাৎ:
$a > 0 \quad \text{এবং} \quad a \neq 1$
প্রশ্নঃ $$125(\sqrt{5})^{2x} = 1$$ হলে $$x$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক. $$3$$
খ. $$-3$$
গ. $$7$$
ঘ. $$9$$
উত্তরঃ $$-3$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $125(\sqrt{5})^{2x} = 1$
প্রথমে, $125$ কে $5$ এর ঘাত হিসেবে লিখি: $125 = 5^3$
এবং $\sqrt{5}$ কে $5$ এর ঘাত হিসেবে লিখি: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$
এখন সমীকরণে মানগুলো বসাই:
$5^3 \cdot (5^{\frac{1}{2}})^{2x} = 1$
$5^3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2x} = 1$
$5^3 \cdot 5^x = 1$
ঘাতের নিয়ম অনুযায়ী, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, তাই:
$5^{3+x} = 1$
যেহেতু $1$ কে যেকোনো সংখ্যার $0$ ঘাত হিসেবে লেখা যায় ($a^0 = 1$), আমরা $1$ কে $5^0$ হিসেবে লিখব:
$5^{3+x} = 5^0$
এখন, যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি একই (5), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:
$3+x = 0$
$x = -3$
সুতরাং, $x$ এর মান হলো $-3$।
প্রথমে, $125$ কে $5$ এর ঘাত হিসেবে লিখি: $125 = 5^3$
এবং $\sqrt{5}$ কে $5$ এর ঘাত হিসেবে লিখি: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$
এখন সমীকরণে মানগুলো বসাই:
$5^3 \cdot (5^{\frac{1}{2}})^{2x} = 1$
$5^3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2x} = 1$
$5^3 \cdot 5^x = 1$
ঘাতের নিয়ম অনুযায়ী, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, তাই:
$5^{3+x} = 1$
যেহেতু $1$ কে যেকোনো সংখ্যার $0$ ঘাত হিসেবে লেখা যায় ($a^0 = 1$), আমরা $1$ কে $5^0$ হিসেবে লিখব:
$5^{3+x} = 5^0$
এখন, যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি একই (5), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:
$3+x = 0$
$x = -3$
সুতরাং, $x$ এর মান হলো $-3$।
প্রশ্নঃ $$log_{x}{(\frac{1}{8})} = -2$$ হলে, $$x =$$ কত?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক. 2
খ. $$\sqrt{2}$$
গ. $$2\sqrt{2}$$
ঘ. 4
উত্তরঃ $$2\sqrt{2}$$
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $\log_{x}{(\frac{1}{8})} = -2$।
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $\log_{b}{a} = c$ হয়, তাহলে $b^c = a$।
এই সংজ্ঞাটি প্রয়োগ করে আমরা পাই:
$x^{-2} = \frac{1}{8}$
এখন, ঋণাত্মক ঘাতকে ধনাত্মক ঘাতকে পরিবর্তন করি:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{8}$
উভয় পক্ষকে উল্টিয়ে পাই:
$x^2 = 8$
$x$ এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষের বর্গমূল করি:
$x = \sqrt{8}$
$x = \sqrt{4 \times 2}$
$x = 2\sqrt{2}$
যেহেতু ভিত্তি $x$ অবশ্যই ধনাত্মক হবে (লগারিদমের শর্ত অনুযায়ী), তাই আমরা শুধু ধনাত্মক বর্গমূলটি নিব।
সুতরাং, $x = 2\sqrt{2}$।
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $\log_{b}{a} = c$ হয়, তাহলে $b^c = a$।
এই সংজ্ঞাটি প্রয়োগ করে আমরা পাই:
$x^{-2} = \frac{1}{8}$
এখন, ঋণাত্মক ঘাতকে ধনাত্মক ঘাতকে পরিবর্তন করি:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{8}$
উভয় পক্ষকে উল্টিয়ে পাই:
$x^2 = 8$
$x$ এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষের বর্গমূল করি:
$x = \sqrt{8}$
$x = \sqrt{4 \times 2}$
$x = 2\sqrt{2}$
যেহেতু ভিত্তি $x$ অবশ্যই ধনাত্মক হবে (লগারিদমের শর্ত অনুযায়ী), তাই আমরা শুধু ধনাত্মক বর্গমূলটি নিব।
সুতরাং, $x = 2\sqrt{2}$।
ক. $$\frac{4}{9}$$
খ. $$\frac{9}{4}$$
গ. $$\sqrt{\frac{3}{2}}$$
ঘ. $$\sqrt{\frac{2}{3}}$$
উত্তরঃ $$\frac{4}{9}$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: $\log_{x}{(\frac{3}{2})}=-\frac{1}{2}$
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $\log_{b}{a} = c$ হয়, তাহলে $b^c = a$ লেখা যায়।
এই সংজ্ঞা ব্যবহার করে, আমরা প্রদত্ত সমীকরণকে এভাবে লিখতে পারি:
$x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$
আমরা জানি যে $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$। সুতরাং,
$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}$
আমরা আরও জানি যে $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$। সুতরাং,
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2}$
এখন $x$-এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষকে উল্টে দিই:
$\sqrt{x} = \frac{2}{3}$
এবার $x$-এর মান পেতে উভয় পক্ষকে বর্গ করি:
$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$x = \frac{2^2}{3^2}$
$x = \frac{4}{9}$
সুতরাং, $x$-এর মান $\frac{4}{9}$।
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $\log_{b}{a} = c$ হয়, তাহলে $b^c = a$ লেখা যায়।
