যদি (25)^ 2x+3 = 5^ 3x+6 হয় তবে x= কত?

প্রশ্নঃ $\log_{\sqrt{8}} x = 3 \frac{1}{3}$ হলে x এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৬তম ]

ক. 32

খ.

\sqrt{8}

ক. 3

খ. 32

গ.

\sqrt{8}

ক. 32

খ. 8

গ. 3

ঘ.

\sqrt{8}

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করব:

\log_{\sqrt{8}} x = 3 \frac{1}{3}

1. ভগ্নাংশকে দশমিক বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করি:

3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3}

2. লগারিদমিক সংজ্ঞা অনুযায়ী:

x = (\sqrt{8})^{\frac{10}{3}}

3. $\sqrt{8}$ লিখি $\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}}$ :

x = (8^{\frac{1}{2}})^{\frac{10}{3}}

4. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি:

x = 8^{(\frac{1}{2} \times \frac{10}{3})}

x = 8^{\frac{10}{6}} = 8^{\frac{5}{3}}

5. $8 = 2^{3}$ হিসাবে প্রকাশ করি:

x = (2^{3})^{\frac{5}{3}}

6. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি:

x = 2^{(3 \times \frac{5}{3})}

x = 2^{5}

x = 32

উত্তর:

32

প্রশ্নঃ যদি $l o g (\frac{a}{b}) + l o g (\frac{b}{a}) = l o g (a + b)$ হয়, তবে-

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. a + b = 1

খ. a – b = 1

গ. a = b

ঘ. a² – b² = 1

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে সমাধান করবো:

\log (\frac{a}{b}) + \log (\frac{b}{a}) = \log (a + b)

ধাপে ধাপে সমাধান:

১. Logarithmic সূত্র অনুযায়ী,

\log x + \log y = \log (x \cdot y)

তাহলে বামপক্ষকে পরিবর্তন করি:

\log (\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}) = \log (a + b)

২. সরলীকরণ:

\log (1) = \log (a + b)

৩. যেহেতু $\log 1 = 0$ এবং লগarithemic ফাংশন এক-একভাবে কাজ করে, তাই পাই:

a + b = 1

সঠিক উত্তর: কঃ a + b = 1

প্রশ্নঃ $2^{x + 7} = 4^{x + 2}$ হলে x এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. 2

খ. 3

গ. 4

ঘ. 6

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি সরলীকরণ করবো:

2^{x + 7} = 4^{x + 2}

ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
আমরা জানি,

4 = 2^{2}

, তাই $4^{x + 2}$ -কে $2$ এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়:

2^{x + 7} = (2^{2})^{x + 2}

এখন, ঘাতের নিয়ম অনুসারে:

(2^{2})^{x + 2} = 2^{2 (x + 2)}

তাহলে, সমীকরণ দাঁড়ায়:

2^{x + 7} = 2^{2 x + 4}

x + 7 = 2 x + 4

x + 7 - 4 = 2 x

x + 3 = 2 x

3 = 2 x - x

x = 3

সঠিক উত্তর:

x = 3

প্রশ্নঃ $\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} + 1 = 5$ হলে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৬তম ]

ক. 3

খ. 4

গ. 5

ঘ. 6

ব্যাখ্যাঃ

\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} + 1 = 5

\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} = 5 - 1

\frac{1}{2} \times 2^{x - 3} = 4

2^{x - 3} = 8

2^{x - 3} = 2^{3}

x - 3 = 3

x = 3 + 3

x = 6

সুতরাং,

x

এর মান হলো 6।

প্রশ্নঃ $2 l o g 105 + l o g 1036 - l o g 109 = ?$

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক. 2

খ. 100

গ. 37

ঘ. 4.6

ব্যাখ্যাঃ

\begin{aligned} = 2 \log_{10} 5 + \log_{10} 36 - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (5^{2}) + \log_{10} 36 - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} 25 + \log_{10} 36 - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (25 \times 36) - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (900) - \log_{10} 9 \\ = \log_{10} (\frac{900}{9}) \\ = \log_{10} (100) \\ = \log_{10} (10^{2}) \\ = 2 \log_{10} (10) \\ = 2 \times 1 \\ = 2 \end{aligned}

প্রশ্নঃ $l o g 10 x = - 1$ হয়, তাহলে নিচের কোনটি $x$ এর মান?

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক. 0.1

খ. 0.01

গ.

\frac{1}{10000}

ঘ. 0.001

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে $x$ এর মান নির্ণয় করতে যাচ্ছি।

ধাপে ধাপে সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

\log 10 x = - 1

১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা

লগারিদম সংজ্ঞা অনুযায়ী—

10^{\log 10 x} = 10^{- 1}

যেহেতু $\log 10 x$ কেবলমাত্র $x$ কে প্রকাশ করে, তাই—

x = 10^{- 1}

২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা

x = \frac{1}{10}

সুতরাং, $x = \frac{1}{10}$ বা $0.1$ ।

প্রশ্নঃ যদি $\sqrt[4]{x^{3}} = 2$ হয়, তাহলে $x^{\frac{3}{2}} = ?$

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক. 8

খ. 16

গ. 4

ঘ. 64

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে,

\sqrt[4]{x^{3}} = 2

সমীকরণটি সমাধান করা যাক।

\sqrt[4]{x^{3}} = x^{\frac{3}{4}}

x^{\frac{3}{4}} = 2

(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}

x = 2^{\frac{4}{3}}

এখন, আমাদের

x^{\frac{3}{2}}

এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা

x

এর মানটি এখানে বসাব:

x^{\frac{3}{2}} = (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{2}}

(a^{m})^{n} = a^{m \times n}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{3} \times \frac{3}{2}}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4 \times 3}{3 \times 2}}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{12}{6}}

x^{\frac{3}{2}} = 2^{2}

x^{\frac{3}{2}} = 4

অতএব, যদি

\sqrt[4]{x^{3}} = 2

হয়, তাহলে

x^{\frac{3}{2}} = 4

.

