ব্যাখ্যাঃ আমরা সেট A-এর সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করতে চাই, যেখানে x হলো 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 150।

1. x, 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য হওয়া মানে x অবশ্যই ল.সা.গু(5,7) দ্বারা বিভাজ্য হবে। \[ ল.সা.গু(5,7) = 35 \] 2. x < 150 শর্তটি মানতে হলে, 35 দ্বারা বিভাজ্য x-এর সম্ভাব্য মানগুলো হতে পারে: \[ 35, 70, 105, 140 \] 3. এভাবে, A-এর সদস্য সংখ্যা হবে 4। অতএব, P(A) বা পাওয়ার সেট-এর সদস্য সংখ্যা হবে: \[ 2^4 = 16 \]

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 - 5x - 14 = 0\}$।

আমাদের প্রথমে $x^2 - 5x - 14 = 0$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা উৎপাদক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এর সমাধান করতে পারি:

$$x^2 - 7x + 2x - 14 = 0$$$$x(x - 7) + 2(x - 7) = 0$$$$(x - 7)(x + 2) = 0$$

সুতরাং, সমীকরণটির দুটি সমাধান হলো:
$$x - 7 = 0 \implies x = 7$$
$$x + 2 = 0 \implies x = -2$$

এখন, সেট $A$-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, $A$ হলো সেই সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যারা $x^2 - 5x - 14 = 0$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$।

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে $x = 7$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কিন্তু $x = -2$ স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

সুতরাং, সেট $A$-এর একমাত্র উপাদান হলো 7।

অতএব, $A = \{7\}$.

সারাংশ: $x^2 - 5x - 14 = 0$ সমীকরণের সমাধান $x = 7$ এবং $x = -2$. যেহেতু $A$ হলো স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যা এই সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাই $A = \{7\}$.

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: গাণিতিক সরলীকরণ

উভয় ভগ্নাংশের হর \(x-1\) একই, তাই আমরা তাদের একত্রিত করতে পারি:

\[
\frac{(x-2) + 1}{x-1} - 2 = 0
\]

\[
\frac{x-1}{x-1} - 2 = 0
\]

\[
1 - 2 = 0
\]

\[
-1 = 0
\]

ধাপ ২: বিশ্লেষণ

আমরা দেখতে পাচ্ছি, এই সমীকরণটি ভুল কারণ \(-1 = 0\) হতে পারে না।
অতএব, এই সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই।
অর্থাৎ সমাধানের সেট খালি:
\(
\emptyset
\)

ব্যাখ্যাঃ আমরা দুটি সেট \(A\) এবং \(B\) এর ছেদ \(A \cap B\) নির্ণয় করব।

প্রদত্ত সেট:

\(A = \{ x \in \mathbb{N} | 2 < x \leq 8 \} \)
অর্থাৎ \(A = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)

\(B = \{ x \in \mathbb{N} | x\) বিজোড় এবং \(x \leq 9 \} \)
অর্থাৎ \(B = \{1, 3, 5, 7, 9\}\)

\(A \cap B\) নির্ণয়:

\(A\) ও \(B\) এর সাধারণ উপাদান (common elements) হলো \(3, 5, 7\)।
অতএব,
\[
A \cap B = \{3, 5, 7\}
\]

চূড়ান্ত উত্তর:

\[
A \cap B = \{3, 5, 7\}
\]

ব্যাখ্যাঃ

এখানে, P = {1,2,3,4,6,12} [12 এর গুণনীয়ক]

আবার, Q = {3,6,9,12} [যেহেতু 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12]

∴ P - Q = {1,2,3,4,6,12} - {3,6,9,12}

= {1,2,4}

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সেট $C$ এর সংজ্ঞা হলো:
$C = \{x:x \text{ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং } x^2< 18\}$

আমাদের এমন ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $x$ খুঁজে বের করতে হবে, যার বর্গ $18$ এর চেয়ে কম।

আমরা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলো নিয়ে তাদের বর্গ পরীক্ষা করব:

* $x = -1 \Rightarrow x^2 = (-1)^2 = 1$
$1 < 18$, সুতরাং $-1$ একটি উপাদান।

* $x = -2 \Rightarrow x^2 = (-2)^2 = 4$
$4 < 18$, সুতরাং $-2$ একটি উপাদান।

* $x = -3 \Rightarrow x^2 = (-3)^2 = 9$
$9 < 18$, সুতরাং $-3$ একটি উপাদান।

* $x = -4 \Rightarrow x^2 = (-4)^2 = 16$
$16 < 18$, সুতরাং $-4$ একটি উপাদান।

* $x = -5 \Rightarrow x^2 = (-5)^2 = 25$
$25 \not< 18$ (কারণ $25$ $18$ এর চেয়ে বড়), সুতরাং $-5$ একটি উপাদান নয়।

যেহেতু ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলো আরও ছোট হতে থাকলে তাদের বর্গ আরও বড় হবে, তাই $-5$ বা তার থেকে ছোট কোনো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গ $18$ এর চেয়ে কম হবে না।

সুতরাং, $C$ সেটের উপাদানগুলো হলো $\{-4, -3, -2, -1\}$।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমাদের সেট $A$ এর উপাদানগুলো বের করতে হবে।

সেট $A$ এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:
$A = \{ x : x, Fibonacci$ সংখ্যা এবং $x^2<64 \}$

প্রথমেই আমরা ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো লিখি:
$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$

এখন, আমরা $x^2 < 64$ শর্তটি পূরণ করে এমন ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করব।

