ব্যাখ্যাঃ আমরা (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² প্রসারিত করি: \[ (x + 2y)^2 + (y + 2z)^2 + (z + 2x)^2 \] \[ = x^2 + 4y^2 + 4xy + y^2 + 4z^2 + 4yz + z^2 + 4x^2 + 4zx + 4xz \] \[ = (x^2 + y^2 + z^2) + 4(xy + yz + zx) + 4(x^2 + y^2 + z^2) \] \[ = 5(x^2 + y^2 + z^2) + 4(xy + yz + zx) \] \[ = 5(2) + 4(1) \] \[ = 10 + 4 \] \[ = 14 \] উত্তর: \[ \boxed{14} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা \(p^2 + q^2\) নির্ণয়ের জন্য পরিচিত সূত্র \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\) ব্যবহার করবো।

প্রথমে, দেওয়া আছে:
\(p + q = 5\)
\(p - q = 3\)

এখন দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাই:
\[
(p + q) + (p - q) = 5 + 3
\]
\[
2p = 8
\]
\[
p = 4
\]

এখন \(p - q = 3\) ব্যবহার করে q এর মান নির্ণয় করি:
\[
4 - q = 3
\]
\[
q = 1
\]

এখন, \(p^2 + q^2\) নির্ণয় করি:
\[
p^2 + q^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17
\]

\(p^2 + q^2 = 17\)

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: আগে বের করি $x + \frac{1}{x}$

$$
x = 2 + \sqrt{3}
\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}
$$

ধরি, $\frac{1}{x}$ কে সরল করি:

$$
\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}
$$

$$
x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4
$$

ধাপ ২: এখন ব্যবহার করি সূত্র:

$$
x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)
$$

বসাই:

$$
x^3 + \frac{1}{x^3} = 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = \boxed{52}
$$

ব্যাখ্যাঃ \[
x = - \left(2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}\right)
\]
\[
x^3 = - \left( (2^{\frac{1}{3}})^3 + (2^{\frac{2}{3}})^3 + 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot (2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}) \right)
\]
\[
x^3 = - (2 + 4 + 3 \cdot 2 \cdot (-x))
\]
\[
x^3 = -(6 - 6x)
\]
\[
x^3 = -6 + 6x
\]
\[
x^3 + 6 = 6x
\]

ব্যাখ্যাঃ $$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}
$$
$$
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2 \times 12 = 49 - 24 = 25
$$
$$
ab = 12 \Rightarrow ab^2 = (ab)^2 = 144
$$
$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{25}{144}
$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$

এখানে, $a = 0.9$এবং$b = 0.4$

সুতরাং, $$(0.9)^3+(0.4)^3 = (0.9+0.4)((0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2)$$

এখন, প্রদত্ত রাশিমালাটিকে আমরা লিখতে পারি:
$$\frac{(0.9+0.4)((0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2)}{0.9+0.4}$$
$$(0.9+0.4)$$
$$(0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2$$
$$(0.81) - (0.36) + (0.16)$$
$$= 0.81 - 0.36 + 0.16$$
$$= 0.45 + 0.16$$
$$= 0.61$$

সুতরাং, $\frac{(0.9)^3+(0.4)^3}{0.9+0.4}$ এর মান 0.61।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
$x^4 – x^2 + 1 = 0$

আমরা $x^2$ দিয়ে উভয় পক্ষকে ভাগ করি (যেহেতু $x \neq 0$, কারণ $x=0$ হলে $1=0$ হয় যা সত্য নয়):
$\frac{x^4}{x^2} – \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0$
$x^2 – 1 + \frac{1}{x^2} = 0$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$

এখন আমরা $(x + \frac{1}{x})^2$ এর মান বের করি:
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
$(x + \frac{1}{x})^2 = (x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2$
$(x + \frac{1}{x})^2 = 1 + 2 = 3$

সুতরাং, $x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{3}$

এখন আমরা $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান বের করব। আমরা জানি,
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

এখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$.
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})(x^2 - x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})(x^2 - 1 + \frac{1}{x^2})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})((x^2 + \frac{1}{x^2}) - 1)$

আমরা জানি $x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{3}$ এবং $x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$. এই মানগুলো বসিয়ে পাই:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\pm \sqrt{3})(1 - 1)$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\pm \sqrt{3})(0)$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 0$

সুতরাং, যদি $x^4 – x^2 + 1 = 0$ হয়, তবে $x^3 + \frac{1}{x^3} = 0$.