উত্তর:

4

প্রশ্নঃ $2^{l o g_{2} 3 + l o g_{2} 5}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৩তম ]

ক. 8

খ. 2

গ. 15

ঘ. 10

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত প্রকাশটি সরলীকরণ করতে পারি:

2^{\log_{2} 3 + \log_{2} 5}

ধাপে ধাপে সমাধান:

ধাপ ১: লগারিদমের যোগের সূত্র প্রয়োগ

\log_{b} x + \log_{b} y = \log_{b} (x \times y)

\log_{2} 3 + \log_{2} 5 = \log_{2} (3 \times 5) = \log_{2} 15

ধাপ ২: সূচকের লগারিদম সূত্র প্রয়োগ

a^{\log_{a} x} = x

এটি প্রয়োগ করলে,

2^{\log_{2} 15} = 15

চূড়ান্ত উত্তর:

15

প্রশ্নঃ $4^{x} + 4^{1 - x} = 4$ হলে, $x =$ কত?

[ বিসিএস ৪৩তম ]

ক.

\frac{1}{3}

খ.

\frac{1}{2}

ক.

\frac{1}{4}

খ.

\frac{1}{3}

গ.

\frac{1}{2}

ক.

\frac{1}{4}

খ.

\frac{1}{3}

গ.

\frac{1}{2}

ঘ.

1

উত্তরঃ

\frac{1}{2}

ব্যাখ্যাঃ

4^{x} + 4^{1 - x} = 4

আমরা $4^{1 - x}$ কে $\frac{4}{4^{x}}$ হিসেবে লিখতে পারি:

4^{x} + \frac{4}{4^{x}} = 4

ধরুন, $y = 4^{x}$ , তাহলে সমীকরণটি হয়:

y + \frac{4}{y} = 4

y^{2} + 4 = 4 y

y^{2} - 4 y + 4 = 0

(y - 2)^{2} = 0

y - 2 = 0

y = 2

4^{x} = 2

x = \log_{4} 2

আমরা জানি, $\log_{4} 2 = \frac{1}{2}$

চূড়ান্ত উত্তর:

x = \frac{1}{2}

প্রশ্নঃ $l o g_{x} \frac{1}{9} = - 2$ হলে x এর মান কোনটি?

[ বিসিএস ৪২তম ]

ক. 3

খ.

\frac{1}{3}

ক. 3

খ.

\frac{1}{3}

গ. 2

ক. 3

খ. 2

গ.

\frac{1}{3}

ঘ.

- \frac{1}{3}

ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমিক ফর্মকে সূচকীয় (exponential) ফর্মে রূপান্তর করি:

x^{- 2} = \frac{1}{9}

\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{9}

x^{2} = 9

x = \pm 3

ভিত্তির শর্ত পরীক্ষা

লগারিদমের ভিত্তি (

x

) ধনাত্মক হতে হয়, তাই $x = - 3$ গ্রহণযোগ্য নয়।
তাই $x = 3$ হল সঠিক উত্তর।

প্রশ্নঃ $x + 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} = 0$ হলে, $x^{3} + 6$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

6 x

খ. 4

ক.

6 x

খ. 4

গ. 8

ক.

4 x

খ.

6 x

গ. 4

ঘ. 8

উত্তরঃ

6 x

ব্যাখ্যাঃ

x = - (2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}})

x^{3} = - ((2^{\frac{1}{3}})^{3} + (2^{\frac{2}{3}})^{3} + 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot (2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}))

x^{3} = - (2 + 4 + 3 \cdot 2 \cdot (- x))

x^{3} = - (6 - 6 x)

x^{3} = - 6 + 6 x

x^{3} + 6 = 6 x

প্রশ্নঃ $5^{x} + {8.5}^{x} + {16.5}^{x} = 1$ হলে, $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

- \frac{1}{2}

খ.

- 2

ক.

- 1

খ.

- \frac{1}{2}

গ.

- 2

ক.

- 3

খ.

- 2

গ.

- 1

ঘ.

- \frac{1}{2}

উত্তরঃ

- 2

ব্যাখ্যাঃ

5^{x} + {8.5}^{x} + {16.5}^{x} = 1

5^{x} + (2^{3} \cdot 5^{x}) + (2^{4} \cdot 5^{x}) = 1

5^{x} (1 + 8 + 16) = 1

5^{x} \times 25 = 1

5^{x} = \frac{1}{25}

5^{x} = 5^{- 2}

সুতরাং, $x = - 2$ ।

প্রশ্নঃ $l o g_{2} l o g_{\sqrt{e}} e^{2} = ?$

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

1

খ.

2

ক.

2

খ.

- 2

গ.

1

ক.

- 2

খ.

- 1

গ.

1

ঘ.

2

উত্তরঃ

2

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ভিতরের লগারিদমটা আগে সমাধান করি:

\log_{\sqrt{e}} e^{2}

এখানে

\sqrt{e} = e^{1 / 2}

, তাই আমরা পরিবর্তন করি:

\log_{e^{1 / 2}} e^{2}

লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী:

\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}

= \frac{\log_{e} e^{2}}{\log_{e} e^{1 / 2}} = \frac{2}{1 / 2} = 4

ধাপ ২: এখন আসে বাইরের লগারিদম:

\log_{2} 4 = 2

উত্তর: ঘঃ 2

প্রশ্নঃ $x^{x^{\sqrt{x}}} = (x \sqrt{x})^{x}$ হয়, তবে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪০তম ]

ক.

\frac{4}{9}

খ.

\frac{9}{4}

ক.

\frac{4}{9}

খ.

\frac{9}{4}

গ.

\frac{2}{3}

ক.

\frac{3}{2}

খ.

\frac{4}{9}

গ.

\frac{9}{4}

ঘ.

