প্রশ্নঃ $$\mathrm {log2+log4+log8+.......}$$ ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?
[ বিসিএস ২৫তম ]
ক. $$45~log2$$
খ. $$55~log2$$
গ. $$65~log2$$
ঘ. $$75~log2$$
উত্তরঃ $$55~log2$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ধারাটি লক্ষ্য করলে দেখতে পারি যে এটি লগারিদমিক সমষ্টি। ধারাটির সাধারণ পদের রূপ হলো: \[ \log (2) + \log (4) + \log (8) + \ldots \] যদি আমরা লগারিদমিক সূত্র ব্যবহার করি: \[ \log (a \times b) = \log (a) + \log (b) \] এই সূত্রটি ব্যবহার করে, ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো: \[ \log (2) + \log (2^2) + \log (2^3) + \ldots + \log (2^{10}) \] এখন, এই লগারিদমিক সমষ্টিটিকে একটি লগারিদম হিসেবে রূপান্তরিত করতে পারি: \[ \log (2^1 \times 2^2 \times 2^3 \times \ldots \times 2^{10}) \] আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি আসলে একটি গুণন সমীকরণ: \[ \log (2^{1 + 2 + 3 + \ldots + 10}) \] প্রথম দশটি পদ গণনা করে: \[ 1 + 2 + 3 + \ldots + 10 = \frac{10(10 + 1)}{2} = 55 \] অতএব, ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো: \[ \log (2^{55}) \] এবং শেষ পর্যন্ত আমরা পাই: \[ 55 \log (2) \] ধারণাটি আরও স্পষ্ট করার জন্য: \[ \log (2^1) + \log (2^2) + \log (2^3) + \ldots + \log (2^{10}) = 55 \log (2) \]
Related MCQ
প্রশ্নঃ $$\log_{\sqrt{8}}{x}=3\frac{1}{3}$$ হলে x এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. 32
খ. 8
গ. 3
ঘ. $$\sqrt{8}$$
উত্তরঃ 32
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করব: \[ \log_{\sqrt{8}}{x} = 3\frac{1}{3} \] 1. ভগ্নাংশকে দশমিক বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করি: \[ 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3} \] 2. লগারিদমিক সংজ্ঞা অনুযায়ী: \[ x = (\sqrt{8})^{\frac{10}{3}} \] 3. \(\sqrt{8}\) লিখি \(\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}}\): \[ x = (8^{\frac{1}{2}})^{\frac{10}{3}} \] 4. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি: \[ x = 8^{\left(\frac{1}{2} \times \frac{10}{3}\right)} \] \[ x = 8^{\frac{10}{6}} = 8^{\frac{5}{3}} \] 5. \(8 = 2^3\) হিসাবে প্রকাশ করি: \[ x = (2^3)^{\frac{5}{3}} \] 6. সূচকের গুণ প্রয়োগ করি: \[ x = 2^{\left(3 \times \frac{5}{3}\right)} \] \[ x = 2^5 \] \[ x = 32 \] উত্তর: \[ \boxed{32} \]
ক. a + b = 1
খ. a – b = 1
গ. a = b
ঘ. a² – b² = 1
উত্তরঃ a + b = 1
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে সমাধান করবো:
\[
\log\left(\frac{a}{b}\right) + \log\left(\frac{b}{a}\right) = \log(a + b)
\]
ধাপে ধাপে সমাধান:
১. Logarithmic সূত্র অনুযায়ী,
\[
\log x + \log y = \log (x \cdot y)
\]
তাহলে বামপক্ষকে পরিবর্তন করি:
\[
\log\left(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}\right) = \log(a + b)
\]
২. সরলীকরণ:
\[
\log(1) = \log(a + b)
\]
৩. যেহেতু \(\log 1 = 0\) এবং লগarithemic ফাংশন এক-একভাবে কাজ করে, তাই পাই:
\[
a + b = 1
\]
সঠিক উত্তর: কঃ a + b = 1
\[
\log\left(\frac{a}{b}\right) + \log\left(\frac{b}{a}\right) = \log(a + b)
\]
ধাপে ধাপে সমাধান:
১. Logarithmic সূত্র অনুযায়ী,
\[
\log x + \log y = \log (x \cdot y)
\]
তাহলে বামপক্ষকে পরিবর্তন করি:
\[
\log\left(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}\right) = \log(a + b)
\]
২. সরলীকরণ:
\[
\log(1) = \log(a + b)
\]
৩. যেহেতু \(\log 1 = 0\) এবং লগarithemic ফাংশন এক-একভাবে কাজ করে, তাই পাই:
\[
a + b = 1
\]
সঠিক উত্তর: কঃ a + b = 1
প্রশ্নঃ $$2^{x + 7} = 4^{x + 2}$$ হলে x এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
ক. 2
খ. 3
গ. 4
ঘ. 6
উত্তরঃ 3
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি সরলীকরণ করবো:
\[
2^{x + 7} = 4^{x + 2}
\]
ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
আমরা জানি, \( 4 = 2^2 \), তাই \(4^{x + 2}\)-কে \(2\) এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়:
\[
2^{x + 7} = (2^2)^{x + 2}
\]
এখন, ঘাতের নিয়ম অনুসারে:
\[
(2^2)^{x + 2} = 2^{2(x + 2)}
\]
তাহলে, সমীকরণ দাঁড়ায়:
\[
2^{x + 7} = 2^{2x + 4}
\]
\[
x + 7 = 2x + 4
\]
\[
x + 7 - 4 = 2x
\]
\[
x + 3 = 2x
\]
\[
3 = 2x - x
\]
\[
x = 3
\]
সঠিক উত্তর: \( x = 3 \)
\[
2^{x + 7} = 4^{x + 2}
\]
ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
আমরা জানি, \( 4 = 2^2 \), তাই \(4^{x + 2}\)-কে \(2\) এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়:
\[
2^{x + 7} = (2^2)^{x + 2}
\]
এখন, ঘাতের নিয়ম অনুসারে:
\[
(2^2)^{x + 2} = 2^{2(x + 2)}
\]
তাহলে, সমীকরণ দাঁড়ায়:
\[
2^{x + 7} = 2^{2x + 4}
\]
\[
x + 7 = 2x + 4
\]
\[
x + 7 - 4 = 2x
\]
\[
x + 3 = 2x
\]
\[
3 = 2x - x
\]
\[
x = 3
\]
সঠিক উত্তর: \( x = 3 \)
প্রশ্নঃ $$\frac{1}{2}×2^{x-3}+1=5$$ হলে $$x$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. 3
খ. 4
গ. 5
ঘ. 6
উত্তরঃ 6
ব্যাখ্যাঃ
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} + 1 = 5$$