এই সংজ্ঞা ব্যবহার করে, আমরা প্রদত্ত সমীকরণকে এভাবে লিখতে পারি:
$x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$
আমরা জানি যে $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$। সুতরাং,
$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}$
আমরা আরও জানি যে $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$। সুতরাং,
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2}$
এখন $x$-এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষকে উল্টে দিই:
$\sqrt{x} = \frac{2}{3}$
এবার $x$-এর মান পেতে উভয় পক্ষকে বর্গ করি:
$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$x = \frac{2^2}{3^2}$
$x = \frac{4}{9}$
সুতরাং, $x$-এর মান $\frac{4}{9}$।
প্রশ্নঃ $$log_{\sqrt{3}}~{81}$$ কত?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. 4
খ. $$27\sqrt{3}$$
গ. 8
ঘ. $$\frac{1}{8}$$
উত্তরঃ 8
ব্যাখ্যাঃ আমরা $log_{\sqrt{3}}~{81}$-এর মান নির্ণয় করব।
ধরি, $log_{\sqrt{3}}~{81} = y$
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, এর অর্থ হলো:
$(\sqrt{3})^y = 81$
এখন, উভয় পক্ষকে $3$-এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করি:
$\sqrt{3} = 3^{1/2}$
$81 = 3^4$
তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$(3^{1/2})^y = 3^4$
$3^{(1/2)y} = 3^4$
যেহেতু ভিত্তি (base) উভয় পাশে একই ($3$), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:
$\frac{1}{2}y = 4$
$y = 4 \times 2$
$y = 8$
সুতরাং, $log_{\sqrt{3}}~{81}$ এর মান হলো ৮।
ধরি, $log_{\sqrt{3}}~{81} = y$
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, এর অর্থ হলো:
$(\sqrt{3})^y = 81$
এখন, উভয় পক্ষকে $3$-এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করি:
$\sqrt{3} = 3^{1/2}$
$81 = 3^4$
তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$(3^{1/2})^y = 3^4$
$3^{(1/2)y} = 3^4$
যেহেতু ভিত্তি (base) উভয় পাশে একই ($3$), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:
$\frac{1}{2}y = 4$
$y = 4 \times 2$
$y = 8$
সুতরাং, $log_{\sqrt{3}}~{81}$ এর মান হলো ৮।
প্রশ্নঃ যদি $$(25)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$ হয় তবে $$x=$$ কত?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. 0
খ. 1
গ. $$-1$$
ঘ. 4
উত্তরঃ 0
ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি নিচে সমাধান করা হলো:
$$(25)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$
আমরা জানি যে $25 = 5^2$। এই মানটি সমীকরণে বসাই:
$$(5^2)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, $(a^m)^n = a^{mn}$, তাই আমরা বাম পাশের ঘাতগুলো গুণ করব:
$$5^{2(2x+3)} = 5^{3x+6}$$
$$5^{4x+6} = 5^{3x+6}$$
যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (base) একই ($5$), তাই ঘাতগুলোও সমান হতে হবে:
$$4x+6 = 3x+6$$
এখন $x$-এর মান নির্ণয় করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি:
$4x - 3x = 6 - 6$
$$x = 0$$
সুতরাং, $x$-এর মান হলো ০।
$$(25)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$
আমরা জানি যে $25 = 5^2$। এই মানটি সমীকরণে বসাই:
$$(5^2)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, $(a^m)^n = a^{mn}$, তাই আমরা বাম পাশের ঘাতগুলো গুণ করব:
$$5^{2(2x+3)} = 5^{3x+6}$$
$$5^{4x+6} = 5^{3x+6}$$
যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (base) একই ($5$), তাই ঘাতগুলোও সমান হতে হবে:
$$4x+6 = 3x+6$$
এখন $x$-এর মান নির্ণয় করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি:
$4x - 3x = 6 - 6$
$$x = 0$$
সুতরাং, $x$-এর মান হলো ০।
প্রশ্নঃ $$\sqrt{১৫.৬০২৫}=?$$
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. ৩.৮৫
খ. ৩.৭৫
গ. ৩.৯৫
ঘ. ৩.৬৫
উত্তরঃ ৩.৯৫
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে দশমিক বাদ দিয়ে সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করি, অর্থাৎ $\sqrt{১৫৬০২৫}$।
যেহেতু সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক ৫, তাই এর বর্গমূলের শেষ অঙ্ক ৫ হবে।
আমরা জানি $395^2 = 156025$।
এখন, আসল সংখ্যাটিতে দশমিক বিন্দুর পর ৪টি অঙ্ক আছে। তাই বর্গমূলে দশমিক বিন্দুর পর $৪ \div ২ = ২$টি অঙ্ক থাকবে।
সুতরাং, $\sqrt{১৫.৬০২৫} = ৩.৯৫$
অতএব, $\sqrt{১৫.৬০২৫} = ৩.৯৫$।
যেহেতু সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক ৫, তাই এর বর্গমূলের শেষ অঙ্ক ৫ হবে।
আমরা জানি $395^2 = 156025$।
এখন, আসল সংখ্যাটিতে দশমিক বিন্দুর পর ৪টি অঙ্ক আছে। তাই বর্গমূলে দশমিক বিন্দুর পর $৪ \div ২ = ২$টি অঙ্ক থাকবে।
সুতরাং, $\sqrt{১৫.৬০২৫} = ৩.৯৫$
অতএব, $\sqrt{১৫.৬০২৫} = ৩.৯৫$।
প্রশ্নঃ $$\sqrt{-8}×\sqrt{-2}=$$ কত?