\frac{2}{3}

উত্তরঃ

\frac{9}{4}

ব্যাখ্যাঃ

প্রশ্নঃ কোন শর্তে $l o g_{a} 1 = 0 ?$

[ বিসিএস ৪০তম ]

ক.

a > 0, a \neq 1

খ.

a \neq 0, a > 1

ক.

a > 0, a = 1

খ.

a > 0, a \neq 1

গ.

a \neq 1, a < 0

ক.

a > 0, a \neq 1

খ.

a \neq 0, a > 1

গ.

a > 0, a = 1

ঘ.

a \neq 1, a < 0

উত্তরঃ

a > 0, a \neq 1

ব্যাখ্যাঃ লগারিদমের মৌলিক সূত্র অনুযায়ী,

\log_{a} 1 = 0 কারণ a^{0} = 1

এটি তখনই বৈধ যখন বেস

a

এর মান হয় ধনাত্মক এবং ১ এর সমান নয়, অর্থাৎ:

a > 0 এবং a \neq 1

প্রশ্নঃ $125 (\sqrt{5})^{2 x} = 1$ হলে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৯তম ]

ক.

7

খ.

- 3

ক.

3

খ.

- 3

গ.

9

ক.

3

খ.

- 3

গ.

7

ঘ.

9

উত্তরঃ

- 3

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

125 (\sqrt{5})^{2 x} = 1

প্রথমে,

125

কে

5

এর ঘাত হিসেবে লিখি:

125 = 5^{3}

এবং

\sqrt{5}

কে

5

এর ঘাত হিসেবে লিখি:

\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}

এখন সমীকরণে মানগুলো বসাই:

5^{3} \cdot (5^{\frac{1}{2}})^{2 x} = 1

5^{3} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2 x} = 1

5^{3} \cdot 5^{x} = 1

ঘাতের নিয়ম অনুযায়ী,

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

, তাই:

5^{3 + x} = 1

যেহেতু

1

কে যেকোনো সংখ্যার

0

ঘাত হিসেবে লেখা যায় (

a^{0} = 1

), আমরা

1

কে

5^{0}

হিসেবে লিখব:

5^{3 + x} = 5^{0}

এখন, যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি একই (5), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:

3 + x = 0

x = - 3

সুতরাং,

x

এর মান হলো

- 3

।

প্রশ্নঃ $l o g_{x} (\frac{1}{8}) = - 2$ হলে, $x =$ কত?

[ বিসিএস ৩৮তম ]

ক.

2 \sqrt{2}

খ. 2

ক. 2

খ. 4

গ.

2 \sqrt{2}

ক. 2

খ.

\sqrt{2}

গ.

2 \sqrt{2}

ঘ. 4

উত্তরঃ

2 \sqrt{2}

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে,

\log_{x} (\frac{1}{8}) = - 2

।

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি

\log_{b} a = c

হয়, তাহলে

b^{c} = a

।

এই সংজ্ঞাটি প্রয়োগ করে আমরা পাই:

x^{- 2} = \frac{1}{8}

এখন, ঋণাত্মক ঘাতকে ধনাত্মক ঘাতকে পরিবর্তন করি:

\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{8}

উভয় পক্ষকে উল্টিয়ে পাই:

x^{2} = 8

x

এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষের বর্গমূল করি:

x = \sqrt{8}

x = \sqrt{4 \times 2}

x = 2 \sqrt{2}

যেহেতু ভিত্তি

x

অবশ্যই ধনাত্মক হবে (লগারিদমের শর্ত অনুযায়ী), তাই আমরা শুধু ধনাত্মক বর্গমূলটি নিব।

সুতরাং,

x = 2 \sqrt{2}

।

প্রশ্নঃ $2^{x} + 2^{1 - x} = 3$ হলে, $x =$ কত?

[ বিসিএস ৩৮তম ]

ক. (1, 2)

খ. (0, 2)

গ. (1, 3)

ঘ. (0, 1)

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে,

2^{x} + 2^{1 - x} = 3

।

আমরা

2^{1 - x}

কে এভাবে লিখতে পারি:

2^{1 - x} = \frac{2^{1}}{2^{x}} = \frac{2}{2^{x}}

।

এখন সমীকরণটিকে পুনরায় লিখি:

2^{x} + \frac{2}{2^{x}} = 3

ধরি,

y = 2^{x}

। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

y + \frac{2}{y} = 3

এখন উভয় পক্ষকে

y

দ্বারা গুণ করি (যেহেতু

y = 2^{x}

,

y

এর মান কখনো ০ হতে পারে না):

y^{2} + 2 = 3 y

সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে লিখি:

y^{2} - 3 y + 2 = 0

এই দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:

y^{2} - 2 y - y + 2 = 0

y (y - 2) - 1 (y - 2) = 0

(y - 1) (y - 2) = 0

সুতরাং,

y - 1 = 0

অথবা

y - 2 = 0

।

কেস ১: $y - 1 = 0$

y = 1

আমরা ধরেছিলাম

y = 2^{x}

।

2^{x} = 1

আমরা জানি

2^{0} = 1

।
সুতরাং,

x = 0

।

কেস ২: $y - 2 = 0$

y = 2

আমরা ধরেছিলাম

y = 2^{x}

।

2^{x} = 2

আমরা জানি

2^{1} = 2

।
সুতরাং,

x = 1

।

অতএব,

x

এর মান হলো

0

অথবা

1

।

প্রশ্নঃ $l o g_{x} (\frac{3}{2}) = - \frac{1}{2}$ হলে, $x$ -এর মান-

[ বিসিএস ৩৭তম ]

ক.

\frac{4}{9}

খ.

\sqrt{\frac{3}{2}}

ক.

\frac{4}{9}

খ.

\sqrt{\frac{2}{3}}

গ.

\frac{9}{4}

ক.

\frac{4}{9}

খ.

\frac{9}{4}

গ.

\sqrt{\frac{3}{2}}

ঘ.

\sqrt{\frac{2}{3}}

উত্তরঃ

\frac{4}{9}

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ:

\log_{x} (\frac{3}{2}) = - \frac{1}{2}

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি

\log_{b} a = c

হয়, তাহলে

b^{c} = a

লেখা যায়।

এই সংজ্ঞা ব্যবহার করে, আমরা প্রদত্ত সমীকরণকে এভাবে লিখতে পারি:

x^{- \frac{1}{2}} = \frac{3}{2}

আমরা জানি যে

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

। সুতরাং,

\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}

আমরা আরও জানি যে

a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}

। সুতরাং,

\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2}

এখন

x

-এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষকে উল্টে দিই:

\sqrt{x} = \frac{2}{3}

এবার

x

-এর মান পেতে উভয় পক্ষকে বর্গ করি:

(\sqrt{x})^{2} = {(\frac{2}{3})}^{2}

x = \frac{2^{2}}{3^{2}}

x = \frac{4}{9}

সুতরাং,

x

-এর মান $\frac{4}{9}$ ।

প্রশ্নঃ $l o g_{\sqrt{3}} 81$ কত?

