ব্যাখ্যাঃ কোনো $n$ সংখ্যক লোক যদি প্রত্যেকে একে অপরের সাথে একবার করমর্দন করে, তাহলে মোট করমর্দনের সংখ্যা হয়: $$\text{Total Handshakes}=\frac{n(n-1)}{2}$$ যেখানে $n$ হলো উপস্থিত ব্যক্তির সংখ্যা। এখানে: $$n=15$$ তাহলে, $$\text{Total Handshakes}=\frac{15\times 14}{2}=\frac{210}{2}=105$$ অতএব, মোট করমর্দনের সংখ্যা হবে ১০৫টি।

ব্যাখ্যাঃ পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠনের জন্য প্রথম স্থানে 0 ছাড়া অন্য যেকোনো অঙ্ক বসতে পারে।

প্রথম স্থানে বসানোর জন্য 4টি বিকল্প আছে (1, 2, 3, 4)।

একবার একটি অঙ্ক প্রথম স্থানে বসে গেলে, বাকি চারটি স্থানে যেকোনো অঙ্ক বসানো যেতে পারে।

দ্বিতীয় স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে (0, 1, 2, 3, 4)।
তৃতীয় স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।
চতুর্থ স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।
পঞ্চম স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।

সুতরাং, মোট পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে:
$$4\times 5\times 5\times 5\times 5=4\times 5^4=4\times 625=2500$$

অতএব, 0, 1, 2, 3, 4 অঙ্কগুলি দ্বারা 2500টি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে।

সারাংশ: পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠনের জন্য প্রথম স্থানে 0 বাদে 4টি বিকল্প থাকে। এরপর বাকি চারটি স্থানে 5টি করে বিকল্প থাকায় মোট $4\times 5^4=2500$টি সংখ্যা গঠন করা যায়।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, অনুষ্ঠানে মোট $n$ জন লোক উপস্থিত ছিল।

প্রত্যেক ব্যক্তি অন্য $(n-1)$ জনের সাথে করমর্দন করতে পারবে। যদি আমরা প্রত্যেক ব্যক্তির করমর্দনের সংখ্যা গুণ করি, তাহলে মোট $n(n-1)$ টি করমর্দন হওয়ার কথা।

কিন্তু, এই পদ্ধতিতে প্রতিটি করমর্দনকে দুইবার গণনা করা হয়েছে (যেমন, A এবং B এর মধ্যে করমর্দনকে A এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার এবং B এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার গণনা করা হয়েছে)।

সুতরাং, প্রকৃত করমর্দনের সংখ্যা হবে $\frac{n(n-1)}{2}$।

প্রশ্নানুসারে, করমর্দনের সংখ্যা ৩০০। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

$$\frac{n(n-1)}{2}=300$$
$$n(n-1)=300\times 2$$
$$n(n-1)=600$$
$$n^2-n-600=0$$

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করতে পারি অথবা দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করতে পারি। উৎপাদকের জন্য, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল -৬০০ এবং যোগফল -১। সংখ্যা দুটি হল -২৫ এবং ২৪।

$$n^2-25n+24n-600=0$$

$$n(n-25)+24(n-25)=0$$

$$(n-25)(n+24)=0$$

সুতরাং, $n-25=0$ অথবা $n+24=0$.

যদি $n-25=0$, তাহলে $n=25$.
যদি $n+24=0$, তাহলে $n=-24$.

যেহেতু লোকের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n=25$.

অতএব, ঐ অনুষ্ঠানে মোট ২৫ জন লোক ছিল।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, ৫ জন পুরুষ থেকে ১ জন পুরুষ নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা:
$$C(5,1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})=\frac{5!}{1!(5-1)!}=\frac{5!}{1!4!}=\frac{5\times 4!}{1\times 4!}=5$$

এরপর, ৪ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা:
$$C(4,2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4\times 3\times 2!}{2\times 1\times 2!}=\frac{12}{2}=6$$

মোট কমিটি গঠনের উপায় সংখ্যা হল পুরুষ নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা এবং মহিলা নির্বাচন করার উপায় সংখ্যার গুণফল:
মোট প্রকার = $5\times 6=30$

সুতরাং, ৩০ প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে।

ব্যাখ্যাঃ $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})=\frac{6!}{3!\cdot (6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3!}{3!\times 3\times 2}=20\text{ উপায়ে}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, ${}^n{C}_r{=}^n{C}_k$ হলে, হয় $r=k$ অথবা $n=r+k$।

এখানে, ${}^n{C}_{12}{=}^n{C}_6$ দেওয়া আছে।

প্রথম শর্ত অনুযায়ী, $12=6$, যা সম্ভব নয়।

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী, $n=12+6$
$n=18$

সুতরাং, $n$ এর মান হলো $18$।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি হলো: ৪ জন মহিলা ও ৬ জন পুরুষের মধ্য থেকে ৪ সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে, যেখানে ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদা উপস্থিত থাকবেন।

প্রথমে মোট সদস্য সংখ্যা থেকে ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষকে বাদ দিতে হবে, কারণ তিনি কমিটিতে থাকবেনই।

• মোট পুরুষ = ৬ জন
  
• নির্দিষ্ট পুরুষ যিনি কমিটিতে থাকবেন = ১ জন
  
• অবশিষ্ট পুরুষ = ৬ - ১ = ৫ জন
  

কমিটিতে মোট সদস্য সংখ্যা = ৪ জন।
যেহেতু ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষ কমিটিতে থাকবেনই, তাই বাকি (৪ - ১) = ৩ জন সদস্য নির্বাচন করতে হবে।

এই ৩ জন সদস্যকে অবশিষ্ট ৪ জন মহিলা এবং ৫ জন পুরুষ (যারা নির্দিষ্ট পুরুষ নন) এর মধ্য থেকে নির্বাচন করতে হবে।
অর্থাৎ, মোট উপলব্ধ সদস্য = ৪ জন মহিলা + ৫ জন পুরুষ = ৯ জন।

এই ৯ জন থেকে ৩ জন সদস্য কত প্রকারে নির্বাচন করা যায় তা নির্ণয় করতে হবে। এটি হবে ${}^9{C}_3$।

${}^9{C}_3=\frac{9!}{3!(9-3)!}=\frac{9!}{3!6!}=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=3\times 4\times 7=84$

সুতরাং, কমিটিটি ৮৪ প্রকারে গঠন করা যেতে পারে।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত:
- মোট বই = $12$
- $2$টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে।
- আমাদের $5$টি বই বাছাই করতে হবে।

ধাপ ১: ২টি বই সর্বদা বাছাই করা হয়েছে
যেহেতু $2$টি বই ইতোমধ্যেই বাছাই করা হয়েছে, বাকি $12-2=10$ বইয়ের মধ্যে থেকে $5-2=3$টি বই বাছাই করতে হবে।

ধাপ ২: $10$ বই থেকে $3$টি বই বাছাই করা
কোনো $n$ সংখ্যক আইটেম থেকে $r$ সংখ্যক আইটেম বাছাই করার জন্য কম্বিনেশন সূত্র হলো: $${}^n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$ এখানে, $n=10$ এবং $r=3$।
তাহলে: $${}^{10}{C}_3=\frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$$ ধাপ ৩: চূড়ান্ত উত্তর
যেহেতু $2$টি বই সর্বদা বাছাই করা আছে, $10$ বই থেকে $3$টি বই বাছাই করার $120$ পদ্ধতি রয়েছে।

উত্তর: $120$ প্রকারে বইগুলো বাছাই করা যাবে।