প্রশ্নঃ $$x^2-5x+6<0$$ হলে-
[ বিসিএস ৩৭তম ]
ক. $$ 2< x < 3 $$
খ. $$-3< x <-2 $$
গ. $$ x < 2 $$
ঘ. $$ x < 3 $$
উত্তরঃ $$ 2< x < 3 $$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো: $x^2 - 5x + 6 < 0$
প্রথমে, আমরা $x^2 - 5x + 6 = 0$ সমীকরণটির মূলগুলি নির্ণয় করব।
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$
$x(x - 2) - 3(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x - 3) = 0$
সুতরাং, সমীকরণটির মূলগুলি হলো $x = 2$ এবং $x = 3$।
এখন আমরা একটি সংখ্যা রেখায় এই মূলগুলি স্থাপন করব এবং দেখব কোন অঞ্চলে $x^2 - 5x + 6$ এর মান ঋণাত্মক হয়। মূলগুলি সংখ্যা রেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
প্রতিটি অঞ্চলে একটি করে মান বসিয়ে অসমতাটি পরীক্ষা করি:
* অঞ্চল 1: $x < 2$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=1$ নিই)
$1^2 - 5(1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2$
যেহেতু $2 > 0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।
* অঞ্চল 2: $2 < x < 3$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=2.5$ নিই)
$(2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$
যেহেতু $-0.25 < 0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য।
* অঞ্চল 3: $x > 3$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=4$ নিই)
$4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2$
যেহেতু $2 > 0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।
সুতরাং, অসমতা $x^2 - 5x + 6 < 0$ এর জন্য সঠিক শর্ত হলো $2 < x < 3$।
প্রথমে, আমরা $x^2 - 5x + 6 = 0$ সমীকরণটির মূলগুলি নির্ণয় করব।
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$
$x(x - 2) - 3(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x - 3) = 0$
সুতরাং, সমীকরণটির মূলগুলি হলো $x = 2$ এবং $x = 3$।
এখন আমরা একটি সংখ্যা রেখায় এই মূলগুলি স্থাপন করব এবং দেখব কোন অঞ্চলে $x^2 - 5x + 6$ এর মান ঋণাত্মক হয়। মূলগুলি সংখ্যা রেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
- $x < 2$
- $2 < x < 3$
- $x > 3$
প্রতিটি অঞ্চলে একটি করে মান বসিয়ে অসমতাটি পরীক্ষা করি:
* অঞ্চল 1: $x < 2$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=1$ নিই)
$1^2 - 5(1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2$
যেহেতু $2 > 0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।
* অঞ্চল 2: $2 < x < 3$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=2.5$ নিই)
$(2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$
যেহেতু $-0.25 < 0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য।
* অঞ্চল 3: $x > 3$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=4$ নিই)
$4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2$
যেহেতু $2 > 0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।
সুতরাং, অসমতা $x^2 - 5x + 6 < 0$ এর জন্য সঠিক শর্ত হলো $2 < x < 3$।