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. 4

খ. 8

গ.

27 \sqrt{3}

ক. 4

খ.

27 \sqrt{3}

গ. 8

ঘ.

\frac{1}{8}

ব্যাখ্যাঃ আমরা

l o g_{\sqrt{3}} 81

-এর মান নির্ণয় করব।

ধরি,

l o g_{\sqrt{3}} 81 = y

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, এর অর্থ হলো:

(\sqrt{3})^{y} = 81

এখন, উভয় পক্ষকে

3

-এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করি:

\sqrt{3} = 3^{1 / 2}

81 = 3^{4}

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়ায়:

(3^{1 / 2})^{y} = 3^{4}

3^{(1 / 2) y} = 3^{4}

যেহেতু ভিত্তি (base) উভয় পাশে একই (

3

), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:

\frac{1}{2} y = 4

y = 4 \times 2

y = 8

সুতরাং,

l o g_{\sqrt{3}} 81

এর মান হলো ৮।

প্রশ্নঃ $\sqrt{১ ৫ . ৬ ০ ২ ৫} = ?$

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. ৩.৮৫

খ. ৩.৭৫

গ. ৩.৯৫

ঘ. ৩.৬৫

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে দশমিক বাদ দিয়ে সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করি, অর্থাৎ

\sqrt{১ ৫ ৬ ০ ২ ৫}

।
যেহেতু সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক ৫, তাই এর বর্গমূলের শেষ অঙ্ক ৫ হবে।
আমরা জানি

395^{2} = 156025

।

এখন, আসল সংখ্যাটিতে দশমিক বিন্দুর পর ৪টি অঙ্ক আছে। তাই বর্গমূলে দশমিক বিন্দুর পর

৪ \div ২ = ২

টি অঙ্ক থাকবে।

সুতরাং,

\sqrt{১ ৫ . ৬ ০ ২ ৫} = ৩ . ৯ ৫

অতএব, $\sqrt{১৫.৬০২৫} = ৩.৯৫$।

প্রশ্নঃ $\sqrt{- 8} \times \sqrt{- 2} =$ কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

- 4

খ.

- 4 i

ক.

- 4

খ.

4 i

গ.

- 4 i

ক. 4

খ.

4 i

গ.

- 4

ঘ.

- 4 i

উত্তরঃ

- 4

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি,

\sqrt{- 1} = i

(কাল্পনিক একক)।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\sqrt{- 8} = \sqrt{8 \times (- 1)} = \sqrt{8} \times \sqrt{- 1} = \sqrt{4 \times 2} \times i = 2 \sqrt{2} i

এবং,

\sqrt{- 2} = \sqrt{2 \times (- 1)} = \sqrt{2} \times \sqrt{- 1} = \sqrt{2} i

এখন, এদের গুণফল হবে:

\sqrt{- 8} \times \sqrt{- 2} = (2 \sqrt{2} i) \times (\sqrt{2} i)

= 2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \times (i \times i)

= 2 \times 2 \times i^{2}

আমরা জানি,

i^{2} = - 1

.

সুতরাং,

= 4 \times (- 1)

= - 4

অতএব,

\sqrt{- 8} \times \sqrt{- 2} = - 4

প্রশ্নঃ $x^{- 3} - 0.001 = 0$ হলে, $x^{2}$ এর মান-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক.

\frac{1}{10}

খ. 100

ক. 100

খ.

\frac{1}{10}

গ.

\frac{1}{100}

ক. 100

খ.

\frac{1}{10}

গ. 10

ঘ.

\frac{1}{100}

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে সমীকরণটি:

x^{- 3} - 0.001 = 0

আমরা

x^{- 3}

কে

\frac{1}{x^{3}}

লিখতে পারি।
এবং

0.001

কে

\frac{1}{1000}

লিখতে পারি।

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{1000} = 0

\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{1000}

উভয় পক্ষের হর তুলনা করে পাই:

x^{3} = 1000

এখন

x

এর মান বের করি:

x = \sqrt[3]{1000}

x = 10

প্রশ্নে

x^{2}

এর মান চাওয়া হয়েছে।

x^{2} = (10)^{2}

x^{2} = 100

সুতরাং, $x^{2}$ এর মান ১০০।

প্রশ্নঃ $l o g_{a} (\frac{1}{9})$ এর মান-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. 2

খ. -2

গ. 3

ঘ. -3

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি,

\frac{1}{9} = 9^{- 1}

।
তাহলে, এক্সপ্রেশনটি দাঁড়ায়:

l o g_{a} (9^{- 1})

লগারিদমের একটি ধর্ম হলো

l o g_{b} (M^{P}) = P \cdot l o g_{b} (M)

।
এই ধর্মটি প্রয়োগ করলে পাই:

l o g_{a} (9^{- 1}) = - 1 \cdot l o g_{a} (9)

বা,

- l o g_{a} (9)

যদি

a = 9

হয়, তবে:

l o g_{9} (\frac{1}{9}) = l o g_{9} (9^{- 1}) = - 1 \cdot l o g_{9} (9)

আমরা জানি

l o g_{b} (b) = 1

, তাই

l o g_{9} (9) = 1

।
সুতরাং,

- 1 \times 1 = - 1

।

যদি

a = 3

হয়, তবে:

l o g_{3} (\frac{1}{9}) = l o g_{3} (3^{- 2}) = - 2 \cdot l o g_{3} (3)