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. 4
খ. $$4i$$
গ. $$-4$$
ঘ. $$-4i$$
উত্তরঃ $$-4$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $\sqrt{-1} = i$ (কাল্পনিক একক)।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$\sqrt{-8} = \sqrt{8 \times (-1)} = \sqrt{8} \times \sqrt{-1} = \sqrt{4 \times 2} \times i = 2\sqrt{2}i$$এবং,$$\sqrt{-2} = \sqrt{2 \times (-1)} = \sqrt{2} \times \sqrt{-1} = \sqrt{2}i$$
এখন, এদের গুণফল হবে:
$$\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = (2\sqrt{2}i) \times (\sqrt{2}i)$$$$= 2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \times (i \times i)$$$$= 2 \times 2 \times i^2$$
আমরা জানি, $i^2 = -1$.
সুতরাং,
$$= 4 \times (-1)$$
$$= -4$$
অতএব, $$\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = -4$$
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$\sqrt{-8} = \sqrt{8 \times (-1)} = \sqrt{8} \times \sqrt{-1} = \sqrt{4 \times 2} \times i = 2\sqrt{2}i$$এবং,$$\sqrt{-2} = \sqrt{2 \times (-1)} = \sqrt{2} \times \sqrt{-1} = \sqrt{2}i$$
এখন, এদের গুণফল হবে:
$$\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = (2\sqrt{2}i) \times (\sqrt{2}i)$$$$= 2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \times (i \times i)$$$$= 2 \times 2 \times i^2$$
আমরা জানি, $i^2 = -1$.
সুতরাং,
$$= 4 \times (-1)$$
$$= -4$$
অতএব, $$\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = -4$$
প্রশ্নঃ $$x^{-3}-0.001=0$$ হলে, $$x^2$$ এর মান-
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 100
খ. $$\frac{1}{10}$$
গ. 10
ঘ. $$\frac{1}{100}$$
উত্তরঃ 100
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে সমীকরণটি:
$x^{-3} - 0.001 = 0$
আমরা $x^{-3}$ কে $\frac{1}{x^3}$ লিখতে পারি।
এবং $0.001$ কে $\frac{1}{1000}$ লিখতে পারি।
তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$\frac{1}{x^3} - \frac{1}{1000} = 0$
$\frac{1}{x^3} = \frac{1}{1000}$
উভয় পক্ষের হর তুলনা করে পাই:
$x^3 = 1000$
এখন $x$ এর মান বের করি:
$x = \sqrt[3]{1000}$
$x = 10$
প্রশ্নে $x^2$ এর মান চাওয়া হয়েছে।
$x^2 = (10)^2$
$x^2 = 100$
সুতরাং, $x^2$ এর মান ১০০।
$x^{-3} - 0.001 = 0$
আমরা $x^{-3}$ কে $\frac{1}{x^3}$ লিখতে পারি।
এবং $0.001$ কে $\frac{1}{1000}$ লিখতে পারি।
তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$\frac{1}{x^3} - \frac{1}{1000} = 0$
$\frac{1}{x^3} = \frac{1}{1000}$
উভয় পক্ষের হর তুলনা করে পাই:
$x^3 = 1000$
এখন $x$ এর মান বের করি:
$x = \sqrt[3]{1000}$
$x = 10$
প্রশ্নে $x^2$ এর মান চাওয়া হয়েছে।
$x^2 = (10)^2$
$x^2 = 100$
সুতরাং, $x^2$ এর মান ১০০।
প্রশ্নঃ $$log_{a}{(\frac{1}{9})}$$ এর মান-
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 2
খ. -2
গ. 3
ঘ. -3
উত্তরঃ -2
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $\frac{1}{9} = 9^{-1}$।
তাহলে, এক্সপ্রেশনটি দাঁড়ায়:
$log_a{(9^{-1})}$
লগারিদমের একটি ধর্ম হলো $log_b{(M^P)} = P \cdot log_b{(M)}$।
এই ধর্মটি প্রয়োগ করলে পাই:
$log_a{(9^{-1})} = -1 \cdot log_a{(9)}$
বা, $$-log_a{(9)}$$
যদি $a = 9$ হয়, তবে:
$log_9{(\frac{1}{9})} = log_9{(9^{-1})} = -1 \cdot log_9{(9)}$
আমরা জানি $log_b{(b)} = 1$, তাই $log_9{(9)} = 1$।
সুতরাং, $-1 \times 1 = -1$।
যদি $a = 3$ হয়, তবে:
$log_3{(\frac{1}{9})} = log_3{(3^{-2})} = -2 \cdot log_3{(3)}$
সুতরাং, $-2 \times 1 = -2$।
সাধারণভাবে, $log_a{(\frac{1}{9})}$ এর মান হলো $-log_a{(9)}$।
একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মানের জন্য, $a$ এর সুনির্দিষ্ট মান প্রয়োজন।
তাহলে, এক্সপ্রেশনটি দাঁড়ায়:
$log_a{(9^{-1})}$
লগারিদমের একটি ধর্ম হলো $log_b{(M^P)} = P \cdot log_b{(M)}$।
এই ধর্মটি প্রয়োগ করলে পাই:
$log_a{(9^{-1})} = -1 \cdot log_a{(9)}$
বা, $$-log_a{(9)}$$
যদি $a = 9$ হয়, তবে:
$log_9{(\frac{1}{9})} = log_9{(9^{-1})} = -1 \cdot log_9{(9)}$
