ব্যাখ্যাঃ ৪ সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, প্রথমে আমাদের বৃত্তটির ব্যাসার্ধ বের করতে হবে।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হবে পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাস।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(d\) নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$ যেখানে \(a\) হলো বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য।

এখানে, \(a = 4\) সেমি। সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য: $$d = 4\sqrt{2} \text{ সেমি}$$ যেহেতু বৃত্তের ব্যাস বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সমান, বৃত্তের ব্যাস \(D = 4\sqrt{2}\) সেমি।

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\) হবে ব্যাসের অর্ধেক: $$r = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ সেমি}$$ এখন, বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(A\) নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$A = \pi r^2$$ এখানে, \(r = 2\sqrt{2}\) সেমি। সুতরাং, বৃত্তের ক্ষেত্রফল: $$A = \pi (2\sqrt{2})^2 = \pi (4 \times 2) = 8\pi \text{ বর্গ সেমি}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হল:
$$s = r\theta$$
যেখানে $s$ হল বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, $r$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং $\theta$ হল কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ (রেডিয়ানে)।

আমাদের দেওয়া আছে:
কেন্দ্রের কোণ, $\theta = 60^\circ$
বৃত্তের ব্যাস = 12 cm
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{12}{2} = 6$ cm

প্রথমে, কোণটিকে রেডিয়ানে পরিবর্তন করতে হবে:
$$\theta (\text{রেডিয়ান}) = \theta (\text{ডিগ্রী}) \times \frac{\pi}{180^\circ}$$
$$\theta = 60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ রেডিয়ান}$$

এখন, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:
$$s = r\theta = 6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi \text{ cm}$$

সুতরাং, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $2\pi$ cm।

ব্যাখ্যাঃ

দেওয়া আছে কেন্দ্রস্থ কোণ=108° আমরা জানি, পরিধস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। অতএব পরিধস্থ কোণ=108/2 =54° অতএব ∠A=54° ∠A+∠C=180° 54+∠C=180° [x=∠C ধরে ] OR,∠C =180-54 =126° অতএব x=126°

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাস $d$ এবং নতুন ব্যাস $d'$। প্রশ্নানুসারে, নতুন ব্যাস প্রাথমিক ব্যাসের চারগুণ, অর্থাৎ $d' = 4d$.

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হল $A = \pi r^2$, যেখানে $r$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ। যেহেতু ব্যাস ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ ($d = 2r$), তাই ব্যাসার্ধ $r = \frac{d}{2}$.

প্রাথমিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \frac{d}{2}$, সুতরাং প্রাথমিক ক্ষেত্রফল $A = \pi (\frac{d}{2})^2 = \pi \frac{d^2}{4}$.

নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r' = \frac{d'}{2} = \frac{4d}{2} = 2d$, সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল $A' = \pi (2d)^2 = \pi (4d^2) = 16 \pi \frac{d^2}{4} = 16A$.

অতএব, বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

ব্যাখ্যাঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজ যদি কোনো বৃত্তে অঙ্কিত হয় (অর্থাৎ বৃত্তটি ত্রিভুজটির বহিবৃত্ত হয়), তাহলে ত্রিভুজটির প্রতিটি শীর্ষবিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থান করে।

এই অবস্থায়, যদি ত্রিভুজটির বাহু $a$, এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ $R$ হয়, তবে:

$$
a = \sqrt{3} \cdot R
$$

এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে:

$$
\text{Area} = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2
$$

এখানে, $R = 6$ সেমি

$$
\text{Area} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 36 = 27\sqrt{3}
$$

ব্যাখ্যাঃ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় করি।

প্রদত্ত তথ্য:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = ১৩ সে.মি.
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ($AB$) = ২৪ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ধরি, কেন্দ্র $O$ এবং জ্যা $AB$। $OC$ হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব।
তাহলে, $AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{২৪}{২} = ১২$ সে.মি.।

এখন, $OAC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $OA$ হলো অতিভুজ (ব্যাসার্ধ), $AC$ একটি বাহু এবং $OC$ হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$OA^2 = OC^2 + AC^2$

মানগুলো বসিয়ে পাই:
$১৩^২ = OC^2 + ১২^২$
$১৬৯ = OC^2 + ১৪৪$
$OC^2 = ১৬৯ - ১৪৪$
$OC^2 = ২৫$
$OC = \sqrt{২৫}$
$OC = ৫$ সে.মি.