সুতরাং,

- 2 \times 1 = - 2

।

সাধারণভাবে, $l o g_{a} (\frac{1}{9})$ এর মান হলো $- l o g_{a} (9)$ ।

একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মানের জন্য,

a

এর সুনির্দিষ্ট মান প্রয়োজন।

প্রশ্নঃ $l o g_{a} x = 1, l o g_{a} y = 2$ এবং $l o g_{a} z = 3$ হলে, $l o g_{a} (\frac{x^{3} y^{2}}{z})$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. 1

খ. 2

গ. 4

ঘ. 5

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:

l o g_{a} x = 1

l o g_{a} y = 2

l o g_{a} z = 3

আমাদেরকে

l o g_{a} (\frac{x^{3} y^{2}}{z})

এর মান নির্ণয় করতে হবে।

লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী:
১.

l o g_{b} (\frac{M}{N}) = l o g_{b} M - l o g_{b} N

২.

l o g_{b} (M N) = l o g_{b} M + l o g_{b} N

৩.

l o g_{b} (M^{P}) = P \cdot l o g_{b} M

প্রথমে, ভাগের নিয়মটি প্রয়োগ করি:

l o g_{a} (\frac{x^{3} y^{2}}{z}) = l o g_{a} (x^{3} y^{2}) - l o g_{a} z

এবার গুণের নিয়মটি প্রয়োগ করি:

l o g_{a} (x^{3} y^{2}) - l o g_{a} z = (l o g_{a} x^{3} + l o g_{a} y^{2}) - l o g_{a} z

এখন পাওয়ারের নিয়মটি প্রয়োগ করি:

(l o g_{a} x^{3} + l o g_{a} y^{2}) - l o g_{a} z = (3 \cdot l o g_{a} x + 2 \cdot l o g_{a} y) - l o g_{a} z

এবার প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে দিই:

(3 \cdot 1 + 2 \cdot 2) - 3

= (3 + 4) - 3

= 7 - 3

= 4

সুতরাং, $l o g_{a} (\frac{x^{3} y^{2}}{z})$ এর মান হলো $4$ ।

প্রশ্নঃ $\sqrt{169}$ is equal to -

[ বিসিএস ৩৪তম ]

ক. 11

খ. 13

গ. 15

ঘ. 17

ব্যাখ্যাঃ

\sqrt{169}

এর মান হলো ১৩।

প্রশ্নঃ $\frac{(5^{n + 2} + 35 \times 5^{n - 1})}{(4 \times 5^{n})}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৪তম ]

ক. 4

খ. 8

গ. 5

ঘ. 7

ব্যাখ্যাঃ :
প্রদত্ত রাশিটি হলো

\frac{(5^{n + 2} + 35 \times 5^{n - 1})}{(4 \times 5^{n})}

প্রথমে আমরা লবকে (numerator) সরল করি:

5^{n + 2} + 35 \times 5^{n - 1}

= 5^{n - 1 + 3} + 35 \times 5^{n - 1}

= 5^{n - 1} \times 5^{3} + 35 \times 5^{n - 1}

= 5^{n - 1} \times (125) + 35 \times 5^{n - 1}

= 5^{n - 1} (125 + 35)

= 5^{n - 1} (160)

এবার আমরা হরকে (denominator) সরল করি:

4 \times 5^{n}

= 4 \times 5^{n - 1 + 1}

= 4 \times 5^{n - 1} \times 5^{1}

= 4 \times 5 \times 5^{n - 1}

= 20 \times 5^{n - 1}

এখন, লব ও হরকে একত্রিত করে পাই:

\frac{160 \times 5^{n - 1}}{20 \times 5^{n - 1}}

উভয় পক্ষ থেকে

5^{n - 1}

কেটে দিলে পাই:

\frac{160}{20} = ৮

সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো ৮।

প্রশ্নঃ $(\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{4})^{6}$ = কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক. 12

খ. 48

গ. 36

ঘ. 144

ব্যাখ্যাঃ

⟹ (\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{4})^{৬}

⟹ (\sqrt[৩]{৩ \times ৪})^{৬}

⟹ (\sqrt[৩]{১ ২})^{৬}

⟹ (১ ২^{\frac{১}{৩}})^{৬}

⟹ ১ ২^{(\frac{১}{৩} \times ৬)}

⟹ ১ ২^{২}

⟹ ১ ২ \times ১ ২ = ১ ৪ ৪

অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান হলো ১৪৪।

প্রশ্নঃ যদি $(\frac{a}{b})^{x - 3} = (\frac{b}{a})^{x - 5}$ হয় তবে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক. 8

খ. 3

গ. 5

ঘ. 4

ব্যাখ্যাঃ

(\frac{a}{b})^{x - 3} = (\frac{b}{a})^{x - 5}

আমরা জানি যে,

(\frac{b}{a})^{- 1} = \frac{a}{b}

সুতরাং,

(\frac{b}{a})^{x - 5}

কে লেখা যায়

(\frac{a}{b})^{- (x - 5)}

⟹ (\frac{a}{b})^{x - 3} = (\frac{a}{b})^{- (x - 5)}

উভয় পাশে ভিত্তি

(\frac{a}{b})

সমান হওয়ায়, আমরা সূচকগুলোকে সমান লিখতে পারি:

x - 3 = - (x - 5)

x - 3 = - x + 5

x + x = 5 + 3

2 x = 8

x = \frac{8}{2}

x = 4

প্রশ্নঃ $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{3}}} =$ কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক. a

খ.

a^{\frac{1}{3}}

ক. a

খ.

a^{\frac{1}{3}}

গ. 1

ক. a

খ. 1

গ.

a^{\frac{1}{3}}

ঘ.

a^{3}

উত্তরঃ

a^{\frac{1}{3}}

ব্যাখ্যাঃ
প্রথমে ভিতরের বর্গমূলটি সমাধান করা যাক:

\sqrt[3]{a^{3}} = a^{\frac{৩}{৩}} = a^{১} = a

এবার এই ফলাফলটিকে বাইরের বর্গমূলের মধ্যে বসানো যাক:

\sqrt[3]{a}

যেহেতু

\sqrt[3]{a}

এর মান কোনো পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই এটিকেই আমরা এভাবে লিখতে পারি:

a^{\frac{১}{৩}}

প্রশ্নঃ $4^{x} + 4^{x} + 4^{x} + 4^{x}$ এর মান নিচের কোনটি?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক.

