প্রশ্নঃ পরস্পরকে স্পর্শ করে আছে এমন তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র \(P,Q, R\) এবং \(PG=a, QR=b, RP=c\) হলে \(P\) কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে-
[ বিসিএস ১৫তম ]
ক. $$a+b+c$$
খ. $$a+c-b$$
গ. $$c+a-b$$
ঘ. $$a-b+c$$
উত্তরঃ $$c+a-b$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা নিম্নলিখিত ধাপগুলি অনুসরণ করব:
### ধাপ ১: বৃত্তগুলির ব্যাসার্ধ নির্ণয়
ধরি, তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র \( P \), \( Q \), এবং \( R \) এর ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \( r_1 \), \( r_2 \), এবং \( r_3 \)।
যেহেতু বৃত্তগুলি পরস্পরকে স্পর্শ করে, তাই:
- \( PQ = r_1 + r_2 = a \)
- \( QR = r_2 + r_3 = b \)
- \( RP = r_3 + r_1 = c \)
### ধাপ ২: সমীকরণগুলি সমাধান করা
উপরের সমীকরণগুলি থেকে আমরা পাই:
1. \( r_1 + r_2 = a \)
2. \( r_2 + r_3 = b \)
3. \( r_3 + r_1 = c \)
এই সমীকরণগুলি সমাধান করে:
- সমীকরণ 1 এবং 2 যোগ করলে: \( r_1 + 2r_2 + r_3 = a + b \)
- সমীকরণ 3 থেকে \( r_3 = c - r_1 \)
এখন \( r_3 \) এর মান সমীকরণে বসিয়ে: \[ r_1 + 2r_2 + (c - r_1) = a + b \] \[ 2r_2 + c = a + b \] \[ 2r_2 = a + b - c \] \[ r_2 = \frac{a + b - c}{2} \] একইভাবে, \( r_1 \) এবং \( r_3 \) এর মান নির্ণয় করা যায়: \[ r_1 = \frac{a + c - b}{2} \] \[ r_3 = \frac{b + c - a}{2} \] ### ধাপ ৩: \( P \) কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস নির্ণয় \( P \) কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r_1 \), তাই এর ব্যাস হবে: \[ \text{ব্যাস} = 2r_1 = 2 \times \frac{a + c - b}{2} = a + c - b \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \( P \) কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে \( a + c - b \)।
### ধাপ ১: বৃত্তগুলির ব্যাসার্ধ নির্ণয়
ধরি, তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র \( P \), \( Q \), এবং \( R \) এর ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \( r_1 \), \( r_2 \), এবং \( r_3 \)।
যেহেতু বৃত্তগুলি পরস্পরকে স্পর্শ করে, তাই:
- \( PQ = r_1 + r_2 = a \)
- \( QR = r_2 + r_3 = b \)
- \( RP = r_3 + r_1 = c \)
### ধাপ ২: সমীকরণগুলি সমাধান করা
উপরের সমীকরণগুলি থেকে আমরা পাই:
1. \( r_1 + r_2 = a \)
2. \( r_2 + r_3 = b \)
3. \( r_3 + r_1 = c \)
এই সমীকরণগুলি সমাধান করে:
- সমীকরণ 1 এবং 2 যোগ করলে: \( r_1 + 2r_2 + r_3 = a + b \)
- সমীকরণ 3 থেকে \( r_3 = c - r_1 \)
এখন \( r_3 \) এর মান সমীকরণে বসিয়ে: \[ r_1 + 2r_2 + (c - r_1) = a + b \] \[ 2r_2 + c = a + b \] \[ 2r_2 = a + b - c \] \[ r_2 = \frac{a + b - c}{2} \] একইভাবে, \( r_1 \) এবং \( r_3 \) এর মান নির্ণয় করা যায়: \[ r_1 = \frac{a + c - b}{2} \] \[ r_3 = \frac{b + c - a}{2} \] ### ধাপ ৩: \( P \) কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস নির্ণয় \( P \) কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r_1 \), তাই এর ব্যাস হবে: \[ \text{ব্যাস} = 2r_1 = 2 \times \frac{a + c - b}{2} = a + c - b \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \( P \) কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে \( a + c - b \)।
Related MCQ
ছবিটি দেখে নিচের প্রশ্নের উত্তর দাও:
প্রশ্নঃ O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?
