প্রশ্নঃ শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কত জন ছাত্র গিয়েছিল?
[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]
ক. ৪৮
খ. ৫০
গ. ৬০
ঘ. ৪০
উত্তরঃ ৬০
ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রাথমিকভাবে বাসে যাওয়ার ছাত্রসংখ্যা ছিল \(x\)।
তাহলে, প্রাথমিক অবস্থায় প্রতি ছাত্রের ভাড়া হবে: \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} \] এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেয়, অর্থাৎ মোট ছাত্রসংখ্যা হলো \(x + ১০\)।
তখন, প্রতি ছাত্রের ভাড়া হয়: \[ \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} \] প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} - \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} = ৮ \] এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{{২৪০০(x + ১০) - ২৪০০x}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ \frac{{২৪০০ \times ১০}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ ২৪০০০ = ৮x(x + ১০) \] \[ ২৪০০০ = ৮(x^2 + ১০x) \] \[ x^2 + ১০x - ৩০০০ = ০ \] এটি একটি স্বাভাবিক বর্গ সমীকরণ, যা সমাধান করতে পারি: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \] এখানে, \(a = ১\), \(b = ১০\), এবং \(c = -৩০০০\)। \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০^2 - ৪(১)(-৩০০০)}}}}{{২(১)}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০০ + ১২০০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১২১০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm ১১০}}{{২}} \] দুটি মান পাওয়া যায়: \[ x = \frac{{-১০ + ১১০}}{{২}} = \frac{{১০০}}{{২}} = ৫০ \] \[ x = \frac{{-১০ - ১১০}}{{২}} = \frac{{-১২০}}{{২}} = -৬০ \; (\text{নেতিবাচক মান বাস্তবসম্মত নয়}) \] সুতরাং, প্রাথমিক ছাত্রসংখ্যা ছিল \(৫০\)।
এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেওয়ার পরে মোট ছাত্রসংখ্যা: \(৫০ + ১০ = ৬০\)।
সুতরাং, বাসে ৬০ জন ছাত্র গিয়েছিল।
তাহলে, প্রাথমিক অবস্থায় প্রতি ছাত্রের ভাড়া হবে: \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} \] এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেয়, অর্থাৎ মোট ছাত্রসংখ্যা হলো \(x + ১০\)।
তখন, প্রতি ছাত্রের ভাড়া হয়: \[ \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} \] প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} - \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} = ৮ \] এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{{২৪০০(x + ১০) - ২৪০০x}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ \frac{{২৪০০ \times ১০}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ ২৪০০০ = ৮x(x + ১০) \] \[ ২৪০০০ = ৮(x^2 + ১০x) \] \[ x^2 + ১০x - ৩০০০ = ০ \] এটি একটি স্বাভাবিক বর্গ সমীকরণ, যা সমাধান করতে পারি: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \] এখানে, \(a = ১\), \(b = ১০\), এবং \(c = -৩০০০\)। \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০^2 - ৪(১)(-৩০০০)}}}}{{২(১)}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০০ + ১২০০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১২১০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm ১১০}}{{২}} \] দুটি মান পাওয়া যায়: \[ x = \frac{{-১০ + ১১০}}{{২}} = \frac{{১০০}}{{২}} = ৫০ \] \[ x = \frac{{-১০ - ১১০}}{{২}} = \frac{{-১২০}}{{২}} = -৬০ \; (\text{নেতিবাচক মান বাস্তবসম্মত নয়}) \] সুতরাং, প্রাথমিক ছাত্রসংখ্যা ছিল \(৫০\)।
এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেওয়ার পরে মোট ছাত্রসংখ্যা: \(৫০ + ১০ = ৬০\)।
সুতরাং, বাসে ৬০ জন ছাত্র গিয়েছিল।
Related MCQ
প্রশ্নঃ ১ হতে বড় ১০০০ এর মধ্যে কতগুলো সংখ্যা আছে যারা ১৬ দ্বারা বিভাজ্য নয় কিন্তু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. ৩৩
খ. কোনটি সঠিক নয়।
ক. কোনটি সঠিক নয়।
খ. ৩৫
গ. ৩৩
ক. ৩৩
খ. ৩৫
গ. ৩৭
ঘ. ৪১
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ ১. মোট সংখ্যা যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য
১ হতে বড় এবং ১০০০ এর মধ্যে ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: \[ \frac{990}{30} = 33 \] (৩০, ৬০, ৯০, ..., ৯৯০)
২. সংখ্যা যা ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
কোন সংখ্যা যদি ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি LCM(30, 16) = 240 দ্বারা বিভাজ্য হবে। \[ \frac{960}{240} = 4 \] (২৪০, ৪৮০, ৭২০, ৯৬০)
৩. চূড়ান্ত সংখ্যা
৩৩টি সংখ্যা আছে যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য, এর মধ্যে ৪টি ১৬ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, চূড়ান্ত সংখ্যা: \[ 33 - 4 = 29 \] উত্তর: \[ \boxed{29} \]
১ হতে বড় এবং ১০০০ এর মধ্যে ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: \[ \frac{990}{30} = 33 \] (৩০, ৬০, ৯০, ..., ৯৯০)
২. সংখ্যা যা ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
কোন সংখ্যা যদি ৩০ এবং ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি LCM(30, 16) = 240 দ্বারা বিভাজ্য হবে। \[ \frac{960}{240} = 4 \] (২৪০, ৪৮০, ৭২০, ৯৬০)
৩. চূড়ান্ত সংখ্যা
৩৩টি সংখ্যা আছে যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য, এর মধ্যে ৪টি ১৬ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, চূড়ান্ত সংখ্যা: \[ 33 - 4 = 29 \] উত্তর: \[ \boxed{29} \]
প্রশ্নঃ ১ হতে বড় ১০০০ এর মধ্যে কতগুলো সংখ্যা আছে যারা ১৬ দ্বারা বিভাজ্য নয় কিন্তু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. 37
খ. কোনটি সঠিক নয়।
ক. কোনটি সঠিক নয়।
খ. 37
গ. 33
ক. 33
খ. 35
গ. 37
ঘ. 41
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা গণনা
১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হবে:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{30} \right\rfloor = 33
$$
অর্থাৎ ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে ৩৩টি।
ধাপ ২: যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
আমরা বের করবো ৩০ ও ১৬ এর ল.সা.গু (LCM):
$$
\text{LCM}(30, 16) = 240
$$
তাহলে ১ থেকে ১০০০ এর মধ্যে ২৪০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{240} \right\rfloor = 4
$$
অর্থাৎ ৪টি সংখ্যা আছে যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দিয়েই বিভাজ্য।
ধাপ ৩: শুধু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ১৬ দ্বারা নয়
$$
33 - 4 = \boxed{29}
$$
১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হবে:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{30} \right\rfloor = 33
$$
অর্থাৎ ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে ৩৩টি।
ধাপ ২: যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
আমরা বের করবো ৩০ ও ১৬ এর ল.সা.গু (LCM):
$$
\text{LCM}(30, 16) = 240
$$
তাহলে ১ থেকে ১০০০ এর মধ্যে ২৪০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{240} \right\rfloor = 4
$$
অর্থাৎ ৪টি সংখ্যা আছে যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দিয়েই বিভাজ্য।
ধাপ ৩: শুধু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ১৬ দ্বারা নয়
$$
33 - 4 = \boxed{29}
$$
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. $$\sqrt{9}$$
খ. কোনটি সঠিক নয়।
ক. 0.4
খ. $$\sqrt{9}$$
গ. কোনটি সঠিক নয়।
ক. 0.4
খ. $$\sqrt{9}$$
গ. 5.639
ঘ. $$\sqrt{\frac{27}{48}}$$
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ অমূলদ সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যাকে $\frac{p}{q}$আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p এবং q পূর্ণসংখ্যা এবং$q \neq 0$.
এখন আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করব:
কঃ 0.4
$0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
খঃ $\sqrt{9}$
$\sqrt{9} = 3 = \frac{3}{1}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
গঃ 5.639
$5.639 = \frac{5639}{1000}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘঃ $\sqrt{\frac{27}{48}}$
প্রথমে ভগ্নাংশটিকে সরল করা যাক:$\frac{27}{48} = \frac{9 \times 3}{16 \times 3} = \frac{9}{16}$
সুতরাং,$\sqrt{\frac{27}{48}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
এখন আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করব:
কঃ 0.4
$0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
খঃ $\sqrt{9}$
$\sqrt{9} = 3 = \frac{3}{1}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
গঃ 5.639
$5.639 = \frac{5639}{1000}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘঃ $\sqrt{\frac{27}{48}}$
প্রথমে ভগ্নাংশটিকে সরল করা যাক:$\frac{27}{48} = \frac{9 \times 3}{16 \times 3} = \frac{9}{16}$
সুতরাং,$\sqrt{\frac{27}{48}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$যেহেতু এটিকে$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
প্রশ্নঃ নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে?