Related MCQ
প্রশ্নঃ x² – 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট –
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. [3, 4]
খ. (- ∞, 3]
ক. [3, 4]
খ. (3, 4)
গ. (- ∞, 3]
ক. (- ∞, 3]
খ. (3, 4)
গ. [3, 4]
ঘ. [4, ∞)
উত্তরঃ [3, 4]
ব্যাখ্যাঃ আমরা x² – 7x + 12 ≤ 0 অমৌলিক অসাম্য সমাধান করব।
1. বহুপদী অভাজ্য করা
আমরা x² – 7x + 12-কে ভগ্নাংশে বিভক্ত করি: \[ x² – 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) \] 2. অসাম্য রূপান্তর \[ (x - 3)(x - 4) ≤ 0 \] 3. মূলবিন্দু নির্ণয়
মূলবিন্দু: x = 3, x = 4
এটি সংখ্যারেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
1. x < 3 (নেতিবাচক)
2. 3 ≤ x ≤ 4 (ধনাত্মক বা শূন্য)
3. x > 4 (নেতিবাচক)
যেহেতু অসাম্যটি ≤ 0, তাই ধনাত্মক অংশ বাদ দিয়ে শূন্যসহ (3,4)-এর মধ্যে মান নেওয়া হবে।
4. সমাধান সেট \[ x \in [3,4] \]
1. বহুপদী অভাজ্য করা
আমরা x² – 7x + 12-কে ভগ্নাংশে বিভক্ত করি: \[ x² – 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) \] 2. অসাম্য রূপান্তর \[ (x - 3)(x - 4) ≤ 0 \] 3. মূলবিন্দু নির্ণয়
মূলবিন্দু: x = 3, x = 4
এটি সংখ্যারেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
1. x < 3 (নেতিবাচক)
2. 3 ≤ x ≤ 4 (ধনাত্মক বা শূন্য)
3. x > 4 (নেতিবাচক)
যেহেতু অসাম্যটি ≤ 0, তাই ধনাত্মক অংশ বাদ দিয়ে শূন্যসহ (3,4)-এর মধ্যে মান নেওয়া হবে।
4. সমাধান সেট \[ x \in [3,4] \]
প্রশ্নঃ বাস্তব সংখ্যায় $$| 3x+2 | < 7$$ অসমতাটির সমাধান:
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. $$-3 < x < 3$$
খ. $$-3< x < \frac{5}{3}$$
ক. $$ \frac{-5}{3} < x < \frac{5}{3}$$
খ. $$ \frac{5}{3} < x < \frac{-5}{3} $$
গ. $$-3< x < \frac{5}{3}$$
ক. $$-3 < x < 3$$
খ. $$ \frac{-5}{3} < x < \frac{5}{3}$$
গ. $$-3< x < \frac{5}{3}$$
ঘ. $$ \frac{5}{3} < x < \frac{-5}{3} $$
উত্তরঃ $$-3< x < \frac{5}{3}$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতা:
\[
| 3x + 2 | < 7
\]
১ম ধাপ: অমূখ্য মানের সংজ্ঞা প্রয়োগ
যদি \( |A| < B \) হয়, তবে আমরা লিখতে পারি:
\[
-B < A < B
\]
সুতরাং, এখানে প্রয়োগ করলে:
\[
-7 < 3x + 2 < 7
\]
২য় ধাপ: \( x \) নির্ণয় করা
প্রথমে \( -7 \) এবং \( 7 \) থেকে \( 2 \) বিয়োগ করি:
\[
-7 - 2 < 3x < 7 - 2
\]
\[
-9 < 3x < 5
\]
\[
\frac{-9}{3} < x < \frac{5}{3}
\]
\[
-3 < x < \frac{5}{3}
\]
উত্তর: \( -3 < x < \frac{5}{3} \)
\[
| 3x + 2 | < 7
\]
১ম ধাপ: অমূখ্য মানের সংজ্ঞা প্রয়োগ
যদি \( |A| < B \) হয়, তবে আমরা লিখতে পারি:
\[
-B < A < B
\]
সুতরাং, এখানে প্রয়োগ করলে:
\[
-7 < 3x + 2 < 7
\]
২য় ধাপ: \( x \) নির্ণয় করা
প্রথমে \( -7 \) এবং \( 7 \) থেকে \( 2 \) বিয়োগ করি:
\[
-7 - 2 < 3x < 7 - 2
\]
\[
-9 < 3x < 5
\]
\[
\frac{-9}{3} < x < \frac{5}{3}
\]
\[
-3 < x < \frac{5}{3}
\]
উত্তর: \( -3 < x < \frac{5}{3} \)
ক. $$\frac{8}{3} < x < ∞$$
খ. $$–~∞ < x < \frac{5}{3}$$ এবং $$\frac{8}{3} < x < ∞$$