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} = 5 - 1$$
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} = 4$$
$$2^{x-3} = 8$$
$$2^{x-3} = 2^3$$
$$x - 3 = 3$$
$$x = 3 + 3$$
$$x = 6$$
সুতরাং, \(x\) এর মান হলো 6।
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} + 1 = 5$$
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} = 5 - 1$$
$$\frac{1}{2} \times 2^{x-3} = 4$$
$$2^{x-3} = 8$$
$$2^{x-3} = 2^3$$
$$x - 3 = 3$$
$$x = 3 + 3$$
$$x = 6$$
সুতরাং, \(x\) এর মান হলো 6।
প্রশ্নঃ $$2log{105}+log{1036}-log{109=?}$$
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. 2
খ. 100
গ. 37
ঘ. 4.6
উত্তরঃ 2
ব্যাখ্যাঃ $$
\begin{aligned}
&= 2\log_{10}5 + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(5^2) + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}25 + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(25 \times 36) - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(900) - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}\left(\frac{900}{9}\right) \\
&= \log_{10}(100) \\
&= \log_{10}(10^2) \\
&= 2\log_{10}(10) \\
&= 2 \times 1 \\
&= 2
\end{aligned}
$$
\begin{aligned}
&= 2\log_{10}5 + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(5^2) + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}25 + \log_{10}36 - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(25 \times 36) - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}(900) - \log_{10}9 \\
&= \log_{10}\left(\frac{900}{9}\right) \\
&= \log_{10}(100) \\
&= \log_{10}(10^2) \\
&= 2\log_{10}(10) \\
&= 2 \times 1 \\
&= 2
\end{aligned}
$$
প্রশ্নঃ $$log{10x} = -1$$ হয়, তাহলে নিচের কোনটি $$x$$ এর মান?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. 0.1
খ. 0.01
গ. $$\frac{1}{10000}$$
ঘ. 0.001
উত্তরঃ 0.1
ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে \( x \) এর মান নির্ণয় করতে যাচ্ছি।
ধাপে ধাপে সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[
\log{10x} = -1
\]
১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা
লগারিদম সংজ্ঞা অনুযায়ী—
\[
10^{\log{10x}} = 10^{-1}
\]
যেহেতু \( \log{10x} \) কেবলমাত্র \( x \) কে প্রকাশ করে, তাই—
\[
x = 10^{-1}
\]
২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা
\[
x = \frac{1}{10}
\]
সুতরাং, $$x = \frac{1}{10}$$ বা \( 0.1 \)।
ধাপে ধাপে সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[
\log{10x} = -1
\]
১ম ধাপ: লগারিদমের সংজ্ঞা প্রয়োগ করা
লগারিদম সংজ্ঞা অনুযায়ী—
\[
10^{\log{10x}} = 10^{-1}
\]
যেহেতু \( \log{10x} \) কেবলমাত্র \( x \) কে প্রকাশ করে, তাই—
\[
x = 10^{-1}
\]
২য় ধাপ: সূচকের হিসাব করা
\[
x = \frac{1}{10}
\]
সুতরাং, $$x = \frac{1}{10}$$ বা \( 0.1 \)।
প্রশ্নঃ $$i^{-49}$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. $$-1$$
খ. $$i$$
গ. $$1$$
ঘ. $$-i$$
উত্তরঃ $$-i$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $i = \sqrt{-1}$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, এবং $i^4 = 1$.
এখন, $-49$ কে $4$ দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই:
$$-49 = 4 \times (-13) + 3$$
সুতরাং,
$$i^{-49} = i^{4 \times (-13) + 3} = (i^4)^{-13} \times i^3$$
যেহেতু $i^4 = 1$, তাই
$$i^{-49} = (1)^{-13} \times i^3 = 1 \times i^3 = i^3$$
আমরা জানি $i^3 = -i$.
অতএব,
$$i^{-49} = -i$$
সুতরাং, $$i^{-49}$$ এর মান $-i$.
$\\~\\$
উত্তর: $-i$
এখন, $-49$ কে $4$ দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই:
$$-49 = 4 \times (-13) + 3$$
সুতরাং,
$$i^{-49} = i^{4 \times (-13) + 3} = (i^4)^{-13} \times i^3$$
যেহেতু $i^4 = 1$, তাই
$$i^{-49} = (1)^{-13} \times i^3 = 1 \times i^3 = i^3$$
আমরা জানি $i^3 = -i$.
অতএব,
$$i^{-49} = -i$$
সুতরাং, $$i^{-49}$$ এর মান $-i$.
$\\~\\$
উত্তর: $-i$
প্রশ্নঃ যদি $$\sqrt[4]{x^3}=2$$ হয়, তাহলে $$x^{\frac{3}{2}}=?$$
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. 8
খ. 16
গ. 4
ঘ. 64
উত্তরঃ 4
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, $$\sqrt[4]{x^3}=2$$ সমীকরণটি সমাধান করা যাক।
$$\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$$
$$x^{\frac{3}{4}} = 2$$
$$(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$$
$$x = 2^{\frac{4}{3}}$$
এখন, আমাদের \(x^{\frac{3}{2}}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা $x$ এর মানটি এখানে বসাব:
$$x^{\frac{3}{2}} = (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{2}}$$
$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{3} \times \frac{3}{2}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4 \times 3}{3 \times 2}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{12}{6}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^2$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 4$$
অতএব, যদি $$\sqrt[4]{x^3}=2$$হয়, তাহলে$$x^{\frac{3}{2}}=4$$.