সুতরাং, কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব হলো ৫ সে.মি.।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ ছিল $r$।
তাহলে, প্রাথমিক ক্ষেত্রফল $A_1 = \pi r^2$।

ব্যাসার্ধ ২০% কমে গেলে, নতুন ব্যাসার্ধ হবে:
$r' = r - (r \times \frac{20}{100})$
$r' = r - \frac{20r}{100}$
$r' = r - \frac{r}{5}$
$r' = \frac{5r - r}{5}$
$r' = \frac{4r}{5}$

এখন, নতুন ক্ষেত্রফল $A_2$ নির্ণয় করি:
$A_2 = \pi (r')^2$
$A_2 = \pi \left(\frac{4r}{5}\right)^2$
$A_2 = \pi \left(\frac{16r^2}{25}\right)$
$A_2 = \frac{16}{25} \pi r^2$

ক্ষেত্রফল কমেছে = $A_1 - A_2$
$= \pi r^2 - \frac{16}{25} \pi r^2$
$= \pi r^2 \left(1 - \frac{16}{25}\right)$
$= \pi r^2 \left(\frac{25 - 16}{25}\right)$
$= \pi r^2 \left(\frac{9}{25}\right)$

শতকরা কমার হার = $\frac{\text{ক্ষেত্রফল কমেছে}}{\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}} \times 100\%$
$= \frac{\frac{9}{25} \pi r^2}{\pi r^2} \times 100\%$
$= \frac{9}{25} \times 100\%$
$= 9 \times 4\%$
$= 36\%$

সুতরাং, উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬% কমবে।

ব্যাখ্যাঃ চিত্র অনুসারে,

• O হলো বৃত্তের কেন্দ্র।
  
• AC হলো একটি ব্যাস (কারণ O কেন্দ্র AC রেখার উপর অবস্থিত এবং A ও C বৃত্তের পরিধির উপর)।
  
• ∆ABC হলো বৃত্তে অন্তর্লিখিত একটি ত্রিভুজ।
  
• ∠y = ∠BOC = 112°।
  
• ∠x = ∠OCB বা ∠BCA।
  

আমরা জানি যে, বৃত্তের ব্যাসার্ধগুলো সমান হয়। সুতরাং, ∆BOC ত্রিভুজে, OB এবং OC উভয়ই বৃত্তের ব্যাসার্ধ, তাই OB = OC।

যেহেতু ∆BOC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle) এবং OB = OC, তাই এদের বিপরীত কোণগুলোও সমান হবে।
অর্থাৎ, ∠OBC = ∠OCB।

ধরা যাক, ∠OCB = ∠x। তাহলে, ∠OBC = ∠x।

এখন, ∆BOC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
∠y + ∠x + ∠x = 180°
112° + 2∠x = 180°

এখন ∠x-এর মান নির্ণয় করি:
2∠x = 180° - 112°
2∠x = 68°
∠x = $\frac{68°}{2}$
∠x = 34°

সুতরাং, ∠x এর মান হলো 34°।

ব্যাখ্যাঃ এখানে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = ২ সে. মি.।

১. বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো $ \pi r^2 $।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi (২)^২ = ৪\pi$ বর্গ সে.মি.।

২. বৃত্তের অন্তঃস্থ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
যদি একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তের অন্তঃস্থ হয়, তাহলে বৃত্তের ব্যাস (Diameter) হবে বর্গক্ষেত্রের কর্ণ (Diagonal)।
বৃত্তের ব্যাস ($D$) = $২ \times r = ২ \times ২ = ৪$ সে.মি.।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ($d$) = ৪ সে.মি.।

