প্রশ্নঃ এর সমাধান-
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
পরম মানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি হয়, তাহলে হয়।
এখানে এবং ।
তাহলে, আমরা লিখতে পারি:
এখন এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে বিভক্ত করে সমাধান করব:
প্রথম অংশ:
উভয় পক্ষকে দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
বা,
দ্বিতীয় অংশ:
উভয় পক্ষকে দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
এখন উভয় অংশের সমাধানকে একত্রিত করি:
এবং
সুতরাং, সমাধানটি হলো ।
পরম মানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি
এখানে
তাহলে, আমরা লিখতে পারি:
এখন এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে বিভক্ত করে সমাধান করব:
প্রথম অংশ:
উভয় পক্ষকে
বা,
দ্বিতীয় অংশ:
উভয় পক্ষকে
এখন উভয় অংশের সমাধানকে একত্রিত করি:
সুতরাং, সমাধানটি হলো
Related MCQ
প্রশ্নঃ x² – 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট –
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. [3, 4]
খ. [4, ∞)
ক. [3, 4]
খ. (3, 4)
গ. [4, ∞)
ক. (- ∞, 3]
খ. (3, 4)
গ. [3, 4]
ঘ. [4, ∞)
উত্তরঃ [3, 4]
ব্যাখ্যাঃ আমরা x² – 7x + 12 ≤ 0 অমৌলিক অসাম্য সমাধান করব।
1. বহুপদী অভাজ্য করা
আমরা x² – 7x + 12-কে ভগ্নাংশে বিভক্ত করি:² 2. অসাম্য রূপান্তর 3. মূলবিন্দু নির্ণয়
মূলবিন্দু: x = 3, x = 4
এটি সংখ্যারেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
1. x < 3 (নেতিবাচক)
2. 3 ≤ x ≤ 4 (ধনাত্মক বা শূন্য)
3. x > 4 (নেতিবাচক)
যেহেতু অসাম্যটি ≤ 0, তাই ধনাত্মক অংশ বাদ দিয়ে শূন্যসহ (3,4)-এর মধ্যে মান নেওয়া হবে।
4. সমাধান সেট
1. বহুপদী অভাজ্য করা
আমরা x² – 7x + 12-কে ভগ্নাংশে বিভক্ত করি:
মূলবিন্দু: x = 3, x = 4
এটি সংখ্যারেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
1. x < 3 (নেতিবাচক)
2. 3 ≤ x ≤ 4 (ধনাত্মক বা শূন্য)
3. x > 4 (নেতিবাচক)
যেহেতু অসাম্যটি ≤ 0, তাই ধনাত্মক অংশ বাদ দিয়ে শূন্যসহ (3,4)-এর মধ্যে মান নেওয়া হবে।
4. সমাধান সেট
প্রশ্নঃ বাস্তব সংখ্যায় অসমতাটির সমাধান:
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতা:
১ম ধাপ: অমূখ্য মানের সংজ্ঞা প্রয়োগ
যদি হয়, তবে আমরা লিখতে পারি:
সুতরাং, এখানে প্রয়োগ করলে:
২য় ধাপ:
প্রথমে এবং থেকে বিয়োগ করি:
উত্তর:
১ম ধাপ: অমূখ্য মানের সংজ্ঞা প্রয়োগ
যদি
সুতরাং, এখানে প্রয়োগ করলে:
২য় ধাপ: নির্ণয় করা
প্রথমে
উত্তর:
প্রশ্নঃ অসমতাটির সমাধান কোনটি?
[ বিসিএস ৪২তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ
দুটি রাশি গুণফল ধনাত্মক হলে রাশি দুটিকে অবশ্যই ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক হতে হবে।
প্রথম ক্ষেত্রে, দুটিই ধনাত্মক হলে:
এ ব ং
এ ব ং
ক ম ন অ ং শ ন ি য় ে
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
এ ব ং
এ ব ং
ক ম ন অ ং শ ন ি য় ে
ন ি র ্ ণ ী ত স ম া ধ া ন অ থ ব া
স ম া ধ া ন
দুটি রাশি গুণফল ধনাত্মক হলে রাশি দুটিকে অবশ্যই ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক হতে হবে।
প্রথম ক্ষেত্রে, দুটিই ধনাত্মক হলে:
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
প্রশ্নঃ হলে, এবং এর কোন মানের জন্য হবে?
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে এর পরিসীমা নির্ণয়:
এটি এর জন্য নিম্নলিখিত অসাম্য প্রকাশ করে:
ও নির্ণয়:
এটি
প্রশ্নঃ এর সমাধান কোনটি?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
প্রথমে, মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে উৎপাদক নির্ণয় করি:
অসমতাটি সত্য হবে যদি এবং এর মান পরস্পর বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয় (একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক)।
যেহেতু আমরা এর সমাধান খুঁজছি, তাই আমাদের এমন পরিসর দরকার যেখানে এর চিহ্ন ঋণাত্মক।
সারণী অনুযায়ী, এটি ঘটে যখন ।
সুতরাং, নির্ণেয় অসমতাটি হলো: ।
প্রথমে, মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে উৎপাদক নির্ণয় করি:
অসমতাটি সত্য হবে যদি
যেহেতু আমরা
সারণী অনুযায়ী, এটি ঘটে যখন
সুতরাং, নির্ণেয় অসমতাটি হলো:
প্রশ্নঃ বাস্তব সংখ্যায় অসমতাটির সমাধান-
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ. অথবা
ক.
