ব্যাখ্যাঃ কোনো $n$ সংখ্যক লোক যদি প্রত্যেকে একে অপরের সাথে একবার করমর্দন করে, তাহলে মোট করমর্দনের সংখ্যা হয়: $$\text{Total Handshakes}=\frac{n(n-1)}{2}$$ যেখানে $n$ হলো উপস্থিত ব্যক্তির সংখ্যা। এখানে: $$n=15$$ তাহলে, $$\text{Total Handshakes}=\frac{15\times 14}{2}=\frac{210}{2}=105$$ অতএব, মোট করমর্দনের সংখ্যা হবে ১০৫টি।

ব্যাখ্যাঃ পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠনের জন্য প্রথম স্থানে 0 ছাড়া অন্য যেকোনো অঙ্ক বসতে পারে।

প্রথম স্থানে বসানোর জন্য 4টি বিকল্প আছে (1, 2, 3, 4)।

একবার একটি অঙ্ক প্রথম স্থানে বসে গেলে, বাকি চারটি স্থানে যেকোনো অঙ্ক বসানো যেতে পারে।

দ্বিতীয় স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে (0, 1, 2, 3, 4)।
তৃতীয় স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।
চতুর্থ স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।
পঞ্চম স্থানে বসানোর জন্য 5টি বিকল্প আছে।

সুতরাং, মোট পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে:
$$4\times 5\times 5\times 5\times 5=4\times 5^4=4\times 625=2500$$

অতএব, 0, 1, 2, 3, 4 অঙ্কগুলি দ্বারা 2500টি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে।

সারাংশ: পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠনের জন্য প্রথম স্থানে 0 বাদে 4টি বিকল্প থাকে। এরপর বাকি চারটি স্থানে 5টি করে বিকল্প থাকায় মোট $4\times 5^4=2500$টি সংখ্যা গঠন করা যায়।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, অনুষ্ঠানে মোট $n$ জন লোক উপস্থিত ছিল।

প্রত্যেক ব্যক্তি অন্য $(n-1)$ জনের সাথে করমর্দন করতে পারবে। যদি আমরা প্রত্যেক ব্যক্তির করমর্দনের সংখ্যা গুণ করি, তাহলে মোট $n(n-1)$ টি করমর্দন হওয়ার কথা।

কিন্তু, এই পদ্ধতিতে প্রতিটি করমর্দনকে দুইবার গণনা করা হয়েছে (যেমন, A এবং B এর মধ্যে করমর্দনকে A এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার এবং B এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার গণনা করা হয়েছে)।

সুতরাং, প্রকৃত করমর্দনের সংখ্যা হবে $\frac{n(n-1)}{2}$।

প্রশ্নানুসারে, করমর্দনের সংখ্যা ৩০০। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

$$\frac{n(n-1)}{2}=300$$
$$n(n-1)=300\times 2$$
$$n(n-1)=600$$
$$n^2-n-600=0$$

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করতে পারি অথবা দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করতে পারি। উৎপাদকের জন্য, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল -৬০০ এবং যোগফল -১। সংখ্যা দুটি হল -২৫ এবং ২৪।

$$n^2-25n+24n-600=0$$

$$n(n-25)+24(n-25)=0$$

$$(n-25)(n+24)=0$$

সুতরাং, $n-25=0$ অথবা $n+24=0$.

যদি $n-25=0$, তাহলে $n=25$.
যদি $n+24=0$, তাহলে $n=-24$.

যেহেতু লোকের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n=25$.

অতএব, ঐ অনুষ্ঠানে মোট ২৫ জন লোক ছিল।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত:
- মোট বই = $12$
- $2$টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে।
- আমাদের $5$টি বই বাছাই করতে হবে।

ধাপ ১: ২টি বই সর্বদা বাছাই করা হয়েছে
যেহেতু $2$টি বই ইতোমধ্যেই বাছাই করা হয়েছে, বাকি $12-2=10$ বইয়ের মধ্যে থেকে $5-2=3$টি বই বাছাই করতে হবে।

ধাপ ২: $10$ বই থেকে $3$টি বই বাছাই করা
কোনো $n$ সংখ্যক আইটেম থেকে $r$ সংখ্যক আইটেম বাছাই করার জন্য কম্বিনেশন সূত্র হলো: \[ ^nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] এখানে, $n=10$ এবং $r=3$।
তাহলে: \[ ^{10}C3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \] ধাপ ৩: চূড়ান্ত উত্তর
যেহেতু $2$টি বই সর্বদা বাছাই করা আছে, $10$ বই থেকে $3$টি বই বাছাই করার $120$ পদ্ধতি রয়েছে।

উত্তর: $120$ প্রকারে বইগুলো বাছাই করা যাবে।