[ বিসিএস ৪৩তম ]
ক. 54°
খ. 72°
গ. 108°
ঘ. 126°
উত্তরঃ 126°
ব্যাখ্যাঃ
দেওয়া আছে কেন্দ্রস্থ কোণ=108° আমরা জানি, পরিধস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। অতএব পরিধস্থ কোণ=108/2 =54° অতএব ∠A=54° ∠A+∠C=180° 54+∠C=180° [x=∠C ধরে ] OR,∠C =180-54 =126° অতএব x=126°
প্রশ্নঃ 13 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব কত সে. মি.?
[ বিসিএস ৩৭তম ]
ক. 3
খ. 4
গ. 5
ঘ. 6
উত্তরঃ 5
ব্যাখ্যাঃ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় করি।
প্রদত্ত তথ্য:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = ১৩ সে.মি.
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ($AB$) = ২৪ সে.মি.
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ধরি, কেন্দ্র $O$ এবং জ্যা $AB$। $OC$ হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব।
তাহলে, $AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{২৪}{২} = ১২$ সে.মি.।
এখন, $OAC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $OA$ হলো অতিভুজ (ব্যাসার্ধ), $AC$ একটি বাহু এবং $OC$ হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$OA^2 = OC^2 + AC^2$
মানগুলো বসিয়ে পাই:
$১৩^২ = OC^2 + ১২^২$
$১৬৯ = OC^2 + ১৪৪$
$OC^2 = ১৬৯ - ১৪৪$
$OC^2 = ২৫$
$OC = \sqrt{২৫}$
$OC = ৫$ সে.মি.
সুতরাং, কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব হলো ৫ সে.মি.।
প্রদত্ত তথ্য:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = ১৩ সে.মি.
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ($AB$) = ২৪ সে.মি.
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ধরি, কেন্দ্র $O$ এবং জ্যা $AB$। $OC$ হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব।
তাহলে, $AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{২৪}{২} = ১২$ সে.মি.।
এখন, $OAC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $OA$ হলো অতিভুজ (ব্যাসার্ধ), $AC$ একটি বাহু এবং $OC$ হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$OA^2 = OC^2 + AC^2$
মানগুলো বসিয়ে পাই:
$১৩^২ = OC^2 + ১২^২$
$১৬৯ = OC^2 + ১৪৪$
$OC^2 = ১৬৯ - ১৪৪$
$OC^2 = ২৫$
$OC = \sqrt{২৫}$
$OC = ৫$ সে.মি.
সুতরাং, কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব হলো ৫ সে.মি.।
ছবিটি দেখে নিচের প্রশ্নের উত্তর দাও:
ক. 68°
খ. 34°
গ. 45°
ঘ. 39°
উত্তরঃ 34°
ব্যাখ্যাঃ চিত্র অনুসারে,
আমরা জানি যে, বৃত্তের ব্যাসার্ধগুলো সমান হয়। সুতরাং, ∆BOC ত্রিভুজে, OB এবং OC উভয়ই বৃত্তের ব্যাসার্ধ, তাই OB = OC।
যেহেতু ∆BOC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle) এবং OB = OC, তাই এদের বিপরীত কোণগুলোও সমান হবে।
অর্থাৎ, ∠OBC = ∠OCB।
ধরা যাক, ∠OCB = ∠x। তাহলে, ∠OBC = ∠x।
এখন, ∆BOC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
∠y + ∠x + ∠x = 180°
112° + 2∠x = 180°
এখন ∠x-এর মান নির্ণয় করি:
2∠x = 180° - 112°
2∠x = 68°
∠x = $\frac{68°}{2}$
∠x = 34°
সুতরাং, ∠x এর মান হলো 34°।
- O হলো বৃত্তের কেন্দ্র।
- AC হলো একটি ব্যাস (কারণ O কেন্দ্র AC রেখার উপর অবস্থিত এবং A ও C বৃত্তের পরিধির উপর)।
- ∆ABC হলো বৃত্তে অন্তর্লিখিত একটি ত্রিভুজ।
- ∠y = ∠BOC = 112°।
- ∠x = ∠OCB বা ∠BCA।
আমরা জানি যে, বৃত্তের ব্যাসার্ধগুলো সমান হয়। সুতরাং, ∆BOC ত্রিভুজে, OB এবং OC উভয়ই বৃত্তের ব্যাসার্ধ, তাই OB = OC।
যেহেতু ∆BOC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle) এবং OB = OC, তাই এদের বিপরীত কোণগুলোও সমান হবে।
