আমাদের স্কুল

সেটিং

বহুনির্বাচনি প্রশ্নের দেখানোর অপশনঃ
শুধুমাত্র উত্তর 2 অপশন
3 অপশন 4 অপশন
 বহুনির্বাচনি প্রশ্নের অপশন প্রদর্শনঃ
রো আকারে কলাম আকারে বহুনির্বাচনি প্রশ্নের উত্তরঃ
লুকান বোল্ড করুন
দেখান দেখান ও বোল্ড করুন বহুনির্বাচনি প্রশ্নের ব্যাখ্যাঃ
দেখান লুকান নিচে লুকান
থিম নির্বাচন করুনঃ
ফন্ট সাইজঃ
16
শেয়ার করুন
চাকরি প্রস্তুতির বই  ইতিহাস  অসমতা

প্রশ্নঃ x2−5x+6<0 হলে-

[ বিসিএস ৩৭তম ]

ক. 2<x<3
খ. −3<x<−2
গ. x<2
ঘ. x<3
উত্তরঃ 2<x<3
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো: x2−5x+6<0

প্রথমে, আমরা x2−5x+6=0 সমীকরণটির মূলগুলি নির্ণয় করব।
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
x2−2x−3x+6=0
x(x−2)−3(x−2)=0
(x−2)(x−3)=0

সুতরাং, সমীকরণটির মূলগুলি হলো x=2 এবং x=3।

এখন আমরা একটি সংখ্যা রেখায় এই মূলগুলি স্থাপন করব এবং দেখব কোন অঞ্চলে x2−5x+6 এর মান ঋণাত্মক হয়। মূলগুলি সংখ্যা রেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:

  1. x<2
  2. 2<x<3
  3. x>3

প্রতিটি অঞ্চলে একটি করে মান বসিয়ে অসমতাটি পরীক্ষা করি:

* অঞ্চল 1: x<2 (উদাহরণস্বরূপ, x=1 নিই)
12−5(1)+6=1−5+6=2
যেহেতু 2>0, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।

* অঞ্চল 2: 2<x<3 (উদাহরণস্বরূপ, x=2.5 নিই)
(2.5)2−5(2.5)+6=6.25−12.5+6=−0.25
যেহেতু −0.25<0, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য।

* অঞ্চল 3: x>3 (উদাহরণস্বরূপ, x=4 নিই)
42−5(4)+6=16−20+6=2
যেহেতু 2>0, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।

সুতরাং, অসমতা x2−5x+6<0 এর জন্য সঠিক শর্ত হলো 2<x<3।



Related MCQ


ক. (- ∞, 3]
খ. (3, 4)
গ. [3, 4]
ঘ. [4, ∞)
ব্যাখ্যাঃ আমরা x² – 7x + 12 ≤ 0 অমৌলিক অসাম্য সমাধান করব।

1. বহুপদী অভাজ্য করা
আমরা x² – 7x + 12-কে ভগ্নাংশে বিভক্ত করি: x²–7x+12=(x−3)(x−4) 2. অসাম্য রূপান্তর (x−3)(x−4)≤0 3. মূলবিন্দু নির্ণয়
মূলবিন্দু: x = 3, x = 4
এটি সংখ্যারেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
1. x < 3 (নেতিবাচক)
2. 3 ≤ x ≤ 4 (ধনাত্মক বা শূন্য)
3. x > 4 (নেতিবাচক)

যেহেতু অসাম্যটি ≤ 0, তাই ধনাত্মক অংশ বাদ দিয়ে শূন্যসহ (3,4)-এর মধ্যে মান নেওয়া হবে।

4. সমাধান সেট x∈[3,4]
ক. −3<x<3
খ. −53<x<53
গ. −3<x<53
ঘ. 53<x<−53
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতা:
|3x+2|<7