আমরা জানি $log_b{(b)} = 1$, তাই $log_9{(9)} = 1$।
সুতরাং, $-1 \times 1 = -1$।
যদি $a = 3$ হয়, তবে:
$log_3{(\frac{1}{9})} = log_3{(3^{-2})} = -2 \cdot log_3{(3)}$
সুতরাং, $-2 \times 1 = -2$।
সাধারণভাবে, $log_a{(\frac{1}{9})}$ এর মান হলো $-log_a{(9)}$।
একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মানের জন্য, $a$ এর সুনির্দিষ্ট মান প্রয়োজন।
প্রশ্নঃ $$log_{a}{x}=1, log_{a}{y}=2$$ এবং $$log_{a}{z}=3$$ হলে, $$log_{a}{(\frac{x^3y^2}{z})}$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 1
খ. 2
গ. 4
ঘ. 5
উত্তরঃ 4
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$log_a{x} = 1$
$log_a{y} = 2$
$log_a{z} = 3$
আমাদেরকে $log_a{(\frac{x^3y^2}{z})}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী:
১. $log_b{(\frac{M}{N})} = log_b{M} - log_b{N}$
২. $log_b{(MN)} = log_b{M} + log_b{N}$
৩. $log_b{(M^P)} = P \cdot log_b{M}$
প্রথমে, ভাগের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$log_a{(\frac{x^3y^2}{z})} = log_a{(x^3y^2)} - log_a{z}$
এবার গুণের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$log_a{(x^3y^2)} - log_a{z} = (log_a{x^3} + log_a{y^2}) - log_a{z}$
এখন পাওয়ারের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$(log_a{x^3} + log_a{y^2}) - log_a{z} = (3 \cdot log_a{x} + 2 \cdot log_a{y}) - log_a{z}$
এবার প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে দিই:
$(3 \cdot 1 + 2 \cdot 2) - 3$
$= (3 + 4) - 3$
$= 7 - 3$
$= 4$
সুতরাং, $log_a{(\frac{x^3y^2}{z})}$ এর মান হলো $4$।
$log_a{x} = 1$
$log_a{y} = 2$
$log_a{z} = 3$
আমাদেরকে $log_a{(\frac{x^3y^2}{z})}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী:
১. $log_b{(\frac{M}{N})} = log_b{M} - log_b{N}$
২. $log_b{(MN)} = log_b{M} + log_b{N}$
৩. $log_b{(M^P)} = P \cdot log_b{M}$
প্রথমে, ভাগের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$log_a{(\frac{x^3y^2}{z})} = log_a{(x^3y^2)} - log_a{z}$
এবার গুণের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$log_a{(x^3y^2)} - log_a{z} = (log_a{x^3} + log_a{y^2}) - log_a{z}$
এখন পাওয়ারের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$(log_a{x^3} + log_a{y^2}) - log_a{z} = (3 \cdot log_a{x} + 2 \cdot log_a{y}) - log_a{z}$
এবার প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে দিই:
$(3 \cdot 1 + 2 \cdot 2) - 3$
$= (3 + 4) - 3$
$= 7 - 3$
$= 4$
সুতরাং, $log_a{(\frac{x^3y^2}{z})}$ এর মান হলো $4$।
প্রশ্নঃ $$\sqrt{169}$$ is equal to -
[ বিসিএস ৩৪তম ]
ক. 11
খ. 13
গ. 15
ঘ. 17
উত্তরঃ 13
ব্যাখ্যাঃ $\sqrt{169}$ এর মান হলো ১৩।
প্রশ্নঃ $$\frac{(5^{n+2}+35×5^{n-1})}{(4×5^n)}$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৩৪তম ]
ক. 4
খ. 8
গ. 5
ঘ. 7
উত্তরঃ 8
ব্যাখ্যাঃ :
প্রদত্ত রাশিটি হলো $\frac{(5^{n+2}+35×5^{n-1})}{(4×5^n)}$
প্রথমে আমরা লবকে (numerator) সরল করি:
$5^{n+2}+35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1+3} + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}×5^3 + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}×(125) + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}(125+35)$
$= 5^{n-1}(160)$
এবার আমরা হরকে (denominator) সরল করি:
$4×5^n$
$= 4×5^{n-1+1}$
$= 4×5^{n-1}×5^1$
$= 4×5×5^{n-1}$
$= 20×5^{n-1}$
এখন, লব ও হরকে একত্রিত করে পাই:
$\frac{160×5^{n-1}}{20×5^{n-1}}$
উভয় পক্ষ থেকে $5^{n-1}$ কেটে দিলে পাই:
$\frac{160}{20} = ৮$
সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো ৮।
প্রদত্ত রাশিটি হলো $\frac{(5^{n+2}+35×5^{n-1})}{(4×5^n)}$
প্রথমে আমরা লবকে (numerator) সরল করি:
$5^{n+2}+35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1+3} + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}×5^3 + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}×(125) + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}(125+35)$
$= 5^{n-1}(160)$
