ব্যাখ্যাঃ ১. মোট সংখ্যা যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য
১ হতে বড় এবং ১০০০ এর মধ্যে ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: \[ \frac{990}{30} = 33 \] (৩০, ৬০, ৯০, ..., ৯৯০)

২. সংখ্যা যা ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
কোন সংখ্যা যদি ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি LCM(30, 16) = 240 দ্বারা বিভাজ্য হবে। \[ \frac{960}{240} = 4 \] (২৪০, ৪৮০, ৭২০, ৯৬০)

৩. চূড়ান্ত সংখ্যা
৩৩টি সংখ্যা আছে যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য, এর মধ্যে ৪টি ১৬ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, চূড়ান্ত সংখ্যা: \[ 33 - 4 = 29 \] উত্তর: \[ \boxed{29} \]

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা গণনা
১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হবে:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{30} \right\rfloor = 33
$$

অর্থাৎ ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে ৩৩টি।

ধাপ ২: যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
আমরা বের করবো ৩০ ও ১৬ এর ল.সা.গু (LCM):
$$
\text{LCM}(30, 16) = 240
$$
তাহলে ১ থেকে ১০০০ এর মধ্যে ২৪০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{240} \right\rfloor = 4
$$
অর্থাৎ ৪টি সংখ্যা আছে যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দিয়েই বিভাজ্য।

ধাপ ৩: শুধু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ১৬ দ্বারা নয়
$$
33 - 4 = \boxed{29}
$$

ব্যাখ্যাঃ অমূলদ সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যাকে $\frac{p}{q}$আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p এবং q পূর্ণসংখ্যা এবং$q \neq 0$.

এখন আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করব:

কঃ 0.4
$0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

খঃ $\sqrt{9}$
$\sqrt{9} = 3 = \frac{3}{1}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

গঃ 5.639
$5.639 = \frac{5639}{1000}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

ঘঃ $\sqrt{\frac{27}{48}}$
প্রথমে ভগ্নাংশটিকে সরল করা যাক:$\frac{27}{48} = \frac{9 \times 3}{16 \times 3} = \frac{9}{16}$
সুতরাং,$\sqrt{\frac{27}{48}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো $x$.

প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটিকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে। এটিকে আমরা গাণিতিকভাবে এভাবে লিখতে পারি:

$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{4}$
$x \equiv 3 \pmod{5}$
$x \equiv 4 \pmod{6}$

লক্ষ করলে দেখা যায়, প্রতিটি ক্ষেত্রে ভাজক এবং অবশিষ্টের মধ্যে পার্থক্য একই:

$3 - 1 = 2$
$4 - 2 = 2$
$5 - 3 = 2$
$6 - 4 = 2$

এর মানে হলো, যদি আমরা $x$-এর সাথে ২ যোগ করি, তাহলে সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ, $x + 2$ সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM)।

এখন আমরা ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর LCM বের করি:

৩ = ৩
৪ = $2^2$
৫ = ৫
৬ = $2 \times 3$

LCM(৩, ৪, ৫, ৬) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$

সুতরাং, $x + 2 = 60k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণ সংখ্যা। যেহেতু আমরা ক্ষুদ্রতম পূর্ণ সংখ্যাটি খুঁজছি, তাই আমরা $k = 1$ ধরব।

$x + 2 = 60 \times 1$
$x + 2 = 60$
$x = 60 - 2$
$x = 58$

অতএব, সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো ৫৮।

ব্যাখ্যাঃ একটি মৌলিক সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যা $1$ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়। আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করে দেখব:

* কঃ ৪৭
$৪৭$ কে $1$ এবং $৪৭$ ছাড়া অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না।
(যেমন: $২, ৩, ৫, ৭$ ইত্যাদি দ্বারা বিভাজ্য নয়)।
সুতরাং, $৪৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা।

* খঃ ৮৭
$৮৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৩$ দ্বারা বিভাজ্য ($৮৭ = ৩ \times ২৯$)।

* গঃ ৯১
$৯১$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৭$ দ্বারা বিভাজ্য ($৯১ = ৭ \times ১৩$)।