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$।

প্রথমে $\frac{1}{x}$ এর মান বের করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$
হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ দিয়ে গুণ করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1}$
$\frac{1}{x} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

এখন, $x + \frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করি:
$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$

এখন আমরা $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান বের করব। আমরা জানি যে $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$।
এখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \times x \times \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 (x + \frac{1}{x})$

$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$ এই মানটি বসিয়ে পাই:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (2\sqrt{3})^3 - 3 (2\sqrt{3})$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 2^3 \times (\sqrt{3})^3 - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 8 \times (3\sqrt{3}) - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (24 - 6)\sqrt{3}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3}$

সুতরাং, $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান হলো $18\sqrt{3}$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 - 3x + 1 = 0$

প্রথমে, $x$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$
$x + \frac{1}{x} = 3$

এখন, $(x^2 - \frac{1}{x^2})$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$।
সুতরাং, $(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$

আমরা $x + \frac{1}{x} = 3$ জানি।
এখন $x - \frac{1}{x}$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
তাহলে, $(x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
$(x - \frac{1}{x})^2 = (3)^2 - 4 \cdot 1$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 9 - 4$
$(x - \frac{1}{x})^2 = 5$
$x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{5}$

এখন $(x^2 - \frac{1}{x^2})$ এর মান বের করি:
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = 3 \cdot (\pm \sqrt{5})$
$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = \pm 3\sqrt{5}$

সুতরাং, $(x^2-\frac{1}{x^2})$ এর মান $\pm 3\sqrt{5}$।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $x-\frac{1}{x}=1$

আমাদের $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$।

এখানে $a=x$ এবং $b=\frac{1}{x}$ ধরে পাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3} = \left(x-\frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x-\frac{1}{x}\right)$$

এখন, $x-\frac{1}{x}=1$ মানটি সমীকরণে বসাই:
$$x^3-\frac{1}{x^3} = (1)^3 + 3 \cdot 1 \cdot (1)$$$$x^3-\frac{1}{x^3} = 1 + 3$$$$x^3-\frac{1}{x^3} = 4$$

সুতরাং, $x^3-\frac{1}{x^3}$ এর মান হলো 4।

ব্যাখ্যাঃ :
প্রদত্ত রাশিটি হলো $\frac{(5^{n+2}+35×5^{n-1})}{(4×5^n)}$

প্রথমে আমরা লবকে (numerator) সরল করি:
$5^{n+2}+35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1+3} + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}×5^3 + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}×(125) + 35×5^{n-1}$
$= 5^{n-1}(125+35)$
$= 5^{n-1}(160)$

এবার আমরা হরকে (denominator) সরল করি:
$4×5^n$
$= 4×5^{n-1+1}$
$= 4×5^{n-1}×5^1$
$= 4×5×5^{n-1}$
$= 20×5^{n-1}$

এখন, লব ও হরকে একত্রিত করে পাই:
$\frac{160×5^{n-1}}{20×5^{n-1}}$

উভয় পক্ষ থেকে $5^{n-1}$ কেটে দিলে পাই:
$\frac{160}{20} = ৮$

সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো ৮।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি:
$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$

প্রশ্নে দেওয়া:

$x + y = 2$
$x^2 + y^2 = 4$



আমরা জানি:

$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$

$2^2 = 4 + 2xy \Rightarrow 4 = 4 + 2xy \Rightarrow 2xy = 0
\Rightarrow xy = 0$

এখন মূল সূত্রে বসাই:

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$

$= 2^3 - 3 \cdot 0 \cdot 2 = 8 - 0 = 8$

ব্যাখ্যাঃ $\implies (\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{4})^৬$

$\implies (\sqrt[৩]{৩ \times ৪})^৬$

$\implies (\sqrt[৩]{১২})^৬$

$\implies (১২^{\frac{১}{৩}})^৬$

$\implies ১২^{(\frac{১}{৩} \times ৬)}$

$\implies ১২^২$

$\implies ১২ \times ১২ = ১৪৪$

অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান হলো ১৪৪।

ব্যাখ্যাঃ
প্রথমে ভিতরের বর্গমূলটি সমাধান করা যাক:
$\sqrt[3]{a^3} = a^{\frac{৩}{৩}} = a^১ = a$

এবার এই ফলাফলটিকে বাইরের বর্গমূলের মধ্যে বসানো যাক:
$\sqrt[3]{a}$

যেহেতু $\sqrt[3]{a}$ এর মান কোনো পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই এটিকেই আমরা এভাবে লিখতে পারি:
$a^{\frac{১}{৩}}$