উত্তর: $4$
$$\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$$
$$x^{\frac{3}{4}} = 2$$
$$(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$$
$$x = 2^{\frac{4}{3}}$$
এখন, আমাদের \(x^{\frac{3}{2}}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা $x$ এর মানটি এখানে বসাব:
$$x^{\frac{3}{2}} = (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{2}}$$
$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{3} \times \frac{3}{2}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4 \times 3}{3 \times 2}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{12}{6}}$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 2^2$$
$$x^{\frac{3}{2}} = 4$$
অতএব, যদি $$\sqrt[4]{x^3}=2$$হয়, তাহলে$$x^{\frac{3}{2}}=4$$.
উত্তর: $4$
প্রশ্নঃ $$2^{log_{2}{3} + log_{2}{5}}$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৪৩তম ]
ক. 8
খ. 2
গ. 15
ঘ. 10
উত্তরঃ 15
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত প্রকাশটি সরলীকরণ করতে পারি:
\[
2^{\log_{2}{3} + \log_{2}{5}}
\]
ধাপে ধাপে সমাধান:
ধাপ ১: লগারিদমের যোগের সূত্র প্রয়োগ
\[
\log_{b}{x} + \log_{b}{y} = \log_{b}{(x \times y)}
\]
\[
\log_{2}{3} + \log_{2}{5} = \log_{2}{(3 \times 5)} = \log_{2}{15}
\]
ধাপ ২: সূচকের লগারিদম সূত্র প্রয়োগ
\[
a^{\log_{a}{x}} = x
\]
এটি প্রয়োগ করলে,
\[
2^{\log_{2}{15}} = 15
\]
চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\mathbf{15}
\]
\[
2^{\log_{2}{3} + \log_{2}{5}}
\]
ধাপে ধাপে সমাধান:
ধাপ ১: লগারিদমের যোগের সূত্র প্রয়োগ
\[
\log_{b}{x} + \log_{b}{y} = \log_{b}{(x \times y)}
\]
\[
\log_{2}{3} + \log_{2}{5} = \log_{2}{(3 \times 5)} = \log_{2}{15}
\]
ধাপ ২: সূচকের লগারিদম সূত্র প্রয়োগ
\[
a^{\log_{a}{x}} = x
\]
এটি প্রয়োগ করলে,
\[
2^{\log_{2}{15}} = 15
\]
চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\mathbf{15}
\]
প্রশ্নঃ $$4^x + 4^{1 - x} = 4$$ হলে, $$x =$$ কত?
[ বিসিএস ৪৩তম ]
ক. $$\frac{1}{4}$$
খ. $$\frac{1}{3}$$
গ. $$\frac{1}{2}$$
ঘ. $$1$$
উত্তরঃ $$\frac{1}{2}$$
ব্যাখ্যাঃ \[
4^x + 4^{1 - x} = 4
\]
আমরা \( 4^{1-x} \) কে \( \frac{4}{4^x} \) হিসেবে লিখতে পারি:
\[
4^x + \frac{4}{4^x} = 4
\]
ধরুন, \( y = 4^x \), তাহলে সমীকরণটি হয়:
\[
y + \frac{4}{y} = 4
\]
\[
y^2 + 4 = 4y
\]
\[
y^2 - 4y + 4 = 0
\]
\[
(y - 2)^2 = 0
\]
\[
y - 2 = 0
\]
\[
y = 2
\]
\[
4^x = 2
\]
\[
x = \log_4{2}
\]
আমরা জানি, \( \log_4{2} = \frac{1}{2} \)
চূড়ান্ত উত্তর:
\(
\mathbf{x = \frac{1}{2}}
\)
4^x + 4^{1 - x} = 4
\]
আমরা \( 4^{1-x} \) কে \( \frac{4}{4^x} \) হিসেবে লিখতে পারি:
\[
4^x + \frac{4}{4^x} = 4
\]
ধরুন, \( y = 4^x \), তাহলে সমীকরণটি হয়:
\[
y + \frac{4}{y} = 4
\]
\[
y^2 + 4 = 4y
\]
\[
y^2 - 4y + 4 = 0
\]
\[
(y - 2)^2 = 0
\]
\[
y - 2 = 0
\]
\[
y = 2
\]
\[
4^x = 2
\]
\[
x = \log_4{2}
\]
আমরা জানি, \( \log_4{2} = \frac{1}{2} \)
চূড়ান্ত উত্তর:
\(
\mathbf{x = \frac{1}{2}}
\)
প্রশ্নঃ $$log_{x}{\frac{1}{9}} =-2$$ হলে x এর মান কোনটি?
