ব্যাখ্যাঃ কোনো $n$ সংখ্যক লোক যদি প্রত্যেকে একে অপরের সাথে একবার করমর্দন করে, তাহলে মোট করমর্দনের সংখ্যা হয়: $$\text{Total Handshakes}=\frac{n(n-1)}{2}$$ যেখানে $n$ হলো উপস্থিত ব্যক্তির সংখ্যা। এখানে: $$n=15$$ তাহলে, $$\text{Total Handshakes}=\frac{15\times 14}{2}=\frac{210}{2}=105$$ অতএব, মোট করমর্দনের সংখ্যা হবে ১০৫টি।

ব্যাখ্যাঃ পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠনের জন্য প্রথম স্থানে 0 ছাড়া অন্য যেকোনো অঙ্ক বসতে পারে।

প্রথম স্থানে বসানোর জন্য 4টি বিকল্প আছে (1, 2, 3, 4)।

একবার একটি অঙ্ক প্রথম স্থানে বসে গেলে, বাকি চারটি স্থানে যেকোনো অঙ্ক বসানো যেতে পারে।

দ্বিতীয় স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে (0, 1, 2, 3, 4)।
তৃতীয় স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।
চতুর্থ স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।
পঞ্চম স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।

সুতরাং, মোট পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে:
$$4\times 5\times 5\times 5\times 5=4\times 5^4=4\times 625=2500$$

অতএব, 0, 1, 2, 3, 4 অঙ্কগুলি দ্বারা 2500টি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে।

সারাংশ: পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠনের জন্য প্রথম স্থানে 0 বাদে 4টি বিকল্প থাকে। এরপর বাকি চারটি স্থানে 5টি করে বিকল্প থাকায় মোট $4\times 5^4=2500$টি সংখ্যা গঠন করা যায়।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, অনুষ্ঠানে মোট $n$ জন লোক উপস্থিত ছিল।

প্রত্যেক ব্যক্তি অন্য $(n-1)$ জনের সাথে করমর্দন করতে পারবে। যদি আমরা প্রত্যেক ব্যক্তির করমর্দনের সংখ্যা গুণ করি, তাহলে মোট $n(n-1)$ টি করমর্দন হওয়ার কথা।

কিন্তু, এই পদ্ধতিতে প্রতিটি করমর্দনকে দুইবার গণনা করা হয়েছে (যেমন, A এবং B এর মধ্যে করমর্দনকে A এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার এবং B এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার গণনা করা হয়েছে)।

সুতরাং, প্রকৃত করমর্দনের সংখ্যা হবে $\frac{n(n-1)}{2}$।

প্রশ্নানুসারে, করমর্দনের সংখ্যা ৩০০। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

$$\frac{n(n-1)}{2}=300$$
$$n(n-1)=300\times 2$$
$$n(n-1)=600$$
$$n^2-n-600=0$$

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করতে পারি অথবা দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করতে পারি। উৎপাদকের জন্য, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল -৬০০ এবং যোগফল -১। সংখ্যা দুটি হল -২৫ এবং ২৪।

$$n^2-25n+24n-600=0$$

$$n(n-25)+24(n-25)=0$$

$$(n-25)(n+24)=0$$

সুতরাং, $n-25=0$ অথবা $n+24=0$.

যদি $n-25=0$, তাহলে $n=25$.
যদি $n+24=0$, তাহলে $n=-24$.

যেহেতু লোকের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n=25$.

অতএব, ঐ অনুষ্ঠানে মোট ২৫ জন লোক ছিল।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, ৫ জন পুরুষ থেকে ১ জন পুরুষ নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা:
$$C(5,1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})=\frac{5!}{1!(5-1)!}=\frac{5!}{1!4!}=\frac{5\times 4!}{1\times 4!}=5$$

এরপর, ৪ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা:
$$C(4,2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4\times 3\times 2!}{2\times 1\times 2!}=\frac{12}{2}=6$$

মোট কমিটি গঠনের উপায় সংখ্যা হল পুরুষ নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা এবং মহিলা নির্বাচন করার উপায় সংখ্যার গুণফল:
মোট প্রকার = $5\times 6=30$

সুতরাং, ৩০ প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, ${}^n{C}_r{=}^n{C}_k$ হলে, হয় $r=k$ অথবা $n=r+k$।

এখানে, ${}^n{C}_{12}{=}^n{C}_6$ দেওয়া আছে।

প্রথম শর্ত অনুযায়ী, $12=6$, যা সম্ভব নয়।

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী, $n=12+6$
$n=18$

সুতরাং, $n$ এর মান হলো $18$।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি হলো: ৪ জন মহিলা ও ৬ জন পুরুষের মধ্য থেকে ৪ সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে, যেখানে ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদা উপস্থিত থাকবেন।