ব্যাখ্যাঃ
ভগ্নাংশের হর (denominator) থেকে বর্গমূল চিহ্নটি সরানোর জন্য আমরা হর-এর অনুবন্ধী রাশি (conjugate) $\sqrt{6}-2$ দিয়ে লব (numerator) ও হর উভয়কেই গুণ করব।

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+2)} \times \frac{(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}-2)}$

লব = $\sqrt{2}(\sqrt{6}-2) = \sqrt{12} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

হর = $(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$

এখন, লব ও হর-এর মান বসিয়ে পাই:
$\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

ব্যাখ্যাঃ
$৪^x+৪^x+৪^x+৪^x$

$= ৪ \times ৪^x$
$= ৪^1 \times ৪^x$
$= ৪^{1+x}$

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হল: \[ a - \frac{1}{a} = 3 \] আমাদের নির্ণয় করতে হবে: \[ a^3 + \frac{1}{a^3} \] ### ধাপ ১: \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) নির্ণয় করা আমরা জানি, \[ \left( a - \frac{1}{a} \right)^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \] এখন উভয় পাশে বর্গ করলে পাইঃ \[ (3)^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \] \[ 9 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \] \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 11 \] ### ধাপ ২: \( a^3 + \frac{1}{a^3} \) নির্ণয় করা আমরা জানি, \[ a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right) \times \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) + \left(a - \frac{1}{a}\right) \] এখন, \[ a^3 + \frac{1}{a^3} = (3 \times 11) + 3 \] \[ = 33 + 3 \] \[ = 36 \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \[ \mathbf{36} \]

ব্যাখ্যাঃ

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমরা প্রথমে (x - y)² এর সূত্রটি ব্যবহার করব এবং তারপর প্রদত্ত মানগুলি ব্যবহার করে x² + y² এর মান বের করব।
আমরা জানি যে,
(x - y)² = x² - 2xy + y²
প্রশ্নমতে, (x - y)² = 14 এবং xy = 2।
সুতরাং,
14 = x² - 2(2) + y²
বা, 14 = x² - 4 + y²
বা, 14 + 4 = x² + y²
বা, 18 = x² + y²
অতএব, x² + y² = 18।
সুতরাং, নির্ণেয় উত্তর হলো 18।

ব্যাখ্যাঃ $$(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^4 = (\sqrt{15})^4$$ এখন, \( (\sqrt{15})^4 \) কে লিখতে পারি: $$ (\sqrt{15})^4 = (\sqrt{15})^2 \cdot (\sqrt{15})^2$$ এখন, \( (\sqrt{15})^2 = 15 \) হয়, তাই: $$ (\sqrt{15})^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 15 \cdot 15 = 225 $$ সুতরাং, $$(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^4 = 225$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণ দুটি ব্যবহার করে \( x^2 + y^2 \) এর মান বের করবো। প্রদত্ত সমীকরণ দুটি: \[ x + y = 8 \] \[ x - y = 6 \] ### ধাপ ১: \( x \) এবং \( y \) এর মান নির্ণয় দুটি সমীকরণ যোগ করলে, \[ (x + y) + (x - y) = 8 + 6 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] এখন, \( x + y = 8 \) সমীকরণে \( x = 7 \) বসালে, \[ 7 + y = 8 \] \[ y = 1 \] ### ধাপ ২: \( x^2 + y^2 \) এর মান নির্ণয় \[ x^2 + y^2 = 7^2 + 1^2 \] \[ = 49 + 1 \] \[ = 50 \] অতএব, \( x^2 + y^2 \) এর মান হবে ৫০। ✅