এবার আমরা হরকে (denominator) সরল করি:
$4×5^n$
$= 4×5^{n-1+1}$
$= 4×5^{n-1}×5^1$
$= 4×5×5^{n-1}$
$= 20×5^{n-1}$
এখন, লব ও হরকে একত্রিত করে পাই:
$\frac{160×5^{n-1}}{20×5^{n-1}}$
উভয় পক্ষ থেকে $5^{n-1}$ কেটে দিলে পাই:
$\frac{160}{20} = ৮$
সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো ৮।
প্রশ্নঃ $$(\sqrt[3]{3}×\sqrt[3]{4})^6$$ = কত?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. 12
খ. 48
গ. 36
ঘ. 144
উত্তরঃ 144
ব্যাখ্যাঃ $\implies (\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{4})^৬$
$\implies (\sqrt[৩]{৩ \times ৪})^৬$
$\implies (\sqrt[৩]{১২})^৬$
$\implies (১২^{\frac{১}{৩}})^৬$
$\implies ১২^{(\frac{১}{৩} \times ৬)}$
$\implies ১২^২$
$\implies ১২ \times ১২ = ১৪৪$
অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান হলো ১৪৪।
$\implies (\sqrt[৩]{৩ \times ৪})^৬$
$\implies (\sqrt[৩]{১২})^৬$
$\implies (১২^{\frac{১}{৩}})^৬$
$\implies ১২^{(\frac{১}{৩} \times ৬)}$
$\implies ১২^২$
$\implies ১২ \times ১২ = ১৪৪$
অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান হলো ১৪৪।
প্রশ্নঃ যদি $$(\frac{a}{b})^{x-3}=(\frac{b}{a})^{x-5}$$ হয় তবে $$x$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৩৩তম | 17th ntrca (স্কুল সমপর্যায়-২) (30-12-2022) ]
ক. 8
খ. 3
গ. 5
ঘ. 4
উত্তরঃ 4
ব্যাখ্যাঃ
$(\frac{a}{b})^{x-3}=(\frac{b}{a})^{x-5}$
আমরা জানি যে, $(\frac{b}{a})^{-1} = \frac{a}{b}$
সুতরাং, $(\frac{b}{a})^{x-5}$ কে লেখা যায় $(\frac{a}{b})^{-(x-5)}$
$\implies (\frac{a}{b})^{x-3} = (\frac{a}{b})^{-(x-5)}$
উভয় পাশে ভিত্তি $(\frac{a}{b})$ সমান হওয়ায়, আমরা সূচকগুলোকে সমান লিখতে পারি:
$x-3 = -(x-5)$
$x-3 = -x+5$
$x+x = 5+3$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x=4$
$(\frac{a}{b})^{x-3}=(\frac{b}{a})^{x-5}$
আমরা জানি যে, $(\frac{b}{a})^{-1} = \frac{a}{b}$
সুতরাং, $(\frac{b}{a})^{x-5}$ কে লেখা যায় $(\frac{a}{b})^{-(x-5)}$
$\implies (\frac{a}{b})^{x-3} = (\frac{a}{b})^{-(x-5)}$
উভয় পাশে ভিত্তি $(\frac{a}{b})$ সমান হওয়ায়, আমরা সূচকগুলোকে সমান লিখতে পারি:
$x-3 = -(x-5)$
$x-3 = -x+5$
$x+x = 5+3$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x=4$
প্রশ্নঃ $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^3}} = $$ কত?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. a
খ. 1
গ. $$a^{\frac{1}{3}}$$
ঘ. $$a^3$$
উত্তরঃ $$a^{\frac{1}{3}}$$
ব্যাখ্যাঃ
প্রথমে ভিতরের বর্গমূলটি সমাধান করা যাক:
$\sqrt[3]{a^3} = a^{\frac{৩}{৩}} = a^১ = a$
এবার এই ফলাফলটিকে বাইরের বর্গমূলের মধ্যে বসানো যাক:
$\sqrt[3]{a}$
যেহেতু $\sqrt[3]{a}$ এর মান কোনো পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই এটিকেই আমরা এভাবে লিখতে পারি:
$a^{\frac{১}{৩}}$
প্রথমে ভিতরের বর্গমূলটি সমাধান করা যাক:
$\sqrt[3]{a^3} = a^{\frac{৩}{৩}} = a^১ = a$
এবার এই ফলাফলটিকে বাইরের বর্গমূলের মধ্যে বসানো যাক:
$\sqrt[3]{a}$
যেহেতু $\sqrt[3]{a}$ এর মান কোনো পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই এটিকেই আমরা এভাবে লিখতে পারি:
$a^{\frac{১}{৩}}$
প্রশ্নঃ $${4^x+4^x+4^x+4^x}$$ এর মান নিচের কোনটি?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. $$16^x$$
খ. $$4^{4x}$$
গ. $$2^{2x+2}$$
ঘ. $$2^{8x}$$
উত্তরঃ $$2^{2x+2}$$
ব্যাখ্যাঃ
$৪^x+৪^x+৪^x+৪^x$
$= ৪ \times ৪^x$
$= ৪^1 \times ৪^x$
$= ৪^{1+x}$
$৪^x+৪^x+৪^x+৪^x$
$= ৪ \times ৪^x$
$= ৪^1 \times ৪^x$
$= ৪^{1+x}$
প্রশ্নঃ $$log_{2}{\frac{1}{32}}$$ এর মান –
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. $$\frac{1}{25}$$
খ. $$-5$$
গ. $$\frac{1}{5}$$
ঘ. $$\frac{-1}{5}$$
উত্তরঃ $$-5$$
ব্যাখ্যাঃ
$log_{2}{\frac{1}{32}}$
$= log_{2}{\frac{1}{2^5}}$
$= log_{2}{2^{-5}}$
$= -5log_{2}{2}$
$= -5 \times 1$$
$= -5$
$log_{2}{\frac{1}{32}}$
$= log_{2}{\frac{1}{2^5}}$
$= log_{2}{2^{-5}}$
$= -5log_{2}{2}$
$= -5 \times 1$$
$= -5$
প্রশ্নঃ $$(\sqrt{3}.\sqrt{5})^4$$ - এর মান কত?