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. ৪৮
খ. ৫৮
ক. ৫৮
খ. ৪৮
গ. ৬০
ক. ৪৮
খ. ৫৪
গ. ৫৮
ঘ. ৬০
উত্তরঃ ৫৮
ব্যাখ্যাঃ মনে করি সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো $x$.
প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটিকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে। এটিকে আমরা গাণিতিকভাবে এভাবে লিখতে পারি:
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{4}$
$x \equiv 3 \pmod{5}$
$x \equiv 4 \pmod{6}$
লক্ষ করলে দেখা যায়, প্রতিটি ক্ষেত্রে ভাজক এবং অবশিষ্টের মধ্যে পার্থক্য একই:
$3 - 1 = 2$
$4 - 2 = 2$
$5 - 3 = 2$
$6 - 4 = 2$
এর মানে হলো, যদি আমরা $x$-এর সাথে ২ যোগ করি, তাহলে সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ, $x + 2$ সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM)।
এখন আমরা ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর LCM বের করি:
৩ = ৩
৪ = $2^2$
৫ = ৫
৬ = $2 \times 3$
LCM(৩, ৪, ৫, ৬) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
সুতরাং, $x + 2 = 60k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণ সংখ্যা। যেহেতু আমরা ক্ষুদ্রতম পূর্ণ সংখ্যাটি খুঁজছি, তাই আমরা $k = 1$ ধরব।
$x + 2 = 60 \times 1$
$x + 2 = 60$
$x = 60 - 2$
$x = 58$
অতএব, সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো ৫৮।
প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটিকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে। এটিকে আমরা গাণিতিকভাবে এভাবে লিখতে পারি:
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{4}$
$x \equiv 3 \pmod{5}$
$x \equiv 4 \pmod{6}$
লক্ষ করলে দেখা যায়, প্রতিটি ক্ষেত্রে ভাজক এবং অবশিষ্টের মধ্যে পার্থক্য একই:
$3 - 1 = 2$
$4 - 2 = 2$
$5 - 3 = 2$
$6 - 4 = 2$
এর মানে হলো, যদি আমরা $x$-এর সাথে ২ যোগ করি, তাহলে সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ, $x + 2$ সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM)।
এখন আমরা ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর LCM বের করি:
৩ = ৩
৪ = $2^2$
৫ = ৫
৬ = $2 \times 3$
LCM(৩, ৪, ৫, ৬) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
সুতরাং, $x + 2 = 60k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণ সংখ্যা। যেহেতু আমরা ক্ষুদ্রতম পূর্ণ সংখ্যাটি খুঁজছি, তাই আমরা $k = 1$ ধরব।
$x + 2 = 60 \times 1$
$x + 2 = 60$
$x = 60 - 2$
$x = 58$
অতএব, সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো ৫৮।
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক. ১৪৩
খ. ৪৭
ক. ৪৭
খ. ১৪৩
গ. ৯১
ক. ৪৭
খ. ৮৭
গ. ৯১
ঘ. ১৪৩
উত্তরঃ ৪৭
ব্যাখ্যাঃ একটি মৌলিক সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যা $1$ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়। আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করে দেখব:
* কঃ ৪৭
$৪৭$ কে $1$ এবং $৪৭$ ছাড়া অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না।
(যেমন: $২, ৩, ৫, ৭$ ইত্যাদি দ্বারা বিভাজ্য নয়)।
সুতরাং, $৪৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা।
* খঃ ৮৭
$৮৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৩$ দ্বারা বিভাজ্য ($৮৭ = ৩ \times ২৯$)।
* গঃ ৯১
$৯১$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৭$ দ্বারা বিভাজ্য ($৯১ = ৭ \times ১৩$)।
* ঘঃ ১৪৩
$১৪৩$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $১১$ দ্বারা বিভাজ্য ($১৪৩ = ১১ \times ১৩$)।
সুতরাং, কঃ ৪৭ হলো মৌলিক সংখ্যা।
* কঃ ৪৭
$৪৭$ কে $1$ এবং $৪৭$ ছাড়া অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না।
(যেমন: $২, ৩, ৫, ৭$ ইত্যাদি দ্বারা বিভাজ্য নয়)।
সুতরাং, $৪৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা।
* খঃ ৮৭
$৮৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৩$ দ্বারা বিভাজ্য ($৮৭ = ৩ \times ২৯$)।
* গঃ ৯১
$৯১$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৭$ দ্বারা বিভাজ্য ($৯১ = ৭ \times ১৩$)।
* ঘঃ ১৪৩
$১৪৩$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $১১$ দ্বারা বিভাজ্য ($১৪৩ = ১১ \times ১৩$)।
সুতরাং, কঃ ৪৭ হলো মৌলিক সংখ্যা।
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক. ২৫৩
খ. ২৬৩
ক. ২৬৩
খ. ২৪১
গ. ২৫৩
ক. ২৬৩
খ. ২৩৩
গ. ২৫৩
ঘ. ২৪১
উত্তরঃ ২৫৩
ব্যাখ্যাঃ একটি সংখ্যা মৌলিক নয়, যদি এর ১ এবং সংখ্যাটি নিজে ছাড়া অন্য কোনো উৎপাদক থাকে।
আসুন প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করি:
* কঃ ২৬৩
২৬৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৬৩।
* খঃ ২৩৩
২৩৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৩৩।
* গঃ ২৫৩
২৫৩ মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ, ২৫৩ কে $11$ দ্বারা ভাগ করা যায়:
$253 \div 11 = 23$
সুতরাং, ২৫৩ এর উৎপাদকগুলো হলো $1, 11, 23, 253$। যেহেতু এটির ১ এবং ২৫৩ ছাড়া আরও উৎপাদক (১১ এবং ২৩) আছে, তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়, বরং একটি যৌগিক সংখ্যা।
* ঘঃ ২৪১
২৪১ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৪১।
সুতরাং, যে সংখ্যাটি মৌলিক নয়, সেটি হলো গঃ ২৫৩।
আসুন প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করি:
* কঃ ২৬৩
২৬৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৬৩।
* খঃ ২৩৩
২৩৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৩৩।
* গঃ ২৫৩
২৫৩ মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ, ২৫৩ কে $11$ দ্বারা ভাগ করা যায়:
$253 \div 11 = 23$
সুতরাং, ২৫৩ এর উৎপাদকগুলো হলো $1, 11, 23, 253$। যেহেতু এটির ১ এবং ২৫৩ ছাড়া আরও উৎপাদক (১১ এবং ২৩) আছে, তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়, বরং একটি যৌগিক সংখ্যা।
* ঘঃ ২৪১
২৪১ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৪১।
সুতরাং, যে সংখ্যাটি মৌলিক নয়, সেটি হলো গঃ ২৫৩।
প্রশ্নঃ $$\sqrt{169}$$ is equal to -
[ বিসিএস ৩৪তম ]
ক. 13
খ. 15
ক. 13
খ. 17
গ. 15
ক. 11
খ. 13
গ. 15
ঘ. 17
উত্তরঃ 13
ব্যাখ্যাঃ $\sqrt{169}$ এর মান হলো ১৩।
প্রশ্নঃ x এবং y উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. x + y
খ. x + y + 1
ক. x + y
খ. x + y + 1
গ. xy
ক. x + y + 1
খ. xy
গ. xy + 2
ঘ. x + y
উত্তরঃ x + y
ব্যাখ্যাঃ
দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় একটি জোড় সংখ্যা হয়।
উদাহরণস্বরূপ, যদি x = ৩ এবং y = ৫ হয়, তাহলে: x + y = ৩ + ৫ = ৮ যেখানে ৮ একটি জোড় সংখ্যা।
প্রশ্নঃ $$0, 1 ,2$$ এবং $$3$$ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল–
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. $$2987$$
খ. $$2187$$
ক. $$3147$$
খ. $$2187$$
গ. $$2987$$
ক. $$3147$$
খ. $$2287$$
গ. $$2987$$
ঘ. $$2187$$
উত্তরঃ $$2187$$
ব্যাখ্যাঃ $0, 1, 2, 3$ অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ৩২১০।
একই অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ১০২৩। (কারণ, ০ দিয়ে শুরু করলে সেটি তিন অঙ্কের সংখ্যা হবে)।
এখন, সংখ্যা দুটির বিয়োগফল:
$৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$।
একই অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ১০২৩। (কারণ, ০ দিয়ে শুরু করলে সেটি তিন অঙ্কের সংখ্যা হবে)।
এখন, সংখ্যা দুটির বিয়োগফল:
$৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$।