ধরি, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ সে.মি.।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ($d$) = $ \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} $।
আমরা জানি $d = 4$ সে.মি.।
সুতরাং, $a\sqrt{2} = 4$
$a = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $ সে.মি.।

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8 $ বর্গ সে.মি.।

৩. আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হলো বৃত্তের ক্ষেত্রফল থেকে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বিয়োগ করলে যা থাকে।
আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = বৃত্তের ক্ষেত্রফল - বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= $4\pi - 8 $ বর্গ সে.মি.।

সুতরাং, আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হলো $(4\pi - 8)$ বর্গ সে.মি.।

ব্যাখ্যাঃ একটি বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো তার ব্যাস।

সমাধান:
ধরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $r$ এবং ব্যাস $d$।
বৃত্তের পরিধি = $2 \pi r$
প্রশ্নানুযায়ী,
$2 \pi r = ১৩২$
$2 \times \frac{২২}{৭} \times r = ১৩২$
$\frac{৪৪}{৭} \times r = ১৩২$
$r = \frac{১৩২ \times ৭}{৪৪}$
$r = ৩ \times ৭$
$r = ২১$ সেমি।

যেহেতু বৃহত্তম জ্যা হলো বৃত্তের ব্যাস, তাই
ব্যাস, $d = ২r$
$d = ২ \times ২১$
$d = ৪২$ সেমি।

সুতরাং, বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হলো ৪২ সেন্টিমিটার।

ব্যাখ্যাঃ
যখন একটি বর্গক্ষেত্র কোনো বৃত্তের মধ্যে অঙ্কিত হয়, তখন বর্গক্ষেত্রটির কর্ণ (diagonal) বৃত্তটির ব্যাসের (diameter) সমান হয়।

এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r$ = ৭ সে.মি.
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস, $d = ২ \times r = ২ \times ৭ = ১৪$ সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের কর্ণ, $d$ = ১৪ সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\frac{d^2}{2}$
ক্ষেত্রফল = $\frac{(১৪)^2}{2}$ = $\frac{১৯৬}{2}$ = ৯৮ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যাঃ কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসের বর্গের সমানুপাতিক। এর অর্থ হলো, ব্যাসকে যতগুণ বৃদ্ধি করা হবে, ক্ষেত্রফল তার বর্গের সমান গুণ বৃদ্ধি পাবে।

যদি ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি পায়, তাহলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে $(৩)^২ = ৯$ গুণ।

উদাহরণ:
যদি মূল ব্যাস $d$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে $A_1 = \pi(\frac{d}{2})^2$
যদি নতুন ব্যাস $3d$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে $A_2 = \pi(\frac{3d}{2})^2 = \pi(\frac{9d^2}{4}) = 9 \times \pi(\frac{d^2}{4}) = 9A_1$

সুতরাং, ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পায়।

ব্যাখ্যাঃ একটি বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হলো:
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$
যেখানে $(h,k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং $r$ হলো ব্যাসার্ধ।

এখন, বিকল্পগুলো যাচাই করি:

* ক: $ax^2+bx+c=0$
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation)। এটি বৃত্তের সমীকরণ নয়।

* খ: $y^2=ax$
এটি একটি প্যারাবোলার (parabola) সমীকরণ।

* গ: $x^2+y^2=16$
এই সমীকরণটিকে আমরা $x^2 + y^2 = 4^2$ হিসাবে লিখতে পারি। এই সমীকরণটি বৃত্তের আদর্শ সমীকরণের সাথে মেলে, যেখানে কেন্দ্র $(0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $4$। তাই এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ।

* ঘ: $y^2=2x+7$
এটিও একটি প্যারাবোলার সমীকরণ।

সুতরাং, প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে শুধুমাত্র $x^2+y^2=16$ একটি বৃত্তের সমীকরণ।