* ঘঃ ১৪৩
$১৪৩$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $১১$ দ্বারা বিভাজ্য ($১৪৩ = ১১ \times ১৩$)।

সুতরাং, কঃ ৪৭ হলো মৌলিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ একটি সংখ্যা মৌলিক নয়, যদি এর ১ এবং সংখ্যাটি নিজে ছাড়া অন্য কোনো উৎপাদক থাকে।

আসুন প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করি:

* কঃ ২৬৩
২৬৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৬৩।

* খঃ ২৩৩
২৩৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৩৩।

* গঃ ২৫৩
২৫৩ মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ, ২৫৩ কে $11$ দ্বারা ভাগ করা যায়:
$253 \div 11 = 23$
সুতরাং, ২৫৩ এর উৎপাদকগুলো হলো $1, 11, 23, 253$। যেহেতু এটির ১ এবং ২৫৩ ছাড়া আরও উৎপাদক (১১ এবং ২৩) আছে, তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়, বরং একটি যৌগিক সংখ্যা।

* ঘঃ ২৪১
২৪১ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৪১।

সুতরাং, যে সংখ্যাটি মৌলিক নয়, সেটি হলো গঃ ২৫৩।

ব্যাখ্যাঃ $\sqrt{169}$ এর মান হলো ১৩।

ব্যাখ্যাঃ

দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় একটি জোড় সংখ্যা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি x = ৩ এবং y = ৫ হয়, তাহলে: x + y = ৩ + ৫ = ৮ যেখানে ৮ একটি জোড় সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ $0, 1, 2, 3$ অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ৩২১০।

একই অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ১০২৩। (কারণ, ০ দিয়ে শুরু করলে সেটি তিন অঙ্কের সংখ্যা হবে)।

এখন, সংখ্যা দুটির বিয়োগফল:
$৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$।

ব্যাখ্যাঃ

আমরা জানি, যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ভিন্ন অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। এখানে, উপরিউক্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৫৯ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নানুসারে, $x$ সংখ্যাটি ৩০১ থেকে যত বড়, ৩৮১ থেকে তত ছোট।
সুতরাং, $x$ এবং ৩০১ এর মধ্যে পার্থক্য, $x$ এবং ৩৮১ এর মধ্যে পার্থক্যের সমান।
$x - 301 = 381 - x$

এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করে $x$ এর মান বের করি:
$x + x = 381 + 301$
$2x = 682$
$x = \frac{682}{2}$
$x = 341$

সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৪১।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে ১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে এবং তারপর যেসব সংখ্যার একই স্থানীয় অংক (একক স্থান) ৯, সেগুলোর যোগফল বের করতে হবে।
১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা: \[ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 \] এখন, যেসব সংখ্যার একক স্থান ৯:
19
29
59
এদের যোগফল:
\[ 19 + 29 + 59 = 107 \]
সুতরাং, উত্তর: ১০৭ ✅

ব্যাখ্যাঃ - পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো 10000 - চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হলো 9999 এদের অন্তর: \[ 10000 - 9999 = 1 \] সুতরাং, উত্তর: 1 ✅

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যাগুলো যোগ করি: \[ 1.1 + 0.01 + 0.0011 \] ধাপে ধাপে যোগ করলে, \[ 1.1 + 0.01 = 1.11 \] \[ 1.11 + 0.0011 = 1.1111 \] সুতরাং, উত্তর: 1.1111 ✅

ব্যাখ্যাঃ \( 1.16 \) সংখ্যাটিকে মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে হবে: প্রথমে, একে পূর্ণসংখ্যা + ভগ্নাংশ আকারে লিখি: \[ 1.16 = 1 + 0.16 \] এখন, \( 0.16 \) কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি: \[ 0.16 = \frac{16}{100} \] এখন, সরলীকরণ করি: \[ \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \] অতএব, \( 1.16 \) এর মিশ্র ভগ্নাংশ হলো \[ 1\frac{4}{25} \] ✅ উত্তর: \( 1\frac{4}{25} \)