অর্থাৎ, ∠OBC = ∠OCB।
ধরা যাক, ∠OCB = ∠x। তাহলে, ∠OBC = ∠x।
এখন, ∆BOC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
∠y + ∠x + ∠x = 180°
112° + 2∠x = 180°
এখন ∠x-এর মান নির্ণয় করি:
2∠x = 180° - 112°
2∠x = 68°
∠x = $\frac{68°}{2}$
∠x = 34°
সুতরাং, ∠x এর মান হলো 34°।
প্রশ্নঃ একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
[ বিসিএস ৩৪তম ]
ক. ৬৬ সেন্টিমিটার
খ. ৪২ সেন্টিমিটার
গ. ২১ সেন্টিমিটার
ঘ. ২২ সেন্টিমিটার
উত্তরঃ ৪২ সেন্টিমিটার
ব্যাখ্যাঃ একটি বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো তার ব্যাস।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $r$ এবং ব্যাস $d$।
বৃত্তের পরিধি = $2 \pi r$
প্রশ্নানুযায়ী,
$2 \pi r = ১৩২$
$2 \times \frac{২২}{৭} \times r = ১৩২$
$\frac{৪৪}{৭} \times r = ১৩২$
$r = \frac{১৩২ \times ৭}{৪৪}$
$r = ৩ \times ৭$
$r = ২১$ সেমি।
যেহেতু বৃহত্তম জ্যা হলো বৃত্তের ব্যাস, তাই
ব্যাস, $d = ২r$
$d = ২ \times ২১$
$d = ৪২$ সেমি।
সুতরাং, বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হলো ৪২ সেন্টিমিটার।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $r$ এবং ব্যাস $d$।
বৃত্তের পরিধি = $2 \pi r$
প্রশ্নানুযায়ী,
$2 \pi r = ১৩২$
$2 \times \frac{২২}{৭} \times r = ১৩২$
$\frac{৪৪}{৭} \times r = ১৩২$
$r = \frac{১৩২ \times ৭}{৪৪}$
$r = ৩ \times ৭$
$r = ২১$ সেমি।
যেহেতু বৃহত্তম জ্যা হলো বৃত্তের ব্যাস, তাই
ব্যাস, $d = ২r$
$d = ২ \times ২১$
$d = ৪২$ সেমি।
সুতরাং, বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হলো ৪২ সেন্টিমিটার।
ক. ৩ গুণ
খ. ৯ গুণ
গ. ১২গুণ
ঘ. ১৬ গুণ
উত্তরঃ ৯ গুণ
ব্যাখ্যাঃ কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসের বর্গের সমানুপাতিক। এর অর্থ হলো, ব্যাসকে যতগুণ বৃদ্ধি করা হবে, ক্ষেত্রফল তার বর্গের সমান গুণ বৃদ্ধি পাবে।
যদি ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি পায়, তাহলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে $(৩)^২ = ৯$ গুণ।
উদাহরণ:
যদি মূল ব্যাস $d$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে $A_1 = \pi(\frac{d}{2})^2$
যদি নতুন ব্যাস $3d$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে $A_2 = \pi(\frac{3d}{2})^2 = \pi(\frac{9d^2}{4}) = 9 \times \pi(\frac{d^2}{4}) = 9A_1$
সুতরাং, ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পায়।
যদি ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি পায়, তাহলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে $(৩)^২ = ৯$ গুণ।
উদাহরণ:
যদি মূল ব্যাস $d$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে $A_1 = \pi(\frac{d}{2})^2$
যদি নতুন ব্যাস $3d$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে $A_2 = \pi(\frac{3d}{2})^2 = \pi(\frac{9d^2}{4}) = 9 \times \pi(\frac{d^2}{4}) = 9A_1$
সুতরাং, ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পায়।
প্রশ্নঃ বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যাকে কি বলা হয়?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. ব্যাস
খ. ব্যাসার্ধ
গ. বৃত্তচাপ
ঘ. পরিধি
উত্তরঃ ব্যাস
ব্যাখ্যাঃ
বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী অর্থাৎ বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে গমনকারী জ্যাকে বলা হয় বৃত্তের ব্যাস।
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. $$ax^2+bx+c=0$$
খ. $$y^2=ax$$
গ. $$x^2+y^2=16$$
ঘ. $$y^2=2x+7$$
উত্তরঃ $$x^2+y^2=16$$