ব্যাখ্যাঃ বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: \[ A = \pi r^2 \] যেখানে \( r \) হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ। এখন, যদি ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে ব্যাসার্ধও তিনগুণ বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ, নতুন ব্যাসার্ধ হবে \( 3r \)। নতুন ক্ষেত্রফল: \[ A' = \pi (3r)^2 = \pi \times 9r^2 = 9\pi r^2 \] অর্থাৎ, নতুন ক্ষেত্রফল পুরোনো ক্ষেত্রফলের ৯ গুণ হবে। ### উত্তর: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

ব্যাখ্যাঃ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত একটি ধ্রুব সংখ্যা, যা π (পাই) দ্বারা সূচিত। এর মান প্রায় 3.14159।
অর্থাৎ, যে কোনও বৃত্তের পরিধিকে তার ব্যাস দিয়ে ভাগ করলে সর্বদা π পাওয়া যাবে। এই অনুপাতটি বৃত্তের আকার বা আয়তনের উপর নির্ভর করে না।
# গাণিতিকভাবে,
পরিধি / ব্যাস = π
অথবা,
পরিধি = π × ব্যাস
এই সূত্রটি ব্যবহার করে, বৃত্তের পরিধি বা ব্যাস জানা থাকলে অন্যটি সহজেই নির্ণয় করা যায়।
∴ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত = $$π=\frac{22}{7}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব, যেখানে— - বৃত্তের ব্যাসার্ধ, \( r = 13 \) সেমি - কেন্দ্র থেকে জ্যা পর্যন্ত লম্ব দূরত্ব, \( d = 5 \) সেমি --- ### ধাপ ১: সূত্র প্রয়োগ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-তে লম্ব টানলে, তা জ্যাটি সমদ্বিখণ্ডিত করে। জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য আমরা পাইথাগোরাস উপপাদ্য ব্যবহার করব। জ্যা-এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য \( l \) হলে, ত্রিভুজে, \[ r^2 = d^2 + l^2 \] \[ 13^2 = 5^2 + l^2 \] \[ 169 = 25 + l^2 \] \[ l^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ l = \sqrt{144} = 12 \] --- ### ধাপ ২: সম্পূর্ণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \[ \text{সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য} = 2l = 2 \times 12 = 24 \text{ সেমি} \] --- ### উত্তর: জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ২৪ সেমি ✅

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করব। ৫৬ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \pi r^2 \] এখানে, ব্যাস \( ৫৬ \) ফুট হলে \( r \) হবে \( \frac{৫৬}{২} = ২৮ \) ফুট।

তাহলে, \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \pi \times ২৮^2 = \pi \times ৭৮৪ \approx ২৪৬৪.৬ \text{বর্গফুট} \] এখন, একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = ২৪৬৪.৬ \text{ বর্গফুট} \] ধরি, বর্গক্ষেত্রের একদিকে \( s \) ফুট, তবে \[ s^2 = ২৪৬৪.৬ \] অতএব, \[ s = \sqrt{২৪৬৪.৬} \approx ৪৯.৬ \text{ ফুট} \] অতএব, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের দৈর্ঘ্য হবে প্রায় ৪৯.৬ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা নিম্নলিখিত ধাপগুলি অনুসরণ করব:

### ধাপ ১: বৃত্তগুলির ব্যাসার্ধ নির্ণয়
ধরি, তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র \( P \), \( Q \), এবং \( R \) এর ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \( r_1 \), \( r_2 \), এবং \( r_3 \)।

যেহেতু বৃত্তগুলি পরস্পরকে স্পর্শ করে, তাই:
- \( PQ = r_1 + r_2 = a \)
- \( QR = r_2 + r_3 = b \)
- \( RP = r_3 + r_1 = c \)
### ধাপ ২: সমীকরণগুলি সমাধান করা
উপরের সমীকরণগুলি থেকে আমরা পাই:
1. \( r_1 + r_2 = a \)
2. \( r_2 + r_3 = b \)
3. \( r_3 + r_1 = c \)

এই সমীকরণগুলি সমাধান করে:
- সমীকরণ 1 এবং 2 যোগ করলে: \( r_1 + 2r_2 + r_3 = a + b \)
- সমীকরণ 3 থেকে \( r_3 = c - r_1 \)