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. ৫৯
খ. ৬৩
ক. ৯১
খ. ৫৯
গ. ৬৩
ক. ৯১
খ. ৮৭
গ. ৬৩
ঘ. ৫৯
উত্তরঃ ৫৯
ব্যাখ্যাঃ
আমরা জানি, যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ভিন্ন অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। এখানে, উপরিউক্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৫৯ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা।
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. ৩৪১
খ. ৩৪০
ক. ৩৪১
খ. ৩৪২
গ. ৩৪৪
ক. ৩৪০
খ. ৩৪১
গ. ৩৪২
ঘ. ৩৪৪
উত্তরঃ ৩৪১
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নানুসারে, $x$ সংখ্যাটি ৩০১ থেকে যত বড়, ৩৮১ থেকে তত ছোট।
সুতরাং, $x$ এবং ৩০১ এর মধ্যে পার্থক্য, $x$ এবং ৩৮১ এর মধ্যে পার্থক্যের সমান।
$x - 301 = 381 - x$
এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করে $x$ এর মান বের করি:
$x + x = 381 + 301$
$2x = 682$
$x = \frac{682}{2}$
$x = 341$
সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৪১।
ধরি, সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নানুসারে, $x$ সংখ্যাটি ৩০১ থেকে যত বড়, ৩৮১ থেকে তত ছোট।
সুতরাং, $x$ এবং ৩০১ এর মধ্যে পার্থক্য, $x$ এবং ৩৮১ এর মধ্যে পার্থক্যের সমান।
$x - 301 = 381 - x$
এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করে $x$ এর মান বের করি:
$x + x = 381 + 301$
$2x = 682$
$x = \frac{682}{2}$
$x = 341$
সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৪১।
ক. ১৪৬
খ. ১০৭
ক. ১০৭
খ. ৯৯
গ. ১০৫
ক. ১৪৬
খ. ৯৯
গ. ১০৫
ঘ. ১০৭
উত্তরঃ ১০৭
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে ১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে এবং তারপর যেসব সংখ্যার একই স্থানীয় অংক (একক স্থান) ৯, সেগুলোর যোগফল বের করতে হবে।
১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা: \[ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 \] এখন, যেসব সংখ্যার একক স্থান ৯:
19
29
59
এদের যোগফল:
\[ 19 + 29 + 59 = 107 \]
সুতরাং, উত্তর: ১০৭ ✅
১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা: \[ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 \] এখন, যেসব সংখ্যার একক স্থান ৯:
19
29
59
এদের যোগফল:
\[ 19 + 29 + 59 = 107 \]
সুতরাং, উত্তর: ১০৭ ✅
ক. ১
খ. ৯
ক. ১০
খ. ১
গ. -১
ক. ৯
খ. ১০
গ. ১
ঘ. -১
উত্তরঃ ১
ব্যাখ্যাঃ - পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো 10000 - চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হলো 9999 এদের অন্তর: \[ 10000 - 9999 = 1 \] সুতরাং, উত্তর: 1 ✅
প্রশ্নঃ $$১.১, .০১, ও .০০১১$$ এর সমষ্টি কত?
[ বিসিএস ২৯তম ]
ক. $$০.০১১১১$$
খ. $$১.১১১১$$
ক. $$১.১১১১$$
খ. $$১১.১১০১$$
গ. $$০.০১১১১$$
ক. $$০.০১১১১$$
খ. $$১.১১১১$$
গ. $$১১.১১০১$$
ঘ. $$১.১০১১১$$
উত্তরঃ $$১.১১১১$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যাগুলো যোগ করি: \[ 1.1 + 0.01 + 0.0011 \] ধাপে ধাপে যোগ করলে, \[ 1.1 + 0.01 = 1.11 \] \[ 1.11 + 0.0011 = 1.1111 \] সুতরাং, উত্তর: 1.1111 ✅
প্রশ্নঃ $$১.১৬$$ এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?
[ বিসিএস ২৯তম ]
ক. $$১\frac{৮}{৪৫}$$
খ. $$১\frac{৪}{২৫}$$
ক. $$১\frac{১}{৬}$$
খ. $$১\frac{৮}{৪৫}$$
গ. $$১\frac{৪}{২৫}$$
ক. $$১\frac{১}{৬}$$
খ. $$১\frac{৮}{৪৫}$$
গ. $$১\frac{১৬}{১৯}$$
ঘ. $$১\frac{৪}{২৫}$$
উত্তরঃ $$১\frac{৪}{২৫}$$
ব্যাখ্যাঃ \( 1.16 \) সংখ্যাটিকে মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে হবে: প্রথমে, একে পূর্ণসংখ্যা + ভগ্নাংশ আকারে লিখি: \[ 1.16 = 1 + 0.16 \] এখন, \( 0.16 \) কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি: \[ 0.16 = \frac{16}{100} \] এখন, সরলীকরণ করি: \[ \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \] অতএব, \( 1.16 \) এর মিশ্র ভগ্নাংশ হলো \[ 1\frac{4}{25} \] ✅ উত্তর: \( 1\frac{4}{25} \)
ক. ১২
খ. ১৮
ক. ১৮
খ. ৮
গ. ১৪০
ক. ৮
খ. ১২
গ. ১৮
ঘ. ১৪০
উত্তরঃ ১৮
ব্যাখ্যাঃ
৬০ ও ৮০ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে যথাক্রমে ৬১ ও ৭৯। ∴ এ দুটি সংখ্যার অন্তর হবে (৭৯ - ৬১) = ১৮।
প্রশ্নঃ ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা–
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. ৪
খ. ৩
ক. ৫
খ. ৭
গ. ৪
ক. ৫
খ. ৩
গ. ৭
ঘ. ৪
উত্তরঃ ৪
ব্যাখ্যাঃ
৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা (প্রাইম নম্বর) হল:
৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯
এই সংখ্যা গুলির মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো মোট ৪টি।
প্রশ্নঃ যদি $$p$$ একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে $$\sqrt{p}$$ -
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ. একটি অমূলদ সংখ্যা
ক. একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ. একটি মূলদ সংখ্যা
গ. একটি অমূলদ সংখ্যা
ক. একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ. একটি পূর্ণ সংখ্যা
গ. একটি মূলদ সংখ্যা
ঘ. একটি অমূলদ সংখ্যা
উত্তরঃ একটি অমূলদ সংখ্যা
ব্যাখ্যাঃ $$p$$ একটি মৌলিক সংখ্যা। সুতরাং $$p$$ সংখ্যাটি স্বাভাবিক, পূর্ণ ও মূলদ সংখ্যা। পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল করলে সেটি অমূলদ। সুতরাং $$\sqrt{p}$$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
প্রশ্নঃ ৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে-
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. ১২টি
খ. ১১টি
ক. ১০টি
খ. ১১টি
গ. ১২টি
ক. ৯টি
খ. ১০টি
গ. ১১টি
ঘ. ১২টি
উত্তরঃ ১২টি
ব্যাখ্যাঃ একটি সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করতে প্রথমে তার মৌলিক গুণনীয়কের মাধ্যেমে বিশ্লেষণ করি।
৭২ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করলে পাই: $$ 72 = 2^3 \times 3^2 $$ এখন, মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করি: \((a+1)(b+1)\), যেখানে \(a\) এবং \(b\) হল প্রদত্ত মৌলিক গুণকের মাধ্যেমে নির্দিষ্ট সংখ্যা।
এখানে \(2^3\) এর ২ এর ঘাত \(৩\), এবং \(3^2\) এর ৩ এর ঘাত \(২\)। তাহলে মোট ভাজক সংখ্যা হবে: $$(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12 $$ সুতরাং, ৭২ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে।
৭২ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করলে পাই: $$ 72 = 2^3 \times 3^2 $$ এখন, মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করি: \((a+1)(b+1)\), যেখানে \(a\) এবং \(b\) হল প্রদত্ত মৌলিক গুণকের মাধ্যেমে নির্দিষ্ট সংখ্যা।
এখানে \(2^3\) এর ২ এর ঘাত \(৩\), এবং \(3^2\) এর ৩ এর ঘাত \(২\)। তাহলে মোট ভাজক সংখ্যা হবে: $$(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12 $$ সুতরাং, ৭২ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে।
ক. ২৩ এবং ২৪
খ. ২১ এবং ২২
ক. ২৩ এবং ২৪
খ. ২২ এবং ২৩
গ. ২১ এবং ২২
ক. ২১ এবং ২২
খ. ২২ এবং ২৩
গ. ২৩ এবং ২৪
ঘ. ২৪ এবং ২৫
উত্তরঃ ২৩ এবং ২৪
ব্যাখ্যাঃ ধরি দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা \(n\) এবং \(n+1\) তাহলে তাদের বর্গের অন্তর হবে: \((n+1)^2 - n^2 = 47\) এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করতে পারি: \[ (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 47 \] \[ 2n + 1 = 47 \] \[ 2n = 46 \] \[ n = 23 \] সুতরাং, দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হল ২৩ এবং ২৪।
প্রশ্নঃ $$\sqrt{2}$$ সংখ্যাটি কি সংখ্যা?