4^{4 x}

খ.

2^{2 x + 2}

ক.

2^{2 x + 2}

খ.

4^{4 x}

গ.

2^{8 x}

ক.

16^{x}

খ.

4^{4 x}

গ.

2^{2 x + 2}

ঘ.

2^{8 x}

উত্তরঃ

2^{2 x + 2}

ব্যাখ্যাঃ

৪^{x} + ৪^{x} + ৪^{x} + ৪^{x}

= ৪ \times ৪^{x}

= ৪^{1} \times ৪^{x}

= ৪^{1 + x}

প্রশ্নঃ $l o g_{2} \frac{1}{32}$ এর মান –

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক.

- 5

খ.

\frac{1}{25}

ক.

\frac{1}{25}

খ.

- 5

গ.

\frac{- 1}{5}

ক.

\frac{1}{25}

খ.

- 5

গ.

\frac{1}{5}

ঘ.

\frac{- 1}{5}

উত্তরঃ

- 5

ব্যাখ্যাঃ

l o g_{2} \frac{1}{32}

= l o g_{2} \frac{1}{2^{5}}

= l o g_{2} 2^{- 5}

= - 5 l o g_{2} 2

= - 5 \times 1

= -5$

প্রশ্নঃ $(\sqrt{3} . \sqrt{5})^{4}$ - এর মান কত?

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক. 30

খ. 60

গ. 225

ঘ. 15

ব্যাখ্যাঃ

(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^{4} = (\sqrt{15})^{4}

এখন,

(\sqrt{15})^{4}

কে লিখতে পারি:

(\sqrt{15})^{4} = (\sqrt{15})^{2} \cdot (\sqrt{15})^{2}

এখন,

(\sqrt{15})^{2} = 15

হয়, তাই:

(\sqrt{15})^{2} \cdot (\sqrt{15})^{2} = 15 \cdot 15 = 225

সুতরাং,

(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^{4} = 225

প্রশ্নঃ $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}$ সমান-

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক.

\sqrt{3} + 2

খ.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ক.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

খ.

8 - \sqrt{2}

গ.

\sqrt{3} + \sqrt{2}

ক.

\sqrt{3} + \sqrt{2}

খ.

8 - \sqrt{2}

গ.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ঘ.

\sqrt{3} + 2

উত্তরঃ

\sqrt{3} - \sqrt{2}

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ভগ্নাংশটি সরলীকরণ করব:

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}

### ধাপ ১: হর থেকে ঐকিক পদ সরানো (যূক্পদ মুক্ত করা) হরকে যূক্পদ মুক্ত করতে আমরা সঙ্গতি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করব। সঙ্গতি ভগ্নাংশ হবে $\sqrt{6} - 2$ , তাই আমরা হর ও লব দুটোতেই এটি দ্বারা গুণ করবো:

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \times \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} - 2}

### ধাপ ২: হরের গুণফল নির্ণয়

(\sqrt{6} + 2) (\sqrt{6} - 2)

এটি $a^{2} - b^{2}$ সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

6 - 4 = 2

অর্থাৎ, হর = 2। ### ধাপ ৩: লবের গুণফল নির্ণয়

\sqrt{2} (\sqrt{6} - 2)

= \sqrt{12} - 2 \sqrt{2}

= 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}

### ধাপ ৪: ভগ্নাংশ সরলীকরণ

\frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2}

= \sqrt{3} - \sqrt{2}

--- ### উত্তর:

\sqrt{3} - \sqrt{2} ✅

প্রশ্নঃ $(\frac{১ ২ ৫}{২ ৭})^{- \frac{২}{৩}}$ - এর সহজ প্রকাশ?

[ বিসিএস ১৭তম ]

ক.

\frac{৯}{২ ৫}

খ.

\frac{৫}{২ ০}

ক.

\frac{৯}{২ ৫}

খ.

\frac{১}{২ ৫}

গ.

\frac{৩}{২ ০}

ক.

\frac{১}{২ ৫}

খ.

\frac{৫}{২ ০}

গ.

\frac{৯}{২ ৫}

ঘ.

\frac{৩}{২ ০}

উত্তরঃ

\frac{৯}{২ ৫}

ব্যাখ্যাঃ ধরি,

{(\frac{১ ২ ৫}{২ ৭})}^{- \frac{২}{৩}}

প্রথমে ভগ্নাংশটির হারের মান বের করি:

\frac{১ ২ ৫}{২ ৭} = (\frac{৫^{৩}}{৩^{৩}}) = {(\frac{৫}{৩})}^{৩}

এখন, এই মানটির উপর শক্তি প্রয়োগ করি:

{(\frac{৫}{৩})}^{৩}

এই মানটির উপর

- \frac{২}{৩}

প্রয়োগ করতে হবে:

{({(\frac{৫}{৩})}^{৩})}^{- \frac{২}{৩}}

এখন আমরা শক্তির নিয়ম প্রয়োগ করি:

{({(\frac{৫}{৩})}^{৩})}^{- \frac{২}{৩}} = {(\frac{৫}{৩})}^{৩ \cdot - \frac{২}{৩}} = {(\frac{৫}{৩})}^{- ২}

এখন শক্তি সরল করি:

{(\frac{৫}{৩})}^{- ২} = {(\frac{৩}{৫})}^{২}

শেষে,

{(\frac{৩}{৫})}^{২} = \frac{৯}{২ ৫}

অতএব,

(\frac{১ ২ ৫}{২ ৭})^{- \frac{২}{৩}}

এর সরল প্রকাশ হলো

\frac{৯}{২ ৫}

।

প্রশ্নঃ $a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$ কখন হবে?

