প্রশ্নঃ অসমতাটির সমাধান কোনটি?
[ বিসিএস ৪২তম ]
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ
দুটি রাশি গুণফল ধনাত্মক হলে রাশি দুটিকে অবশ্যই ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক হতে হবে।
প্রথম ক্ষেত্রে, দুটিই ধনাত্মক হলে:
এ ব ং
এ ব ং
ক ম ন অ ং শ ন ি য় ে
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
এ ব ং
এ ব ং
ক ম ন অ ং শ ন ি য় ে
ন ি র ্ ণ ী ত স ম া ধ া ন অ থ ব া
স ম া ধ া ন
দুটি রাশি গুণফল ধনাত্মক হলে রাশি দুটিকে অবশ্যই ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক হতে হবে।
প্রথম ক্ষেত্রে, দুটিই ধনাত্মক হলে:
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
Related MCQ
প্রশ্নঃ x² – 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট –
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. (- ∞, 3]
খ. [3, 4]
ক. (3, 4)
খ. [3, 4]
গ. [4, ∞)
ক. (- ∞, 3]
খ. (3, 4)
গ. [3, 4]
ঘ. [4, ∞)
উত্তরঃ [3, 4]
ব্যাখ্যাঃ আমরা x² – 7x + 12 ≤ 0 অমৌলিক অসাম্য সমাধান করব।
1. বহুপদী অভাজ্য করা
আমরা x² – 7x + 12-কে ভগ্নাংশে বিভক্ত করি:² 2. অসাম্য রূপান্তর 3. মূলবিন্দু নির্ণয়
মূলবিন্দু: x = 3, x = 4
এটি সংখ্যারেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
1. x < 3 (নেতিবাচক)
2. 3 ≤ x ≤ 4 (ধনাত্মক বা শূন্য)
3. x > 4 (নেতিবাচক)
যেহেতু অসাম্যটি ≤ 0, তাই ধনাত্মক অংশ বাদ দিয়ে শূন্যসহ (3,4)-এর মধ্যে মান নেওয়া হবে।
4. সমাধান সেট
1. বহুপদী অভাজ্য করা
আমরা x² – 7x + 12-কে ভগ্নাংশে বিভক্ত করি:
মূলবিন্দু: x = 3, x = 4
এটি সংখ্যারেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
1. x < 3 (নেতিবাচক)
2. 3 ≤ x ≤ 4 (ধনাত্মক বা শূন্য)
3. x > 4 (নেতিবাচক)
যেহেতু অসাম্যটি ≤ 0, তাই ধনাত্মক অংশ বাদ দিয়ে শূন্যসহ (3,4)-এর মধ্যে মান নেওয়া হবে।
4. সমাধান সেট
প্রশ্নঃ বাস্তব সংখ্যায় অসমতাটির সমাধান:
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতা:
১ম ধাপ: অমূখ্য মানের সংজ্ঞা প্রয়োগ
যদি হয়, তবে আমরা লিখতে পারি:
সুতরাং, এখানে প্রয়োগ করলে:
২য় ধাপ:
প্রথমে এবং থেকে বিয়োগ করি:
উত্তর:
১ম ধাপ: অমূখ্য মানের সংজ্ঞা প্রয়োগ
যদি
সুতরাং, এখানে প্রয়োগ করলে:
২য় ধাপ: নির্ণয় করা
প্রথমে
উত্তর:
প্রশ্নঃ হলে, এবং এর কোন মানের জন্য হবে?
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে এর পরিসীমা নির্ণয়:
এটি এর জন্য নিম্নলিখিত অসাম্য প্রকাশ করে:
ও নির্ণয়:
এটি
প্রশ্নঃ এর সমাধান কোনটি?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
প্রথমে, মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে উৎপাদক নির্ণয় করি:
অসমতাটি সত্য হবে যদি এবং এর মান পরস্পর বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয় (একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক)।
যেহেতু আমরা এর সমাধান খুঁজছি, তাই আমাদের এমন পরিসর দরকার যেখানে এর চিহ্ন ঋণাত্মক।
সারণী অনুযায়ী, এটি ঘটে যখন ।
সুতরাং, নির্ণেয় অসমতাটি হলো: ।
প্রথমে, মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে উৎপাদক নির্ণয় করি:
অসমতাটি সত্য হবে যদি
যেহেতু আমরা
সারণী অনুযায়ী, এটি ঘটে যখন
সুতরাং, নির্ণেয় অসমতাটি হলো:
প্রশ্নঃ এর সমাধান-
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক.
খ.
ক.
খ.
গ.
ক.
খ.
গ.
ঘ.
উত্তরঃ
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
পরম মানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি হয়, তাহলে হয়।
এখানে এবং ।
তাহলে, আমরা লিখতে পারি:
এখন এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে বিভক্ত করে সমাধান করব:
প্রথম অংশ:
উভয় পক্ষকে দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
বা,
দ্বিতীয় অংশ:
উভয় পক্ষকে দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
এখন উভয় অংশের সমাধানকে একত্রিত করি:
এবং
সুতরাং, সমাধানটি হলো ।
পরম মানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি
এখানে
তাহলে, আমরা লিখতে পারি:
এখন এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে বিভক্ত করে সমাধান করব:
প্রথম অংশ:
উভয় পক্ষকে
বা,
দ্বিতীয় অংশ:
উভয় পক্ষকে
এখন উভয় অংশের সমাধানকে একত্রিত করি:
সুতরাং, সমাধানটি হলো
প্রশ্নঃ x < 4 হলে নীচের কোন মানটি x এর জন্য সত্য হতে পারে?
[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]
ক. - 4
খ. সবগুলোই
ক. সবগুলোই
খ. 3
গ. - 4
ক. 0
খ. 3
গ. সবগুলোই
ঘ. - 4
উত্তরঃ সবগুলোই
ব্যাখ্যাঃ যেহেতু , এর মান হতে পারে -এর চেয়ে ছোট যে-কোনো সংখ্যা। নিচের অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:
১. কঃ 0:
হলো -এর চেয়ে ছোট, তাই এটি সঠিক।
২. খঃ 3:
হলো -এর চেয়ে ছোট, সুতরাং এটি সঠিক।
৩. ঘঃ -4:
হলো -এর চেয়ে ছোট, তাই এটিও সঠিক।
৪. গঃ সবগুলোই:
যেহেতু , , এবং সবকটিই -এর শর্ত পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর হবে:
গঃ সবগুলোই।
১. কঃ 0:
২. খঃ 3:
৩. ঘঃ -4:
৪. গঃ সবগুলোই:
যেহেতু
গঃ সবগুলোই।