ক. $$–~∞ < x < \frac{5}{3}$$ অথবা $$\frac{8}{3} < x < ∞$$
খ. $$–~∞ < x < \frac{5}{3}$$ এবং $$\frac{8}{3} < x < ∞$$
গ. $$\frac{8}{3} < x < ∞$$
ক. $$–~∞ < x < \frac{5}{3} $$
খ. $$\frac{8}{3} < x < ∞$$
গ. $$–~∞ < x < \frac{5}{3}$$ অথবা $$\frac{8}{3} < x < ∞$$
ঘ. $$–~∞ < x < \frac{5}{3}$$ এবং $$\frac{8}{3} < x < ∞$$
উত্তরঃ $$\frac{8}{3} < x < ∞$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত অসমতা \( \frac{1}{(3x - 5)} < \frac{1}{3} \) ধাপে ধাপে সমাধান করবো।
ধাপ ১: পদের পারস্পরিক পরিবর্তন
আমরা উভয় পক্ষে প্রতিপাদক রাশির (Reciprocal) ব্যবহার করতে পারি, তবে চিহ্ন পরিবর্তনের কথা মনে রাখতে হবে।
যেহেতু \( 3x - 5 \) কোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, তাই আমাদের প্রকৃত ক্ষেত্রে \(3x - 5\) এর চিহ্ন বুঝতে হবে।
(ক) যখন \( 3x - 5 > 0 \), অর্থাৎ \( x > \frac{5}{3} \)
\[
(3x - 5) > 3
\]
\[
3x > 8
\]
\[
x > \frac{8}{3}
\]
(খ) যখন \( 3x - 5 < 0 \), অর্থাৎ \( x < \frac{5}{3} \)
এক্ষেত্রে অসমতার দিক বদলে যাবে, তাই
\[
(3x - 5) < 3
\]
\[
3x < 8
\]
\[
x < \frac{8}{3}
\]
ধাপ ২: সংযুক্ত সমাধান সেট
আমরা দেখতে পাচ্ছি, যখন \( x > \frac{5}{3} \), তখন \( x > \frac{8}{3} \) শর্ত প্রযোজ্য।
আর যখন \( x < \frac{5}{3} \), তখন \( x < \frac{8}{3} \) শর্ত প্রযোজ্য।
অতএব, চূড়ান্ত সমাধান সেট:
\[
x < \frac{5}{3} ~~\text{or}~~ x > \frac{8}{3}
\]
চূড়ান্ত উত্তর:
\[
(-\infty, \frac{5}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)
\]
ধাপ ১: পদের পারস্পরিক পরিবর্তন
আমরা উভয় পক্ষে প্রতিপাদক রাশির (Reciprocal) ব্যবহার করতে পারি, তবে চিহ্ন পরিবর্তনের কথা মনে রাখতে হবে।
যেহেতু \( 3x - 5 \) কোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, তাই আমাদের প্রকৃত ক্ষেত্রে \(3x - 5\) এর চিহ্ন বুঝতে হবে।
(ক) যখন \( 3x - 5 > 0 \), অর্থাৎ \( x > \frac{5}{3} \)
\[
(3x - 5) > 3
\]
\[
3x > 8
\]
\[
x > \frac{8}{3}
\]
(খ) যখন \( 3x - 5 < 0 \), অর্থাৎ \( x < \frac{5}{3} \)
এক্ষেত্রে অসমতার দিক বদলে যাবে, তাই
\[
(3x - 5) < 3
\]
\[
3x < 8
\]
\[
x < \frac{8}{3}
\]
ধাপ ২: সংযুক্ত সমাধান সেট
আমরা দেখতে পাচ্ছি, যখন \( x > \frac{5}{3} \), তখন \( x > \frac{8}{3} \) শর্ত প্রযোজ্য।
আর যখন \( x < \frac{5}{3} \), তখন \( x < \frac{8}{3} \) শর্ত প্রযোজ্য।
অতএব, চূড়ান্ত সমাধান সেট:
\[
x < \frac{5}{3} ~~\text{or}~~ x > \frac{8}{3}
\]
চূড়ান্ত উত্তর:
\[
(-\infty, \frac{5}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)
\]
প্রশ্নঃ $$5x - x^2 - 6 > 0$$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
[ বিসিএস ৪৩তম ]
ক. $$2 < x < 3$$
খ. $$2 > x > 3$$
ক. $$2 < x < 3$$
খ. $$2 > x > 3$$
গ. $$x > 3, x < 2$$
ক. $$x > 3, x < 2$$
খ. $$2 > x > 3$$
গ. $$x < 2$$
ঘ. $$2 < x < 3$$
উত্তরঃ $$2 < x < 3$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা অসমতাটি বিশ্লেষণ করি:
$$
5x - x^2 - 6 > 0
$$
$$
- x^2 + 5x - 6 > 0
$$
$$
x^2 - 5x + 6 < 0
$$
$$
x^2 - 5x + 6 = 0
$$
এটি সহজভাবে ফ্যাক্টর করা যায়:
$$
(x - 2)(x - 3) = 0
$$
অর্থাৎ, $x = 2$ এবং $x = 3$ হলো মূলদ্বয়।
এখন, আমরা দেখতে চাই কখন এই রাশিটি ঋণাত্মক অর্থাৎ:
$$
(x - 2)(x - 3) < 0
$$
এই ধরণের অসমতা তখনই সত্য হয় যখন $x$ থাকে দুই মূলের মধ্যে।
অতএব, সমাধান:
$$
\boxed{2 < x < 3}
$$
সঠিক উত্তর: $2 < x < 3$
$$
5x - x^2 - 6 > 0
$$
$$
- x^2 + 5x - 6 > 0
$$
$$
x^2 - 5x + 6 < 0
$$
$$
x^2 - 5x + 6 = 0
$$
এটি সহজভাবে ফ্যাক্টর করা যায়:
$$
(x - 2)(x - 3) = 0
$$
অর্থাৎ, $x = 2$ এবং $x = 3$ হলো মূলদ্বয়।
এখন, আমরা দেখতে চাই কখন এই রাশিটি ঋণাত্মক অর্থাৎ:
$$
(x - 2)(x - 3) < 0
$$
এই ধরণের অসমতা তখনই সত্য হয় যখন $x$ থাকে দুই মূলের মধ্যে।
অতএব, সমাধান:
$$
\boxed{2 < x < 3}
$$
সঠিক উত্তর: $2 < x < 3$
প্রশ্নঃ $$x^2−3x−10>0$$ অসমতাটির সমাধান কোনটি?
[ বিসিএস ৪২তম ]
ক. $$(-∞,-2)∪(5,+∞)$$
খ. $$(∞,2)∪(5,+∞)$$
ক. $$(-∞,-2)∪(5,+∞)$$
খ. $$(∞,2)∪(5,+∞)$$
গ. $$(-5,-∞)∪(∞,2)$$
ক. $$(-∞,-1)∪(4,+∞)$$
খ. $$(-∞,-2)∪(5,+∞)$$
গ. $$(∞,2)∪(5,+∞)$$
ঘ. $$(-5,-∞)∪(∞,2)$$
উত্তরঃ $$(-∞,-2)∪(5,+∞)$$
ব্যাখ্যাঃ \[
x^2 - 3x - 10 > 0
\]
\[
x^2 - 5x + 2x - 10 > 0
\]
\[
x(x - 5) + 2(x - 5) > 0
\]
\[
(x - 5)(x + 2) > 0
\]
দুটি রাশি গুণফল ধনাত্মক হলে রাশি দুটিকে অবশ্যই ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক হতে হবে।
প্রথম ক্ষেত্রে, দুটিই ধনাত্মক হলে:
\[
x - 5 > 0 \quad \text{এবং} \quad x + 2 > 0
\]
\[
x > 5 \quad \text{এবং} \quad x > -2
\]
\[
⇒ x > 5 \quad [\text{কমন অংশ নিয়ে}]
\]
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
\[
x - 5 < 0 \quad \text{এবং} \quad x + 2 < 0
\]
\[
x < 5 \quad \text{এবং} \quad x < -2
\]
\[
⇒ x < -2 \quad [\text{কমন অংশ নিয়ে}]
\]
\[
⇒ \text{নির্ণীত সমাধান:} \quad x > 5 \quad \text{অথবা} \quad x < -2
\]
\[
⇒ \text{সমাধান:} \quad (-\infty, -2) ∪ (5, +\infty)
\]
x^2 - 3x - 10 > 0
\]
\[
x^2 - 5x + 2x - 10 > 0
\]
\[
x(x - 5) + 2(x - 5) > 0
\]
\[
(x - 5)(x + 2) > 0
\]
দুটি রাশি গুণফল ধনাত্মক হলে রাশি দুটিকে অবশ্যই ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক হতে হবে।
প্রথম ক্ষেত্রে, দুটিই ধনাত্মক হলে:
\[
x - 5 > 0 \quad \text{এবং} \quad x + 2 > 0
\]
\[
x > 5 \quad \text{এবং} \quad x > -2
\]
\[
⇒ x > 5 \quad [\text{কমন অংশ নিয়ে}]
\]
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
\[
x - 5 < 0 \quad \text{এবং} \quad x + 2 < 0
\]
\[
x < 5 \quad \text{এবং} \quad x < -2
\]
\[
⇒ x < -2 \quad [\text{কমন অংশ নিয়ে}]
\]
\[
⇒ \text{নির্ণীত সমাধান:} \quad x > 5 \quad \text{অথবা} \quad x < -2
\]
\[
⇒ \text{সমাধান:} \quad (-\infty, -2) ∪ (5, +\infty)
\]
প্রশ্নঃ $$| x – 2 | < 3$$ হলে, $$m$$ এবং $$n$$ এর কোন মানের জন্য $$m < 3x + 5 < n$$ হবে?