[ বিসিএস ১৪তম ]

ক. m ধনাত্মক হলে

খ. n ধনাত্মক হলে

গ. m ও n ধনাত্মক হলে

ঘ. m ধনাত্মক ও n ঋণাত্মক হলে

ব্যাখ্যাঃ

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

সমীকরণটি প্রযোজ্য হবে যখন

a

একই সংখ্যা এবং

m

ও

n

দুইটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (ধরা যাক

a \neq 0

)।

অর্থাৎ,

a

এর একই ভিত্তি এবং তাদের ঘাত যোগফল সমান হবে, তখনই এই সমীকরণটি সত্যি হবে।

প্রশ্নঃ ৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?

[ বিসিএস ১৩তম ]

ক. ৩

খ. ৪

গ. ৫

ঘ. ৬

ব্যাখ্যাঃ

32 = 2^{5}

এখন, লগারিদম সূত্র অনুযায়ী:

\log_{2} 32 = \log_{2} 2^{5} = 5

অতএব,

32

এর

2

ভিত্তিক লগারিদম হল

5

।

প্রশ্নঃ $[২ - ৩ (২ - ৩)^{- ১}]^{- ১}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৩তম ]

ক.

- 5

খ.

\frac{১}{৫}

ক.

- 5

খ.

- \frac{১}{৫}

গ.

\frac{১}{৫}

ক. 5

খ.

- 5

গ.

\frac{১}{৫}

ঘ.

- \frac{১}{৫}

উত্তরঃ

\frac{১}{৫}

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশিটি হলো:

[২ - ৩ (২ - ৩)^{- ১}]^{- ১}

এটি সমাধান করতে আমরা ধাপে ধাপে এগোই।

ধাপ ১: ভিতরের বন্ধনী সমাধান
প্রথমে ভিতরের বন্ধনী

(২ - ৩)^{- ১}

সমাধান করি:

২ - ৩ = - ১

(২ - ৩)^{- ১} = (- ১)^{- ১} = - ১

ধাপ ২: মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন
এখন মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন করি:

[২ - ৩ \times (- ১)]^{- ১}

ধাপ ৩: গুণন সমাধান

৩ \times (- ১) = - ৩

ধাপ ৪: যোগ সমাধান

২ - (- ৩) = ২ + ৩ = ৫

ধাপ ৫: শেষ ধাপ
এখন রাশিটি হলো:

[৫]^{- ১} = \frac{১}{৫}

ফলাফল

[২ - ৩ (২ - ৩)^{- ১}]^{- ১} = \frac{১}{৫}

অতএব, প্রদত্ত রাশিটির মান $\frac{১}{৫}$ ।

প্রশ্নঃ নিচের কোনটি $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ এর সমান?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক.

\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{3}}

খ.

\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}

ক.

\sqrt{2}

খ.

\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}

গ.

\frac{1}{2 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}

ক.

\sqrt{2}

খ.

\frac{1}{2 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}

গ.

\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{3}}

ঘ.

\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}

উত্তরঃ

\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}

ব্যাখ্যাঃ ধাপে ধাপে আমরা দেখতে পাই:

\sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}

এখন উপরের অংশ সরলীকরণ করা হলে:

(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2} = 5 - 3 = 2

তাহলে:

\sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}

প্রশ্নঃ যদি $(64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 3 K$ হয় তবে $K$ এর মান–

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক.

12 \frac{2}{5}

খ.

13 \frac{2}{3}

ক.

13 \frac{2}{3}

খ.

11 \frac{1}{3}

গ.

12 \frac{2}{5}

ক.

9 \frac{2}{3}

খ.

11 \frac{1}{3}

গ.

12 \frac{2}{5}

ঘ.

13 \frac{2}{3}

উত্তরঃ

13 \frac{2}{3}

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

(64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 3 K

আমরা প্রথমে

(64)^{\frac{2}{3}}

এবং

(625)^{\frac{1}{2}}

এর মান নির্ণয় করব।

ধাপ 1:

(64)^{\frac{2}{3}}

এর মান নির্ণয়

(64)^{\frac{2}{3}} = {(64^{\frac{1}{3}})}^{2}

64^{\frac{1}{3}} = 4 (কারণ 4^{3} = 64)

(64)^{\frac{2}{3}} = 4^{2} = 16

ধাপ 2:

(625)^{\frac{1}{2}}

এর মান নির্ণয়

(625)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{625} = 25

ধাপ 3: সমীকরণে মান বসানো

(64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 16 + 25 = 41

3 K = 41

K = \frac{41}{3}

সুতরাং,

K

এর মান হলো:

13 \frac{2}{3}

প্রশ্নঃ $l o g_{a} (\frac{m}{n}) =$ কত?

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক.

\log_{a} m - \log_{a} n

খ.

\log_{a} m \times \log_{a} n

ক.

\log_{a} m - \log_{a} n

খ.

\log_{a} m + \log_{a} n

গ.

\log_{a} m \times \log_{a} n

ক.

\log_{a} m - \log_{a} n

খ.

\log_{a} m + \log_{a} n

গ.

\log_{a} m \times \log_{a} n

ঘ. কোনোটিই নয়

উত্তরঃ

\log_{a} m - \log_{a} n

ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমের গুণনীয়কের সূত্র প্রয়োগ করে

l o g_{a} (\frac{m}{n})

-এর মান বের করতে পারি। সূত্রটি হলো:

l o g_{a} (\frac{m}{n}) = l o g_{a} (m) - l o g_{a} (n)

তাহলে,

l o g_{a} (\frac{m}{n}) = l o g_{a} (m) - l o g_{a} (n)

এটি হলো চূড়ান্ত উত্তর।

প্রশ্নঃ ${36.2}^{3 x - 8} = 3^{2}$ হলে $x$ এ রর মান কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক.

\frac{8}{3}

খ. 2

ক. 3

খ. 2

গ.

\frac{8}{3}

ক.

\frac{7}{3}

খ. 3

গ.

\frac{8}{3}

ঘ. 2

ব্যাখ্যাঃ

{36.2}^{3 x - 8} = 3^{2}

\Rightarrow 2^{3 x - 8} = \frac{9}{36}

\Rightarrow \frac{2^{3 x}}{2^{8}} = \frac{1}{4}

\Rightarrow 2^{3 x} = \frac{2^{8}}{4}

\Rightarrow 2^{3 x} = \frac{2^{8}}{2^{2}}

\Rightarrow 2^{3 x} = 2^{8 - 2}

\Rightarrow 2^{3 x} = 2^{6}

\Rightarrow 3 x = 6

∴ x = 2

প্রশ্নঃ $x^{2} - 8 x - 8 y + 16 + y^{2}$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

[ বিসিএস ৩২তম ]

ক.

