ব্যাখ্যাঃ আমরা x² – 7x + 12 ≤ 0 অমৌলিক অসাম্য সমাধান করব।

1. বহুপদী অভাজ্য করা
আমরা x² – 7x + 12-কে ভগ্নাংশে বিভক্ত করি: $$x²–7x+12=(x-3)(x-4)$$ 2. অসাম্য রূপান্তর $$(x-3)(x-4)\le 0$$ 3. মূলবিন্দু নির্ণয়
মূলবিন্দু: x = 3, x = 4
এটি সংখ্যারেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
1. x < 3 (নেতিবাচক)
2. 3 ≤ x ≤ 4 (ধনাত্মক বা শূন্য)
3. x > 4 (নেতিবাচক)

যেহেতু অসাম্যটি ≤ 0, তাই ধনাত্মক অংশ বাদ দিয়ে শূন্যসহ (3,4)-এর মধ্যে মান নেওয়া হবে।

4. সমাধান সেট $$x\in [3,4]$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতা:
$$|3x+2|<7$$

১ম ধাপ: অমূখ্য মানের সংজ্ঞা প্রয়োগ

যদি $|A|<B$ হয়, তবে আমরা লিখতে পারি:
$$-B<A<B$$

সুতরাং, এখানে প্রয়োগ করলে:
$$-7<3x+2<7$$

২য় ধাপ: $x$ নির্ণয় করা

প্রথমে $-7$ এবং $7$ থেকে $2$ বিয়োগ করি:
$$-7-2<3x<7-2$$

$$-9<3x<5$$

$$\frac{-9}{3}<x<\frac{5}{3}$$

$$-3<x<\frac{5}{3}$$

উত্তর: $-3<x<\frac{5}{3}$

ব্যাখ্যাঃ $$x^2-3x-10>0$$
$$x^2-5x+2x-10>0$$
$$x(x-5)+2(x-5)>0$$
$$(x-5)(x+2)>0$$
দুটি রাশি গুণফল ধনাত্মক হলে রাশি দুটিকে অবশ্যই ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক হতে হবে।
প্রথম ক্ষেত্রে, দুটিই ধনাত্মক হলে:
$$x-5>0\text{এবং}x+2>0$$
$$x>5\text{এবং}x>-2$$
$$\Rightarrow x>5[\text{কমন অংশ নিয়ে}]$$
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
$$x-5<0\text{এবং}x+2<0$$
$$x<5\text{এবং}x<-2$$
$$\Rightarrow x<-2[\text{কমন অংশ নিয়ে}]$$
$$\Rightarrow \text{নির্ণীত সমাধান:}x>5\text{অথবা}x<-2$$
$$\Rightarrow \text{সমাধান:}(-\mathrm{\infty },-2)\cup (5,+\mathrm{\infty })$$

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে $x$ এর পরিসীমা নির্ণয়:
$$|x-2|<3$$
এটি $x$ এর জন্য নিম্নলিখিত অসাম্য প্রকাশ করে:
$$-3<x-2<3$$
$$-3+2<x<3+2$$
$$-1<x<5$$
$$-1\times 3<3x<5\times 3$$
$$-3<3x<15$$
$$-3+5<3x+5<15+5$$
$$2<3x+5<20$$
$m$ ও $n$ নির্ণয়:
$$m=2,n=20$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
$2x^2+5x+3<0$

প্রথমে, মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে উৎপাদক নির্ণয় করি:
$2x^2+3x+2x+3<0$
$x(2x+3)+1(2x+3)<0$
$(x+1)(2x+3)<0$

অসমতাটি সত্য হবে যদি $(x+1)$ এবং $(2x+3)$ এর মান পরস্পর বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয় (একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক)।

যেহেতু আমরা $(x+1)(2x+3)<0$ এর সমাধান খুঁজছি, তাই আমাদের এমন পরিসর দরকার যেখানে $(x+1)(2x+3)$ এর চিহ্ন ঋণাত্মক।

সারণী অনুযায়ী, এটি ঘটে যখন $-\frac{3}{2}<x<-1$।

সুতরাং, নির্ণেয় অসমতাটি হলো: $-\frac{3}{2}<x<-1$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো: $|1-2x|<1$

পরম মানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $|a|<b$ হয়, তাহলে $-b<a<b$ হয়।