[ বিসিএস ২৫তম ]
ক. একটি পূর্ণ সংখ্যা
খ. একটি অমূলদ সংখ্যা
ক. একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ. একটি অমূলদ সংখ্যা
গ. একটি মূলদ সংখ্যা
ক. একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ. একটি পূর্ণ সংখ্যা
গ. একটি মূলদ সংখ্যা
ঘ. একটি অমূলদ সংখ্যা
উত্তরঃ একটি অমূলদ সংখ্যা
ব্যাখ্যাঃ \(\sqrt{2}\) একটি অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)। এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা একটি সহজ প্রমাণ দেখব। ### প্রমাণ: \(\sqrt{2}\) অমূলদ সংখ্যা ধরি, \(\sqrt{2}\) একটি মূলদ সংখ্যা (Rational Number)। তাহলে একে \(\frac{p}{q}\) আকারে লেখা যাবে, যেখানে \(p\) এবং \(q\) পরস্পর সহমৌলিক (অর্থাৎ তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক 1) এবং \(q \neq 0\)। \[ \sqrt{2} = \frac{p}{q} \] উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই: \[ 2 = \frac{p^2}{q^2} \] অর্থাৎ, \[ p^2 = 2q^2 \] এখানে \(p^2\) একটি জোড় সংখ্যা, কারণ এটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং \(p\) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে (যেহেতু বিজোড় সংখ্যার বর্গ কখনো জোড় হয় না)। ধরি, \(p = 2k\), যেখানে \(k\) একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে: \[ (2k)^2 = 2q^2 \] \[ 4k^2 = 2q^2 \] \[ q^2 = 2k^2 \] এখানে \(q^2\) একটি জোড় সংখ্যা, কারণ এটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং \(q\) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। কিন্তু এখানে \(p\) এবং \(q\) উভয়ই জোড় সংখ্যা, যা আমাদের প্রাথমিক শর্ত \(p\) এবং \(q\) পরস্পর সহমৌলিকের বিরোধী। অর্থাৎ, আমাদের ধারণা ভুল। সুতরাং, \(\sqrt{2}\) কে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়, অর্থাৎ \(\sqrt{2}\) একটি অমূলদ সংখ্যা। উত্তর: \[ \boxed{\sqrt{2} \text{ একটি অমূলদ সংখ্যা।}} \]
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা ৬৫০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ২২তম ]
ক. ৭৩০
খ. ৭৩৫
ক. ৭৩০
খ. ৭৩৫
গ. ৮০০
ক. ৭৩০
খ. ৭৩৫
গ. ৮০০
ঘ. ৭৮০
উত্তরঃ ৭৩৫
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটি \(x\)। প্রশ্নানুসারে: \[ x - 650 = 820 - x \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ x - 650 = 820 - x \] \[ x + x = 820 + 650 \] \[ 2x = 1470 \] \[ x = \frac{1470}{2} = 735 \] উত্তর: \[ \boxed{735} \]
প্রশ্নঃ দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে বড় সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ২২তম ]
ক. ৭০
খ. ১০০
ক. ৭০
খ. ১০০
গ. ৮০
ক. ৭০
খ. ৮০
গ. ৯০
ঘ. ১০০
উত্তরঃ ১০০
ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুটি ক্রমিক সংখ্যা \(x\) এবং \(x + 1\)। তাহলে, তাদের বর্গের অন্তর হবে: \[ (x + 1)^2 - x^2 = 199 \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ (x + 1)^2 - x^2 = 199 \] \[ x^2 + 2x + 1 - x^2 = 199 \] \[ 2x + 1 = 199 \] \[ 2x = 198 \] \[ x = 99 \] তাহলে, দুটি ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে বড় সংখ্যাটি হল: \[ x + 1 = 99 + 1 = 100 \] সুতরাং, বড় সংখ্যাটি হল ১০০।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
[ বিসিএস ২২তম ]
ক. $$\sqrt{০.৩}$$
খ. $$\frac{১}{৩}$$
ক. $$০.৩$$
খ. $$\frac{১}{৩}$$
গ. $$\sqrt{০.৩}$$
ক. $$০.৩$$
খ. $$\frac{১}{৩}$$
গ. $$\sqrt{০.৩}$$
ঘ. $$১\frac{২}{৫}$$
উত্তরঃ $$\sqrt{০.৩}$$
ব্যাখ্যাঃ আপনার চিত্রের ভিত্তিতে প্রদত্ত সংখ্যাগুলি হল:
1. \( 0.3 \)
2. \( \frac{3}{9} = 0.3333 \)
3. \( \sqrt{0.3} = 0.5477 \)
4. \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে \( \sqrt{0.3} \) সংখ্যাটি বৃহত্তম।
1. \( 0.3 \)
2. \( \frac{3}{9} = 0.3333 \)
3. \( \sqrt{0.3} = 0.5477 \)
4. \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে \( \sqrt{0.3} \) সংখ্যাটি বৃহত্তম।
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ১৮তম | প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০২-২০১২ ]
ক. ২৪
খ. ১৮
ক. ১৮
খ. ২০
গ. ২৪
ক. ১৬
খ. ১৮
গ. ২০
ঘ. ২৪
উত্তরঃ ১৮
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা \( x \)।
প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী: \[ 3x + 2x = 90 \] অতএব, \[ 5x = 90 \] \[ x = \frac{90}{5} \] \[ x = 18 \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ১৮। আপনার কি আরও কিছু জানতে ইচ্ছে আছে?
প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী: \[ 3x + 2x = 90 \] অতএব, \[ 5x = 90 \] \[ x = \frac{90}{5} \] \[ x = 18 \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ১৮। আপনার কি আরও কিছু জানতে ইচ্ছে আছে?
ক. ২৩
খ. ২২
ক. ২১
খ. ২৪
গ. ২২
ক. ২১
খ. ২৩
গ. ২৪
ঘ. ২২
উত্তরঃ ২২
ব্যাখ্যাঃ ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো বের করতে হবে।
### ধাপ ১: প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
১২ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ১২ হলো প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।
### ধাপ ২: শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
৯৬ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ২৪, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ৯৬ হলো শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।
### ধাপ ৩: সমান্তর ধারা ব্যবহার করে সংখ্যাগুলো গণনা
এখানে সমান্তর ধারার প্রথম পদ (\( a \)) = ১২, সাধারণ অন্তর (\( d \)) = ৪, এবং শেষ পদ (\( l \)) = ৯৬।
সমান্তর ধারার পদ সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র: \[ n = \frac{l - a}{d} + 1 \] মান বসিয়ে: \[ n = \frac{96 - 12}{4} + 1 \] \[ n = \frac{84}{4} + 1 \] \[ n = 21 + 1 \] \[ n = 22 \] উত্তর: ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) মোট ২২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
### ধাপ ১: প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
১২ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ১২ হলো প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।
### ধাপ ২: শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
৯৬ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ২৪, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ৯৬ হলো শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।
### ধাপ ৩: সমান্তর ধারা ব্যবহার করে সংখ্যাগুলো গণনা
এখানে সমান্তর ধারার প্রথম পদ (\( a \)) = ১২, সাধারণ অন্তর (\( d \)) = ৪, এবং শেষ পদ (\( l \)) = ৯৬।
সমান্তর ধারার পদ সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র: \[ n = \frac{l - a}{d} + 1 \] মান বসিয়ে: \[ n = \frac{96 - 12}{4} + 1 \] \[ n = \frac{84}{4} + 1 \] \[ n = 21 + 1 \] \[ n = 22 \] উত্তর: ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) মোট ২২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
প্রশ্নঃ যদি \(x+5y=16\) এবং \(x=3y\) হয়, তাহলে \(y= \)কত?