প্রথমে মোট সদস্য সংখ্যা থেকে ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষকে বাদ দিতে হবে, কারণ তিনি কমিটিতে থাকবেনই।

• মোট পুরুষ = ৬ জন
  
• নির্দিষ্ট পুরুষ যিনি কমিটিতে থাকবেন = ১ জন
  
• অবশিষ্ট পুরুষ = ৬ - ১ = ৫ জন
  

কমিটিতে মোট সদস্য সংখ্যা = ৪ জন।
যেহেতু ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষ কমিটিতে থাকবেনই, তাই বাকি (৪ - ১) = ৩ জন সদস্য নির্বাচন করতে হবে।

এই ৩ জন সদস্যকে অবশিষ্ট ৪ জন মহিলা এবং ৫ জন পুরুষ (যারা নির্দিষ্ট পুরুষ নন) এর মধ্য থেকে নির্বাচন করতে হবে।
অর্থাৎ, মোট উপলব্ধ সদস্য = ৪ জন মহিলা + ৫ জন পুরুষ = ৯ জন।

এই ৯ জন থেকে ৩ জন সদস্য কত প্রকারে নির্বাচন করা যায় তা নির্ণয় করতে হবে। এটি হবে ${}^9{C}_3$।

${}^9{C}_3=\frac{9!}{3!(9-3)!}=\frac{9!}{3!6!}=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=3\times 4\times 7=84$

সুতরাং, কমিটিটি ৮৪ প্রকারে গঠন করা যেতে পারে।

ব্যাখ্যাঃ ১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি এক জাতীয় (একই রকম) এবং বাকি ($১০-২=৮$) টি ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে ৫টি করে বাছাই করতে হবে।

এখানে আমরা দুটি ক্ষেত্র বিবেচনা করতে পারি:

ক্ষেত্র ১: বাছাইকৃত ৫টি জিনিসের মধ্যে এক জাতীয় জিনিস ২টিই আছে।
যদি এক জাতীয় ২টি জিনিস নেওয়া হয়, তাহলে বাকি $৫-২=৩$ টি জিনিস নিতে হবে ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে।
এটি করার উপায় হলো: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3})$
$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3})=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8!}{3!5!}=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=8\times 7=56$ প্রকার।

ক্ষেত্র ২: বাছাইকৃত ৫টি জিনিসের মধ্যে এক জাতীয় কোনো জিনিস নেই (বা এক জাতীয় জিনিস ১টি আছে, যা এক্ষেত্রে ভিন্ন হিসেবে গণ্য হবে না কারণ তারা একই রকম)। অর্থাৎ, ৫টি জিনিসই ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস এবং এক জাতীয় ২টির মধ্যে থেকে ১টি নিয়ে মোট ৯টি ভিন্ন জিনিস থেকে নেওয়া হবে।
এটি আরও সহজভাবে ভাবা যায় যে, এক জাতীয় দুটি জিনিস থেকে ১টি (বা ০টি) নিয়ে এবং বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে বাকিগুলো নিয়ে।

আসুন অন্যভাবে চিন্তা করি, মোট ১০টি জিনিসকে দুটি ভাগে ভাগ করি:

• এক জাতীয় জিনিস: $E_1,E_2$ (যেখানে $E_1$ এবং $E_2$ একই রকম)
  
• ভিন্ন ভিন্ন জিনিস: $D_1,D_2,D_3,D_4,D_5,D_6,D_7,D_8$ (মোট ৮টি)
  

আমাদের ৫টি জিনিস বাছাই করতে হবে।

কেস ১: উভয় এক জাতীয় জিনিস বাছাই করা হয়েছে।
যদি $E_1,E_2$ উভয়ই নেওয়া হয়, তাহলে আর $5-2=3$টি জিনিস বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3})=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$

কেস ২: এক জাতীয় জিনিস থেকে একটি বাছাই করা হয়েছে।
যদি এক জাতীয় জিনিস থেকে একটি নেওয়া হয় (যেহেতু $E_1,E_2$ একই রকম, তাই একটি নেওয়া মানে "এক জাতীয় জিনিস" থেকে একটি নেওয়া), তাহলে আর $5-1=4$টি জিনিস বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4})=\frac{8!}{4!4!}=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$

কেস ৩: কোনো এক জাতীয় জিনিস বাছাই করা হয়নি।
যদি কোনো এক জাতীয় জিনিস না নেওয়া হয়, তাহলে ৫টি জিনিসই বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{8-5})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3})=56$

মোট বাছাই করার উপায় = (কেস ১ এর উপায়) + (কেস ২ এর উপায়) + (কেস ৩ এর উপায়)
মোট উপায় = $56+70+56=182$

সুতরাং, জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে ৫টি নিয়ে ১৮২ প্রকারে বাছাই করা যায়।

ব্যাখ্যাঃ গণিতটি নিচে সমাধান করা হলো:

মোট পুস্তক সংখ্যা = ১২টি
বাছাই করতে হবে = ৫টি
শর্ত: ২টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে।

যেহেতু ২টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে, তার মানে এই ২টি পুস্তক আমরা ইতিমধ্যেই বাছাই করে ফেলেছি।

তাহলে,
অবশিষ্ট পুস্তক যা থেকে বাছাই করতে হবে = $১২-২=১০$টি
অবশিষ্ট যতগুলো পুস্তক বাছাই করতে হবে = $৫-২=৩$টি

এখন, বাকি ১০টি পুস্তক থেকে ৩টি পুস্তক কত প্রকারে বাছাই করা যায়, তা নির্ণয় করতে হবে। এটি বিন্যাস নয়, সমাবেশ (combination) কারণ এখানে বাছাইয়ের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।

সূত্র: $C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

এখানে, $n=১০$ এবং $r=৩$।

$C(১০,৩)=\frac{১০!}{৩!(১০-৩)!}$
$=\frac{১০!}{৩!৭!}$
$=\frac{১০\times ৯\times ৮\times ৭!}{৩\times ২\times ১\times ৭!}$
$=\frac{১০\times ৯\times ৮}{৩\times ২\times ১}$
$=\frac{৭২০}{৬}$
$=১২০$

সুতরাং, ১২টি পুস্তক থেকে ৫টি পুস্তক যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে, তা ১২০ প্রকারে বাছাই করা যায়।

ব্যাখ্যাঃ এখানে ১৪ জন খেলোয়াড় আছেন এবং একটি ১১ জনের ক্রিকেট দল বাছাই করতে হবে। প্রশ্নটিতে বলা হয়েছে, নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ দল গঠন করতে হবে।

এর অর্থ হলো, অধিনায়কের পদটি নির্দিষ্ট হয়ে আছে এবং তাকে দলে অবশ্যই নিতে হবে।

সুতরাং, আমাদের আর ১৪ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন বাছাই করার দরকার নেই। আমরা জানি, একজন অধিনায়ক ইতিমধ্যেই নির্বাচিত হয়ে গেছেন।

এখন, বাকি থাকবে $১১-১=১০$ জন খেলোয়াড়কে বাছাই করা।
আর উপলব্ধ খেলোয়াড় থাকবে $১৪-১=১৩$ জন (কারণ নির্দিষ্ট একজন খেলোয়াড়কে (অধিনায়ক) আলাদা করে রাখা হয়েছে)।

তাহলে, ১৩ জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে ১০ জন খেলোয়াড়কে কতভাবে বাছাই করা যাবে, সেটিই নির্ণয় করতে হবে। এটি সমাবেশের (combination) একটি সমস্যা, কারণ খেলোয়াড়দের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।

সূত্রটি হলো $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
এখানে $n=১৩$ (মোট উপলব্ধ খেলোয়াড়) এবং $k=১০$ (বাছাই করার মতো খেলোয়াড়)।

$C(১৩,১০)=\frac{১৩!}{১০!(১৩-১০)!}$
$=\frac{১৩!}{১০!৩!}$
$=\frac{১৩\times ১২\times ১১\times ১০!}{১০!\times ৩\times ২\times ১}$
$=\frac{১৩\times ১২\times ১১}{৩\times ২\times ১}$
$=\frac{১৩\times ১২\times ১১}{৬}$

এখন, ১২ কে ৬ দিয়ে ভাগ করলে ২ হয়:
$=১৩\times ২\times ১১$
$=২৬\times ১১$
$=২৮৬$

সুতরাং, নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ ১১ জনের একটি ক্রিকেট দল ২৮৬ ভাবে বাছাই করা যাবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত:
- মোট বই = $12$
- $2$টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে।
- আমাদের $5$টি বই বাছাই করতে হবে।

ধাপ ১: ২টি বই সর্বদা বাছাই করা হয়েছে
যেহেতু $2$টি বই ইতোমধ্যেই বাছাই করা হয়েছে, বাকি $12-2=10$ বইয়ের মধ্যে থেকে $5-2=3$টি বই বাছাই করতে হবে।

ধাপ ২: $10$ বই থেকে $3$টি বই বাছাই করা
কোনো $n$ সংখ্যক আইটেম থেকে $r$ সংখ্যক আইটেম বাছাই করার জন্য কম্বিনেশন সূত্র হলো: $${}^n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$ এখানে, $n=10$ এবং $r=3$।
তাহলে: $${}^{10}{C}_3=\frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$$ ধাপ ৩: চূড়ান্ত উত্তর
যেহেতু $2$টি বই সর্বদা বাছাই করা আছে, $10$ বই থেকে $3$টি বই বাছাই করার $120$ পদ্ধতি রয়েছে।

উত্তর: $120$ প্রকারে বইগুলো বাছাই করা যাবে।