ব্যাখ্যাঃ

৬০ ও ৮০ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে যথাক্রমে ৬১ ও ৭৯। ∴ এ দুটি সংখ্যার অন্তর হবে (৭৯ - ৬১) = ১৮।

ব্যাখ্যাঃ

৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা (প্রাইম নম্বর) হল:
৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯
এই সংখ্যা গুলির মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো মোট ৪টি।

ব্যাখ্যাঃ $$p$$ একটি মৌলিক সংখ্যা। সুতরাং $$p$$ সংখ্যাটি স্বাভাবিক, পূর্ণ ও মূলদ সংখ্যা। পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল করলে সেটি অমূলদ। সুতরাং $$\sqrt{p}$$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ একটি সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করতে প্রথমে তার মৌলিক গুণনীয়কের মাধ্যেমে বিশ্লেষণ করি।
৭২ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করলে পাই: $$ 72 = 2^3 \times 3^2 $$ এখন, মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করি: \((a+1)(b+1)\), যেখানে \(a\) এবং \(b\) হল প্রদত্ত মৌলিক গুণকের মাধ্যেমে নির্দিষ্ট সংখ্যা।
এখানে \(2^3\) এর ২ এর ঘাত \(৩\), এবং \(3^2\) এর ৩ এর ঘাত \(২\)। তাহলে মোট ভাজক সংখ্যা হবে: $$(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12 $$ সুতরাং, ৭২ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা \(n\) এবং \(n+1\) তাহলে তাদের বর্গের অন্তর হবে: \((n+1)^2 - n^2 = 47\) এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করতে পারি: \[ (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 47 \] \[ 2n + 1 = 47 \] \[ 2n = 46 \] \[ n = 23 \] সুতরাং, দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হল ২৩ এবং ২৪।

ব্যাখ্যাঃ \(\sqrt{2}\) একটি অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)। এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা একটি সহজ প্রমাণ দেখব। ### প্রমাণ: \(\sqrt{2}\) অমূলদ সংখ্যা ধরি, \(\sqrt{2}\) একটি মূলদ সংখ্যা (Rational Number)। তাহলে একে \(\frac{p}{q}\) আকারে লেখা যাবে, যেখানে \(p\) এবং \(q\) পরস্পর সহমৌলিক (অর্থাৎ তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক 1) এবং \(q \neq 0\)। \[ \sqrt{2} = \frac{p}{q} \] উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই: \[ 2 = \frac{p^2}{q^2} \] অর্থাৎ, \[ p^2 = 2q^2 \] এখানে \(p^2\) একটি জোড় সংখ্যা, কারণ এটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং \(p\) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে (যেহেতু বিজোড় সংখ্যার বর্গ কখনো জোড় হয় না)। ধরি, \(p = 2k\), যেখানে \(k\) একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে: \[ (2k)^2 = 2q^2 \] \[ 4k^2 = 2q^2 \] \[ q^2 = 2k^2 \] এখানে \(q^2\) একটি জোড় সংখ্যা, কারণ এটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং \(q\) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। কিন্তু এখানে \(p\) এবং \(q\) উভয়ই জোড় সংখ্যা, যা আমাদের প্রাথমিক শর্ত \(p\) এবং \(q\) পরস্পর সহমৌলিকের বিরোধী। অর্থাৎ, আমাদের ধারণা ভুল। সুতরাং, \(\sqrt{2}\) কে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়, অর্থাৎ \(\sqrt{2}\) একটি অমূলদ সংখ্যা। উত্তর: \[ \boxed{\sqrt{2} \text{ একটি অমূলদ সংখ্যা।}} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটি \(x\)। প্রশ্নানুসারে: \[ x - 650 = 820 - x \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ x - 650 = 820 - x \] \[ x + x = 820 + 650 \] \[ 2x = 1470 \] \[ x = \frac{1470}{2} = 735 \] উত্তর: \[ \boxed{735} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুটি ক্রমিক সংখ্যা \(x\) এবং \(x + 1\)। তাহলে, তাদের বর্গের অন্তর হবে: \[ (x + 1)^2 - x^2 = 199 \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ (x + 1)^2 - x^2 = 199 \] \[ x^2 + 2x + 1 - x^2 = 199 \] \[ 2x + 1 = 199 \] \[ 2x = 198 \] \[ x = 99 \] তাহলে, দুটি ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে বড় সংখ্যাটি হল: \[ x + 1 = 99 + 1 = 100 \] সুতরাং, বড় সংখ্যাটি হল ১০০।