ব্যাখ্যাঃ একটি বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হলো:
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$
যেখানে $(h,k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং $r$ হলো ব্যাসার্ধ।
এখন, বিকল্পগুলো যাচাই করি:
* ক: $ax^2+bx+c=0$
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation)। এটি বৃত্তের সমীকরণ নয়।
* খ: $y^2=ax$
এটি একটি প্যারাবোলার (parabola) সমীকরণ।
* গ: $x^2+y^2=16$
এই সমীকরণটিকে আমরা $x^2 + y^2 = 4^2$ হিসাবে লিখতে পারি। এই সমীকরণটি বৃত্তের আদর্শ সমীকরণের সাথে মেলে, যেখানে কেন্দ্র $(0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $4$। তাই এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ।
* ঘ: $y^2=2x+7$
এটিও একটি প্যারাবোলার সমীকরণ।
সুতরাং, প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে শুধুমাত্র $x^2+y^2=16$ একটি বৃত্তের সমীকরণ।
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$
যেখানে $(h,k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং $r$ হলো ব্যাসার্ধ।
এখন, বিকল্পগুলো যাচাই করি:
* ক: $ax^2+bx+c=0$
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation)। এটি বৃত্তের সমীকরণ নয়।
* খ: $y^2=ax$
এটি একটি প্যারাবোলার (parabola) সমীকরণ।
* গ: $x^2+y^2=16$
এই সমীকরণটিকে আমরা $x^2 + y^2 = 4^2$ হিসাবে লিখতে পারি। এই সমীকরণটি বৃত্তের আদর্শ সমীকরণের সাথে মেলে, যেখানে কেন্দ্র $(0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $4$। তাই এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ।
* ঘ: $y^2=2x+7$
এটিও একটি প্যারাবোলার সমীকরণ।
সুতরাং, প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে শুধুমাত্র $x^2+y^2=16$ একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক. ৪
খ. ৯
গ. ১২
ঘ. ১৬
উত্তরঃ ৯
ব্যাখ্যাঃ বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: \[ A = \pi r^2 \] যেখানে \( r \) হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ। এখন, যদি ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে ব্যাসার্ধও তিনগুণ বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ, নতুন ব্যাসার্ধ হবে \( 3r \)। নতুন ক্ষেত্রফল: \[ A' = \pi (3r)^2 = \pi \times 9r^2 = 9\pi r^2 \] অর্থাৎ, নতুন ক্ষেত্রফল পুরোনো ক্ষেত্রফলের ৯ গুণ হবে। ### উত্তর: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
প্রশ্নঃ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত-
[ বিসিএস ২৬তম | বিসিএস ১৬তম ]
ক. ৩
খ. ২২/৭
গ. ২৫/৯
ঘ. প্রায় ৫
উত্তরঃ ২২/৭
ব্যাখ্যাঃ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত একটি ধ্রুব সংখ্যা, যা π (পাই) দ্বারা সূচিত। এর মান প্রায় 3.14159।
অর্থাৎ, যে কোনও বৃত্তের পরিধিকে তার ব্যাস দিয়ে ভাগ করলে সর্বদা π পাওয়া যাবে। এই অনুপাতটি বৃত্তের আকার বা আয়তনের উপর নির্ভর করে না।
# গাণিতিকভাবে,
পরিধি / ব্যাস = π
অথবা,
পরিধি = π × ব্যাস
এই সূত্রটি ব্যবহার করে, বৃত্তের পরিধি বা ব্যাস জানা থাকলে অন্যটি সহজেই নির্ণয় করা যায়।
∴ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত = $$π=\frac{22}{7}$$
অর্থাৎ, যে কোনও বৃত্তের পরিধিকে তার ব্যাস দিয়ে ভাগ করলে সর্বদা π পাওয়া যাবে। এই অনুপাতটি বৃত্তের আকার বা আয়তনের উপর নির্ভর করে না।
# গাণিতিকভাবে,
পরিধি / ব্যাস = π
অথবা,
পরিধি = π × ব্যাস
এই সূত্রটি ব্যবহার করে, বৃত্তের পরিধি বা ব্যাস জানা থাকলে অন্যটি সহজেই নির্ণয় করা যায়।