[ বিসিএস ১৮তম ]
ক. $$-24$$
খ. $$2$$
ক. $$2$$
খ. $$8$$
গ. $$-24$$
ক. $$-24$$
খ. $$-2$$
গ. $$8$$
ঘ. $$2$$
উত্তরঃ $$2$$
ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে প্রদত্ত:
1. \( x + 5y = 16 \)
2. \( x = 3y \)
প্রথম সমীকরণে \( x = 3y \) বসাই: \[ 3y + 5y = 16 \] \[ 8y = 16 \] \[ y = \frac{16}{8} \] \[ y = 2 \] অতএব, \( y \) এর মান হলো ২।
1. \( x + 5y = 16 \)
2. \( x = 3y \)
প্রথম সমীকরণে \( x = 3y \) বসাই: \[ 3y + 5y = 16 \] \[ 8y = 16 \] \[ y = \frac{16}{8} \] \[ y = 2 \] অতএব, \( y \) এর মান হলো ২।
ক. ক = ৬০, খ = ৪৮
খ. ক = ৫০, খ = ৬০
ক. ক = ৬০, খ = ৫০
খ. ক = ৫০, খ = ৬০
গ. ক = ৬০, খ = ৪৮
ক. ক = ৫০, খ = ৬০
খ. ক = ৬০, খ = ৫০
গ. ক = ৪০, খ = ৪৮
ঘ. ক = ৬০, খ = ৪৮
উত্তরঃ ক = ৫০, খ = ৬০
ব্যাখ্যাঃ ধরুন, \( ক = x \) এবং \( খ = y \)।
প্রশ্নে প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী আমরা দুটি সমীকরণ পাই:
1. \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 45 \)
2. \( \frac{1}{2} y + \frac{2}{5} x = 50 \)
প্রথম সমীকরণটি \( 6 \) দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: \[ 3x + 2y = 270 \quad \text{(3)} \] দ্বিতীয় সমীকরণটি \( 10 \) দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: \[ 5y + 4x = 500 \quad \text{(4)} \] এখন, সমীকরণ (3) এবং (4) সমাধান করি।
প্রথমে সমীকরণ (3) কে সমাধান করি: \[ 3x + 2y = 270 \] \[ 2y = 270 - 3x \] \[ y = \frac{270 - 3x}{2} \quad \text{(5)} \] এখন সমীকরণ (5) এর মান সমীকরণ (4) এ বসাই: \[ 5 \left( \frac{270 - 3x}{2} \right) + 4x = 500 \] \[ \frac{5(270 - 3x)}{2} + 4x = 500 \] \[ \frac{1350 - 15x}{2} + 4x = 500 \] \[ 1350 - 15x + 8x = 1000 \] \[ 1350 - 7x = 1000 \] \[ 1350 - 1000 = 7x \] \[ 350 = 7x \] \[ x = 50 \] অতএব, \( ক = x = 50 \)
এখন, \( x = 50 \) মানটি সমীকরণ (5) এ বসাই: \[ y = \frac{270 - 3 \times 50}{2} \] \[ y = \frac{270 - 150}{2} \] \[ y = \frac{120}{2} \] \[ y = 60 \] অতএব, \( খ = y = 60 \)
অতএব, ক এবং খ এর মান যথাক্রমে ৫০ এবং ৬০।
প্রশ্নে প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী আমরা দুটি সমীকরণ পাই:
1. \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 45 \)
2. \( \frac{1}{2} y + \frac{2}{5} x = 50 \)
প্রথম সমীকরণটি \( 6 \) দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: \[ 3x + 2y = 270 \quad \text{(3)} \] দ্বিতীয় সমীকরণটি \( 10 \) দিয়ে গুণ করি যাতে ভগ্নাংশগুলি সরানো যায়: \[ 5y + 4x = 500 \quad \text{(4)} \] এখন, সমীকরণ (3) এবং (4) সমাধান করি।
প্রথমে সমীকরণ (3) কে সমাধান করি: \[ 3x + 2y = 270 \] \[ 2y = 270 - 3x \] \[ y = \frac{270 - 3x}{2} \quad \text{(5)} \] এখন সমীকরণ (5) এর মান সমীকরণ (4) এ বসাই: \[ 5 \left( \frac{270 - 3x}{2} \right) + 4x = 500 \] \[ \frac{5(270 - 3x)}{2} + 4x = 500 \] \[ \frac{1350 - 15x}{2} + 4x = 500 \] \[ 1350 - 15x + 8x = 1000 \] \[ 1350 - 7x = 1000 \] \[ 1350 - 1000 = 7x \] \[ 350 = 7x \] \[ x = 50 \] অতএব, \( ক = x = 50 \)
এখন, \( x = 50 \) মানটি সমীকরণ (5) এ বসাই: \[ y = \frac{270 - 3 \times 50}{2} \] \[ y = \frac{270 - 150}{2} \] \[ y = \frac{120}{2} \] \[ y = 60 \] অতএব, \( খ = y = 60 \)
অতএব, ক এবং খ এর মান যথাক্রমে ৫০ এবং ৬০।
প্রশ্নঃ তিনটি মেশিন একটি কাজ যথাক্রমে ৪, ৫ ও ৬ ঘণ্টায় করতে পারে। দুটি মেশিনে সর্বোচ্চ ক্ষমতায় কাজ করে এক ঘন্টায় কতটুকু কাজ করতে পারবে?
[ বিসিএস ১৮তম ]
ক. $$\frac{৯}{২০}$$
খ. $$\frac{১১ }{৩০}$$
ক. $$\frac{৩}{৫}$$
খ. $$\frac{৯}{২০}$$
গ. $$\frac{১১}{১৫ }$$
ক. $$\frac{১১ }{৩০}$$
খ. $$\frac{৯}{২০}$$
গ. $$\frac{৩}{৫}$$
ঘ. $$\frac{১১}{১৫ }$$
উত্তরঃ $$\frac{৯}{২০}$$
ব্যাখ্যাঃ ধরুন, মেশিন তিনটি যথাক্রমে \(A\), \(B\), এবং \(C\)।
মেশিন \(A\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{4}\) অংশ।
মেশিন \(B\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{5}\) অংশ।
মেশিন \(C\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{6}\) অংশ।
সর্বোচ্চ ক্ষমতায় দুটি মেশিন এক ঘন্টায় যতটুকু কাজ করতে পারে, সেটি বের করতে আমাদের তাদের কাজের গড় বের করতে হবে।
সবচেয়ে বেশি কাজ করতে পারে \(A\) এবং \(B\)। এবার \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজ করতে পারে: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 4}{20} = \frac{9}{20} \] অতএব, দুটি মেশিন \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজের \(\frac{9}{20}\) অংশ করতে পারে।
মেশিন \(A\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{4}\) অংশ।
মেশিন \(B\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{5}\) অংশ।
মেশিন \(C\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{6}\) অংশ।
সর্বোচ্চ ক্ষমতায় দুটি মেশিন এক ঘন্টায় যতটুকু কাজ করতে পারে, সেটি বের করতে আমাদের তাদের কাজের গড় বের করতে হবে।
সবচেয়ে বেশি কাজ করতে পারে \(A\) এবং \(B\)। এবার \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজ করতে পারে: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 4}{20} = \frac{9}{20} \] অতএব, দুটি মেশিন \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজের \(\frac{9}{20}\) অংশ করতে পারে।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যার \(\frac{২}{৭}\) অংশ ৬৪- এর সমান?
[ বিসিএস ১৫তম ]
ক. ২২৪
খ. ২১৭
ক. ২২৪
খ. ২৪৮
গ. $$ ১৮\frac{২}{৭}$$
ক. $$ ১৮\frac{২}{৭}$$
খ. ২৪৮
গ. ২১৭
ঘ. ২২৪
উত্তরঃ ২২৪
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা হলো \( x \)।
প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{২}{৭} \times x = ৬৪ \] এখন, \( x \) নির্ণয় করি: \[ x = \frac{৬৪ \times ৭}{২} \] \[ x = \frac{৪৪৮}{২} \] \[ x = ২২৪ \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ২২৪।
প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{২}{৭} \times x = ৬৪ \] এখন, \( x \) নির্ণয় করি: \[ x = \frac{৬৪ \times ৭}{২} \] \[ x = \frac{৪৪৮}{২} \] \[ x = ২২৪ \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ২২৪।
প্রশ্নঃ কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
[ বিসিএস ১৫তম | প্রা. প্র. শি. নি.৯-১০-২০১২ ]
ক. \(\frac{২}{৫}\)
খ. \(\sqrt{০.৩}\)
ক. \(\sqrt{০.৩}\)
খ. \(\frac{১}{৩}\)
গ. \(\frac{২}{৫}\)
ক. \(০.৩\)
খ. \(\sqrt{০.৩}\)
গ. \(\frac{২}{৫}\)
ঘ. \(\frac{১}{৩}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{০.৩}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে প্রতিটি সংখ্যা দশমিক আকারে রূপান্তর করি:
কঃ \( 0.3 \)
খঃ \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)
গঃ \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
ঘঃ \( \frac{1}{3} \approx 0.3333 \)
তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)।
কঃ \( 0.3 \)
খঃ \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)
গঃ \( \frac{2}{5} = 0.4 \)
ঘঃ \( \frac{1}{3} \approx 0.3333 \)
তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)।
প্রশ্নঃ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি। সংখ্যাটি কত?