ব্যাখ্যাঃ আপনার চিত্রের ভিত্তিতে প্রদত্ত সংখ্যাগুলি হল:

1. \( 0.3 \)
2. \( \frac{3}{9} = 0.3333 \)
3. \( \sqrt{0.3} = 0.5477 \)
4. \( \frac{2}{5} = 0.4 \)

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে \( \sqrt{0.3} \) সংখ্যাটি বৃহত্তম।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা \( x \)।

প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী: \[ 3x + 2x = 90 \] অতএব, \[ 5x = 90 \] \[ x = \frac{90}{5} \] \[ x = 18 \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ১৮। আপনার কি আরও কিছু জানতে ইচ্ছে আছে?

ব্যাখ্যাঃ ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো বের করতে হবে।

### ধাপ ১: প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
১২ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ১২ হলো প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।

### ধাপ ২: শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
৯৬ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ২৪, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ৯৬ হলো শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।
### ধাপ ৩: সমান্তর ধারা ব্যবহার করে সংখ্যাগুলো গণনা
এখানে সমান্তর ধারার প্রথম পদ (\( a \)) = ১২, সাধারণ অন্তর (\( d \)) = ৪, এবং শেষ পদ (\( l \)) = ৯৬।

সমান্তর ধারার পদ সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র: \[ n = \frac{l - a}{d} + 1 \] মান বসিয়ে: \[ n = \frac{96 - 12}{4} + 1 \] \[ n = \frac{84}{4} + 1 \] \[ n = 21 + 1 \] \[ n = 22 \] উত্তর: ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) মোট ২২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে প্রদত্ত:

1. \( x + 5y = 16 \)
2. \( x = 3y \)

প্রথম সমীকরণে \( x = 3y \) বসাই: \[ 3y + 5y = 16 \] \[ 8y = 16 \] \[ y = \frac{16}{8} \] \[ y = 2 \] অতএব, \( y \) এর মান হলো ২।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, \( ক = x \) এবং \( খ = y \)।

প্রশ্নে প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী আমরা দুটি সমীকরণ পাই:

1. \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 45 \)
2. \( \frac{1}{2} y + \frac{2}{5} x = 50 \)

প্রথম সমীকরণটি \( 6 \) দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: \[ 3x + 2y = 270 \quad \text{(3)} \] দ্বিতীয় সমীকরণটি \( 10 \) দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: \[ 5y + 4x = 500 \quad \text{(4)} \] এখন, সমীকরণ (3) এবং (4) সমাধান করি।

প্রথমে সমীকরণ (3) কে সমাধান করি: \[ 3x + 2y = 270 \] \[ 2y = 270 - 3x \] \[ y = \frac{270 - 3x}{2} \quad \text{(5)} \] এখন সমীকরণ (5) এর মান সমীকরণ (4) এ বসাই: \[ 5 \left( \frac{270 - 3x}{2} \right) + 4x = 500 \] \[ \frac{5(270 - 3x)}{2} + 4x = 500 \] \[ \frac{1350 - 15x}{2} + 4x = 500 \] \[ 1350 - 15x + 8x = 1000 \] \[ 1350 - 7x = 1000 \] \[ 1350 - 1000 = 7x \] \[ 350 = 7x \] \[ x = 50 \] অতএব, \( ক = x = 50 \)

এখন, \( x = 50 \) মানটি সমীকরণ (5) এ বসাই: \[ y = \frac{270 - 3 \times 50}{2} \] \[ y = \frac{270 - 150}{2} \] \[ y = \frac{120}{2} \] \[ y = 60 \] অতএব, \( খ = y = 60 \)