এখন \( r_3 \) এর মান সমীকরণে বসিয়ে: \[ r_1 + 2r_2 + (c - r_1) = a + b \] \[ 2r_2 + c = a + b \] \[ 2r_2 = a + b - c \] \[ r_2 = \frac{a + b - c}{2} \] একইভাবে, \( r_1 \) এবং \( r_3 \) এর মান নির্ণয় করা যায়: \[ r_1 = \frac{a + c - b}{2} \] \[ r_3 = \frac{b + c - a}{2} \] ### ধাপ ৩: \( P \) কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস নির্ণয় \( P \) কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r_1 \), তাই এর ব্যাস হবে: \[ \text{ব্যাস} = 2r_1 = 2 \times \frac{a + c - b}{2} = a + c - b \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \( P \) কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে \( a + c - b \)।

ব্যাখ্যাঃ একটি গোল মুদ্রার চারপাশে একই আকারের মুদ্রা রাখার সমস্যাটি একটি জ্যামিতিক সমস্যা। এই সমস্যাটি সমাধান করতে আমরা মুদ্রাগুলির কেন্দ্রগুলির অবস্থান বিবেচনা করব।

ধাপ ১: মুদ্রাগুলির কেন্দ্রের অবস্থান
ধরা যাক, প্রতিটি মুদ্রার ব্যাসার্ধ \( r \)। মাঝের মুদ্রার কেন্দ্রকে \( O \) হিসাবে ধরা যাক। চারপাশের মুদ্রাগুলির কেন্দ্রগুলি \( O \) থেকে \( 2r \) দূরত্বে অবস্থিত হবে (কারণ প্রতিটি মুদ্রা মাঝের মুদ্রাকে স্পর্শ করে)।

ধাপ ২: মুদ্রাগুলির কেন্দ্রগুলির বিন্যাস চারপাশের মুদ্রাগুলির কেন্দ্রগুলি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে, যার কেন্দ্র \( O \) এবং ব্যাসার্ধ \( 2r \)। এই বৃত্তের পরিধি \( C = 2\pi \times 2r = 4\pi r \)।

ধাপ ৩: মুদ্রাগুলির সংখ্যা নির্ণয়
প্রতিটি মুদ্রার কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব \( 2r \) হবে (কারণ প্রতিটি মুদ্রা তার পাশের মুদ্রাগুলিকে স্পর্শ করে)। তাই, বৃত্তের পরিধি বরাবর মুদ্রাগুলির সংখ্যা \( n \) হবে: \[ n = \frac{C}{2r} = \frac{4\pi r}{2r} = 2\pi \] যেহেতু \( 2\pi \approx 6.28 \), তাই মুদ্রাগুলির সংখ্যা হবে ৬টি (কারণ মুদ্রার সংখ্যা একটি পূর্ণ সংখ্যা হতে হবে)।

ব্যাখ্যাঃ
কারণ, সমান সমান জ্যাদ্বয় পরস্পর ছেদ করলে ১টির খণ্ডিত অংশ অপরটি সমান হয়।

ব্যাখ্যাঃ ব্যাসার্ধ \( r \) হলে ক্ষেত্রফল \( \pi r^2 \)

এবং \( (r + n) \) হলে ক্ষেত্রফল \( \pi (r + n)^2 \) \[ \therefore 2 \times \pi r^2 = \pi (r + n)^2 \] \[ \Rightarrow 2r^2 = (r + n)^2 \] \[ \Rightarrow \sqrt{2}r = r + n \] \[ \Rightarrow \sqrt{2}r - r = n \] \[ \therefore r = \frac{n}{\sqrt{2} - 1} \]

ব্যাখ্যাঃ
একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$।
যেখানে, $(h, k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং $r$ হলো ব্যাসার্ধ।

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 100$।
এই সমীকরণটিকে আমরা $(x-4)^2 + (y-(-3))^2 = 10^2$ হিসেবে লিখতে পারি।