[ বিসিএস ১৪তম ]
ক. ৪৭
খ. ২৫
ক. ৩৬
খ. ২৫
গ. ১৪
ক. ৪৭
খ. ৩৬
গ. ২৫
ঘ. ১৪
উত্তরঃ ২৫
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক \( x \) এবং এককের অঙ্ক \( y \)।
প্রশ্ন অনুযায়ী:
1. এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি: \[ y = x + 3 \] 2. সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি: \[ 10x + y = 3(x + y) + 4 \] এখন আমরা এই দুটি সমীকরণ সমাধান করি।
প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ y = x + 3 \] এটি দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: \[ 10x + (x + 3) = 3(x + (x + 3)) + 4 \] \[ 10x + x + 3 = 3(2x + 3) + 4 \] \[ 11x + 3 = 6x + 9 + 4 \] \[ 11x + 3 = 6x + 13 \] এখন \( x \) নির্ণয় করি: \[ 11x - 6x = 13 - 3 \] \[ 5x = 10 \] \[ x = 2 \] এখন \( y \) নির্ণয় করি: \[ y = x + 3 \] \[ y = 2 + 3 \] \[ y = 5 \] অতএব, সংখ্যাটি হলো \( 10x + y = 10 \times 2 + 5 = 25 \)।
অতএব, সংখ্যাটি হলো ২৫।
প্রশ্ন অনুযায়ী:
1. এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি: \[ y = x + 3 \] 2. সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি: \[ 10x + y = 3(x + y) + 4 \] এখন আমরা এই দুটি সমীকরণ সমাধান করি।
প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ y = x + 3 \] এটি দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: \[ 10x + (x + 3) = 3(x + (x + 3)) + 4 \] \[ 10x + x + 3 = 3(2x + 3) + 4 \] \[ 11x + 3 = 6x + 9 + 4 \] \[ 11x + 3 = 6x + 13 \] এখন \( x \) নির্ণয় করি: \[ 11x - 6x = 13 - 3 \] \[ 5x = 10 \] \[ x = 2 \] এখন \( y \) নির্ণয় করি: \[ y = x + 3 \] \[ y = 2 + 3 \] \[ y = 5 \] অতএব, সংখ্যাটি হলো \( 10x + y = 10 \times 2 + 5 = 25 \)।
অতএব, সংখ্যাটি হলো ২৫।
ক. ১১ সেকেন্ড
খ. ১০ সেকেন্ড
ক. ১০ সেকেন্ড
খ. \(১০\frac{১}{৫}\) সেকেন্ড
গ. ১১ সেকেন্ড
ক. ১১ সেকেন্ড
খ. ১০ সেকেন্ড
গ. ১২ সেকেন্ড
ঘ. \(১০\frac{১}{৫}\) সেকেন্ড
উত্তরঃ ১১ সেকেন্ড
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে ৬টার জন্য ঘণ্টাধ্বনি বাজানোর সময় বিবেচনা করি। ৬ বার ঘণ্টাধ্বনি বাজানো মানে, ৫টি বিরতি আছে:
\[ \text{প্রতি বিরতি = } \frac{৫ \text{ সেকেন্ড}}{৫ \text{ বিরতি}} = ১ \text{ সেকেন্ড/বিরতি} \] এখন, ১২টা বাজানোর সময়, ১২টি ঘণ্টাধ্বনি বাজানো হবে, যা মানে ১১টি বিরতি। প্রতিটি বিরতি ১ সেকেন্ড হবে।
তাহলে, ১২টা বাজানোর জন্য মোট সময় হবে: \[ ১১ \text{ বিরতি} \times ১ \text{ সেকেন্ড/বিরতি} = ১১ \text{ সেকেন্ড} \] অতএব, ঘড়িতে ১২টা বাজানোর জন্য ১১ সেকেন্ড সময় লাগবে।
\[ \text{প্রতি বিরতি = } \frac{৫ \text{ সেকেন্ড}}{৫ \text{ বিরতি}} = ১ \text{ সেকেন্ড/বিরতি} \] এখন, ১২টা বাজানোর সময়, ১২টি ঘণ্টাধ্বনি বাজানো হবে, যা মানে ১১টি বিরতি। প্রতিটি বিরতি ১ সেকেন্ড হবে।
তাহলে, ১২টা বাজানোর জন্য মোট সময় হবে: \[ ১১ \text{ বিরতি} \times ১ \text{ সেকেন্ড/বিরতি} = ১১ \text{ সেকেন্ড} \] অতএব, ঘড়িতে ১২টা বাজানোর জন্য ১১ সেকেন্ড সময় লাগবে।
ক. ১৪০টি
খ. ১০০টি
ক. ১৮০টি
খ. ২০০টি
গ. ১৪০টি
ক. ১০০টি
খ. ১৪০টি
গ. ১৮০টি
ঘ. ২০০টি
উত্তরঃ ১৪০টি
ব্যাখ্যাঃ ধরি, গোয়ালার মোট গাভীর সংখ্যা \( n \)। প্রথম পুত্রকে \( \frac{১}{২} \) অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ \( \frac{n}{2} \) গাভী। দ্বিতীয় পুত্রকে \( \frac{১}{৪} \) অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ \( \frac{n}{4} \) গাভী। তৃতীয় পুত্রকে \( \frac{১}{৫} \) অংশ দিয়েছে, অর্থাৎ \( \frac{n}{5} \) গাভী। চতুর্থ পুত্রকে বাকি \( ৭ \) গাভী দিয়েছে। তাহলে, \[ \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \frac{n}{5} + ৭ = n \] \[ \frac{10n}{20} + \frac{5n}{20} + \frac{4n}{20} + ৭ = n \] \[ \frac{19n}{20} + ৭ = n \] \[ 7 = n - \frac{19n}{20} \] \[ 7 = \frac{20n - 19n}{20} \] \[ 7 = \frac{n}{20} \] \[ n = 7 \times 20 \] \[ n = 140 \] অতএব, ঐ গোয়ালার মোট গাভীর সংখ্যা ছিল 140।
প্রশ্নঃ \(a^m.a^n = a^{m+n}\) কখন হবে?
[ বিসিএস ১৪তম ]
ক. m ধনাত্মক ও n ঋণাত্মক হলে
খ. m ও n ধনাত্মক হলে
ক. m ও n ধনাত্মক হলে
খ. n ধনাত্মক হলে
গ. m ধনাত্মক ও n ঋণাত্মক হলে
ক. m ধনাত্মক হলে
খ. n ধনাত্মক হলে
গ. m ও n ধনাত্মক হলে
ঘ. m ধনাত্মক ও n ঋণাত্মক হলে
উত্তরঃ m ও n ধনাত্মক হলে
ব্যাখ্যাঃ \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) সমীকরণটি প্রযোজ্য হবে যখন \(a\) একই সংখ্যা এবং \(m\) ও \(n\) দুইটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (ধরা যাক \(a \neq 0\) )।
অর্থাৎ, \(a\) এর একই ভিত্তি এবং তাদের ঘাত যোগফল সমান হবে, তখনই এই সমীকরণটি সত্যি হবে।
অর্থাৎ, \(a\) এর একই ভিত্তি এবং তাদের ঘাত যোগফল সমান হবে, তখনই এই সমীকরণটি সত্যি হবে।
প্রশ্নঃ একটি ১০,০০০ টাকার বিলের ওপর এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পার্থক্য কত টাকা?