অতএব, ক এবং খ এর মান যথাক্রমে ৫০ এবং ৬০।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, মেশিন তিনটি যথাক্রমে \(A\), \(B\), এবং \(C\)।

মেশিন \(A\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{4}\) অংশ।
মেশিন \(B\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{5}\) অংশ।
মেশিন \(C\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{6}\) অংশ।

সর্বোচ্চ ক্ষমতায় দুটি মেশিন এক ঘন্টায় যতটুকু কাজ করতে পারে, সেটি বের করতে আমাদের তাদের কাজের গড় বের করতে হবে।

সবচেয়ে বেশি কাজ করতে পারে \(A\) এবং \(B\)। এবার \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজ করতে পারে: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 4}{20} = \frac{9}{20} \] অতএব, দুটি মেশিন \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজের \(\frac{9}{20}\) অংশ করতে পারে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা হলো \( x \)।

প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{২}{৭} \times x = ৬৪ \] এখন, \( x \) নির্ণয় করি: \[ x = \frac{৬৪ \times ৭}{২} \] \[ x = \frac{৪৪৮}{২} \] \[ x = ২২৪ \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ২২৪।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে প্রতিটি সংখ্যা দশমিক আকারে রূপান্তর করি:

কঃ \( 0.3 \)

খঃ \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)

গঃ \( \frac{2}{5} = 0.4 \)

ঘঃ \( \frac{1}{3} \approx 0.3333 \)

তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক \( x \) এবং এককের অঙ্ক \( y \)।

প্রশ্ন অনুযায়ী:
1. এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি: \[ y = x + 3 \] 2. সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি: \[ 10x + y = 3(x + y) + 4 \] এখন আমরা এই দুটি সমীকরণ সমাধান করি।

প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ y = x + 3 \] এটি দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: \[ 10x + (x + 3) = 3(x + (x + 3)) + 4 \] \[ 10x + x + 3 = 3(2x + 3) + 4 \] \[ 11x + 3 = 6x + 9 + 4 \] \[ 11x + 3 = 6x + 13 \] এখন \( x \) নির্ণয় করি: \[ 11x - 6x = 13 - 3 \] \[ 5x = 10 \] \[ x = 2 \] এখন \( y \) নির্ণয় করি: \[ y = x + 3 \] \[ y = 2 + 3 \] \[ y = 5 \] অতএব, সংখ্যাটি হলো \( 10x + y = 10 \times 2 + 5 = 25 \)।

অতএব, সংখ্যাটি হলো ২৫।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে ৬টার জন্য ঘণ্টাধ্বনি বাজানোর সময় বিবেচনা করি। ৬ বার ঘণ্টাধ্বনি বাজানো মানে, ৫টি বিরতি আছে:

\[ \text{প্রতি বিরতি = } \frac{৫ \text{ সেকেন্ড}}{৫ \text{ বিরতি}} = ১ \text{ সেকেন্ড/বিরতি} \] এখন, ১২টা বাজানোর সময়, ১২টি ঘণ্টাধ্বনি বাজানো হবে, যা মানে ১১টি বিরতি। প্রতিটি বিরতি ১ সেকেন্ড হবে।

তাহলে, ১২টা বাজানোর জন্য মোট সময় হবে: \[ ১১ \text{ বিরতি} \times ১ \text{ সেকেন্ড/বিরতি} = ১১ \text{ সেকেন্ড} \] অতএব, ঘড়িতে ১২টা বাজানোর জন্য ১১ সেকেন্ড সময় লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, গোয়ালার মোট গাভীর সংখ্যা \( n \)। প্রথম পুত্রকে \( \frac{১}{২} \) অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ \( \frac{n}{2} \) গাভী। দ্বিতীয় পুত্রকে \( \frac{১}{৪} \) অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ \( \frac{n}{4} \) গাভী। তৃতীয় পুত্রকে \( \frac{১}{৫} \) অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ \( \frac{n}{5} \) গাভী। চতুর্থ পুত্রকে বাকি \( ৭ \) গাভী দিয়েছে। তাহলে, \[ \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \frac{n}{5} + ৭ = n \] \[ \frac{10n}{20} + \frac{5n}{20} + \frac{4n}{20} + ৭ = n \] \[ \frac{19n}{20} + ৭ = n \] \[ 7 = n - \frac{19n}{20} \] \[ 7 = \frac{20n - 19n}{20} \] \[ 7 = \frac{n}{20} \] \[ n = 7 \times 20 \] \[ n = 140 \] অতএব, ঐ গোয়ালার মোট গাভীর সংখ্যা ছিল 140।