[ বিসিএস ৪২তম ]
ক. 3
খ. 2
গ. $$\frac{1}{3}$$
ঘ. $$-\frac{1}{3}$$
উত্তরঃ 3
ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমিক ফর্মকে সূচকীয় (exponential) ফর্মে রূপান্তর করি:
\[
x^{-2} = \frac{1}{9}
\]
\[
\frac{1}{x^2} = \frac{1}{9}
\]
\[
x^2 = 9
\]
\[
x = \pm3
\]
ভিত্তির শর্ত পরীক্ষা
লগারিদমের ভিত্তি (\(x\)) ধনাত্মক হতে হয়, তাই \(x = -3\) গ্রহণযোগ্য নয়।
তাই \(x = 3\) হল সঠিক উত্তর।
\[
x^{-2} = \frac{1}{9}
\]
\[
\frac{1}{x^2} = \frac{1}{9}
\]
\[
x^2 = 9
\]
\[
x = \pm3
\]
ভিত্তির শর্ত পরীক্ষা
লগারিদমের ভিত্তি (\(x\)) ধনাত্মক হতে হয়, তাই \(x = -3\) গ্রহণযোগ্য নয়।
তাই \(x = 3\) হল সঠিক উত্তর।
প্রশ্নঃ $$5^x + 8.5^x +16.5^x = 1$$ হলে, $$x$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. $$-3$$
খ. $$-2$$
গ. $$-1$$
ঘ. $$-\frac{1}{2}$$
উত্তরঃ $$-2$$
ব্যাখ্যাঃ \[
5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1
\]
\[
5^x + (2^{3} \cdot 5^x) + (2^{4} \cdot 5^x) = 1
\]
\[
5^x \left(1 + 8 + 16 \right) = 1
\]
\[
5^x \times 25 = 1
\]
\[
5^x = \frac{1}{25}
\]
\[
5^x = 5^{-2}
\]
সুতরাং, \( x = -2 \)।
5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1
\]
\[
5^x + (2^{3} \cdot 5^x) + (2^{4} \cdot 5^x) = 1
\]
\[
5^x \left(1 + 8 + 16 \right) = 1
\]
\[
5^x \times 25 = 1
\]
\[
5^x = \frac{1}{25}
\]
\[
5^x = 5^{-2}
\]
সুতরাং, \( x = -2 \)।
প্রশ্নঃ $$log_{2}{~log_{\sqrt{e}}{~e^2}}=?$$
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. $$-2$$
খ. $$-1$$
গ. $$1$$
ঘ. $$2$$
উত্তরঃ $$2$$
ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ভিতরের লগারিদমটা আগে সমাধান করি:
$$
\log_{\sqrt{e}}{e^2}
$$
এখানে $\sqrt{e} = e^{1/2}$, তাই আমরা পরিবর্তন করি:
$$
\log_{e^{1/2}}{e^2}
$$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী:
$$
\log_{a}{b} = \frac{\log{b}}{\log{a}}
$$
$$
= \frac{\log_e{e^2}}{\log_e{e^{1/2}}} = \frac{2}{1/2} = 4
$$
ধাপ ২: এখন আসে বাইরের লগারিদম:
$$
\log_{2}{4} = 2
$$
$$
\log_{\sqrt{e}}{e^2}
$$
এখানে $\sqrt{e} = e^{1/2}$, তাই আমরা পরিবর্তন করি:
$$
\log_{e^{1/2}}{e^2}
$$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী:
$$
\log_{a}{b} = \frac{\log{b}}{\log{a}}
$$
$$
= \frac{\log_e{e^2}}{\log_e{e^{1/2}}} = \frac{2}{1/2} = 4
$$
ধাপ ২: এখন আসে বাইরের লগারিদম:
$$
\log_{2}{4} = 2
$$
উত্তর: ঘঃ 2
ক. $$\frac{3}{2}$$
খ. $$\frac{4}{9}$$
গ. $$\frac{9}{4}$$
ঘ. $$\frac{2}{3}$$
উত্তরঃ $$\frac{9}{4}$$
ব্যাখ্যাঃ 
প্রশ্নঃ কোন শর্তে $$log_{a}{1}=0?$$
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. $$a > 0, a ≠ 1$$
খ. $$a ≠ 0 , a > 1$$
গ. $$a > 0 , a = 1$$
ঘ. $$a ≠ 1, a < 0$$
উত্তরঃ $$a > 0, a ≠ 1$$
ব্যাখ্যাঃ লগারিদমের মৌলিক সূত্র অনুযায়ী,
$$\log_a 1 = 0 \quad \text{কারণ} \quad a^0 = 1$$
এটি তখনই বৈধ যখন বেস $a$ এর মান হয় ধনাত্মক এবং ১ এর সমান নয়, অর্থাৎ:
$a > 0 \quad \text{এবং} \quad a \neq 1$
$$\log_a 1 = 0 \quad \text{কারণ} \quad a^0 = 1$$
এটি তখনই বৈধ যখন বেস $a$ এর মান হয় ধনাত্মক এবং ১ এর সমান নয়, অর্থাৎ:
$a > 0 \quad \text{এবং} \quad a \neq 1$
প্রশ্নঃ $$125(\sqrt{5})^{2x} = 1$$ হলে $$x$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক. $$3$$
খ. $$-3$$
গ. $$7$$
ঘ. $$9$$
উত্তরঃ $$-3$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $125(\sqrt{5})^{2x} = 1$
প্রথমে, $125$ কে $5$ এর ঘাত হিসেবে লিখি: $125 = 5^3$
এবং $\sqrt{5}$ কে $5$ এর ঘাত হিসেবে লিখি: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$
এখন সমীকরণে মানগুলো বসাই:
$5^3 \cdot (5^{\frac{1}{2}})^{2x} = 1$
$5^3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2x} = 1$
$5^3 \cdot 5^x = 1$
ঘাতের নিয়ম অনুযায়ী, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, তাই:
$5^{3+x} = 1$
যেহেতু $1$ কে যেকোনো সংখ্যার $0$ ঘাত হিসেবে লেখা যায় ($a^0 = 1$), আমরা $1$ কে $5^0$ হিসেবে লিখব:
$5^{3+x} = 5^0$
এখন, যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি একই (5), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:
$3+x = 0$
$x = -3$
সুতরাং, $x$ এর মান হলো $-3$।
প্রথমে, $125$ কে $5$ এর ঘাত হিসেবে লিখি: $125 = 5^3$
এবং $\sqrt{5}$ কে $5$ এর ঘাত হিসেবে লিখি: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$
এখন সমীকরণে মানগুলো বসাই:
$5^3 \cdot (5^{\frac{1}{2}})^{2x} = 1$
$5^3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2x} = 1$
$5^3 \cdot 5^x = 1$
ঘাতের নিয়ম অনুযায়ী, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, তাই:
$5^{3+x} = 1$
যেহেতু $1$ কে যেকোনো সংখ্যার $0$ ঘাত হিসেবে লেখা যায় ($a^0 = 1$), আমরা $1$ কে $5^0$ হিসেবে লিখব:
$5^{3+x} = 5^0$
এখন, যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি একই (5), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:
$3+x = 0$
$x = -3$
সুতরাং, $x$ এর মান হলো $-3$।