∴ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত = $$π=\frac{22}{7}$$
প্রশ্নঃ ১৩ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সেমি দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য-
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. ২৪ সেমি
খ. ১৮ সেমি
গ. ১৬ সেমি
ঘ. ১২ সেমি
উত্তরঃ ২৪ সেমি
ব্যাখ্যাঃ আমরা বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব, যেখানে— - বৃত্তের ব্যাসার্ধ, \( r = 13 \) সেমি - কেন্দ্র থেকে জ্যা পর্যন্ত লম্ব দূরত্ব, \( d = 5 \) সেমি --- ### ধাপ ১: সূত্র প্রয়োগ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-তে লম্ব টানলে, তা জ্যাটি সমদ্বিখণ্ডিত করে। জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য আমরা পাইথাগোরাস উপপাদ্য ব্যবহার করব। জ্যা-এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য \( l \) হলে, ত্রিভুজে, \[ r^2 = d^2 + l^2 \] \[ 13^2 = 5^2 + l^2 \] \[ 169 = 25 + l^2 \] \[ l^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ l = \sqrt{144} = 12 \] --- ### ধাপ ২: সম্পূর্ণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \[ \text{সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য} = 2l = 2 \times 12 = 24 \text{ সেমি} \] --- ### উত্তর: জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ২৪ সেমি ✅
ক. ৪
খ. ৬
গ. ৮
ঘ. ১০
উত্তরঃ ৬
ব্যাখ্যাঃ একটি গোল মুদ্রার চারপাশে একই আকারের মুদ্রা রাখার সমস্যাটি একটি জ্যামিতিক সমস্যা। এই সমস্যাটি সমাধান করতে আমরা মুদ্রাগুলির কেন্দ্রগুলির অবস্থান বিবেচনা করব।
ধাপ ১: মুদ্রাগুলির কেন্দ্রের অবস্থান
ধরা যাক, প্রতিটি মুদ্রার ব্যাসার্ধ \( r \)। মাঝের মুদ্রার কেন্দ্রকে \( O \) হিসাবে ধরা যাক। চারপাশের মুদ্রাগুলির কেন্দ্রগুলি \( O \) থেকে \( 2r \) দূরত্বে অবস্থিত হবে (কারণ প্রতিটি মুদ্রা মাঝের মুদ্রাকে স্পর্শ করে)।
ধাপ ২: মুদ্রাগুলির কেন্দ্রগুলির বিন্যাস চারপাশের মুদ্রাগুলির কেন্দ্রগুলি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে, যার কেন্দ্র \( O \) এবং ব্যাসার্ধ \( 2r \)। এই বৃত্তের পরিধি \( C = 2\pi \times 2r = 4\pi r \)।
ধাপ ৩: মুদ্রাগুলির সংখ্যা নির্ণয়
প্রতিটি মুদ্রার কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব \( 2r \) হবে (কারণ প্রতিটি মুদ্রা তার পাশের মুদ্রাগুলিকে স্পর্শ করে)। তাই, বৃত্তের পরিধি বরাবর মুদ্রাগুলির সংখ্যা \( n \) হবে: \[ n = \frac{C}{2r} = \frac{4\pi r}{2r} = 2\pi \] যেহেতু \( 2\pi \approx 6.28 \), তাই মুদ্রাগুলির সংখ্যা হবে ৬টি (কারণ মুদ্রার সংখ্যা একটি পূর্ণ সংখ্যা হতে হবে)।
ধাপ ১: মুদ্রাগুলির কেন্দ্রের অবস্থান
ধরা যাক, প্রতিটি মুদ্রার ব্যাসার্ধ \( r \)। মাঝের মুদ্রার কেন্দ্রকে \( O \) হিসাবে ধরা যাক। চারপাশের মুদ্রাগুলির কেন্দ্রগুলি \( O \) থেকে \( 2r \) দূরত্বে অবস্থিত হবে (কারণ প্রতিটি মুদ্রা মাঝের মুদ্রাকে স্পর্শ করে)।
ধাপ ২: মুদ্রাগুলির কেন্দ্রগুলির বিন্যাস চারপাশের মুদ্রাগুলির কেন্দ্রগুলি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে, যার কেন্দ্র \( O \) এবং ব্যাসার্ধ \( 2r \)। এই বৃত্তের পরিধি \( C = 2\pi \times 2r = 4\pi r \)।
ধাপ ৩: মুদ্রাগুলির সংখ্যা নির্ণয়
প্রতিটি মুদ্রার কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব \( 2r \) হবে (কারণ প্রতিটি মুদ্রা তার পাশের মুদ্রাগুলিকে স্পর্শ করে)। তাই, বৃত্তের পরিধি বরাবর মুদ্রাগুলির সংখ্যা \( n \) হবে: \[ n = \frac{C}{2r} = \frac{4\pi r}{2r} = 2\pi \] যেহেতু \( 2\pi \approx 6.28 \), তাই মুদ্রাগুলির সংখ্যা হবে ৬টি (কারণ মুদ্রার সংখ্যা একটি পূর্ণ সংখ্যা হতে হবে)।