ব্যাখ্যাঃ \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) সমীকরণটি প্রযোজ্য হবে যখন \(a\) একই সংখ্যা এবং \(m\) ও \(n\) দুইটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (ধরা যাক \(a \neq 0\) )।

অর্থাৎ, \(a\) এর একই ভিত্তি এবং তাদের ঘাত যোগফল সমান হবে, তখনই এই সমীকরণটি সত্যি হবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পরিমাণ গণনা করব এবং তারপর তাদের পার্থক্য নির্ণয় করব।

১. এককালীন ৪০% কমতি:
১০,০০০ টাকার ওপর ৪০% কমতি: \[ \text{কমতি} = ১০,০০০ \times \frac{৪০}{১০০} = ৪,০০০ \text{ টাকা} \] ২. পর পর ৩৬% ও ৪% কমতি:
প্রথমে ৩৬% কমতি: \[ \text{প্রথম কমতি} = ১০,০০০ \times \frac{৩৬}{১০০} = ৩,৬০০ \text{ টাকা} \] \[ \text{প্রথম কমতির পর অবশিষ্ট} = ১০,০০০ - ৩,৬০০ = ৬,৪০০ \text{ টাকা} \] তারপর ৪% কমতি: \[ \text{দ্বিতীয় কমতি} = ৬,৪০০ \times \frac{৪}{১০০} = ২৫৬ \text{ টাকা} \] \[ \text{মোট কমতি} = ৩,৬০০ + ২৫৬ = ৩,৮৫৬ \text{ টাকা} \] ৩. পার্থক্য:
\[ \text{পার্থক্য} = ৪,০০০ - ৩,৮৫৬ = ১৪৪ \text{ টাকা} \] অতএব, এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পার্থক্য ১৪৪ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ \(32 = 2^5\) এখন, লগারিদম সূত্র অনুযায়ী: \[ \log_2{32} = \log_2{2^5} = 5 \] অতএব, \(32\) এর \(2\) ভিত্তিক লগারিদম হল \(5\)।

ব্যাখ্যাঃ

বালকের সংখ্যা + 4 = বালিকার সংখ্যা

=> b + 4 = g

∴ b = g - 4

ব্যাখ্যাঃ \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে আমরা নিম্নলিখিত পদ্ধতি ব্যবহার করব।

ধাপ ১: \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মান নির্ণয় \[ \sqrt{2} \approx 1.4142 \\ \sqrt{3} \approx 1.7321 \] ধাপ ২: মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা নির্ণয়
\(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো তাদের গড়: \[ \text{গড়} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.4142 + 1.7321}{2} = \frac{3.1463}{2} \approx 1.5731 \] ধাপ ৩: মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ
এই মানটি একটি মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, \(1.5\) বা \(\frac{3}{2}\) একটি মূলদ সংখ্যা যা \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী।

ফলাফল
\(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো \(1.5\) বা \(\frac{3}{2}\)।

ব্যাখ্যাঃ \[ \frac{15 \div 15 \times 15}{15 \div 15 \div 15} \] সরলীকরণ: \[ = \frac{1 \times 15}{15 \div 225}\] \[= 15 \times \frac{225}{15}\] \[ = 225 \]