প্রশ্নঃ $$log_{x}{(\frac{1}{8})} = -2$$ হলে, $$x =$$ কত?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক. 2
খ. $$\sqrt{2}$$
গ. $$2\sqrt{2}$$
ঘ. 4
উত্তরঃ $$2\sqrt{2}$$
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $\log_{x}{(\frac{1}{8})} = -2$।
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $\log_{b}{a} = c$ হয়, তাহলে $b^c = a$।
এই সংজ্ঞাটি প্রয়োগ করে আমরা পাই:
$x^{-2} = \frac{1}{8}$
এখন, ঋণাত্মক ঘাতকে ধনাত্মক ঘাতকে পরিবর্তন করি:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{8}$
উভয় পক্ষকে উল্টিয়ে পাই:
$x^2 = 8$
$x$ এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষের বর্গমূল করি:
$x = \sqrt{8}$
$x = \sqrt{4 \times 2}$
$x = 2\sqrt{2}$
যেহেতু ভিত্তি $x$ অবশ্যই ধনাত্মক হবে (লগারিদমের শর্ত অনুযায়ী), তাই আমরা শুধু ধনাত্মক বর্গমূলটি নিব।
সুতরাং, $x = 2\sqrt{2}$।
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $\log_{b}{a} = c$ হয়, তাহলে $b^c = a$।
এই সংজ্ঞাটি প্রয়োগ করে আমরা পাই:
$x^{-2} = \frac{1}{8}$
এখন, ঋণাত্মক ঘাতকে ধনাত্মক ঘাতকে পরিবর্তন করি:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{8}$
উভয় পক্ষকে উল্টিয়ে পাই:
$x^2 = 8$
$x$ এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষের বর্গমূল করি:
$x = \sqrt{8}$
$x = \sqrt{4 \times 2}$
$x = 2\sqrt{2}$
যেহেতু ভিত্তি $x$ অবশ্যই ধনাত্মক হবে (লগারিদমের শর্ত অনুযায়ী), তাই আমরা শুধু ধনাত্মক বর্গমূলটি নিব।
সুতরাং, $x = 2\sqrt{2}$।
প্রশ্নঃ $$2^x + 2^{1-x} =3$$ হলে, $$x =$$ কত?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক. (1, 2)
খ. (0, 2)
গ. (1, 3)
ঘ. (0, 1)
উত্তরঃ (0, 1)
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, $2^x + 2^{1-x} = 3$।
আমরা $2^{1-x}$ কে এভাবে লিখতে পারি: $2^{1-x} = \frac{2^1}{2^x} = \frac{2}{2^x}$।
এখন সমীকরণটিকে পুনরায় লিখি:
$2^x + \frac{2}{2^x} = 3$
ধরি, $y = 2^x$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$y + \frac{2}{y} = 3$
এখন উভয় পক্ষকে $y$ দ্বারা গুণ করি (যেহেতু $y = 2^x$, $y$ এর মান কখনো ০ হতে পারে না):
$y^2 + 2 = 3y$
সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে লিখি:
$y^2 - 3y + 2 = 0$
এই দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
$y^2 - 2y - y + 2 = 0$
$y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$
$(y - 1)(y - 2) = 0$
সুতরাং, $y - 1 = 0$ অথবা $y - 2 = 0$।
কেস ১: $y - 1 = 0$
$y = 1$
আমরা ধরেছিলাম $y = 2^x$।
$2^x = 1$
আমরা জানি $2^0 = 1$।
সুতরাং, $x = 0$।
কেস ২: $y - 2 = 0$
$y = 2$
আমরা ধরেছিলাম $y = 2^x$।
$2^x = 2$
আমরা জানি $2^1 = 2$।
সুতরাং, $x = 1$।
অতএব, $x$ এর মান হলো $0$ অথবা $1$।
আমরা $2^{1-x}$ কে এভাবে লিখতে পারি: $2^{1-x} = \frac{2^1}{2^x} = \frac{2}{2^x}$।
এখন সমীকরণটিকে পুনরায় লিখি:
$2^x + \frac{2}{2^x} = 3$
ধরি, $y = 2^x$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$y + \frac{2}{y} = 3$
এখন উভয় পক্ষকে $y$ দ্বারা গুণ করি (যেহেতু $y = 2^x$, $y$ এর মান কখনো ০ হতে পারে না):
$y^2 + 2 = 3y$
সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে লিখি:
$y^2 - 3y + 2 = 0$
এই দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
$y^2 - 2y - y + 2 = 0$
$y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$
$(y - 1)(y - 2) = 0$
সুতরাং, $y - 1 = 0$ অথবা $y - 2 = 0$।
কেস ১: $y - 1 = 0$
$y = 1$
আমরা ধরেছিলাম $y = 2^x$।
$2^x = 1$
আমরা জানি $2^0 = 1$।
সুতরাং, $x = 0$।
কেস ২: $y - 2 = 0$
$y = 2$
আমরা ধরেছিলাম $y = 2^x$।
$2^x = 2$
আমরা জানি $2^1 = 2$।
সুতরাং, $x = 1$।
অতএব, $x$ এর মান হলো $0$ অথবা $1$।
ক. $$\frac{4}{9}$$
খ. $$\frac{9}{4}$$
গ. $$\sqrt{\frac{3}{2}}$$
ঘ. $$\sqrt{\frac{2}{3}}$$
উত্তরঃ $$\frac{4}{9}$$
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: $\log_{x}{(\frac{3}{2})}=-\frac{1}{2}$
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $\log_{b}{a} = c$ হয়, তাহলে $b^c = a$ লেখা যায়।
এই সংজ্ঞা ব্যবহার করে, আমরা প্রদত্ত সমীকরণকে এভাবে লিখতে পারি:
$x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$
আমরা জানি যে $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$। সুতরাং,
$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}$
আমরা আরও জানি যে $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$। সুতরাং,
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2}$
এখন $x$-এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষকে উল্টে দিই:
$\sqrt{x} = \frac{2}{3}$
এবার $x$-এর মান পেতে উভয় পক্ষকে বর্গ করি:
$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$x = \frac{2^2}{3^2}$
$x = \frac{4}{9}$
সুতরাং, $x$-এর মান $\frac{4}{9}$।
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $\log_{b}{a} = c$ হয়, তাহলে $b^c = a$ লেখা যায়।
এই সংজ্ঞা ব্যবহার করে, আমরা প্রদত্ত সমীকরণকে এভাবে লিখতে পারি:
$x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$
আমরা জানি যে $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$। সুতরাং,
$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}$
আমরা আরও জানি যে $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$। সুতরাং,
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2}$
এখন $x$-এর মান বের করার জন্য উভয় পক্ষকে উল্টে দিই:
$\sqrt{x} = \frac{2}{3}$
এবার $x$-এর মান পেতে উভয় পক্ষকে বর্গ করি:
$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$x = \frac{2^2}{3^2}$
$x = \frac{4}{9}$
সুতরাং, $x$-এর মান $\frac{4}{9}$।
প্রশ্নঃ $$log_{\sqrt{3}}~{81}$$ কত?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. 4
খ. $$27\sqrt{3}$$
গ. 8
ঘ. $$\frac{1}{8}$$
উত্তরঃ 8
ব্যাখ্যাঃ আমরা $log_{\sqrt{3}}~{81}$-এর মান নির্ণয় করব।
ধরি, $log_{\sqrt{3}}~{81} = y$
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, এর অর্থ হলো:
$(\sqrt{3})^y = 81$
এখন, উভয় পক্ষকে $3$-এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করি:
$\sqrt{3} = 3^{1/2}$
$81 = 3^4$
তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$(3^{1/2})^y = 3^4$
$3^{(1/2)y} = 3^4$
যেহেতু ভিত্তি (base) উভয় পাশে একই ($3$), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:
$\frac{1}{2}y = 4$
$y = 4 \times 2$
$y = 8$
সুতরাং, $log_{\sqrt{3}}~{81}$ এর মান হলো ৮।
ধরি, $log_{\sqrt{3}}~{81} = y$
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, এর অর্থ হলো:
$(\sqrt{3})^y = 81$
এখন, উভয় পক্ষকে $3$-এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করি:
$\sqrt{3} = 3^{1/2}$
$81 = 3^4$
তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$(3^{1/2})^y = 3^4$
$3^{(1/2)y} = 3^4$
যেহেতু ভিত্তি (base) উভয় পাশে একই ($3$), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে:
$\frac{1}{2}y = 4$
$y = 4 \times 2$
$y = 8$
সুতরাং, $log_{\sqrt{3}}~{81}$ এর মান হলো ৮।
প্রশ্নঃ যদি $$(25)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$ হয় তবে $$x=$$ কত?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. 0
খ. 1
গ. $$-1$$
ঘ. 4
উত্তরঃ 0
ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি নিচে সমাধান করা হলো:
$$(25)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$
আমরা জানি যে $25 = 5^2$। এই মানটি সমীকরণে বসাই:
$$(5^2)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, $(a^m)^n = a^{mn}$, তাই আমরা বাম পাশের ঘাতগুলো গুণ করব:
$$5^{2(2x+3)} = 5^{3x+6}$$
$$5^{4x+6} = 5^{3x+6}$$
যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (base) একই ($5$), তাই ঘাতগুলোও সমান হতে হবে:
$$4x+6 = 3x+6$$
এখন $x$-এর মান নির্ণয় করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি:
$4x - 3x = 6 - 6$
$$x = 0$$
সুতরাং, $x$-এর মান হলো ০।
$$(25)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$
আমরা জানি যে $25 = 5^2$। এই মানটি সমীকরণে বসাই:
$$(5^2)^{2x+3} = 5^{3x+6}$$
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, $(a^m)^n = a^{mn}$, তাই আমরা বাম পাশের ঘাতগুলো গুণ করব:
$$5^{2(2x+3)} = 5^{3x+6}$$
$$5^{4x+6} = 5^{3x+6}$$
যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (base) একই ($5$), তাই ঘাতগুলোও সমান হতে হবে:
$$4x+6 = 3x+6$$
এখন $x$-এর মান নির্ণয় করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি:
$4x - 3x = 6 - 6$
$$x = 0$$
সুতরাং, $x$-এর মান হলো ০।
প্রশ্নঃ $$\sqrt{-8}×\sqrt{-2}=$$ কত?
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. 4
খ. $$4i$$
গ. $$-4$$
ঘ. $$-4i$$
উত্তরঃ $$-4$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $\sqrt{-1} = i$ (কাল্পনিক একক)।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$\sqrt{-8} = \sqrt{8 \times (-1)} = \sqrt{8} \times \sqrt{-1} = \sqrt{4 \times 2} \times i = 2\sqrt{2}i$$এবং,$$\sqrt{-2} = \sqrt{2 \times (-1)} = \sqrt{2} \times \sqrt{-1} = \sqrt{2}i$$
এখন, এদের গুণফল হবে:
$$\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = (2\sqrt{2}i) \times (\sqrt{2}i)$$$$= 2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \times (i \times i)$$$$= 2 \times 2 \times i^2$$
আমরা জানি, $i^2 = -1$.
সুতরাং,
$$= 4 \times (-1)$$
$$= -4$$
অতএব, $$\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = -4$$
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$\sqrt{-8} = \sqrt{8 \times (-1)} = \sqrt{8} \times \sqrt{-1} = \sqrt{4 \times 2} \times i = 2\sqrt{2}i$$এবং,$$\sqrt{-2} = \sqrt{2 \times (-1)} = \sqrt{2} \times \sqrt{-1} = \sqrt{2}i$$
এখন, এদের গুণফল হবে:
$$\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = (2\sqrt{2}i) \times (\sqrt{2}i)$$$$= 2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \times (i \times i)$$$$= 2 \times 2 \times i^2$$
আমরা জানি, $i^2 = -1$.