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) এর মান বের করব। প্রদত্ত সমীকরণ: \[ a + \frac{1}{a} = \sqrt{3} \] ### ধাপ ১: উভয় পাশে বর্গ করা \[ \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 = (\sqrt{3})^2 \] \[ a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 3 \] \[ a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 3 \] ### ধাপ ২: সমাধান করা \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 3 - 2 \] \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = 1 \] অতএব, \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) এর মান হবে ১।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ভগ্নাংশটি সরলীকরণ করব: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \] ### ধাপ ১: হর থেকে ঐকিক পদ সরানো (যূক্পদ মুক্ত করা) হরকে যূক্পদ মুক্ত করতে আমরা সঙ্গতি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করব। সঙ্গতি ভগ্নাংশ হবে \( \sqrt{6} - 2 \), তাই আমরা হর ও লব দুটোতেই এটি দ্বারা গুণ করবো: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \times \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} - 2} \] ### ধাপ ২: হরের গুণফল নির্ণয় \[ (\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2) \] এটি \( a^2 - b^2 \) সূত্র প্রয়োগ করে পাই: \[ 6 - 4 = 2 \] অর্থাৎ, হর = 2। ### ধাপ ৩: লবের গুণফল নির্ণয় \[ \sqrt{2} (\sqrt{6} - 2) \] \[ = \sqrt{12} - 2\sqrt{2} \] \[ = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \] ### ধাপ ৪: ভগ্নাংশ সরলীকরণ \[ \frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2} \] \[ = \sqrt{3} - \sqrt{2} \] --- ### উত্তর: \[ \sqrt{3} - \sqrt{2} \quad \text{✅} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদী \( x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2 \) এর সঙ্গে এমন একটি সংখ্যা যোগ করব, যাতে এটি একটি পূর্ণবর্গ হয়ে যায়। --- ### ধাপ ১: পূর্ণবর্গের কাঠামো খুঁজে বের করা প্রদত্ত বহুপদীটি আমরা নতুনভাবে সাজাই: \[ x^2 - 8x + y^2 - 8y + 16 \] এটি আমরা \( (x - a)^2 + (y - b)^2 \) আকারে আনতে চাই। --- ### ধাপ ২: পূর্ণবর্গের জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যা খোঁজা আমরা লক্ষ করি, যদি \(2xy\) যোগ করি, তাহলে একে একটি পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা সম্ভব। অর্থাৎ, \[ x^2 - 8x + y^2 - 8y + 16 + 2xy \] এটি \( (x - y)^2 \) বা \( (x - a)^2 + (y - b)^2 \) রূপে রূপান্তরিত হবে। --- ### উত্তর: \( 2xy \) যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ বহুপদীতে পরিণত হবে। ✅

ব্যাখ্যাঃ $$\mathrm {x^3+{1\over x^3}}= \mathrm {(\mathrm {x+{1\over x})^3}-3x. {1\over x}(x+ {1\over x}})$$ $$({\sqrt{3}})^3-3\sqrt 3=3\sqrt3-3\sqrt 3=0$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: \[ x + y = 6 \] \[ xy = 8 \] আমরা \((x - y)^2\) এর মান নির্ণয় করতে চাই। ### সমাধান: আমরা জানি, \[ (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy \] প্রদত্ত মানগুলি বসালে: \[ (x - y)^2 = (6)^2 - 4 \times 8 \] \[ (x - y)^2 = 36 - 32 \] \[ (x - y)^2 = 4 \] ### উত্তর: \[ \boxed{4} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা \( (x-y)^2 \) এর মান নির্ণয় করতে পারি। প্রথমে, \( (x-y)^2 \) এর সম্প্রসারণ করি: \[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] এখন, \( x^2 + y^2 \) এর মান নির্ণয় করার জন্য \( (x+y)^2 \) ব্যবহার করি: \[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] আমাদের জানা আছে \( x + y = 7 \) এবং \( xy = 10 \), তাই: \[ (x+y)^2 = 7^2 = 49 \] \[ 49 = x^2 + 2xy + y^2 \] এখন, \( x^2 + y^2 \) নির্ণয় করি: \[ x^2 + y^2 = 49 - 2xy \] যেহেতু \( xy = 10 \): \[ x^2 + y^2 = 49 - 2 \times 10 = 49 - 20 = 29 \] এখন, \( (x-y)^2 \) নির্ণয় করি: \[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] \[ (x-y)^2 = 29 - 20 = 9 \] তাহলে, \( (x-y)^2 \) এর মান হল ৯।