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. $$m=2, n=20$$
খ. $$m=1, n=10$$
ক. $$m=1, n=10$$
খ. $$m=2, n=20$$
গ. $$m=4, n=40$$
ক. $$m=1, n=10$$
খ. $$m=2, n=20$$
গ. $$m=3, n=30$$
ঘ. $$m=4, n=40$$
উত্তরঃ $$m=2, n=20$$
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে \( x \) এর পরিসীমা নির্ণয়:
\[
| x - 2 | < 3
\]
এটি \( x \) এর জন্য নিম্নলিখিত অসাম্য প্রকাশ করে:
\[
-3 < x - 2 < 3
\]
\[
-3 + 2 < x < 3 + 2
\]
\[
-1 < x < 5
\]
\[
-1 \times 3 < 3x < 5 \times 3
\]
\[
-3 < 3x < 15
\]
\[
-3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
\]
\[
2 < 3x + 5 < 20
\]
\( m \) ও \( n \) নির্ণয়:
\[
m = 2, \quad n = 20
\]
\[
| x - 2 | < 3
\]
এটি \( x \) এর জন্য নিম্নলিখিত অসাম্য প্রকাশ করে:
\[
-3 < x - 2 < 3
\]
\[
-3 + 2 < x < 3 + 2
\]
\[
-1 < x < 5
\]
\[
-1 \times 3 < 3x < 5 \times 3
\]
\[
-3 < 3x < 15
\]
\[
-3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
\]
\[
2 < 3x + 5 < 20
\]
\( m \) ও \( n \) নির্ণয়:
\[
m = 2, \quad n = 20
\]
প্রশ্নঃ $$3x – 2 > 2x – 1$$ এর সমাধান সেট কোনটি?
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. $$[1,∞)$$
খ. $$(1,∞)$$
ক. $$(1,∞)$$
খ. $$(12,∞)$$
গ. $$[1,∞)$$
ক. $$[1,∞)$$
খ. $$(1,∞)$$
গ. $$(12,∞)$$
ঘ. $$(-1,∞)$$
উত্তরঃ $$(1,∞)$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমীকরণটি হলো:
$3x – 2 > 2x – 1$
আমরা $x$ এর মান বের করতে চাই যার জন্য এই অসমীকরণটি সত্য হবে।
প্রথমে, আমরা $x$ যুক্ত পদগুলোকে একদিকে এবং ধ্রুবক পদগুলোকে অন্যদিকে নিয়ে যাই। উভয় পক্ষ থেকে $2x$ বিয়োগ করি:
$3x – 2 – 2x > 2x – 1 – 2x$
$x – 2 > – 1$
এরপর, উভয় পক্ষে $2$ যোগ করি:
$x – 2 + 2 > – 1 + 2$
$x > 1$
সুতরাং, অসমীকরণটির সমাধান হলো $x$ এর সেই সকল মান যা $1$ এর থেকে বড়। এটিকে সেট আকারে লিখলে সমাধান সেট হবে:
$\{x \in \mathbb{R} : x > 1\}$
যেখানে $\mathbb{R}$ হলো বাস্তব সংখ্যার সেট।
যদি অপশন দেওয়া থাকে, তবে $\{x : x > 1\}$ অথবা $(1, \infty)$ এই আকারের অপশনটি সঠিক হবে।
$3x – 2 > 2x – 1$
আমরা $x$ এর মান বের করতে চাই যার জন্য এই অসমীকরণটি সত্য হবে।
প্রথমে, আমরা $x$ যুক্ত পদগুলোকে একদিকে এবং ধ্রুবক পদগুলোকে অন্যদিকে নিয়ে যাই। উভয় পক্ষ থেকে $2x$ বিয়োগ করি:
$3x – 2 – 2x > 2x – 1 – 2x$
$x – 2 > – 1$
এরপর, উভয় পক্ষে $2$ যোগ করি:
$x – 2 + 2 > – 1 + 2$
$x > 1$
সুতরাং, অসমীকরণটির সমাধান হলো $x$ এর সেই সকল মান যা $1$ এর থেকে বড়। এটিকে সেট আকারে লিখলে সমাধান সেট হবে:
$\{x \in \mathbb{R} : x > 1\}$
যেখানে $\mathbb{R}$ হলো বাস্তব সংখ্যার সেট।