সুতরাং,
$$= 4 \times (-1)$$
$$= -4$$
অতএব, $$\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = -4$$
প্রশ্নঃ $$x^{-3}-0.001=0$$ হলে, $$x^2$$ এর মান-
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 100
খ. $$\frac{1}{10}$$
গ. 10
ঘ. $$\frac{1}{100}$$
উত্তরঃ 100
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে সমীকরণটি:
$x^{-3} - 0.001 = 0$
আমরা $x^{-3}$ কে $\frac{1}{x^3}$ লিখতে পারি।
এবং $0.001$ কে $\frac{1}{1000}$ লিখতে পারি।
তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$\frac{1}{x^3} - \frac{1}{1000} = 0$
$\frac{1}{x^3} = \frac{1}{1000}$
উভয় পক্ষের হর তুলনা করে পাই:
$x^3 = 1000$
এখন $x$ এর মান বের করি:
$x = \sqrt[3]{1000}$
$x = 10$
প্রশ্নে $x^2$ এর মান চাওয়া হয়েছে।
$x^2 = (10)^2$
$x^2 = 100$
সুতরাং, $x^2$ এর মান ১০০।
$x^{-3} - 0.001 = 0$
আমরা $x^{-3}$ কে $\frac{1}{x^3}$ লিখতে পারি।
এবং $0.001$ কে $\frac{1}{1000}$ লিখতে পারি।
তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$\frac{1}{x^3} - \frac{1}{1000} = 0$
$\frac{1}{x^3} = \frac{1}{1000}$
উভয় পক্ষের হর তুলনা করে পাই:
$x^3 = 1000$
এখন $x$ এর মান বের করি:
$x = \sqrt[3]{1000}$
$x = 10$
প্রশ্নে $x^2$ এর মান চাওয়া হয়েছে।
$x^2 = (10)^2$
$x^2 = 100$
সুতরাং, $x^2$ এর মান ১০০।
প্রশ্নঃ $$log_{a}{(\frac{1}{9})}$$ এর মান-
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 2
খ. -2
গ. 3
ঘ. -3
উত্তরঃ -2
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $\frac{1}{9} = 9^{-1}$।
তাহলে, এক্সপ্রেশনটি দাঁড়ায়:
$log_a{(9^{-1})}$
লগারিদমের একটি ধর্ম হলো $log_b{(M^P)} = P \cdot log_b{(M)}$।
এই ধর্মটি প্রয়োগ করলে পাই:
$log_a{(9^{-1})} = -1 \cdot log_a{(9)}$
বা, $$-log_a{(9)}$$
যদি $a = 9$ হয়, তবে:
$log_9{(\frac{1}{9})} = log_9{(9^{-1})} = -1 \cdot log_9{(9)}$
আমরা জানি $log_b{(b)} = 1$, তাই $log_9{(9)} = 1$।
সুতরাং, $-1 \times 1 = -1$।
যদি $a = 3$ হয়, তবে:
$log_3{(\frac{1}{9})} = log_3{(3^{-2})} = -2 \cdot log_3{(3)}$
সুতরাং, $-2 \times 1 = -2$।
সাধারণভাবে, $log_a{(\frac{1}{9})}$ এর মান হলো $-log_a{(9)}$।
একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মানের জন্য, $a$ এর সুনির্দিষ্ট মান প্রয়োজন।
তাহলে, এক্সপ্রেশনটি দাঁড়ায়:
$log_a{(9^{-1})}$
লগারিদমের একটি ধর্ম হলো $log_b{(M^P)} = P \cdot log_b{(M)}$।
এই ধর্মটি প্রয়োগ করলে পাই:
$log_a{(9^{-1})} = -1 \cdot log_a{(9)}$
বা, $$-log_a{(9)}$$
যদি $a = 9$ হয়, তবে:
$log_9{(\frac{1}{9})} = log_9{(9^{-1})} = -1 \cdot log_9{(9)}$
আমরা জানি $log_b{(b)} = 1$, তাই $log_9{(9)} = 1$।
সুতরাং, $-1 \times 1 = -1$।
যদি $a = 3$ হয়, তবে:
$log_3{(\frac{1}{9})} = log_3{(3^{-2})} = -2 \cdot log_3{(3)}$
সুতরাং, $-2 \times 1 = -2$।
সাধারণভাবে, $log_a{(\frac{1}{9})}$ এর মান হলো $-log_a{(9)}$।
একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মানের জন্য, $a$ এর সুনির্দিষ্ট মান প্রয়োজন।
প্রশ্নঃ $$log_{a}{x}=1, log_{a}{y}=2$$ এবং $$log_{a}{z}=3$$ হলে, $$log_{a}{(\frac{x^3y^2}{z})}$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 1
খ. 2
গ. 4
ঘ. 5
উত্তরঃ 4
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$log_a{x} = 1$
$log_a{y} = 2$
$log_a{z} = 3$
আমাদেরকে $log_a{(\frac{x^3y^2}{z})}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী:
১. $log_b{(\frac{M}{N})} = log_b{M} - log_b{N}$
২. $log_b{(MN)} = log_b{M} + log_b{N}$
৩. $log_b{(M^P)} = P \cdot log_b{M}$
প্রথমে, ভাগের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$log_a{(\frac{x^3y^2}{z})} = log_a{(x^3y^2)} - log_a{z}$
এবার গুণের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$log_a{(x^3y^2)} - log_a{z} = (log_a{x^3} + log_a{y^2}) - log_a{z}$
এখন পাওয়ারের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$(log_a{x^3} + log_a{y^2}) - log_a{z} = (3 \cdot log_a{x} + 2 \cdot log_a{y}) - log_a{z}$
এবার প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে দিই:
$(3 \cdot 1 + 2 \cdot 2) - 3$
$= (3 + 4) - 3$
$= 7 - 3$
$= 4$
সুতরাং, $log_a{(\frac{x^3y^2}{z})}$ এর মান হলো $4$।
$log_a{x} = 1$
$log_a{y} = 2$
$log_a{z} = 3$
আমাদেরকে $log_a{(\frac{x^3y^2}{z})}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী:
১. $log_b{(\frac{M}{N})} = log_b{M} - log_b{N}$
২. $log_b{(MN)} = log_b{M} + log_b{N}$