[ বিসিএস ১৩তম ]
ক. ১৪৪
খ. ২৫৬
ক. শূন্য
খ. ৪০০
গ. ১৪৪
ক. শূন্য
খ. ১৪৪
গ. ২৫৬
ঘ. ৪০০
উত্তরঃ ১৪৪
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পরিমাণ গণনা করব এবং তারপর তাদের পার্থক্য নির্ণয় করব।
১. এককালীন ৪০% কমতি:
১০,০০০ টাকার ওপর ৪০% কমতি: \[ \text{কমতি} = ১০,০০০ \times \frac{৪০}{১০০} = ৪,০০০ \text{ টাকা} \] ২. পর পর ৩৬% ও ৪% কমতি:
প্রথমে ৩৬% কমতি: \[ \text{প্রথম কমতি} = ১০,০০০ \times \frac{৩৬}{১০০} = ৩,৬০০ \text{ টাকা} \] \[ \text{প্রথম কমতির পর অবশিষ্ট} = ১০,০০০ - ৩,৬০০ = ৬,৪০০ \text{ টাকা} \] তারপর ৪% কমতি: \[ \text{দ্বিতীয় কমতি} = ৬,৪০০ \times \frac{৪}{১০০} = ২৫৬ \text{ টাকা} \] \[ \text{মোট কমতি} = ৩,৬০০ + ২৫৬ = ৩,৮৫৬ \text{ টাকা} \] ৩. পার্থক্য:
\[ \text{পার্থক্য} = ৪,০০০ - ৩,৮৫৬ = ১৪৪ \text{ টাকা} \] অতএব, এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পার্থক্য ১৪৪ টাকা।
১. এককালীন ৪০% কমতি:
১০,০০০ টাকার ওপর ৪০% কমতি: \[ \text{কমতি} = ১০,০০০ \times \frac{৪০}{১০০} = ৪,০০০ \text{ টাকা} \] ২. পর পর ৩৬% ও ৪% কমতি:
প্রথমে ৩৬% কমতি: \[ \text{প্রথম কমতি} = ১০,০০০ \times \frac{৩৬}{১০০} = ৩,৬০০ \text{ টাকা} \] \[ \text{প্রথম কমতির পর অবশিষ্ট} = ১০,০০০ - ৩,৬০০ = ৬,৪০০ \text{ টাকা} \] তারপর ৪% কমতি: \[ \text{দ্বিতীয় কমতি} = ৬,৪০০ \times \frac{৪}{১০০} = ২৫৬ \text{ টাকা} \] \[ \text{মোট কমতি} = ৩,৬০০ + ২৫৬ = ৩,৮৫৬ \text{ টাকা} \] ৩. পার্থক্য:
\[ \text{পার্থক্য} = ৪,০০০ - ৩,৮৫৬ = ১৪৪ \text{ টাকা} \] অতএব, এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পার্থক্য ১৪৪ টাকা।
প্রশ্নঃ ৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?
[ বিসিএস ১৩তম ]
ক. ৩
খ. ৫
ক. ৪
খ. ৬
গ. ৫
ক. ৩
খ. ৪
গ. ৫
ঘ. ৬
উত্তরঃ ৫
ব্যাখ্যাঃ \(32 = 2^5\) এখন, লগারিদম সূত্র অনুযায়ী: \[ \log_2{32} = \log_2{2^5} = 5 \] অতএব, \(32\) এর \(2\) ভিত্তিক লগারিদম হল \(5\)।
ক. \(b=g-4\)
খ. \(b=g-5\)
ক. \(b=g-4\)
খ. \(b=\frac{g}{5}\)
গ. \(b=g-5\)
ক. \(b=g\)
খ. \(b=\frac{g}{5}\)
গ. \(b=g-4\)
ঘ. \(b=g-5\)
উত্তরঃ \(b=g-4\)
ব্যাখ্যাঃ
বালকের সংখ্যা + 4 = বালিকার সংখ্যা
=> b + 4 = g
∴ b = g - 4
ক. \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\)
খ. \(1.5\)
ক. \(1.5\)
খ. \(1.8\)
গ. \(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\)
ক. \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\)
খ. \(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\)
গ. \(1.5\)
ঘ. \(1.8\)
উত্তরঃ \(1.5\)
ব্যাখ্যাঃ \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে আমরা নিম্নলিখিত পদ্ধতি ব্যবহার করব।
ধাপ ১: \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মান নির্ণয় \[ \sqrt{2} \approx 1.4142 \\ \sqrt{3} \approx 1.7321 \] ধাপ ২: মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা নির্ণয়
\(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো তাদের গড়: \[ \text{গড়} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.4142 + 1.7321}{2} = \frac{3.1463}{2} \approx 1.5731 \] ধাপ ৩: মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ
এই মানটি একটি মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, \(1.5\) বা \(\frac{3}{2}\) একটি মূলদ সংখ্যা যা \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী।
ফলাফল
\(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো \(1.5\) বা \(\frac{3}{2}\)।
ধাপ ১: \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মান নির্ণয় \[ \sqrt{2} \approx 1.4142 \\ \sqrt{3} \approx 1.7321 \] ধাপ ২: মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা নির্ণয়
\(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো তাদের গড়: \[ \text{গড়} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.4142 + 1.7321}{2} = \frac{3.1463}{2} \approx 1.5731 \] ধাপ ৩: মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ
এই মানটি একটি মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, \(1.5\) বা \(\frac{3}{2}\) একটি মূলদ সংখ্যা যা \(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী।
ফলাফল
\(\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{3}\) এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো \(1.5\) বা \(\frac{3}{2}\)।
প্রশ্নঃ \(\frac{15÷15×15}{15÷15 ~এর ~15}\) সরল করলে তার মান হবে-
[ বিসিএস ১১তম ]
ক. 1
খ. 225
ক. 225
খ. 0
গ. \(\frac{1}{225}\)
ক. 0
খ. 1
গ. 225
ঘ. \(\frac{1}{225}\)
উত্তরঃ 225
ব্যাখ্যাঃ \[ \frac{15 \div 15 \times 15}{15 \div 15 \div 15} \] সরলীকরণ: \[ = \frac{1 \times 15}{15 \div 225}\] \[= 15 \times \frac{225}{15}\] \[ = 225 \]
প্রশ্নঃ নিচের কোন সংখ্যাটি মৌলিক?
[ বিসিএস ১০তম ]
ক. ৪৭
খ. ৯১
ক. ৯১
খ. ৪৭
গ. ১৪৩
ক. ৯১
খ. ১৪৩
গ. ৪৭
ঘ. ৮৭
উত্তরঃ ৪৭
ব্যাখ্যাঃ
যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না সেই সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। উপরিউক্ত ৪টি সংখ্যার মধ্যে ৪৭ সংখ্যাটিরই কেবলমাত্র ২টি উৎপাদক আছে বলে এটি মৌলিক সংখ্যা।
প্রশ্নঃ ১ হতে ৩০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?
[ বিসিএস ১০তম ]
ক. ১০টি
খ. ৯টি
ক. ১০টি
খ. ১১টি
গ. ৮টি
ক. ১১টি
খ. ৮টি
গ. ১০টি
ঘ. ৯টি
উত্তরঃ ১০টি
ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মোট ১০টি মৌলিক সংখ্যা আছে। এগুলো হল: \[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \] মৌলিক সংখ্যা হল যেসব সংখ্যা কেবল ১ এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য হয়।
ক. \(\frac{1}{800}\)
খ. \(\frac{1}{8}\)
ক. \(\frac{1}{8}\)
খ. \(\frac{1}{8000}\)
গ. \(\frac{1}{800}\)
ক. \(\frac{1}{80}\)
খ. \(\frac{1}{800}\)
গ. \(\frac{1}{8000}\)
ঘ. \(\frac{1}{8}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{8}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, সংজ্ঞার্থের সমস্ত সংখ্যাকে সরল করি:
উপরে: \[ 0.1 \times 0.01 \times 0.001 = 0.000001 \] নিচে: \[ 0.2 \times 0.02 \times 0.002 = 0.000008 \] এখন, ভগ্নাংশটি লিখি: \[ \frac{0.000001}{0.000008} \] \[ = \frac{1}{8}\]
উপরে: \[ 0.1 \times 0.01 \times 0.001 = 0.000001 \] নিচে: \[ 0.2 \times 0.02 \times 0.002 = 0.000008 \] এখন, ভগ্নাংশটি লিখি: \[ \frac{0.000001}{0.000008} \] \[ = \frac{1}{8}\]
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\) এর সমান?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. \(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
খ. \(\frac{1}{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\)
ক. \(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
খ. \(\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\)
গ. \(\sqrt{2}\)
ক. \(\sqrt{2}\)
খ. \(\frac{1}{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\)
গ. \(\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\)
ঘ. \(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
ব্যাখ্যাঃ ধাপে ধাপে আমরা দেখতে পাই: \[ \sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \] এখন উপরের অংশ সরলীকরণ করা হলে: \[ (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 \] তাহলে: \[ \sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \]
প্রশ্নঃ ৫ জন তাঁত-শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় বুনতে পারে। একই ধরনের ৭টি কাপড় বুনতে ৭ জন শ্রমিকের কত দিন লাগবে?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. \(\frac{৪৯}{২৫ }\) দিন