১ম ধাপ: অমূখ্য মানের সংজ্ঞা প্রয়োগ


যদি |A|<B হয়, তবে আমরা লিখতে পারি:
−B<A<B

সুতরাং, এখানে প্রয়োগ করলে:
−7<3x+2<7

২য় ধাপ: x নির্ণয় করা


প্রথমে −7 এবং 7 থেকে 2 বিয়োগ করি:
−7−2<3x<7−2

−9<3x<5

−93<x<53

−3<x<53

উত্তর: −3<x<53


ক. (−∞,−1)∪(4,+∞)
খ. (−∞,−2)∪(5,+∞)
গ. (∞,2)∪(5,+∞)
ঘ. (−5,−∞)∪(∞,2)
ব্যাখ্যাঃ x2−3x−10>0
x2−5x+2x−10>0
x(x−5)+2(x−5)>0
(x−5)(x+2)>0
দুটি রাশি গুণফল ধনাত্মক হলে রাশি দুটিকে অবশ্যই ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক হতে হবে।
প্রথম ক্ষেত্রে, দুটিই ধনাত্মক হলে:
x−5>0এবংx+2>0
x>5এবংx>−2
⇒x>5[কমন অংশ নিয়ে]
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
x−5<0এবংx+2<0
x<5এবংx<−2
⇒x<−2[কমন অংশ নিয়ে]
⇒নির্ণীত সমাধান:x>5অথবাx<−2
⇒সমাধান:(−∞,−2)∪(5,+∞)
ক. m=1,n=10
খ. m=2,n=20
গ. m=3,n=30
ঘ. m=4,n=40
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে x এর পরিসীমা নির্ণয়:
|x−2|<3
এটি x এর জন্য নিম্নলিখিত অসাম্য প্রকাশ করে:
−3<x−2<3
−3+2<x<3+2
−1<x<5
−1×3<3x<5×3
−3<3x<15
−3+5<3x+5<15+5
2<3x+5<20
m ও n নির্ণয়:
m=2,n=20
ক. −32<x<−1
খ. −32<x<1
গ. −32≤x≤1
ঘ. −32<x≤1
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
2x2+5x+3<0

প্রথমে, মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে উৎপাদক নির্ণয় করি:
2x2+3x+2x+3<0
x(2x+3)+1(2x+3)<0
(x+1)(2x+3)<0

অসমতাটি সত্য হবে যদি (x+1) এবং (2x+3) এর মান পরস্পর বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয় (একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক)।

যেহেতু আমরা (x+1)(2x+3)<0 এর সমাধান খুঁজছি, তাই আমাদের এমন পরিসর দরকার যেখানে (x+1)(2x+3) এর চিহ্ন ঋণাত্মক।

সারণী অনুযায়ী, এটি ঘটে যখন −32<x<−1।

সুতরাং, নির্ণেয় অসমতাটি হলো: −32<x<−1।
ক. −2<x<1
খ. −1<x<0
গ. 0<x<1
ঘ. −1<x<1
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো: |1−2x|<1

পরম মানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি |a|<b হয়, তাহলে −b<a<b হয়।

এখানে a=(1−2x) এবং b=1।
তাহলে, আমরা লিখতে পারি:
−1<1−2x<1

এখন এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে বিভক্ত করে সমাধান করব:

প্রথম অংশ: −1<1−2x
−1−1<−2x
−2<−2x

উভয় পক্ষকে −2 দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
−2−2>−2x−2
1>x
বা, x<1

দ্বিতীয় অংশ: 1−2x<1
−2x<1−1
−2x<0

উভয় পক্ষকে −2 দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
−2x−2>0−2
x>0

এখন উভয় অংশের সমাধানকে একত্রিত করি:
x>0 এবং x<1

সুতরাং, সমাধানটি হলো 0<x<1।
ক. 1<x<2
খ. 2x≤ অথবাx≥2
গ. 1≤x≤2
ঘ. −1<x<2
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে অসমতাটি: |2x−3|≤1

পরম মানের (absolute value) সংজ্ঞা অনুযায়ী, |a|≤b হলে, এর অর্থ হলো −b≤a≤b।

এখানে a=2x−3 এবং b=1।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
−1≤2x−3≤1

এখন এই অসমতাটিকে দুটি অংশে ভাগ করে সমাধান করতে পারি অথবা একসাথেই সমাধান করতে পারি।

একসাথেই সমাধান করি:
প্রথমে অসমতার তিনটি অংশেই 3 যোগ করি:
−1+3≤2x−3+3≤1+3
2≤2x≤4

এখন, অসমতার তিনটি অংশকেই 2 দিয়ে ভাগ করি:
22≤2x2≤42
1≤x≤2

অতএব, বাস্তব সংখ্যায় ∣2x−3∣≤1 অসমতাটির সমাধান হলো 1≤x≤2।

এটি একটি বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) [1,2] হিসেবেও লেখা যায়।
ক. 0
খ. 3
গ. সবগুলোই
ঘ. - 4
ব্যাখ্যাঃ যেহেতু x<4, এর মান হতে পারে 4-এর চেয়ে ছোট যে-কোনো সংখ্যা। নিচের অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

১. কঃ 0:
0 হলো 4-এর চেয়ে ছোট, তাই এটি সঠিক।

২. খঃ 3:
3 হলো 4-এর চেয়ে ছোট, সুতরাং এটি সঠিক।

৩. ঘঃ -4:
−4 হলো 4-এর চেয়ে ছোট, তাই এটিও সঠিক।

৪. গঃ সবগুলোই:
যেহেতু 0, 3, এবং −4 সবকটিই x<4-এর শর্ত পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর হবে:

গঃ সবগুলোই।