ব্যাখ্যাঃ আমরা \(2x^2 + x - 15\) এর উৎপাদন (factorization) করতে পারি। প্রথমে, আমরা \(2x^2 + x - 15\) কে এমনভাবে বিভক্ত করতে পারি যা দুটি গুণফল থেকে সমীকরণ তৈরি হয়। ধরি, \(2x^2 + x - 15 = (ax + b)(cx + d)\) এখন, \(a \times c = 2\) এবং \(b \times d = -15\) হওয়া প্রয়োজন। ধরি, \( (2x + 5)(x - 3) \): \[ (2x + 5)(x - 3) \] \[ = 2x^2 - 6x + 5x - 15 \] \[ = 2x^2 - x - 15 \] এখন, আমরা ধরা হয়েছে \(2x^2 + x - 15\) এর উৎপাদন \( (2x + 5)(x - 3) \)। সুতরাং, \(2x^2 + x - 15\) এর উৎপাদন (factors) হল \( (2x + 5)(x - 3) \)।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা দুটি সমীকরণ সমাধান করব: \[ x + y = 12 \] \[ x - y = 2 \] এই দুটি সমীকরণকে যোগ করে পাই: \[ (x + y) + (x - y) = 12 + 2 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] এখন \( x \)-এর মান \( x + y = 12 \) সমীকরণে বসাই: \[ 7 + y = 12 \] \[ y = 12 - 7 \] \[ y = 5 \] তাহলে, \( x = 7 \) এবং \( y = 5 \)। এখন \( xy \)-এর মান নির্ণয় করি: \[ xy = 7 \times 5 = 35 \] তাহলে, \( xy \)-এর মান হল ৩৫।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো, \(\frac{x}{y}\) এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল \(\frac{2y}{x}\) হবে?

ধরা যাক, যোগফল হবে \(k\)।

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়াবে: \[ \frac{x}{y} + k = \frac{2y}{x} \] \(k\)-এর মান নির্ণয়ের জন্য: \[ k = \frac{2y}{x} - \frac{x}{y} \] এখন সাধারণ হার নির্ণয় করতে ল.সা.গু (LCM) নেব: \[ k = \frac{2y^2 - x^2}{xy} \] তাহলে, সঠিক উত্তর: \[ k = \frac{2y^2 - x^2}{xy} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, \[ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \] প্রশ্নে প্রদত্ত, \[ x^2 + y^2 = 8 \] \[ xy = 7 \] অতএব, \[ (x + y)^2 = 8 + 2 \times 7 \] \[ (x + y)^2 = 8 + 14 \] \[ (x + y)^2 = 22 \] অতএব, \((x+y)^2\) এর মান হলো ২২।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটিকে সরল করি: \[ x - [x - \{ x - (x + 1) \}] \] প্রথমে ভেতরের অংশটি সমাধান করি: \[ x - (x + 1) = -1 \] এখন, \[ x - [x - \{ -1 \}] \] এর পরবর্তী ধাপ: \[ x - [x + 1] = x - x - 1 = -1 \] অতএব, \( x - [x - \{ x - (x + 1) \}] \) এর মান হলো -১।

ব্যাখ্যাঃ আমরা \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x} + 1 \) সমীকরণের জন্য প্রদত্ত গাণিতিক বাক্যগুলো বিশ্লেষণ করি:

কঃ \( f(x) = 1 \) \[ x^2 + \frac{1}{x} + 1 = 1 \] \[ x^2 + \frac{1}{x} = 0 \] এখানে সমীকরণটি সত্য নয় কারণ \( x \) এবং \(\frac{1}{x}\) একে অপরকে বাতিল করে দিতে পারবে না।

খঃ \( f(0) = 1 \) \[ f(0) \] সমীকরণের ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ করতে পারি না কারণ \(\frac{1}{0}\) অসংজ্ঞায়িত। তাই এটি অনুরূপ নয়।

গঃ \( f(-1) = 3 \) \[ f(-1) = (-1)^2 + \frac{1}{-1} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \] যেটা ৩ নয়, তাই এটি সঠিক নয়।

ঘঃ \( f(1) = 3 \) \[ f(1) = (1)^2 + \frac{1}{1} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \] যা সঠিক।

অতএব, \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x} + 1 \) সমীকরণের অনুরূপ \( f(1) = 3 \) গাণিতিক বাক্যটি সঠিক।

ব্যাখ্যাঃ যদি \( x^2 + px + 6 = 0 \) এর মূল দুটি সমান হয়, তবে সমীকরণের বিয়োজনকে \( \Delta = 0 \) হতে হবে।

বিয়োজনের সূত্র অনুযায়ী: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] এখানে, \( a = 1 \), \( b = p \), এবং \( c = 6 \)।

তাহলে, \[ \Delta = p^2 - 4 \times 1 \times 6 \] \[ 0 = p^2 - 24 \] \[ p^2 = 24 \] \[ p = \sqrt{24} \] পরে, \( p > 0 \) হওয়ার কারণে, \( p = \sqrt{24} \) হবে।

অতএব, \( p \) এর মান হলো \( \sqrt{24} \)।

ব্যাখ্যাঃ \[\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab}{a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ac}\] \[\Rightarrow \frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{(a+c)^{2}-b^{2}}\] \[\Rightarrow \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{(a+c+b)(a+c-b)}\] \[\Rightarrow \frac{a+b-c}{a-b+c}\]