এই সমীকরণটিকে সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করলে আমরা পাই:
$h = 4$
$k = -3$
$r^2 = 100$, সুতরাং $r=10$

সুতরাং, বৃত্তটির কেন্দ্রীয় স্থানাঙ্ক $(h, k) = (4, -3)$ এবং ব্যাসার্ধ $10$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ হলো \(r\)। তাহলে প্রাথমিক ক্ষেত্রফল হবে: \[ \text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল} = \pi r^2 \] যখন ব্যাস ২০% বৃদ্ধি পায়, তখন ব্যাসার্ধও ২০% বৃদ্ধি পাবে। নতুন ব্যাসার্ধ হবে: \[ r_{\text{নতুন}} = r + 0.2r = 1.2r \] নতুন ক্ষেত্রফল: \[ \text{নতুন ক্ষেত্রফল} = \pi (1.2r)^2 = \pi (1.44r^2) = 1.44\pi r^2 \] ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির পরিমাণ: \[ \text{ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি} = \text{নতুন ক্ষেত্রফল} - \text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল} \] \[ \text{ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি} = 1.44\pi r^2 - \pi r^2 = 0.44\pi r^2 \] ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি শতকরা হিসেবে: \[ \text{বৃদ্ধি} = \frac{0.44\pi r^2}{\pi r^2} \times 100 = 44\% \] উত্তর: বৃত্তের ব্যাস ২০% বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল ৪৪% বৃদ্ধি পাবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র \(O\), এবং \(AB\) হলো জ্যা। ব্যাসার্ধ \(r = ১৫\) সেমি এবং \(AB = ২৪\) সেমি। আমরা খুঁজছি \(O\) থেকে জ্যা \(AB\)-এর সর্বনিম্ন দূরত্ব, অর্থাৎ উল্লম্ব দূরত্ব \(OM\), যেখানে \(M\) হলো \(AB\)-এর মধ্যবিন্দু। পিথাগোরাস উপপাদ্যের প্রয়োগ:
জ্যা \(AB\)-কে দুই সমান ভাগে ভাগ করলে: \[ AM = \frac{AB}{2} = \frac{২৪}{২} = ১২ \; \text{সেমি।} \] ত্রিভুজ \(OAM\)-এ, \(OA = r = ১৫ \; \text{সেমি}\), এবং \(AM = ১২ \; \text{সেমি}\)।
এখন \(OM\)-এর মান পিথাগোরাস উপপাদ্য অনুযায়ী: \[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \] \[ 15^2 = OM^2 + 12^2 \] \[ 225 = OM^2 + 144 \] \[ OM^2 = 225 - 144 = 81 \] \[ OM = \sqrt{81} = 9 \; \text{সেমি।} \] সুতরাং, কেন্দ্র থেকে জ্যা \(AB\)-এর সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ৯ সেমি।

ব্যাখ্যাঃ ১. বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = ৭ সেমি
বৃত্তের ব্যাস (d) = ২ × r = ২ × ৭ = ১৪ সেমি।

২. বর্গক্ষেত্রের কর্ণ (d) = বৃত্তের ব্যাস = ১৪ সেমি
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সূত্র: \[ \text{কর্ণ} = a\sqrt{2} \implies a\sqrt{2} = 14 \] যেখানে, \(a\) হলো বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য।

৩. বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়: \[ a = \frac{14}{\sqrt{2}} = \frac{14 \times \sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \text{ সেমি} \] ৪. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = a^2 = (7\sqrt{2})^2 = 49 \times 2 = 98 \text{ বর্গসেমি} \] উত্তর: \[ \boxed{98} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, রেখাংশটির দৈর্ঘ্য $L$।
রেখাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $L \times L = L^2$।

ঐ রেখাংশের এক তৃতীয়াংশ হল $\frac{L}{3}$।
এক তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $(\frac{L}{3}) \times (\frac{L}{3}) = \frac{L^2}{9}$।