যদি অপশন দেওয়া থাকে, তবে $\{x : x > 1\}$ অথবা $(1, \infty)$ এই আকারের অপশনটি সঠিক হবে।
প্রশ্নঃ $$2x^2+5x+3 < 0$$ এর সমাধান কোনটি?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক. $$-\frac{3}{2} < x < -1$$
খ. $$-\frac{3}{2} ≤ x ≤ 1$$
ক. $$-\frac{3}{2} < x < 1$$
খ. $$-\frac{3}{2} < x ≤ 1$$
গ. $$-\frac{3}{2} < x < -1$$
ক. $$-\frac{3}{2} < x < -1$$
খ. $$-\frac{3}{2} < x < 1$$
গ. $$-\frac{3}{2} ≤ x ≤ 1$$
ঘ. $$-\frac{3}{2} < x ≤ 1$$
উত্তরঃ $$-\frac{3}{2} < x < -1$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
$2x^2 + 5x + 3 < 0$
প্রথমে, মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে উৎপাদক নির্ণয় করি:
$2x^2 + 3x + 2x + 3 < 0$
$x(2x+3) + 1(2x+3) < 0$
$(x+1)(2x+3) < 0$
অসমতাটি সত্য হবে যদি $(x+1)$ এবং $(2x+3)$ এর মান পরস্পর বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয় (একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক)।
যেহেতু আমরা $(x+1)(2x+3) < 0$ এর সমাধান খুঁজছি, তাই আমাদের এমন পরিসর দরকার যেখানে $(x+1)(2x+3)$ এর চিহ্ন ঋণাত্মক।
সারণী অনুযায়ী, এটি ঘটে যখন $-\frac{3}{2} < x < -1$।
সুতরাং, নির্ণেয় অসমতাটি হলো: $-\frac{3}{2} < x < -1$।
$2x^2 + 5x + 3 < 0$
প্রথমে, মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে উৎপাদক নির্ণয় করি:
$2x^2 + 3x + 2x + 3 < 0$
$x(2x+3) + 1(2x+3) < 0$
$(x+1)(2x+3) < 0$
অসমতাটি সত্য হবে যদি $(x+1)$ এবং $(2x+3)$ এর মান পরস্পর বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয় (একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক)।
যেহেতু আমরা $(x+1)(2x+3) < 0$ এর সমাধান খুঁজছি, তাই আমাদের এমন পরিসর দরকার যেখানে $(x+1)(2x+3)$ এর চিহ্ন ঋণাত্মক।
সারণী অনুযায়ী, এটি ঘটে যখন $-\frac{3}{2} < x < -1$।
সুতরাং, নির্ণেয় অসমতাটি হলো: $-\frac{3}{2} < x < -1$।
প্রশ্নঃ $$|1-2x| < 1$$ এর সমাধান-
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক. $$0 < x < 1$$
খ. $$-1 < x < 0$$
ক. $$0 < x < 1$$
খ. $$-1 < x < 0$$
গ. $$-1 < x < 1$$
ক. $$-2 < x < 1$$
খ. $$-1 < x < 0$$
গ. $$0 < x < 1$$
ঘ. $$-1 < x < 1$$
উত্তরঃ $$0 < x < 1$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো: $|1-2x| < 1$
পরম মানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $|a| < b$ হয়, তাহলে $-b < a < b$ হয়।
এখানে $a = (1-2x)$ এবং $b = 1$।
তাহলে, আমরা লিখতে পারি:
$-1 < 1-2x < 1$
এখন এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে বিভক্ত করে সমাধান করব:
প্রথম অংশ: $-1 < 1-2x$
$-1 - 1 < -2x$
$-2 < -2x$
উভয় পক্ষকে $-2$ দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