ক. PC = PD
খ. PA = PB
গ. PB = PA
ঘ. PB = PD
উত্তরঃ PB = PD
ব্যাখ্যাঃ 
কারণ, সমান সমান জ্যাদ্বয় পরস্পর ছেদ করলে ১টির খণ্ডিত অংশ অপরটি সমান হয়।
কারণ, সমান সমান জ্যাদ্বয় পরস্পর ছেদ করলে ১টির খণ্ডিত অংশ অপরটি সমান হয়।
প্রশ্নঃ ৭ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গসেমি?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
ক. ১৯৬
খ. ৯৮
গ. ৯৬
ঘ. ১৯২
উত্তরঃ ৯৮
ব্যাখ্যাঃ ১. বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = ৭ সেমি
বৃত্তের ব্যাস (d) = ২ × r = ২ × ৭ = ১৪ সেমি।
২. বর্গক্ষেত্রের কর্ণ (d) = বৃত্তের ব্যাস = ১৪ সেমি
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সূত্র: \[ \text{কর্ণ} = a\sqrt{2} \implies a\sqrt{2} = 14 \] যেখানে, \(a\) হলো বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য।
৩. বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়: \[ a = \frac{14}{\sqrt{2}} = \frac{14 \times \sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \text{ সেমি} \] ৪. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = a^2 = (7\sqrt{2})^2 = 49 \times 2 = 98 \text{ বর্গসেমি} \] উত্তর: \[ \boxed{98} \]
বৃত্তের ব্যাস (d) = ২ × r = ২ × ৭ = ১৪ সেমি।
২. বর্গক্ষেত্রের কর্ণ (d) = বৃত্তের ব্যাস = ১৪ সেমি
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সূত্র: \[ \text{কর্ণ} = a\sqrt{2} \implies a\sqrt{2} = 14 \] যেখানে, \(a\) হলো বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য।
৩. বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়: \[ a = \frac{14}{\sqrt{2}} = \frac{14 \times \sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \text{ সেমি} \] ৪. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = a^2 = (7\sqrt{2})^2 = 49 \times 2 = 98 \text{ বর্গসেমি} \] উত্তর: \[ \boxed{98} \]
প্রশ্নঃ একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে ১২ বার ঘুরে। চাকাটি ৫ সেকেন্ডে কত ডিগ্রী ঘুরবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
ক. ৯০ ডিগ্রী
খ. ৩৬০ ডিগ্রী
গ. ৩০০ ডিগ্রী
ঘ. ১৮০ ডিগ্রী
উত্তরঃ ৩৬০ ডিগ্রী
ব্যাখ্যাঃ একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১২ বার ঘোরে।
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
অর্থাৎ, ৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে ১২ বার।
তাহলে, ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে $\frac{১২}{৬০}$ বার = $\frac{১}{৫}$ বার।
আমরা জানি, চাকা ১ বার ঘুরলে $360^\circ$ ঘোরে।
সুতরাং, ৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে:
$= (\frac{১}{৫} \times ৫)$ বার
$= ১$ বার
এখন, ১ বার ঘুরলে $360^\circ$ ঘোরে।
উত্তর: চাকাটি ৫ সেকেন্ডে $360^\circ$ ঘুরবে।
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
অর্থাৎ, ৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে ১২ বার।
তাহলে, ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে $\frac{১২}{৬০}$ বার = $\frac{১}{৫}$ বার।
আমরা জানি, চাকা ১ বার ঘুরলে $360^\circ$ ঘোরে।
সুতরাং, ৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে:
$= (\frac{১}{৫} \times ৫)$ বার
$= ১$ বার
এখন, ১ বার ঘুরলে $360^\circ$ ঘোরে।
উত্তর: চাকাটি ৫ সেকেন্ডে $360^\circ$ ঘুরবে।
প্রশ্নঃ একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 17 সে: মি: হলে এর পরিধি কত?