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. 30
খ. 60
গ. 225
ঘ. 15
উত্তরঃ 225
ব্যাখ্যাঃ $$(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^4 = (\sqrt{15})^4$$ এখন, \( (\sqrt{15})^4 \) কে লিখতে পারি: $$ (\sqrt{15})^4 = (\sqrt{15})^2 \cdot (\sqrt{15})^2$$ এখন, \( (\sqrt{15})^2 = 15 \) হয়, তাই: $$ (\sqrt{15})^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 15 \cdot 15 = 225 $$ সুতরাং, $$(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^4 = 225$$
প্রশ্নঃ $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}$$ সমান-
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. $$\sqrt{3}+\sqrt{2}$$
খ. $$8-\sqrt{2}$$
গ. $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$
ঘ. $$\sqrt{3}+2$$
উত্তরঃ $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ভগ্নাংশটি সরলীকরণ করব: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \] ### ধাপ ১: হর থেকে ঐকিক পদ সরানো (যূক্পদ মুক্ত করা) হরকে যূক্পদ মুক্ত করতে আমরা সঙ্গতি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করব। সঙ্গতি ভগ্নাংশ হবে \( \sqrt{6} - 2 \), তাই আমরা হর ও লব দুটোতেই এটি দ্বারা গুণ করবো: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \times \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} - 2} \] ### ধাপ ২: হরের গুণফল নির্ণয় \[ (\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2) \] এটি \( a^2 - b^2 \) সূত্র প্রয়োগ করে পাই: \[ 6 - 4 = 2 \] অর্থাৎ, হর = 2। ### ধাপ ৩: লবের গুণফল নির্ণয় \[ \sqrt{2} (\sqrt{6} - 2) \] \[ = \sqrt{12} - 2\sqrt{2} \] \[ = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \] ### ধাপ ৪: ভগ্নাংশ সরলীকরণ \[ \frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2} \] \[ = \sqrt{3} - \sqrt{2} \] --- ### উত্তর: \[ \sqrt{3} - \sqrt{2} \quad \text{✅} \]
প্রশ্নঃ \((\frac{১২৫}{২৭})^{-\frac{২}{৩}}\) - এর সহজ প্রকাশ?
[ বিসিএস ১৭তম ]
ক. $$\frac{১}{২৫}$$
খ. $$\frac{৫}{২০}$$
গ. $$\frac{৯}{২৫}$$
ঘ. $$\frac{৩}{২০}$$
উত্তরঃ $$\frac{৯}{২৫}$$
ব্যাখ্যাঃ ধরি, \[ \left(\frac{১২৫}{২৭}\right)^{-\frac{২}{৩}} \] প্রথমে ভগ্নাংশটির হারের মান বের করি: \[ \frac{১২৫}{২৭} = \left(\frac{৫^৩}{৩^৩}\right) = \left(\frac{৫}{৩}\right)^৩ \] এখন, এই মানটির উপর শক্তি প্রয়োগ করি: \[ \left(\frac{৫}{৩}\right)^৩ \] এই মানটির উপর \(-\frac{২}{৩}\) প্রয়োগ করতে হবে: \[ \left(\left(\frac{৫}{৩}\right)^৩\right)^{-\frac{২}{৩}} \] এখন আমরা শক্তির নিয়ম প্রয়োগ করি: \[ \left(\left(\frac{৫}{৩}\right)^৩\right)^{-\frac{২}{৩}} = \left(\frac{৫}{৩}\right)^{৩ \cdot -\frac{২}{৩}} = \left(\frac{৫}{৩}\right)^{-২} \] এখন শক্তি সরল করি: \[ \left(\frac{৫}{৩}\right)^{-২} = \left(\frac{৩}{৫}\right)^২ \] শেষে, \[ \left(\frac{৩}{৫}\right)^২ = \frac{৯}{২৫} \] অতএব, \((\frac{১২৫}{২৭})^{-\frac{২}{৩}}\) এর সরল প্রকাশ হলো \(\frac{৯}{২৫}\)।
প্রশ্নঃ \(a^m.a^n = a^{m+n}\) কখন হবে?
[ বিসিএস ১৪তম ]
ক. m ধনাত্মক হলে
খ. n ধনাত্মক হলে
গ. m ও n ধনাত্মক হলে
ঘ. m ধনাত্মক ও n ঋণাত্মক হলে
উত্তরঃ m ও n ধনাত্মক হলে
ব্যাখ্যাঃ \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) সমীকরণটি প্রযোজ্য হবে যখন \(a\) একই সংখ্যা এবং \(m\) ও \(n\) দুইটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (ধরা যাক \(a \neq 0\) )।
অর্থাৎ, \(a\) এর একই ভিত্তি এবং তাদের ঘাত যোগফল সমান হবে, তখনই এই সমীকরণটি সত্যি হবে।
অর্থাৎ, \(a\) এর একই ভিত্তি এবং তাদের ঘাত যোগফল সমান হবে, তখনই এই সমীকরণটি সত্যি হবে।
প্রশ্নঃ ৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?
[ বিসিএস ১৩তম ]
ক. ৩
খ. ৪
গ. ৫
ঘ. ৬
উত্তরঃ ৫
ব্যাখ্যাঃ \(32 = 2^5\) এখন, লগারিদম সূত্র অনুযায়ী: \[ \log_2{32} = \log_2{2^5} = 5 \] অতএব, \(32\) এর \(2\) ভিত্তিক লগারিদম হল \(5\)।
প্রশ্নঃ \([২ - ৩ (২-৩)^{-১}]^{-১}\) এর মান কত?