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি ছিলঃ \( a + b + c = 9 \) এবং \( a^2 + b^2 + c^2 = 29 \)। \( ab + bc + ca \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা নিচের পরিচিত পরিচয়ের ব্যবহার করিঃ \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] প্রথমে, আমরা জানি যে: \[ (9)^2 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] এখন, সরল করিঃ \[ 81 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] 29 উভয় দিক থেকে বিয়োগ করুন: \[ 52 = 2(ab + bc + ca) \] 2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন: \[ ab + bc + ca = 26 \] অতএব, \( ab + bc + ca \) এর মান 26।

ব্যাখ্যাঃ \(a=1, b=-1, c=2, d=-2\)

ধরি, \(a - (-b) - (-c) - (-d)\) এর মান নির্ণয় করি।

প্রথমে, নেতিবাচক চিহ্নগুলিকে সরিয়ে ফেলি: \[a - (-b) - (-c) - (-d) = a + b + c + d\] অতএব, \(1 + (-1) + 2 + (-2)\) এর মান বের করি: \[1 - 1 + 2 - 2 = 0\] অতএব, \(a - (-b) - (-c) - (-d)\) এর মান হল ০।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সমীকরণটি ধাপে ধাপে সমাধান করি:

প্রথমে মূল সমীকরণটি লিখি: \[ (2 + x) + 3 = 3(x + 2) \] এখন বন্ধনীগুলি সরিয়ে ফেলি: \[ 2 + x + 3 = 3x + 6 \] এখন উভয় পক্ষে একত্রিত করি: \[ 5 + x = 3x + 6 \] এখন \(x\) এর শর্তগুলো একপক্ষে এবং ধ্রুবকগুলো অন্যপক্ষে নিয়ে যাই: \[ 5 - 6 = 3x - x \] \[ -1 = 2x \] এখন \(x\) নির্ণয় করি: \[ x = \frac{-1}{2} \] অতএব, সমীকরণের জন্য \( x \) এর মান হলো \(-\frac{1}{2}\)।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে \( (a + b)^2 \) এবং \( (a - b)^2 \) বের করি: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] এখন এই দুটি যোগ করি: \[ (a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) \] \[ = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 \] \[ = 2a^2 + 2b^2 \] এখন এই যোগফলটির \( \frac{1}{2} \) অংশ বের করি: \[ \frac{1}{2} (2a^2 + 2b^2) \] \[ = a^2 + b^2 \] অতএব, \[ \frac{1}{2} ((a + b)^2 + (a - b)^2) = a^2 + b^2 \]

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণে \( x = 2 \) বসিয়ে \( h \) এর মান নির্ণয় করা যাবে। সমীকরণটি হলো: \[ x^3 + hx + 10 = 0 \] \[ (2)^3 + h(2) + 10 = 0 \] \[ 8 + 2h + 10 = 0 \] \[ 18 + 2h = 0 \] \[ 2h = -18 \] \[h = \frac{-18}{2} \] \[h = -9 \] অতএব, \( h \) এর মান -9।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশিটি হলো: \[ [২ - ৩ (২-৩)^{-১}]^{-১} \] এটি সমাধান করতে আমরা ধাপে ধাপে এগোই।

ধাপ ১: ভিতরের বন্ধনী সমাধান
প্রথমে ভিতরের বন্ধনী \( (২-৩)^{-১} \) সমাধান করি: \[ ২ - ৩ = -১ \] \[ (২-৩)^{-১} = (-১)^{-১} = -১ \] ধাপ ২: মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন
এখন মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন করি: \[ [২ - ৩ \times (-১)]^{-১} \] ধাপ ৩: গুণন সমাধান \[ ৩ \times (-১) = -৩ \] ধাপ ৪: যোগ সমাধান \[ ২ - (-৩) = ২ + ৩ = ৫ \] ধাপ ৫: শেষ ধাপ
এখন রাশিটি হলো: \[ [৫]^{-১} = \frac{১}{৫} \] ফলাফল \[ [২ - ৩ (২-৩)^{-১}]^{-১} = \frac{১}{৫} \] অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান \(\frac{১}{৫}\)।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো, \(4x^2 - Px + 9\) একটি পূর্ণ বর্গ হবে যখন \(P\)-এর মান কত হবে?