[ 18th ntrca (স্কুল সমপর্যায়-২) (15-03-2024) ]
ক. 17 π
খ. 34 π
গ. 26 π
ঘ. 51 π
উত্তরঃ 34 π
ব্যাখ্যাঃ একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = 17 সেমি।
বৃত্তের পরিধির সূত্র হলো: পরিধি ($C$) = $2\pi r$
মান বসিয়ে পাই:
$C = 2 \times \pi \times 17$
$C = 34\pi$ সেমি
যদি $\pi$ এর আনুমানিক মান 3.14159 ধরা হয়, তাহলে:
$C \approx 34 \times 3.14159$
$C \approx 106.814$ সেমি।
তবে, সাধারণত গাণিতিক প্রশ্নে $\pi$ এর মান বসানোর কথা না বলা থাকলে $\pi$ কে $\pi$ আকারেই রাখা হয়।
অতএব, বৃত্তের পরিধি $34\pi$ সেমি।
বৃত্তের পরিধির সূত্র হলো: পরিধি ($C$) = $2\pi r$
মান বসিয়ে পাই:
$C = 2 \times \pi \times 17$
$C = 34\pi$ সেমি
যদি $\pi$ এর আনুমানিক মান 3.14159 ধরা হয়, তাহলে:
$C \approx 34 \times 3.14159$
$C \approx 106.814$ সেমি।
তবে, সাধারণত গাণিতিক প্রশ্নে $\pi$ এর মান বসানোর কথা না বলা থাকলে $\pi$ কে $\pi$ আকারেই রাখা হয়।
অতএব, বৃত্তের পরিধি $34\pi$ সেমি।
প্রশ্নঃ কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 30° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?
[ 18th ntrca (স্কুল পর্যায়) (15-03-2024) ]
ক. 15°
খ. 45°
গ. 60°
ঘ. 75°
উত্তরঃ 75°
ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে দেওয়া আছে,
বৃত্তের একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ = $30^\circ$
আমরা জানি, কোনো বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ, ঐ চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
সুতরাং, বৃত্তস্থ কোণ = $\frac{1}{2} \times$ কেন্দ্রস্থ কোণ
বৃত্তস্থ কোণ = $\frac{1}{2} \times 30^\circ = 15^\circ$
এখন, এই বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান নির্ণয় করতে হবে।
পূরক কোণ হলো এমন দুটি কোণ, যাদের যোগফল $90^\circ$।
বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণ = $90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$
সুতরাং, বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান 75°।
বৃত্তের একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ = $30^\circ$
আমরা জানি, কোনো বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ, ঐ চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
সুতরাং, বৃত্তস্থ কোণ = $\frac{1}{2} \times$ কেন্দ্রস্থ কোণ
বৃত্তস্থ কোণ = $\frac{1}{2} \times 30^\circ = 15^\circ$
এখন, এই বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান নির্ণয় করতে হবে।
পূরক কোণ হলো এমন দুটি কোণ, যাদের যোগফল $90^\circ$।
বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণ = $90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$
সুতরাং, বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান 75°।
প্রশ্নঃ 5 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 4 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
[ 18th ntrca (স্কুল পর্যায়) (15-03-2024) ]
ক. 4
খ. 5
গ. 6
ঘ. 7
উত্তরঃ 6
ব্যাখ্যাঃ ধরি, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB হলো জ্যা। কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সেমি।
কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব = 4 সেমি।
এই দুটি দূরত্ব এবং জ্যা এর অর্ধেক মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
ধরি, জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু M। তাহলে OM = 4 সেমি এবং OA (ব্যাসার্ধ) = 5 সেমি।
সমকোণী ত্রিভুজ OMA-তে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$OM^2 + AM^2 = OA^2$
$4^2 + AM^2 = 5^2$
$16 + AM^2 = 25$
$AM^2 = 25 - 16$
$AM^2 = 9$
$AM = \sqrt{9}$
$AM = 3$ সেমি
যেহেতু জ্যা এর দৈর্ঘ্য হলো $AB = 2 \times AM$
$AB = 2 \times 3$
$AB = 6$ সেমি
সুতরাং, জ্যা এর দৈর্ঘ্য হলো 6 সেমি।
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সেমি।
কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব = 4 সেমি।
এই দুটি দূরত্ব এবং জ্যা এর অর্ধেক মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
ধরি, জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু M। তাহলে OM = 4 সেমি এবং OA (ব্যাসার্ধ) = 5 সেমি।
সমকোণী ত্রিভুজ OMA-তে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$OM^2 + AM^2 = OA^2$
$4^2 + AM^2 = 5^2$
$16 + AM^2 = 25$
$AM^2 = 25 - 16$
$AM^2 = 9$
$AM = \sqrt{9}$
$AM = 3$ সেমি
যেহেতু জ্যা এর দৈর্ঘ্য হলো $AB = 2 \times AM$
$AB = 2 \times 3$
$AB = 6$ সেমি
সুতরাং, জ্যা এর দৈর্ঘ্য হলো 6 সেমি।
প্রশ্নঃ বৃত্তের কোনো উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণটি-
[ 18th ntrca (স্কুল পর্যায়) (15-03-2024) ]
ক. সুদ্ধকোণ
খ. স্থূলকোণ
গ. সমকোণ
ঘ. সরলকোণ
উত্তরঃ স্থূলকোণ
ব্যাখ্যাঃ বৃত্তের কোনো উপচাপে (minor arc) অন্তর্লিখিত কোণটি স্থূলকোণ।
ব্যাখ্যা:
উপচাপ হলো অর্ধবৃত্তের চেয়ে ছোট একটি বৃত্তচাপ। এই উপচাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে তৈরি কোণের অর্ধেকের সমান। যেহেতু উপচাপটি অর্ধবৃত্তের চেয়ে ছোট, তাই এর কেন্দ্রস্থ কোণ $180^\circ$ এর চেয়ে ছোট হয়। ফলে বৃত্তস্থ কোণটি $90^\circ$ এর চেয়ে ছোট হবে, অর্থাৎ সূক্ষ্মকোণ হবে।
অন্যদিকে, অধিচাপে (major arc) অন্তর্লিখিত কোণটি হয় সূক্ষ্মকোণ।
উপচাপে (minor arc) অন্তর্লিখিত কোণটি হয় স্থূলকোণ।
আপনার প্রশ্নটি ছিল বৃত্তের উপচাপে "অন্তর্লিখিত" কোণ। এখানে অন্তর্লিখিত কোণ বলতে সেই কোণকে বোঝানো হয়েছে যা উপচাপের বিপরীত দিকে, অর্থাৎ অধিচাপের উপর গঠিত হয়। সেই কোণটি সবসময় স্থূলকোণ হবে।
ব্যাখ্যা:
উপচাপ হলো অর্ধবৃত্তের চেয়ে ছোট একটি বৃত্তচাপ। এই উপচাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে তৈরি কোণের অর্ধেকের সমান। যেহেতু উপচাপটি অর্ধবৃত্তের চেয়ে ছোট, তাই এর কেন্দ্রস্থ কোণ $180^\circ$ এর চেয়ে ছোট হয়। ফলে বৃত্তস্থ কোণটি $90^\circ$ এর চেয়ে ছোট হবে, অর্থাৎ সূক্ষ্মকোণ হবে।
অন্যদিকে, অধিচাপে (major arc) অন্তর্লিখিত কোণটি হয় সূক্ষ্মকোণ।
উপচাপে (minor arc) অন্তর্লিখিত কোণটি হয় স্থূলকোণ।
আপনার প্রশ্নটি ছিল বৃত্তের উপচাপে "অন্তর্লিখিত" কোণ। এখানে অন্তর্লিখিত কোণ বলতে সেই কোণকে বোঝানো হয়েছে যা উপচাপের বিপরীত দিকে, অর্থাৎ অধিচাপের উপর গঠিত হয়। সেই কোণটি সবসময় স্থূলকোণ হবে।