খ. ৫ দিন
ক. ৫ দিন
খ. \(\frac{২৫}{৪৯ }\) দিন
গ. \(\frac{৪৯}{২৫ }\) দিন
ক. ৫ দিন
খ. \(\frac{২৫}{৪৯ }\) দিন
গ. \(\frac{৪৯}{২৫ }\) দিন
ঘ. ৭ দিন
উত্তরঃ ৫ দিন
ব্যাখ্যাঃ ১. প্রথমে শ্রমিক এবং কাজের সম্পর্ক বিশ্লেষণ করি:
৫ জন শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় তৈরি করতে পারে।
অর্থাৎ, ৫ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে \( \frac{৫}{৫} = ১ \) কাপড়।
তাহলে ১ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে: \[ \frac{১}{৫} \text{ কাপড়।} \] ২. ৭টি কাপড় তৈরি করতে ৭ জন শ্রমিকের দৈনিক কাজের ক্ষমতা বের করি:
৭ জন শ্রমিক একদিনে তৈরি করতে পারে: \[ ৭ \times \frac{১}{৫} = \frac{৭}{৫} \text{ কাপড়।} \] ৩. ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় বের করি:
যদি ৭ জন শ্রমিক প্রতিদিন \( \frac{৭}{৫} \) কাপড় তৈরি করে, তাহলে ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় লাগবে: \[ \frac{৭}{\frac{৭}{৫}} = ৫ \text{ দিন।} \]
৫ জন শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় তৈরি করতে পারে।
অর্থাৎ, ৫ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে \( \frac{৫}{৫} = ১ \) কাপড়।
তাহলে ১ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে: \[ \frac{১}{৫} \text{ কাপড়।} \] ২. ৭টি কাপড় তৈরি করতে ৭ জন শ্রমিকের দৈনিক কাজের ক্ষমতা বের করি:
৭ জন শ্রমিক একদিনে তৈরি করতে পারে: \[ ৭ \times \frac{১}{৫} = \frac{৭}{৫} \text{ কাপড়।} \] ৩. ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় বের করি:
যদি ৭ জন শ্রমিক প্রতিদিন \( \frac{৭}{৫} \) কাপড় তৈরি করে, তাহলে ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় লাগবে: \[ \frac{৭}{\frac{৭}{৫}} = ৫ \text{ দিন।} \]
ক. \(9\frac{2}{3}\)
খ. \(13\frac{2}{3}\)
ক. \(9\frac{2}{3}\)
খ. \(13\frac{2}{3}\)
গ. \(11\frac{1}{3}\)
ক. \(9\frac{2}{3}\)
খ. \(11\frac{1}{3}\)
গ. \(12\frac{2}{5}\)
ঘ. \(13\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ \(13\frac{2}{3}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \[ (64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 3K \] আমরা প্রথমে \((64)^{\frac{2}{3}}\) এবং \((625)^{\frac{1}{2}}\) এর মান নির্ণয় করব।
ধাপ 1: \((64)^{\frac{2}{3}}\) এর মান নির্ণয় \[ (64)^{\frac{2}{3}} = \left(64^{\frac{1}{3}}\right)^2 \] \[ 64^{\frac{1}{3}} = 4 \quad (\text{কারণ } 4^3 = 64) \] \[ (64)^{\frac{2}{3}} = 4^2 = 16 \] ধাপ 2: \((625)^{\frac{1}{2}}\) এর মান নির্ণয় \[ (625)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{625} = 25 \] ধাপ 3: সমীকরণে মান বসানো \[ (64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 16 + 25 = 41 \] \[ 3K = 41 \] \[ K = \frac{41}{3} \] সুতরাং, \(K\) এর মান হলো: \[ \boxed{13\frac{2}{3}} \]
ধাপ 1: \((64)^{\frac{2}{3}}\) এর মান নির্ণয় \[ (64)^{\frac{2}{3}} = \left(64^{\frac{1}{3}}\right)^2 \] \[ 64^{\frac{1}{3}} = 4 \quad (\text{কারণ } 4^3 = 64) \] \[ (64)^{\frac{2}{3}} = 4^2 = 16 \] ধাপ 2: \((625)^{\frac{1}{2}}\) এর মান নির্ণয় \[ (625)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{625} = 25 \] ধাপ 3: সমীকরণে মান বসানো \[ (64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 16 + 25 = 41 \] \[ 3K = 41 \] \[ K = \frac{41}{3} \] সুতরাং, \(K\) এর মান হলো: \[ \boxed{13\frac{2}{3}} \]
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. \(\frac{১}{৩}\)
খ. ০.৩
ক. ০.৩
খ. \(\frac{১}{৩}\)
গ. \(\frac{২}{৫}\)
ক. ০.৩
খ. \(\sqrt{০.৩}\)
গ. \(\frac{১}{৩}\)
ঘ. \(\frac{২}{৫}\)
উত্তরঃ ০.৩
ব্যাখ্যাঃ এই সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয় করে তুলনা করব।
ধাপ 1: সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয়
- ক: \(0.3\)
- খ: \(\sqrt{0.3} \approx 0.5477\)
- গ: \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\)
- ঘ: \(\frac{2}{5} = 0.4\)
ধাপ 2: সংখ্যাগুলো তুলনা
সংখ্যাগুলোকে মানের ভিত্তিতে সাজালে: \[ 0.3 < 0.3333 < 0.4 < 0.5477 \] অর্থাৎ: \[ 0.3 < \frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \sqrt{0.3} \] ধাপ 3: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয়
উপরের তুলনা থেকে দেখা যাচ্ছে যে \(0.3\) হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো: \[ \boxed{\text{কঃ } 0.3} \]
ধাপ 1: সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয়
- ক: \(0.3\)
- খ: \(\sqrt{0.3} \approx 0.5477\)
- গ: \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\)
- ঘ: \(\frac{2}{5} = 0.4\)
ধাপ 2: সংখ্যাগুলো তুলনা
সংখ্যাগুলোকে মানের ভিত্তিতে সাজালে: \[ 0.3 < 0.3333 < 0.4 < 0.5477 \] অর্থাৎ: \[ 0.3 < \frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \sqrt{0.3} \] ধাপ 3: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয়
উপরের তুলনা থেকে দেখা যাচ্ছে যে \(0.3\) হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো: \[ \boxed{\text{কঃ } 0.3} \]
প্রশ্নঃ \(x>y\) এবং \(z<0\) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
[ বিসিএস ৩১তম | প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
ক. \(\frac{z}{x}>\frac{z}{y}\)
খ. \( \mathrm {xz < yz} \)
ক. \(\frac{x}{z}>\frac{y}{z}\)
খ. \( \mathrm {xz < yz} \)
গ. \(\frac{z}{x}>\frac{z}{y}\)
ক. \(xz>yz\)
খ. \(\frac{x}{z}>\frac{y}{z}\)
গ. \(\frac{z}{x}>\frac{z}{y}\)
ঘ. \( \mathrm {xz < yz} \)
উত্তরঃ \( \mathrm {xz < yz} \)
ব্যাখ্যাঃ
"মেহেতু z < 0; সেহেতু z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।
দেওয়া আছে,
x > y সুতরাং, xz < yz [ ঋণাত্মককে z দ্বারা গুণ করুন]
z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বলে z দ্বারা ঋণাত্মককে গুণ করায় > চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে < চিহ্ন হয়েছে।"
প্রশ্নঃ \(log_a(\frac{m}{n})=\) কত?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. \(\mathrm {log_a m×log_an}\)
খ. \(\mathrm {log_a m-log_an}\)
ক. \(\mathrm {log_a m-log_an}\)
খ. কোনোটিই নয়
গ. \(\mathrm {log_a m×log_an}\)
ক. \(\mathrm {log_a m-log_an}\)
খ. \(\mathrm {log_a m+log_an}\)
গ. \(\mathrm {log_a m×log_an}\)
ঘ. কোনোটিই নয়
উত্তরঃ \(\mathrm {log_a m-log_an}\)
ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমের গুণনীয়কের সূত্র প্রয়োগ করে \(log_a(\frac{m}{n})\)-এর মান বের করতে পারি। সূত্রটি হলো: \[ log_a\left(\frac{m}{n}\right) = log_a(m) - log_a(n) \] তাহলে, \[ log_a(\frac{m}{n}) = log_a(m) - log_a(n) \] এটি হলো চূড়ান্ত উত্তর।
প্রশ্নঃ \(36.2^{3x-8}=3^2\) হলে \(x\) এ রর মান কত?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. \(\frac{7}{3}\)
খ. 2
ক. \(\frac{7}{3}\)
খ. \(\frac{8}{3}\)
গ. 2
ক. \(\frac{7}{3}\)
খ. 3
গ. \(\frac{8}{3}\)
ঘ. 2
উত্তরঃ 2
ব্যাখ্যাঃ \[ 36.2^{3x-8} = 3^2 \] \[\Rightarrow 2^{3x-8} = \frac{9}{36} \] \[\Rightarrow \frac{2^{3x}}{2^8} = \frac{1}{4} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = \frac{2^8}{4} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = \frac{2^8}{2^2} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = 2^{8-2} \] \[\Rightarrow 2^{3x} = 2^6 \] \[\Rightarrow 3x = 6\] \[\therefore x = 2 \]