এখন, একটি রেখাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ রেখাংশের এক তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কত গুণ তা নির্ণয় করতে হবে।
অর্থাৎ, $\frac{L^2}{\frac{L^2}{9}}$
$= L^2 \times \frac{9}{L^2}$
$= 9$

সুতরাং, একটি রেখাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ রেখাংশের এক তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের 9 গুণ।

ব্যাখ্যাঃ একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = 17 সেমি।

বৃত্তের পরিধির সূত্র হলো: পরিধি ($C$) = $2\pi r$

মান বসিয়ে পাই:
$C = 2 \times \pi \times 17$
$C = 34\pi$ সেমি

যদি $\pi$ এর আনুমানিক মান 3.14159 ধরা হয়, তাহলে:
$C \approx 34 \times 3.14159$
$C \approx 106.814$ সেমি।

তবে, সাধারণত গাণিতিক প্রশ্নে $\pi$ এর মান বসানোর কথা না বলা থাকলে $\pi$ কে $\pi$ আকারেই রাখা হয়।

অতএব, বৃত্তের পরিধি $34\pi$ সেমি।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে দেওয়া আছে,
বৃত্তের একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ = $30^\circ$

আমরা জানি, কোনো বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ, ঐ চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
সুতরাং, বৃত্তস্থ কোণ = $\frac{1}{2} \times$ কেন্দ্রস্থ কোণ
বৃত্তস্থ কোণ = $\frac{1}{2} \times 30^\circ = 15^\circ$

এখন, এই বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান নির্ণয় করতে হবে।
পূরক কোণ হলো এমন দুটি কোণ, যাদের যোগফল $90^\circ$।

বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণ = $90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$

সুতরাং, বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান 75°।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB হলো জ্যা। কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সেমি।
কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব = 4 সেমি।
এই দুটি দূরত্ব এবং জ্যা এর অর্ধেক মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
ধরি, জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু M। তাহলে OM = 4 সেমি এবং OA (ব্যাসার্ধ) = 5 সেমি।
সমকোণী ত্রিভুজ OMA-তে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$OM^2 + AM^2 = OA^2$
$4^2 + AM^2 = 5^2$
$16 + AM^2 = 25$
$AM^2 = 25 - 16$
$AM^2 = 9$
$AM = \sqrt{9}$
$AM = 3$ সেমি

যেহেতু জ্যা এর দৈর্ঘ্য হলো $AB = 2 \times AM$
$AB = 2 \times 3$
$AB = 6$ সেমি

সুতরাং, জ্যা এর দৈর্ঘ্য হলো 6 সেমি।

ব্যাখ্যাঃ বৃত্তের কোনো উপচাপে (minor arc) অন্তর্লিখিত কোণটি স্থূলকোণ।

ব্যাখ্যা:
উপচাপ হলো অর্ধবৃত্তের চেয়ে ছোট একটি বৃত্তচাপ। এই উপচাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে তৈরি কোণের অর্ধেকের সমান। যেহেতু উপচাপটি অর্ধবৃত্তের চেয়ে ছোট, তাই এর কেন্দ্রস্থ কোণ $180^\circ$ এর চেয়ে ছোট হয়। ফলে বৃত্তস্থ কোণটি $90^\circ$ এর চেয়ে ছোট হবে, অর্থাৎ সূক্ষ্মকোণ হবে।

অন্যদিকে, অধিচাপে (major arc) অন্তর্লিখিত কোণটি হয় সূক্ষ্মকোণ।
উপচাপে (minor arc) অন্তর্লিখিত কোণটি হয় স্থূলকোণ।

আপনার প্রশ্নটি ছিল বৃত্তের উপচাপে "অন্তর্লিখিত" কোণ। এখানে অন্তর্লিখিত কোণ বলতে সেই কোণকে বোঝানো হয়েছে যা উপচাপের বিপরীত দিকে, অর্থাৎ অধিচাপের উপর গঠিত হয়। সেই কোণটি সবসময় স্থূলকোণ হবে।