[ বিসিএস ১৩তম ]
ক. 5
খ. \(-5\)
গ. \(\frac{১}{৫}\)
ঘ. \(-\frac{১}{৫}\)
উত্তরঃ \(\frac{১}{৫}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশিটি হলো: \[ [২ - ৩ (২-৩)^{-১}]^{-১} \] এটি সমাধান করতে আমরা ধাপে ধাপে এগোই।
ধাপ ১: ভিতরের বন্ধনী সমাধান
প্রথমে ভিতরের বন্ধনী \( (২-৩)^{-১} \) সমাধান করি: \[ ২ - ৩ = -১ \] \[ (২-৩)^{-১} = (-১)^{-১} = -১ \] ধাপ ২: মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন
এখন মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন করি: \[ [২ - ৩ \times (-১)]^{-১} \] ধাপ ৩: গুণন সমাধান \[ ৩ \times (-১) = -৩ \] ধাপ ৪: যোগ সমাধান \[ ২ - (-৩) = ২ + ৩ = ৫ \] ধাপ ৫: শেষ ধাপ
এখন রাশিটি হলো: \[ [৫]^{-১} = \frac{১}{৫} \] ফলাফল \[ [২ - ৩ (২-৩)^{-১}]^{-১} = \frac{১}{৫} \] অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান \(\frac{১}{৫}\)।
ধাপ ১: ভিতরের বন্ধনী সমাধান
প্রথমে ভিতরের বন্ধনী \( (২-৩)^{-১} \) সমাধান করি: \[ ২ - ৩ = -১ \] \[ (২-৩)^{-১} = (-১)^{-১} = -১ \] ধাপ ২: মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন
এখন মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন করি: \[ [২ - ৩ \times (-১)]^{-১} \] ধাপ ৩: গুণন সমাধান \[ ৩ \times (-১) = -৩ \] ধাপ ৪: যোগ সমাধান \[ ২ - (-৩) = ২ + ৩ = ৫ \] ধাপ ৫: শেষ ধাপ
এখন রাশিটি হলো: \[ [৫]^{-১} = \frac{১}{৫} \] ফলাফল \[ [২ - ৩ (২-৩)^{-১}]^{-১} = \frac{১}{৫} \] অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান \(\frac{১}{৫}\)।
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\) এর সমান?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. \(\sqrt{2}\)
খ. \(\frac{1}{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\)
গ. \(\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\)
ঘ. \(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
ব্যাখ্যাঃ ধাপে ধাপে আমরা দেখতে পাই: \[ \sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \] এখন উপরের অংশ সরলীকরণ করা হলে: \[ (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 \] তাহলে: \[ \sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \]
ক. \(9\frac{2}{3}\)
খ. \(11\frac{1}{3}\)
গ. \(12\frac{2}{5}\)
ঘ. \(13\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ \(13\frac{2}{3}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \[ (64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 3K \] আমরা প্রথমে \((64)^{\frac{2}{3}}\) এবং \((625)^{\frac{1}{2}}\) এর মান নির্ণয় করব।
ধাপ 1: \((64)^{\frac{2}{3}}\) এর মান নির্ণয় \[ (64)^{\frac{2}{3}} = \left(64^{\frac{1}{3}}\right)^2 \] \[ 64^{\frac{1}{3}} = 4 \quad (\text{কারণ } 4^3 = 64) \] \[ (64)^{\frac{2}{3}} = 4^2 = 16 \] ধাপ 2: \((625)^{\frac{1}{2}}\) এর মান নির্ণয় \[ (625)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{625} = 25 \] ধাপ 3: সমীকরণে মান বসানো \[ (64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 16 + 25 = 41 \] \[ 3K = 41 \] \[ K = \frac{41}{3} \] সুতরাং, \(K\) এর মান হলো: \[ \boxed{13\frac{2}{3}} \]
ধাপ 1: \((64)^{\frac{2}{3}}\) এর মান নির্ণয় \[ (64)^{\frac{2}{3}} = \left(64^{\frac{1}{3}}\right)^2 \] \[ 64^{\frac{1}{3}} = 4 \quad (\text{কারণ } 4^3 = 64) \] \[ (64)^{\frac{2}{3}} = 4^2 = 16 \] ধাপ 2: \((625)^{\frac{1}{2}}\) এর মান নির্ণয় \[ (625)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{625} = 25 \] ধাপ 3: সমীকরণে মান বসানো \[ (64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 16 + 25 = 41 \] \[ 3K = 41 \] \[ K = \frac{41}{3} \] সুতরাং, \(K\) এর মান হলো: \[ \boxed{13\frac{2}{3}} \]
প্রশ্নঃ \(log_a(\frac{m}{n})=\) কত?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. \(\mathrm {log_a m-log_an}\)
খ. \(\mathrm {log_a m+log_an}\)
গ. \(\mathrm {log_a m×log_an}\)
ঘ. কোনোটিই নয়
উত্তরঃ \(\mathrm {log_a m-log_an}\)
ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমের গুণনীয়কের সূত্র প্রয়োগ করে \(log_a(\frac{m}{n})\)-এর মান বের করতে পারি। সূত্রটি হলো: \[ log_a\left(\frac{m}{n}\right) = log_a(m) - log_a(n) \] তাহলে, \[ log_a(\frac{m}{n}) = log_a(m) - log_a(n) \] এটি হলো চূড়ান্ত উত্তর।
প্রশ্নঃ \(36.2^{3x-8}=3^2\) হলে \(x\) এ রর মান কত?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. \(\frac{7}{3}\)
খ. 3
গ. \(\frac{8}{3}\)
ঘ. 2
উত্তরঃ 2
ব্যাখ্যাঃ \[ 36.2^{3x-8} = 3^2 \] \[\Rightarrow 2^{3x-8} = \frac{9}{36} \] \[\Rightarrow \frac{2^{3x}}{2^8} = \frac{1}{4} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = \frac{2^8}{4} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = \frac{2^8}{2^2} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = 2^{8-2} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = 2^6 \] \[\Rightarrow 3x = 6\] \[\therefore x = 2 \]