• $0^2 = 0 < 64$
  
• $1^2 = 1 < 64$
  
• $2^2 = 4 < 64$
  
• $3^2 = 9 < 64$
  
• $5^2 = 25 < 64$
  
• $8^2 = 64$ (এটি $< 64$ শর্ত পূরণ করে না, কারণ $64$ $64$ এর থেকে ছোট নয়)
  

সুতরাং, সেট $A = \{0, 1, 2, 3, 5 \}$।

এখন আমরা সেট $A$ এর উপাদান সংখ্যা নির্ণয় করব।
$|A| = 5$

এরপর, আমাদের $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা বের করতে হবে।
একটি সেটের ক্ষমতা সেট (Power Set) $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^{|A|}$ সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা হয়, যেখানে $|A|$ হলো সেট $A$ এর উপাদান সংখ্যা।

এখানে $|A| = 5$।
অতএব, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হবে $2^5 = 32$।

$P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হলো $32$টি।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, সেট A, B এবং C এর উপাদানগুলো নির্ণয় করি:

সেট A: $A = \{x | x$ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা $x^2 < 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর চেয়ে কম।
ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাগুলো হলো: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$
$1^2 = 1 < 25$
$2^2 = 4 < 25$
$3^2 = 9 < 25$
$4^2 = 16 < 25$
$5^2 = 25$ (২৫ এর কম নয়)
সুতরাং, $A = \{1, 2, 3, 4\}$

সেট B: $B = \{x|x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x^2 < 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন মৌলিক সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর চেয়ে কম।
মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: $2, 3, 5, 7, \dots$
$2^2 = 4 < 25$
$3^2 = 9 < 25$
$5^2 = 25$ (২৫ এর কম নয়)
সুতরাং, $B = \{2, 3\}$

সেট C: $C = \{x|x$ মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং $x^2 = 25\}$
অর্থাৎ, $x$ এমন মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা যার বর্গ ২৫ এর সমান।
যদি $x^2 = 25$ হয়, তাহলে $x = \pm 5$।
ধনাত্মক মৌলিক সংখ্যাটি হলো ৫।
সুতরাং, $C = \{5\}$

এখন $A \cap B \cap C$ নির্ণয় করতে হবে।
$A \cap B$ মানে A এবং B সেটের সাধারণ উপাদান:
$A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{2, 3\} = \{2, 3\}$

এখন $A \cap B \cap C$ মানে $(A \cap B)$ এবং $C$ সেটের সাধারণ উপাদান:
$A \cap B \cap C = \{2, 3\} \cap \{5\}$

যেহেতু $\{2, 3\}$ এবং $\{5\}$ সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নেই, তাই ছেদ সেটটি হবে একটি ফাঁকা সেট।

সুতরাং, $A \cap B \cap C = \emptyset$ (ফাঁকা সেট)।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সেটটি হলো $A=\{x:x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \leq 5\}$।

প্রথমে, সেট $A$-এর উপাদানগুলো বের করতে হবে। ৫ বা ৫-এর কম মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
$2, 3, 5$

সুতরাং, সেট $A = \{2, 3, 5\}$।

সেট $A$-এর সদস্য সংখ্যা (উপাদানের সংখ্যা) হলো $|A| = 3$।

এখন, $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে। কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা $n$ হলে, তার পাওয়ার সেট (Power Set) $P(A)$-এর সদস্য সংখ্যা হয় $2^n$।

এখানে $n = 3$, তাই $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা হবে $2^3$।
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$।

সুতরাং, $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা হলো ৮।

ব্যাখ্যাঃ এখানে,
মোট লোকসংখ্যা = 50 জন
ইংরেজি বলতে পারেন = 35 জন
ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন = 25 জন

আমরা জানি, যারা শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন = (যারা ইংরেজি বলতে পারেন) - (যারা ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)
শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন = $35 - 25 = 10$ জন

যারা অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন = (শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন) + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + (ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)

যেহেতু প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন, তাহলে মোট লোকসংখ্যাই হলো যারা অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন।

তাহলে,
50 = 10 + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + 25
50 = 35 + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন)
শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন = $50 - 35 = 15$ জন

যারা বাংলা বলতে পারেন = (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + (ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)
যারা বাংলা বলতে পারেন = $15 + 25 = 40$ জন

সুতরাং, 40 জন বাংলায় কথা বলতে পারেন।

ব্যাখ্যাঃ
$A = \{৫, ১৫, ২০, ৩০\}$
$B = \{৩, ৫, ১৫, ১৮, ২০\}$

$A \cap B$ (A এবং B এর ছেদ) বলতে A এবং B উভয় সেটে থাকা সাধারণ উপাদানগুলো বোঝানো হয়।

* $A$ এবং $B$ উভয় সেটে আছে এমন সংখ্যাগুলো হলো: ৫, ১৫ এবং ২০।

সুতরাং, $A \cap B = \{৫, ১৫, ২০\}$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, \( x \) জন ছাত্র উভয়টিই খেলে। মোট ছাত্র সংখ্যা ৩০, যার মধ্যে ৫ জন কিছুই খেলে না। সুতরাং, যারা কমপক্ষে একটিতে খেলে তাদের সংখ্যা হবে: \[ ৩০ - ৫ = ২৫ \] আমরা জানি ১৮ জন ফুটবল খেলে এবং ১৪ জন ক্রিকেট খেলে। যারা কমপক্ষে একটিতে খেলে তাদের সংখ্যা হবে: \[ ১৮ + ১৪ - x = ২৫ \] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ ৩২ - x = ২৫ \] \[ x = ৩২ - ২৫ \] \[ x = ৭ \] তাহলে, ৭ জন ছাত্র উভয়টিই খেলে।