প্রশ্নঃ 10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
[ বিসিএস ৩৭তম ]
ক. 170
খ. 182
গ. 190
ঘ. 192
উত্তরঃ 182
ব্যাখ্যাঃ ১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি এক জাতীয় (একই রকম) এবং বাকি ( ) টি ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে ৫টি করে বাছাই করতে হবে।
এখানে আমরা দুটি ক্ষেত্র বিবেচনা করতে পারি:
ক্ষেত্র ১: বাছাইকৃত ৫টি জিনিসের মধ্যে এক জাতীয় জিনিস ২টিই আছে।
যদি এক জাতীয় ২টি জিনিস নেওয়া হয়, তাহলে বাকি টি জিনিস নিতে হবে ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে।
এটি করার উপায় হলো:
প্রকার।
ক্ষেত্র ২: বাছাইকৃত ৫টি জিনিসের মধ্যে এক জাতীয় কোনো জিনিস নেই (বা এক জাতীয় জিনিস ১টি আছে, যা এক্ষেত্রে ভিন্ন হিসেবে গণ্য হবে না কারণ তারা একই রকম)। অর্থাৎ, ৫টি জিনিসই ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস এবং এক জাতীয় ২টির মধ্যে থেকে ১টি নিয়ে মোট ৯টি ভিন্ন জিনিস থেকে নেওয়া হবে।
এটি আরও সহজভাবে ভাবা যায় যে, এক জাতীয় দুটি জিনিস থেকে ১টি (বা ০টি) নিয়ে এবং বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে বাকিগুলো নিয়ে।
আসুন অন্যভাবে চিন্তা করি, মোট ১০টি জিনিসকে দুটি ভাগে ভাগ করি:
আমাদের ৫টি জিনিস বাছাই করতে হবে।
কেস ১: উভয় এক জাতীয় জিনিস বাছাই করা হয়েছে।
যদি উভয়ই নেওয়া হয়, তাহলে আর টি জিনিস বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়:
কেস ২: এক জাতীয় জিনিস থেকে একটি বাছাই করা হয়েছে।
যদি এক জাতীয় জিনিস থেকে একটি নেওয়া হয় (যেহেতু একই রকম, তাই একটি নেওয়া মানে "এক জাতীয় জিনিস" থেকে একটি নেওয়া), তাহলে আর টি জিনিস বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়:
কেস ৩: কোনো এক জাতীয় জিনিস বাছাই করা হয়নি।
যদি কোনো এক জাতীয় জিনিস না নেওয়া হয়, তাহলে ৫টি জিনিসই বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়:
মোট বাছাই করার উপায় = (কেস ১ এর উপায়) + (কেস ২ এর উপায়) + (কেস ৩ এর উপায়)
মোট উপায় =
সুতরাং, জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে ৫টি নিয়ে ১৮২ প্রকারে বাছাই করা যায়।
এখানে আমরা দুটি ক্ষেত্র বিবেচনা করতে পারি:
ক্ষেত্র ১: বাছাইকৃত ৫টি জিনিসের মধ্যে এক জাতীয় জিনিস ২টিই আছে।
যদি এক জাতীয় ২টি জিনিস নেওয়া হয়, তাহলে বাকি
এটি করার উপায় হলো:
ক্ষেত্র ২: বাছাইকৃত ৫টি জিনিসের মধ্যে এক জাতীয় কোনো জিনিস নেই (বা এক জাতীয় জিনিস ১টি আছে, যা এক্ষেত্রে ভিন্ন হিসেবে গণ্য হবে না কারণ তারা একই রকম)। অর্থাৎ, ৫টি জিনিসই ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস এবং এক জাতীয় ২টির মধ্যে থেকে ১টি নিয়ে মোট ৯টি ভিন্ন জিনিস থেকে নেওয়া হবে।
এটি আরও সহজভাবে ভাবা যায় যে, এক জাতীয় দুটি জিনিস থেকে ১টি (বা ০টি) নিয়ে এবং বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে বাকিগুলো নিয়ে।
আসুন অন্যভাবে চিন্তা করি, মোট ১০টি জিনিসকে দুটি ভাগে ভাগ করি:
- এক জাতীয় জিনিস:
(যেখানে এবং একই রকম) - ভিন্ন ভিন্ন জিনিস:
(মোট ৮টি)
আমাদের ৫টি জিনিস বাছাই করতে হবে।
কেস ১: উভয় এক জাতীয় জিনিস বাছাই করা হয়েছে।
যদি
এই বাছাইয়ের উপায়:
কেস ২: এক জাতীয় জিনিস থেকে একটি বাছাই করা হয়েছে।
যদি এক জাতীয় জিনিস থেকে একটি নেওয়া হয় (যেহেতু
এই বাছাইয়ের উপায়:
কেস ৩: কোনো এক জাতীয় জিনিস বাছাই করা হয়নি।
যদি কোনো এক জাতীয় জিনিস না নেওয়া হয়, তাহলে ৫টি জিনিসই বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়:
মোট বাছাই করার উপায় = (কেস ১ এর উপায়) + (কেস ২ এর উপায়) + (কেস ৩ এর উপায়)
মোট উপায় =
সুতরাং, জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে ৫টি নিয়ে ১৮২ প্রকারে বাছাই করা যায়।