খ. অথবা
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে অসমতাটি:
পরম মানের (absolute value) সংজ্ঞা অনুযায়ী, হলে, এর অর্থ হলো ।
এখানে এবং ।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
এখন এই অসমতাটিকে দুটি অংশে ভাগ করে সমাধান করতে পারি অথবা একসাথেই সমাধান করতে পারি।
একসাথেই সমাধান করি:
প্রথমে অসমতার তিনটি অংশেই যোগ করি:
এখন, অসমতার তিনটি অংশকেই দিয়ে ভাগ করি:
অতএব, বাস্তব সংখ্যায় অসমতাটির সমাধান হলো ।
এটি একটি বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) হিসেবেও লেখা যায়।
পরম মানের (absolute value) সংজ্ঞা অনুযায়ী,
এখানে
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
এখন এই অসমতাটিকে দুটি অংশে ভাগ করে সমাধান করতে পারি অথবা একসাথেই সমাধান করতে পারি।
একসাথেই সমাধান করি:
প্রথমে অসমতার তিনটি অংশেই
এখন, অসমতার তিনটি অংশকেই
অতএব, বাস্তব সংখ্যায়
এটি একটি বদ্ধ ব্যবধি (closed interval)
প্রশ্নঃ হলে-
[ বিসিএস ৩৭তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
প্রথমে, আমরা সমীকরণটির মূলগুলি নির্ণয় করব।
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
সুতরাং, সমীকরণটির মূলগুলি হলো এবং ।
এখন আমরা একটি সংখ্যা রেখায় এই মূলগুলি স্থাপন করব এবং দেখব কোন অঞ্চলে এর মান ঋণাত্মক হয়। মূলগুলি সংখ্যা রেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
প্রতিটি অঞ্চলে একটি করে মান বসিয়ে অসমতাটি পরীক্ষা করি:
* অঞ্চল 1: (উদাহরণস্বরূপ, নিই)
যেহেতু , তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।
* অঞ্চল 2: (উদাহরণস্বরূপ, নিই)
যেহেতু , তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য।
* অঞ্চল 3: (উদাহরণস্বরূপ, নিই)
যেহেতু , তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।
সুতরাং, অসমতা এর জন্য সঠিক শর্ত হলো ।
প্রথমে, আমরা
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
সুতরাং, সমীকরণটির মূলগুলি হলো
এখন আমরা একটি সংখ্যা রেখায় এই মূলগুলি স্থাপন করব এবং দেখব কোন অঞ্চলে
প্রতিটি অঞ্চলে একটি করে মান বসিয়ে অসমতাটি পরীক্ষা করি:
* অঞ্চল 1:
যেহেতু
* অঞ্চল 2:
যেহেতু
* অঞ্চল 3:
যেহেতু
সুতরাং, অসমতা
প্রশ্নঃ হলে-
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ পরম মান (absolute value) এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, আকারের অসমতার অর্থ হলো ।
এখানে, এবং ।
অতএব, আমরা লিখতে পারি:
এখন, অসমতার প্রতিটি অংশের সাথে যোগ করি যাতে কে আলাদা করা যায়:
সুতরাং, এর মান থেকে এর মধ্যে হবে।
এখানে,
অতএব, আমরা লিখতে পারি:
এখন, অসমতার প্রতিটি অংশের সাথে
সুতরাং,
প্রশ্নঃ x < 4 হলে নীচের কোন মানটি x এর জন্য সত্য হতে পারে?
[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]
ক. 0
খ. সবগুলোই
ক. সবগুলোই
খ. 0
গ. - 4
ক. 0
খ. 3
গ. সবগুলোই
ঘ. - 4
উত্তরঃ সবগুলোই
ব্যাখ্যাঃ যেহেতু , এর মান হতে পারে -এর চেয়ে ছোট যে-কোনো সংখ্যা। নিচের অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:
১. কঃ 0:
হলো -এর চেয়ে ছোট, তাই এটি সঠিক।
২. খঃ 3:
হলো -এর চেয়ে ছোট, সুতরাং এটি সঠিক।
৩. ঘঃ -4:
হলো -এর চেয়ে ছোট, তাই এটিও সঠিক।
৪. গঃ সবগুলোই:
যেহেতু , , এবং সবকটিই -এর শর্ত পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর হবে:
গঃ সবগুলোই।
১. কঃ 0:
২. খঃ 3:
৩. ঘঃ -4:
৪. গঃ সবগুলোই:
যেহেতু
গঃ সবগুলোই।