$\frac{-2}{-2} > \frac{-2x}{-2}$
$1 > x$
বা, $x < 1$
দ্বিতীয় অংশ: $1-2x < 1$
$-2x < 1 - 1$
$-2x < 0$
উভয় পক্ষকে $-2$ দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
$\frac{-2x}{-2} > \frac{0}{-2}$
$x > 0$
এখন উভয় অংশের সমাধানকে একত্রিত করি:
$x > 0$ এবং $x < 1$
সুতরাং, সমাধানটি হলো $0 < x < 1$।
পরম মানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $|a| < b$ হয়, তাহলে $-b < a < b$ হয়।
এখানে $a = (1-2x)$ এবং $b = 1$।
তাহলে, আমরা লিখতে পারি:
$-1 < 1-2x < 1$
এখন এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে বিভক্ত করে সমাধান করব:
প্রথম অংশ: $-1 < 1-2x$
$-1 - 1 < -2x$
$-2 < -2x$
উভয় পক্ষকে $-2$ দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
$\frac{-2}{-2} > \frac{-2x}{-2}$
$1 > x$
বা, $x < 1$
দ্বিতীয় অংশ: $1-2x < 1$
$-2x < 1 - 1$
$-2x < 0$
উভয় পক্ষকে $-2$ দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
$\frac{-2x}{-2} > \frac{0}{-2}$
$x > 0$
এখন উভয় অংশের সমাধানকে একত্রিত করি:
$x > 0$ এবং $x < 1$
সুতরাং, সমাধানটি হলো $0 < x < 1$।
প্রশ্নঃ বাস্তব সংখ্যায় $$∣ 2x − 3 ∣ ≤ 1$$ অসমতাটির সমাধান-
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক. $$1 ≤ x ≤ 2$$
খ. $$2x ≤$$ অথবা$$ x ≥ 2$$
ক. $$1 ≤ x ≤ 2$$
খ. $$1 < x <2$$
গ. $$2x ≤$$ অথবা$$ x ≥ 2$$
ক. $$1 < x <2$$
খ. $$2x ≤$$ অথবা$$ x ≥ 2$$
গ. $$1 ≤ x ≤ 2$$
ঘ. $$− 1 < x < 2$$
উত্তরঃ $$1 ≤ x ≤ 2$$
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে অসমতাটি: $|2x - 3| \le 1$
পরম মানের (absolute value) সংজ্ঞা অনুযায়ী, $|a| \le b$ হলে, এর অর্থ হলো $-b \le a \le b$।
এখানে $a = 2x - 3$ এবং $b = 1$।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$-1 \le 2x - 3 \le 1$
এখন এই অসমতাটিকে দুটি অংশে ভাগ করে সমাধান করতে পারি অথবা একসাথেই সমাধান করতে পারি।
একসাথেই সমাধান করি:
প্রথমে অসমতার তিনটি অংশেই $3$ যোগ করি:
$-1 + 3 \le 2x - 3 + 3 \le 1 + 3$
$2 \le 2x \le 4$
এখন, অসমতার তিনটি অংশকেই $2$ দিয়ে ভাগ করি:
$\frac{2}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{4}{2}$
$1 \le x \le 2$
অতএব, বাস্তব সংখ্যায় $∣ 2x − 3 ∣ ≤ 1$ অসমতাটির সমাধান হলো $1 \le x \le 2$।
এটি একটি বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) $[1, 2]$ হিসেবেও লেখা যায়।
পরম মানের (absolute value) সংজ্ঞা অনুযায়ী, $|a| \le b$ হলে, এর অর্থ হলো $-b \le a \le b$।
এখানে $a = 2x - 3$ এবং $b = 1$।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$-1 \le 2x - 3 \le 1$
এখন এই অসমতাটিকে দুটি অংশে ভাগ করে সমাধান করতে পারি অথবা একসাথেই সমাধান করতে পারি।