এখানে $a=(1-2x)$ এবং $b=1$।
তাহলে, আমরা লিখতে পারি:
$-1<1-2x<1$

এখন এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে বিভক্ত করে সমাধান করব:

প্রথম অংশ: $-1<1-2x$
$-1-1<-2x$
$-2<-2x$

উভয় পক্ষকে $-2$ দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
$\frac{-2}{-2}>\frac{-2x}{-2}$
$1>x$
বা, $x<1$

দ্বিতীয় অংশ: $1-2x<1$
$-2x<1-1$
$-2x<0$

উভয় পক্ষকে $-2$ দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
$\frac{-2x}{-2}>\frac{0}{-2}$
$x>0$

এখন উভয় অংশের সমাধানকে একত্রিত করি:
$x>0$ এবং $x<1$

সুতরাং, সমাধানটি হলো $0<x<1$।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে অসমতাটি: $|2x-3|\le 1$

পরম মানের (absolute value) সংজ্ঞা অনুযায়ী, $|a|\le b$ হলে, এর অর্থ হলো $-b\le a\le b$।

এখানে $a=2x-3$ এবং $b=1$।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$-1\le 2x-3\le 1$

এখন এই অসমতাটিকে দুটি অংশে ভাগ করে সমাধান করতে পারি অথবা একসাথেই সমাধান করতে পারি।

একসাথেই সমাধান করি:
প্রথমে অসমতার তিনটি অংশেই $3$ যোগ করি:
$-1+3\le 2x-3+3\le 1+3$
$2\le 2x\le 4$

এখন, অসমতার তিনটি অংশকেই $2$ দিয়ে ভাগ করি:
$\frac{2}{2}\le \frac{2x}{2}\le \frac{4}{2}$
$1\le x\le 2$

অতএব, বাস্তব সংখ্যায় $\mid 2x-3\mid \le 1$ অসমতাটির সমাধান হলো $1\le x\le 2$।

এটি একটি বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) $[1,2]$ হিসেবেও লেখা যায়।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো: $x^2-5x+6<0$

প্রথমে, আমরা $x^2-5x+6=0$ সমীকরণটির মূলগুলি নির্ণয় করব।
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
$x^2-2x-3x+6=0$
$x(x-2)-3(x-2)=0$
$(x-2)(x-3)=0$

সুতরাং, সমীকরণটির মূলগুলি হলো $x=2$ এবং $x=3$।

এখন আমরা একটি সংখ্যা রেখায় এই মূলগুলি স্থাপন করব এবং দেখব কোন অঞ্চলে $x^2-5x+6$ এর মান ঋণাত্মক হয়। মূলগুলি সংখ্যা রেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:

1. $x<2$
   
2. $2<x<3$
   
3. $x>3$
   

প্রতিটি অঞ্চলে একটি করে মান বসিয়ে অসমতাটি পরীক্ষা করি:

* অঞ্চল 1: $x<2$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=1$ নিই)
$1^2-5(1)+6=1-5+6=2$
যেহেতু $2>0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।

* অঞ্চল 2: $2<x<3$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=2.5$ নিই)
$(2.5{)}^2-5(2.5)+6=6.25-12.5+6=-0.25$
যেহেতু $-0.25<0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য।

* অঞ্চল 3: $x>3$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=4$ নিই)
$4^2-5(4)+6=16-20+6=2$
যেহেতু $2>0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।

সুতরাং, অসমতা $x^2-5x+6<0$ এর জন্য সঠিক শর্ত হলো $2<x<3$।

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু $x<4$, এর মান হতে পারে $4$-এর চেয়ে ছোট যে-কোনো সংখ্যা। নিচের অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

১. কঃ 0:
$0$ হলো $4$-এর চেয়ে ছোট, তাই এটি সঠিক।

২. খঃ 3:
$3$ হলো $4$-এর চেয়ে ছোট, সুতরাং এটি সঠিক।

৩. ঘঃ -4:
$-4$ হলো $4$-এর চেয়ে ছোট, তাই এটিও সঠিক।

৪. গঃ সবগুলোই:
যেহেতু $0$, $3$, এবং $-4$ সবকটিই $x<4$-এর শর্ত পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর হবে:

গঃ সবগুলোই।