6 x y

খ.

2 x y

ক.

2 x y

খ.

6 x y

গ.

8 x y

ক.

4 x y

খ.

2 x y

গ.

6 x y

ঘ.

8 x y

উত্তরঃ

2 x y

ব্যাখ্যাঃ

x^{2} - 8 x - 8 y + 16 + y^{2}

= x^{2} + (- 4)^{2} + y^{2} + 2 \cdot x \cdot (- 4) + 2 \cdot (- 4) \cdot y + 2 x y - 2 x y

= (x - 4 + y)^{2} - 2 x y

সুতরাং, পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করতে

2 x y

যোগ করতে হবে।

প্রশ্নঃ $l o g_{2} 8 =$ কত?

[ বিসিএস ৩২তম ]

ক. 4

খ. 3

গ. 2

ঘ. 1

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি যে লগারিদমের মূল সূত্র অনুসারে:

l o g_{a} (b) = c ⟹ a^{c} = b

এখানে,

l o g_{2} (8) = c

হলে:

2^{c} = 8

আমরা জানি

8 = 2^{3}

, সুতরাং:

2^{c} = 2^{3}

এখন ভিত্তি একই হলে সহগও সমান হয়:

c = 3

l o g_{2} (8) = 3

।

প্রশ্নঃ $a^{- 3} = 0.2$ হলে $a^{12}$ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]

ক. 525

খ. 125

গ. 625

ঘ. 526

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:

a^{- 3} = 0.2

প্রথমে

a^{- 3} = \frac{1}{a^{3}}

, সুতরাং

\frac{1}{a^{3}} = 0.2 \Rightarrow a^{3} = \frac{1}{0.2} = 5

এখন,

a^{12} = (a^{3})^{4} = 5^{4} = 625

উত্তর: $a^{12} = 625$

প্রশ্নঃ $9^{x} + 9^{x} + 9^{x} =$ কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]

ক.

3 x^{3}

খ.

3^{2 x + 1}

ক.

27^{x}

খ.

3^{2 x + 1}

গ.

3 x^{3}

ক.

9^{3 x}

খ.

3^{2 x + 1}

গ.

27^{x}

ঘ.

3 x^{3}

উত্তরঃ

3^{2 x + 1}

ব্যাখ্যাঃ আমরা

9^{x} + 9^{x} + 9^{x}

-কে সহজভাবে লিখতে পারি।
ধরি,

9^{x}

একটি সাধারণ পদ। তাহলে:

9^{x} + 9^{x} + 9^{x} = 3 \cdot 9^{x}

9^{x} + 9^{x} + 9^{x} = 3 \cdot 9^{x}

{3.3}^{2 x}

3^{2 x + 1}

প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গমূল কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. ০.০০১

খ. ১

গ. ০.১

ঘ. ০.০১

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ

০ . ০ ০ ০ ১ = \frac{1}{10000}

ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয়

\sqrt{০ . ০ ০ ০ ১} = \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10000}} = \frac{1}{100} = ০ . ০ ১

উত্তর: ০.০০০১ এর বর্গমূল হলো:

০ . ০ ১

প্রশ্নঃ $\sqrt{২ ৮ ৯}$ এর বর্গমূল হল-

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. অমূলদ

খ. স্বাভাবিক

গ. পূর্ণসংখ্যা

ঘ. মূলদ

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে,

\sqrt{২ ৮ ৯}

গণনা করি।

\sqrt{২ ৮ ৯} = ১ ৭

এখন বিশ্লেষণ:
১.

১ ৭

হলো একটি পূর্ণসংখ্যা। তাই এটি পূর্ণসংখ্যা।
২.

১ ৭

হলো একটি মূলদ সংখ্যা, কারণ এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় (

\frac{১ ৭}{১}

)।
৩. এটি কোনো অমূলদ সংখ্যা নয়, কারণ এটি দশমিক বা অসীম ধারা তৈরি করে না।
৪.

১ ৭

একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কারণ স্বাভাবিক সংখ্যা হলো সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর: গঃ পূর্ণসংখ্যা এবং ঘঃ মূলদ।

প্রশ্নঃ ০.১ এর বর্গমূল কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. ০.১

খ. ০.০১

গ. ০.২৫

ঘ. ০.৩১

ব্যাখ্যাঃ ০.১ এর বর্গমূল নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করব:

ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ

০ . ১ = \frac{1}{10}

ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয়

\sqrt{০ . ১} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx ০ . ৩ ১ ৬ ২

উত্তর: ০.১ এর বর্গমূল হলো:

০ . ৩ ১

প্রশ্নঃ ০.০০০১ এর বর্গমূল কোনটি?

[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]

ক. ০.০১

খ. ১

গ. ০.২

ঘ. .১

ব্যাখ্যাঃ

০.০১ × ০.০১ = ০.০০০১

সুতরাং ০.০০০১ এর বর্গমূল ০.০১

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ যদি $(25)^{2 x + 3} = 5^{3 x + 6}$ হয় তবে $x =$ কত?

লগইন করুন

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ যদি (25)2x+3=53x+6 হয় তবে x= কত?

Related MCQ

ধাপে ধাপে সমাধান:

ধাপে ধাপে সমাধান:

১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা

২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা

সুতরাং, x=110 বা 0.1।

ধাপে ধাপে সমাধান:

চূড়ান্ত উত্তর:

চূড়ান্ত উত্তর:

ভিত্তির শর্ত পরীক্ষা

উত্তর: ঘঃ 2

উত্তর: a12=625

প্রশ্নঃ যদি $(25)^{2 x + 3} = 5^{3 x + 6}$ হয় তবে $x =$ কত?

সুতরাং, $x = \frac{1}{10}$ বা $0.1$ ।

উত্তর: $a^{12} = 625$