যে কোনো দ্বিঘাত রাশি \( (ax + b)^2 \) আকারে লিখলে সেটি পূর্ণ বর্গ হয়। \[ (a x + b)^2 = a^2 x^2 + 2 a b x + b^2 \] দেওয়া বহুপদীটি: \[ 4x^2 - Px + 9 \] এটি পূর্ণ বর্গ হলে, এটিকে উপরোক্ত আকারে প্রকাশ করা যাবে। তুলনা করে পাই: \[ a^2 = 4 \implies a = 2 \text{ বা } a = -2 \] \[ b^2 = 9 \implies b = 3 \text{ বা } b = -3 \] এখন, \(P = 2ab\) প্রথম ক্ষেত্রে: \(a = 2\), \(b = 3\) \[ P = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \] দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: \(a = 2\), \(b = -3\) \[ P = 2 \cdot 2 \cdot -3 = -12 \] তৃতীয় ক্ষেত্রে: \(a = -2\), \(b = 3\) \[ P = 2 \cdot -2 \cdot 3 = -12 \] চতুর্থ ক্ষেত্রে: \(a = -2\), \(b = -3\) \[ P = 2 \cdot -2 \cdot -3 = 12 \] অতএব, \(P\)-এর মান হতে পারে \(12\) বা \(-12\)।

ব্যাখ্যাঃ \[x^{2}-8x-8y+16+y^{2}\] \[=x^{2}+y^{2}+(-4)^{2}+2xy-8y-8x-2xy\] \[=x^{2}+y^{2}+(-4)^{2}+2.x.y+2.y(-4)+2(-4)x-2xy\] \[=(x+y-4)^{2}-2xy\] পূর্ণ বর্গ করতে হলে 2xy যোগ করতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ \[2x^2 - x - 15\] \[= 2x^2 - 6x + 5x - 15\] \[= 2x(x - 3) + 5(x - 3)\] \[= (2x + 5)(x - 3)\]

ব্যাখ্যাঃ \[a^4 + 4\] \[= (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 2 + 2^2 - 2a^2 \cdot 2\] \[= (a^2 + 2)^2 - (2a)^2\] \[= (a^2 + 2 + 2a)(a^2 + 2 - 2a)\] \[= (a^2 + 2a + 2)(a^2 - 2a + 2)\]

ব্যাখ্যাঃ এই সমীকরণটি সমাধান করতে হলে ধাপে ধাপে এগিয়ে যাই: \[a - \{a - (a+1)\} \] প্রথমে ব্র্যাকেট এর ভিতরের অংশ সমাধান করি: \[ a - (a+1) = a - a - 1 = -1 \] তাহলে, মূল সমীকরণটি হয়ে যায়: \[ a - \{-1\} \] এখন নেগেটিভ সাইনটি বাদ দেই: \[ a - (-1) = a + 1 \] অতএব, সমীকরণটির ফলাফল হল: \[ a + 1 \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, \[ a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b) \] আমাদের দেওয়া আছে \(a - b = 3\), তাই \[ 513 = 27 + 9ab \] \[ 9ab = 486 \] অতএব, \[ ab = \frac{486}{9} = 54 \]

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা \( (x+3)(x-3) \) প্রকাশ করি: \[ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 \] এখন, \( x^2 - 6 \) দিয়ে ভাগ করি: \[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 6} \] এখানে \( x^2 - 9 \) কে \( x^2 - 6 \) দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল \( 1 \) এবং ভাগশেষ \( -3 \) হবে। তাহলে, \[ \boxed{-3} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা দেওয়া সমীকরণগুলোকে ব্যবহার করবো: \[a + b = 5\] \[a - b = 3\] প্রথমে, \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় করি। দুটি সমীকরণ যোগ করি: \[ (a + b) + (a - b) = 5 + 3 \] \[ 2a = 8 \] \[ a = 4 \] এখন, \(a\) এর মান ব্যবহার করে \(b\) এর মান নির্ণয় করি: \[ a + b = 5 \] \[ 4 + b = 5 \] \[ b = 1 \] এখন \(ab\) এর মান নির্ণয় করি: \[ ab = 4 \times 1 = 4 \] অতএব, \(ab\) এর মান 4।