ক. \(4xy\)
খ. \(2xy\)
গ. \(6xy\)
ঘ. \(8xy\)
উত্তরঃ \(2xy\)
ব্যাখ্যাঃ \[x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2\] \[= x^2 + (-4)^2 + y^2 + 2 \cdot x \cdot (-4) + 2 \cdot (-4) \cdot y + 2xy - 2xy\] \[= (x - 4 + y)^2 - 2xy\] সুতরাং, পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করতে \(2xy\) যোগ করতে হবে।
প্রশ্নঃ \(log_2~8=\) কত?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. 4
খ. 3
গ. 2
ঘ. 1
উত্তরঃ 3
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি যে লগারিদমের মূল সূত্র অনুসারে: \[ log_a(b) = c \implies a^c = b \] এখানে, \(log_2(8) = c\) হলে: \[ 2^c = 8 \] আমরা জানি \(8 = 2^3\), সুতরাং: \[ 2^c = 2^3 \] এখন ভিত্তি একই হলে সহগও সমান হয়: \[ c = 3 \] \(log_2(8) = 3\)।
প্রশ্নঃ \(a^{-3}=0.2\) হলে \(a^{12}\) এর মান কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. 525
খ. 125
গ. 625
ঘ. 526
উত্তরঃ 625
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$$
a^{-3} = 0.2
$$
প্রথমে $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$, সুতরাং
$$
\frac{1}{a^3} = 0.2 \Rightarrow a^3 = \frac{1}{0.2} = 5
$$
এখন, $a^{12} = (a^3)^4 = 5^4 = 625$
$$
a^{-3} = 0.2
$$
প্রথমে $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$, সুতরাং
$$
\frac{1}{a^3} = 0.2 \Rightarrow a^3 = \frac{1}{0.2} = 5
$$
এখন, $a^{12} = (a^3)^4 = 5^4 = 625$
উত্তর: $a^{12} = 625$
প্রশ্নঃ \(9^x+9^x+9^x=\) কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. \(9^{3x}\)
খ. \(3^{2x+1}\)
গ. \(27^x\)
ঘ. \(3x^3\)
উত্তরঃ \(3^{2x+1}\)
ব্যাখ্যাঃ আমরা \(9^x + 9^x + 9^x\)-কে সহজভাবে লিখতে পারি।
ধরি, \(9^x\) একটি সাধারণ পদ। তাহলে:
\[ 9^x + 9^x + 9^x = 3 \cdot 9^x \]
\[ 9^x + 9^x + 9^x = 3 \cdot 9^x \]
\[3.3^{2x}\] \[3^{2x+1}\]
ধরি, \(9^x\) একটি সাধারণ পদ। তাহলে:
\[ 9^x + 9^x + 9^x = 3 \cdot 9^x \]
\[ 9^x + 9^x + 9^x = 3 \cdot 9^x \]
\[3.3^{2x}\] \[3^{2x+1}\]
প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গমূল কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. ০.০০১
খ. ১
গ. ০.১
ঘ. ০.০১
উত্তরঃ ০.০১
ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ \[ ০.০০০১ = \frac{1}{10000} \] ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয় \[ \sqrt{০.০০০১} = \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10000}} = \frac{1}{100} = ০.০১ \] উত্তর: ০.০০০১ এর বর্গমূল হলো: \[ \boxed{০.০১} \]
প্রশ্নঃ \(\sqrt{২৮৯}\) এর বর্গমূল হল-
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. অমূলদ
খ. স্বাভাবিক
গ. পূর্ণসংখ্যা
ঘ. মূলদ
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, \( \sqrt{২৮৯} \) গণনা করি। \[ \sqrt{২৮৯} = ১৭ \] এখন বিশ্লেষণ:
১. \( ১৭ \) হলো একটি পূর্ণসংখ্যা। তাই এটি পূর্ণসংখ্যা।
২. \( ১৭ \) হলো একটি মূলদ সংখ্যা, কারণ এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় (\( \frac{১৭}{১} \))।
৩. এটি কোনো অমূলদ সংখ্যা নয়, কারণ এটি দশমিক বা অসীম ধারা তৈরি করে না।
৪. \( ১৭ \) একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কারণ স্বাভাবিক সংখ্যা হলো সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
উত্তর: গঃ পূর্ণসংখ্যা এবং ঘঃ মূলদ।
১. \( ১৭ \) হলো একটি পূর্ণসংখ্যা। তাই এটি পূর্ণসংখ্যা।
২. \( ১৭ \) হলো একটি মূলদ সংখ্যা, কারণ এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় (\( \frac{১৭}{১} \))।
৩. এটি কোনো অমূলদ সংখ্যা নয়, কারণ এটি দশমিক বা অসীম ধারা তৈরি করে না।
৪. \( ১৭ \) একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কারণ স্বাভাবিক সংখ্যা হলো সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
উত্তর: গঃ পূর্ণসংখ্যা এবং ঘঃ মূলদ।
প্রশ্নঃ ০.১ এর বর্গমূল কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. ০.১
খ. ০.০১
গ. ০.২৫
ঘ. ০.৩১
উত্তরঃ ০.৩১
ব্যাখ্যাঃ ০.১ এর বর্গমূল নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করব:
ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ \[ ০.১ = \frac{1}{10} \] ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয় \[ \sqrt{০.১} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx ০.৩১৬২ \] উত্তর: ০.১ এর বর্গমূল হলো: \[ \boxed{০.৩১} \]
ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ \[ ০.১ = \frac{1}{10} \] ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয় \[ \sqrt{০.১} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx ০.৩১৬২ \] উত্তর: ০.১ এর বর্গমূল হলো: \[ \boxed{০.৩১} \]
প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গমূল কোনটি?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
ক. ০.০১
খ. ১
গ. ০.২
ঘ. .১
উত্তরঃ ০.০১
ব্যাখ্যাঃ
০.০১ × ০.০১ = ০.০০০১
সুতরাং ০.০০০১ এর বর্গমূল ০.০১