একসাথেই সমাধান করি:
প্রথমে অসমতার তিনটি অংশেই $3$ যোগ করি:
$-1 + 3 \le 2x - 3 + 3 \le 1 + 3$
$2 \le 2x \le 4$
এখন, অসমতার তিনটি অংশকেই $2$ দিয়ে ভাগ করি:
$\frac{2}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{4}{2}$
$1 \le x \le 2$
অতএব, বাস্তব সংখ্যায় $∣ 2x − 3 ∣ ≤ 1$ অসমতাটির সমাধান হলো $1 \le x \le 2$।
এটি একটি বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) $[1, 2]$ হিসেবেও লেখা যায়।
প্রশ্নঃ $$|x-3|<5$$ হলে-
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. $$ -4< x <- 2$$
খ. $$ -2< x <8 $$
ক. $$ -2< x <8 $$
খ. $$ -8< x <-2 $$
গ. $$ -4< x <- 2$$
ক. $$ 2< x <8 $$
খ. $$ -2< x <8 $$
গ. $$ -8< x <-2 $$
ঘ. $$ -4< x <- 2$$
উত্তরঃ $$ -2< x <8 $$
ব্যাখ্যাঃ পরম মান (absolute value) এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, $|A| < B$ আকারের অসমতার অর্থ হলো $-B < A < B$।
এখানে, $A = x-3$ এবং $B = 5$।
অতএব, আমরা লিখতে পারি:
$$-5 < x-3 < 5$$
এখন, অসমতার প্রতিটি অংশের সাথে $3$ যোগ করি যাতে $x$ কে আলাদা করা যায়:
$$-5 + 3 < x-3 + 3 < 5 + 3$$
$$-2 < x < 8$$
সুতরাং, $x$ এর মান $-2$ থেকে $8$ এর মধ্যে হবে।
এখানে, $A = x-3$ এবং $B = 5$।
অতএব, আমরা লিখতে পারি:
$$-5 < x-3 < 5$$
এখন, অসমতার প্রতিটি অংশের সাথে $3$ যোগ করি যাতে $x$ কে আলাদা করা যায়:
$$-5 + 3 < x-3 + 3 < 5 + 3$$
$$-2 < x < 8$$
সুতরাং, $x$ এর মান $-2$ থেকে $8$ এর মধ্যে হবে।
প্রশ্নঃ a ≤ b এবং b ≤ a হলে নিচের কোনটি সত্য?
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. a = b
খ. a > b
ক. a > b
খ. a = b
গ. a ≠ b
ক. a
খ. a > b
গ. a = b
ঘ. a ≠ b
উত্তরঃ a = b
প্রশ্নঃ $ x > y$ এবং $ z < 0 $ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $ x z > yz $
খ. $ zx < yz $
ক. $ \frac{x}{z} > \frac{y}{z} $
খ. $ \frac{z}{x} < z y $
গ. $ zx < yz $
ক. $ x z > yz $
খ. $ \frac{x}{z} > \frac{y}{z} $
গ. $ \frac{z}{x} < z y $
ঘ. $ zx < yz $
উত্তরঃ $ zx < yz $
প্রশ্নঃ $$x^2-4\le0$$ এর সমাধান কোনটি?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
ক. $$-2\le x\le2$$
খ. $$-2 < x\le2$$
ক. $$-2\le x\le2$$
খ. $$-2\le x < 2$$
গ. $$-2 < x < 2$$
ক. $$-2\le x\le2$$
খ. $$-2\le x < 2$$
গ. $$-2 < x\le2$$
ঘ. $$-2 < x < 2$$
উত্তরঃ $$-2\le x\le2$$
প্রশ্নঃ $(x-2) (x-3) < 0$ এর সমাধান সেট কত?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ৩০-১০-২০১৫ ]
ক. কোনোটিই নয়
খ. $ 2 < x < 3$
ক. $ 2 < x < 3$
খ. $x > 2$
গ. $x < 3$
ক. $x < 3$
খ. $x > 2$
গ. $ 2 < x < 3$
ঘ. কোনোটিই নয়
উত্তরঃ $ 2 < x < 3$