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে: \[ (x-5)(a+x) = x^2 - 25 \] প্রথমে, \( (x-5)(a+x) \) কে সরলীকরণ করি: \[ (x-5)(a+x) = (x-5)a + (x-5)x \] \[ = xa + x^2 - 5a - 5x \] এখন, সমীকরণটি সমান হলে: \[ xa + x^2 - 5a - 5x = x^2 - 25 \] উভয় পক্ষ থেকে \( x^2 \) বাদ দিলে: \[ xa - 5a - 5x = -25 \] \( x \) এর সহগ সমীকরণ: \[ a - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 5 \] ধ্রুবক পদ সমীকরণ: \[ -5a = -25 \quad \Rightarrow \quad a = 5 \] অতএব, \( a \) এর মান \( 5 \)।

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে: \[ a + b + c = 0 \] আমরা জানি যে, \(a + b + c = 0\) হলে, \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \] কিন্তু যেহেতু \(a + b + c = 0\), \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 \] \[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \] অতএব, \(a + b + c = 0\) হলে \(a^3 + b^3 + c^3\) এর মান হবে \(3abc\)।

ব্যাখ্যাঃ \[ 4x^2 - 16 = 4(x^2 - 4) = 2 \cdot 2 (x + 2)(x - 2) \] \[ 6x^2 + 24x + 24 = 6(x^2 + 4x + 4) = 2 \cdot 3 (x + 2)^2 \] ∴ গ.সা.গু = \(2(x + 2)\)

ব্যাখ্যাঃ \[ x - 2 = 0 \implies x = 2 \] এখানে, \(f(x) = x^3 - x^2\)। তাহলে, \(f(2) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4\)। অতএব, অবশিষ্টাংশ হল \(4\)।

ব্যাখ্যাঃ আমরা \(a^2 + \frac{1}{a^2} = 51\) থেকে \(a - \frac{1}{a}\)-এর মান বের করতে পারি। ধাপে ধাপে সমাধান নিচে দেখানো হলো:

১. \(a - \frac{1}{a}\)-এর বর্গের সূত্র ব্যবহার করি: \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \] ২. এখানে \(a^2 + \frac{1}{a^2} = 51\) দেওয়া আছে, তাই: \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 51 - 2 = 49 \] ৩. বর্গমূল নিয়ে পাই: \[ a - \frac{1}{a} = \sqrt{49} \quad \text{বা} \quad a - \frac{1}{a} = -\sqrt{49} \] ৪. তাই: \[ a - \frac{1}{a} = 7 \quad \text{বা} \quad a - \frac{1}{a} = -7 \] উত্তর: \(a - \frac{1}{a}\)-এর মান \(7\) বা \(-7\)।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত \(f(x) = x^3 - 2x + 10\)-এ \(x = 0\) বসিয়ে \(f(0)\) এর মান নির্ণয় করা যাক: \[ f(0) = (0)^3 - 2(0) + 10 \] এখন সরলীকরণ করি: \[ f(0) = 0 - 0 + 10 = 10 \] অতএব, \(f(0) = 10\)।

ব্যাখ্যাঃ \[x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2\] \[= x^2 + (-4)^2 + y^2 + 2 \cdot x \cdot (-4) + 2 \cdot (-4) \cdot y + 2xy - 2xy\] \[= (x - 4 + y)^2 - 2xy\] সুতরাং, পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করতে \(2xy\) যোগ করতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ \(x^3 + x^2y\) এবং \(x^2y + xy^2\)-এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হলে আমরা তাদের গুণনীয়কগুলো নির্ণয় করে সাধারণ গুণনীয়ক বের করব।

১. প্রথম বহুপদী: \[ x^3 + x^2y = x^2(x + y) \] ২. দ্বিতীয় বহুপদী: \[ x^2y + xy^2 = xy(x + y) \] এখন \(x^3 + x^2y\) এবং \(x^2y + xy^2\)-এর সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজতে হলে \(x^2\), \(xy\), এবং \((x + y)\) মিলিত বহুগুণ বের করতে হবে। তাদের ল.সা.গু হবে: \[ x^2y(x + y) \] ল.সা.গু হলো \(x^2y(x + y)\)।

ব্যাখ্যাঃ
প্রদত্ত রাশিটির মান নির্ণয়ের জন্য আমরা $a^3-b^3$ এর সূত্র ব্যবহার করব, যেখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।

আমরা জানি:
$a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$

এখানে, $x^3- \Big({1\over x}\Big)^3$ = $\Big(x-\frac{1}{x}\Big)^3 + 3(x)\Big(\frac{1}{x}\Big)\Big(x-\frac{1}{x}\Big)$

প্রশ্নমতে, $x-\frac{1}{x}=7$
সুতরাং, মানগুলো বসিয়ে পাই:
$= (7)^3 + 3(1)(7)$
$= 343 + 21$
$= 364$