ব্যাখ্যাঃ

যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না সেই সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। উপরিউক্ত ৪টি সংখ্যার মধ্যে ৪৭ সংখ্যাটিরই কেবলমাত্র ২টি উৎপাদক আছে বলে এটি মৌলিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মোট ১০টি মৌলিক সংখ্যা আছে। এগুলো হল: \[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \] মৌলিক সংখ্যা হল যেসব সংখ্যা কেবল ১ এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য হয়।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, সংজ্ঞার্থের সমস্ত সংখ্যাকে সরল করি:

উপরে: \[ 0.1 \times 0.01 \times 0.001 = 0.000001 \] নিচে: \[ 0.2 \times 0.02 \times 0.002 = 0.000008 \] এখন, ভগ্নাংশটি লিখি: \[ \frac{0.000001}{0.000008} \] \[ = \frac{1}{8}\]

ব্যাখ্যাঃ ধাপে ধাপে আমরা দেখতে পাই: \[ \sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \] এখন উপরের অংশ সরলীকরণ করা হলে: \[ (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 \] তাহলে: \[ \sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \]

ব্যাখ্যাঃ ১. প্রথমে শ্রমিক এবং কাজের সম্পর্ক বিশ্লেষণ করি:

৫ জন শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় তৈরি করতে পারে।
অর্থাৎ, ৫ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে \( \frac{৫}{৫} = ১ \) কাপড়।
তাহলে ১ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে: \[ \frac{১}{৫} \text{ কাপড়।} \] ২. ৭টি কাপড় তৈরি করতে ৭ জন শ্রমিকের দৈনিক কাজের ক্ষমতা বের করি:

৭ জন শ্রমিক একদিনে তৈরি করতে পারে: \[ ৭ \times \frac{১}{৫} = \frac{৭}{৫} \text{ কাপড়।} \] ৩. ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় বের করি:

যদি ৭ জন শ্রমিক প্রতিদিন \( \frac{৭}{৫} \) কাপড় তৈরি করে, তাহলে ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় লাগবে: \[ \frac{৭}{\frac{৭}{৫}} = ৫ \text{ দিন।} \]

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \[ (64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 3K \] আমরা প্রথমে \((64)^{\frac{2}{3}}\) এবং \((625)^{\frac{1}{2}}\) এর মান নির্ণয় করব।

ধাপ 1: \((64)^{\frac{2}{3}}\) এর মান নির্ণয় \[ (64)^{\frac{2}{3}} = \left(64^{\frac{1}{3}}\right)^2 \] \[ 64^{\frac{1}{3}} = 4 \quad (\text{কারণ } 4^3 = 64) \] \[ (64)^{\frac{2}{3}} = 4^2 = 16 \] ধাপ 2: \((625)^{\frac{1}{2}}\) এর মান নির্ণয় \[ (625)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{625} = 25 \] ধাপ 3: সমীকরণে মান বসানো \[ (64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 16 + 25 = 41 \] \[ 3K = 41 \] \[ K = \frac{41}{3} \] সুতরাং, \(K\) এর মান হলো: \[ \boxed{13\frac{2}{3}} \]

ব্যাখ্যাঃ এই সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয় করে তুলনা করব।

ধাপ 1: সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয়
- ক: \(0.3\)
- খ: \(\sqrt{0.3} \approx 0.5477\)
- গ: \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\)
- ঘ: \(\frac{2}{5} = 0.4\)

ধাপ 2: সংখ্যাগুলো তুলনা
সংখ্যাগুলোকে মানের ভিত্তিতে সাজালে: \[ 0.3 < 0.3333 < 0.4 < 0.5477 \] অর্থাৎ: \[ 0.3 < \frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \sqrt{0.3} \] ধাপ 3: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয়
উপরের তুলনা থেকে দেখা যাচ্ছে যে \(0.3\) হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো: \[ \boxed{\text{কঃ } 0.3} \]

ব্যাখ্যাঃ

"মেহেতু z < 0; সেহেতু z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।
দেওয়া আছে,
x > y সুতরাং, xz < yz [ ঋণাত্মককে z দ্বারা গুণ করুন]
z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বলে z দ্বারা ঋণাত্মককে গুণ করায় > চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে < চিহ্ন হয়েছে।"

ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমের গুণনীয়কের সূত্র প্রয়োগ করে \(log_a(\frac{m}{n})\)-এর মান বের করতে পারি। সূত্রটি হলো: \[ log_a\left(\frac{m}{n}\right) = log_a(m) - log_a(n) \] তাহলে, \[ log_a(\frac{m}{n}) = log_a(m) - log_a(n) \] এটি হলো চূড়ান্ত উত্তর।

ব্যাখ্যাঃ \[ 36.2^{3x-8} = 3^2 \] \[\Rightarrow 2^{3x-8} = \frac{9}{36} \] \[\Rightarrow \frac{2^{3x}}{2^8} = \frac{1}{4} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = \frac{2^8}{4} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = \frac{2^8}{2^2} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = 2^{8-2} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = 2^6 \] \[\Rightarrow 3x = 6\] \[\therefore x = 2 \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা \(\frac{x}{y}\)-এর সাথে একটি সংখ্যা যোগ করে যোগফল \(\frac{y}{x}\) করতে চাই। ধরে নিই, যোগ করা সংখ্যাটি হল \(k\)।

তাহলে, সমীকরণটি হবে: \[ \frac{x}{y} + k = \frac{y}{x} \] এখন \(k\)-এর মান নির্ণয় করি। \[ k = \frac{y}{x} - \frac{x}{y} \] লসাগু \(xy\)-এর সাহায্যে ভগ্নাংশগুলোর বিয়োগ করি: \[ k = \frac{y^2 - x^2}{xy} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরপর তিনটি সংখ্যা হলো \(x-1\), \(x\), এবং \(x+1\)। তাহলে তাদের গুণফল দেওয়া আছে: \[ (x-1) \cdot x \cdot (x+1) = 120 \] এটি একটি গুণফল সূত্র যেখানে \(x-1, x, x+1\) হলো ধারাবাহিক তিনটি সংখ্যা। এখানে \((x-1)(x)(x+1)\) হলো ক্রমিক গুণনীয়ক: \[ x(x^2 - 1) = 120 \] সরল করলে পাই: \[ x^3 - x = 120 \] এখন আমরা \(x\)-এর মান বের করি। ধারণা করা যায় \(x = 5\), কারণ: \[ 5^3 - 5 = 125 - 5 = 120 \] তাহলে, সংখ্যাগুলো হলো \(5-1 = 4\), \(5\), এবং \(5+1 = 6\)। এদের যোগফল হবে: \[ 4 + 5 + 6 = 15 \] চূড়ান্ত উত্তর:
পরপর তিনটি সংখ্যার যোগফল হলো \(15\)।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি যে লগারিদমের মূল সূত্র অনুসারে: \[ log_a(b) = c \implies a^c = b \] এখানে, \(log_2(8) = c\) হলে: \[ 2^c = 8 \] আমরা জানি \(8 = 2^3\), সুতরাং: \[ 2^c = 2^3 \] এখন ভিত্তি একই হলে সহগও সমান হয়: \[ c = 3 \] \(log_2(8) = 3\)।

ব্যাখ্যাঃ
প্রদত্ত সেটটিতে দুটি শর্ত আছে:
১. $x$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা ($x \in N$)।
২. $x^2 > 8$
৩. $x^3 < 30$

এখন আমরা স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো পরীক্ষা করে দেখব:
যদি $x=1$ হয়, $1^2=1$ যা ৮ এর চেয়ে বড় নয়।
যদি $x=2$ হয়, $2^2=4$ যা ৮ এর চেয়ে বড় নয়।
যদি $x=3$ হয়, $3^2=9$ যা ৮ এর চেয়ে বড় এবং $3^3=27$ যা ৩০ এর চেয়ে ছোট। অর্থাৎ, উভয় শর্তই পূরণ করে।
যদি $x=4$ হয়, $4^2=16$ যা ৮ এর চেয়ে বড়, কিন্তু $4^3=64$ যা ৩০ এর চেয়ে বড়।

সুতরাং, শুধুমাত্র $x=3$ উভয় শর্ত পূরণ করে।