ব্যাখ্যাঃ ধরি, ডকের উচ্চতা $h$ ফুট।

যখন নৌকাটি ডক থেকে ১২ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা, ডক এবং পানির স্তর একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।

⇒ সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি হলো ডক থেকে নৌকার দূরত্ব, যা ১২ ফুট।
⇒ সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব হলো ডকের উচ্চতা, যা $h$ ফুট।
⇒ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ হলো দড়ির দৈর্ঘ্য।

প্রশ্নানুসারে, এই অবস্থায় দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ৩ ফুট লম্বা। সুতরাং, দড়ির দৈর্ঘ্য হবে $(2h+3)$ ফুট।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে:
$$(\text{ভূমি}{)}^2+(\text{লম্ব}{)}^2=(\text{অতিভুজ}{)}^2$$

এখানে ভূমি = ১২ ফুট, লম্ব = $h$ ফুট এবং অতিভুজ = $(2h+3)$ ফুট।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$${12}^2+h^2=(2h+3{)}^2$$$$144+h^2=(2h{)}^2+2\cdot (2h)\cdot 3+3^2$$$$144+h^2=4h^2+12h+9$$

$$0=4h^2-h^2+12h+9-144$$
$$0=3h^2+12h-135$$

$$0=h^2+4h-45$$

$$h^2+9h-5h-45=0$$$$h(h+9)-5(h+9)=0$$$$(h+9)(h-5)=0$$

সুতরাং, $h+9=0$ অথবা $h-5=0$.

যদি $h+9=0$, তাহলে $h=-9$. যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এই সমাধানটি গ্রহণযোগ্য নয়।

যদি $h-5=0$, তাহলে $h=5$.

সুতরাং, ডকের উচ্চতা ৫ ফুট।

উত্তর: ডকের উচ্চতা ৫ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ

নদীপথে লঞ্চের বেগ ১৮ কিমি/ঘন্টা এবং স্রোতের বেগ ৬ কিমি/ঘন্টা। অতএব, অনুকূলে বেগ = ১৮ + ৬ = ২৪ কিমি/ঘন্টা এবং প্রতিকূলে বেগ = ১৮ - ৬ = ১২ কিমি/ঘন্টা এখন, ৪৮ কিমি পথ যেতে অনুকূলে সময় লাগবে = ৪৮/২৪ = ২ ঘন্টা এবং, ৪৮ কিমি পথ ফিরে আসতে প্রতিকূলে সময় লাগবে = ৪৮/১২ = ৪ ঘন্টা সুতরাং, মোট সময় লাগবে = ২ + ৪ = ৬ ঘন্টা। অতএব, নদীপথে ৪৮ কিমি অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে লঞ্চটির ৬ ঘন্টা সময় লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা মোট ভ্রমণের গড়বেগ নির্ণয় করব।

### ধাপ ১: তথ্য বিশ্লেষণ - স্রোতের অনুকূলে: - দূরত্ব = ৫ মাইল - সময় = ২ ঘণ্টা - গতি = $\frac{5}{2}=2.5$ মাইল/ঘণ্টা

- স্রোতের প্রতিকূলে: - দূরত্ব = ৫ মাইল (কারণ মাঝি ফিরে এসেছে) - সময় = ৪ ঘণ্টা - গতি = $\frac{5}{4}=1.25$ মাইল/ঘণ্টা

### ধাপ ২: গড়বেগ নির্ণয়
গড়বেগের সূত্র:
$$\text{গড়বেগ}=\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}}$$ $$=\frac{5+5}{2+4}$$ $$=\frac{10}{6}=1\frac{2}{3}\text{ মাইল/ঘণ্টা}$$ ### উত্তর: $1\frac{2}{3}$ মাইল/ঘণ্টা (প্রায়)

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করতে আমরা নৌকা ও স্রোতের বেগ ব্যবহার করব।

ধাপ ১: নৌকা ও স্রোতের বেগ
- নৌকার বেগ (স্থির জলে) = ১০ কিমি/ঘণ্টা
- স্রোতের বেগ = ৫ কিমি/ঘণ্টা
ধাপ ২: স্রোতের দিকে নৌকার বেগ
স্রোতের দিকে নৌকার কার্যকরী বেগ: $$১০+৫=১৫\text{ কিমি/ঘণ্টা}$$ ধাপ ৩: স্রোতের বিপরীত দিকে নৌকার বেগ
স্রোতের বিপরীত দিকে নৌকার কার্যকরী বেগ: $$১০-৫=৫\text{ কিমি/ঘণ্টা}$$ ধাপ ৪: সময় গণনা
দূরত্ব = ৪৫ কিমি

স্রোতের দিকে যেতে সময় লাগে: $$\frac{৪৫}{১৫}=৩\text{ ঘণ্টা}$$ স্রোতের বিপরীত দিকে ফিরে আসতে সময় লাগে: $$\frac{৪৫}{৫}=৯\text{ ঘণ্টা}$$ ধাপ ৫: মোট সময়
মোট সময় = স্রোতের দিকে যাওয়ার সময় + স্রোতের বিপরীত দিকে ফিরে আসার সময় $$৩+৯=১২\text{ ঘণ্টা}$$ ফলাফল নদী পথে ৪৫ কিমি দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে ১২ ঘণ্টা সময় লাগবে।