৩. $log_b{(M^P)} = P \cdot log_b{M}$
প্রথমে, ভাগের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$log_a{(\frac{x^3y^2}{z})} = log_a{(x^3y^2)} - log_a{z}$
এবার গুণের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$log_a{(x^3y^2)} - log_a{z} = (log_a{x^3} + log_a{y^2}) - log_a{z}$
এখন পাওয়ারের নিয়মটি প্রয়োগ করি:
$(log_a{x^3} + log_a{y^2}) - log_a{z} = (3 \cdot log_a{x} + 2 \cdot log_a{y}) - log_a{z}$
এবার প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে দিই:
$(3 \cdot 1 + 2 \cdot 2) - 3$
$= (3 + 4) - 3$
$= 7 - 3$
$= 4$
সুতরাং, $log_a{(\frac{x^3y^2}{z})}$ এর মান হলো $4$।
ক. 8
খ. 3
গ. 5
ঘ. 4
উত্তরঃ 4
ব্যাখ্যাঃ
$(\frac{a}{b})^{x-3}=(\frac{b}{a})^{x-5}$
আমরা জানি যে, $(\frac{b}{a})^{-1} = \frac{a}{b}$
সুতরাং, $(\frac{b}{a})^{x-5}$ কে লেখা যায় $(\frac{a}{b})^{-(x-5)}$
$\implies (\frac{a}{b})^{x-3} = (\frac{a}{b})^{-(x-5)}$
উভয় পাশে ভিত্তি $(\frac{a}{b})$ সমান হওয়ায়, আমরা সূচকগুলোকে সমান লিখতে পারি:
$x-3 = -(x-5)$
$x-3 = -x+5$
$x+x = 5+3$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x=4$
$(\frac{a}{b})^{x-3}=(\frac{b}{a})^{x-5}$
আমরা জানি যে, $(\frac{b}{a})^{-1} = \frac{a}{b}$
সুতরাং, $(\frac{b}{a})^{x-5}$ কে লেখা যায় $(\frac{a}{b})^{-(x-5)}$
$\implies (\frac{a}{b})^{x-3} = (\frac{a}{b})^{-(x-5)}$
উভয় পাশে ভিত্তি $(\frac{a}{b})$ সমান হওয়ায়, আমরা সূচকগুলোকে সমান লিখতে পারি:
$x-3 = -(x-5)$
$x-3 = -x+5$
$x+x = 5+3$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x=4$
প্রশ্নঃ $$log_{2}{\frac{1}{32}}$$ এর মান –
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. $$\frac{1}{25}$$
খ. $$-5$$
গ. $$\frac{1}{5}$$
ঘ. $$\frac{-1}{5}$$
উত্তরঃ $$-5$$
ব্যাখ্যাঃ
$log_{2}{\frac{1}{32}}$
$= log_{2}{\frac{1}{2^5}}$
$= log_{2}{2^{-5}}$
$= -5log_{2}{2}$
$= -5 \times 1$$
$= -5$
$log_{2}{\frac{1}{32}}$
$= log_{2}{\frac{1}{2^5}}$
$= log_{2}{2^{-5}}$
$= -5log_{2}{2}$
$= -5 \times 1$$
$= -5$
প্রশ্নঃ \((\frac{১২৫}{২৭})^{-\frac{২}{৩}}\) - এর সহজ প্রকাশ?
[ বিসিএস ১৭তম ]
ক. $$\frac{১}{২৫}$$
খ. $$\frac{৫}{২০}$$
গ. $$\frac{৯}{২৫}$$
ঘ. $$\frac{৩}{২০}$$
উত্তরঃ $$\frac{৯}{২৫}$$
ব্যাখ্যাঃ ধরি, \[ \left(\frac{১২৫}{২৭}\right)^{-\frac{২}{৩}} \] প্রথমে ভগ্নাংশটির হারের মান বের করি: \[ \frac{১২৫}{২৭} = \left(\frac{৫^৩}{৩^৩}\right) = \left(\frac{৫}{৩}\right)^৩ \] এখন, এই মানটির উপর শক্তি প্রয়োগ করি: \[ \left(\frac{৫}{৩}\right)^৩ \] এই মানটির উপর \(-\frac{২}{৩}\) প্রয়োগ করতে হবে: \[ \left(\left(\frac{৫}{৩}\right)^৩\right)^{-\frac{২}{৩}} \] এখন আমরা শক্তির নিয়ম প্রয়োগ করি: \[ \left(\left(\frac{৫}{৩}\right)^৩\right)^{-\frac{২}{৩}} = \left(\frac{৫}{৩}\right)^{৩ \cdot -\frac{২}{৩}} = \left(\frac{৫}{৩}\right)^{-২} \] এখন শক্তি সরল করি: \[ \left(\frac{৫}{৩}\right)^{-২} = \left(\frac{৩}{৫}\right)^২ \] শেষে, \[ \left(\frac{৩}{৫}\right)^২ = \frac{৯}{২৫} \] অতএব, \((\frac{১২৫}{২৭})^{-\frac{২}{৩}}\) এর সরল প্রকাশ হলো \(\frac{৯}{২৫}\)।
প্রশ্নঃ 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]
ক. 4
খ. 5
গ. 6
ঘ. 3
উত্তরঃ 5
ব্যাখ্যাঃ \( \log_2 32 \) এর মান নির্ণয়ের জন্য আমরা দেখি \( 32 \) কে \( 2 \) এর ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়: \[ 32 = 2^5 \] এখন, লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী: \[ \log_2 32 = \log_2 (2^5) \] \[ = 5 \times \log_2 2 \] \[ = 5 \times 1 \] \[ = 5 \] সুতরাং, \( \log_2 32 = 5 \)।
প্রশ্নঃ $log_{49}{7} + log_{\sqrt{7}}{7}$ এর মান কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. (\frac{1}{2}\)
খ. 1
গ. 2
ঘ. (\frac{5}{2}\)
উত্তরঃ (\frac{5}{2}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশি: $\log_{49}{7} + \log_{\sqrt{7}}{7}$
প্রথম পদ: $\log_{49}{7}$
আমরা জানি $49 = 7^2$।
তাহলে, $\log_{49}{7} = \log_{7^2}{7}$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, $\log_{b^n}{a} = \frac{1}{n}\log_b{a}$
সুতরাং, $\log_{7^2}{7} = \frac{1}{2}\log_7{7}$
যেহেতু $\log_b{b} = 1$, তাই $\log_7{7} = 1$।
অতএব, $\log_{49}{7} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$
দ্বিতীয় পদ: $\log_{\sqrt{7}}{7}$
আমরা জানি $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$।
তাহলে, $\log_{\sqrt{7}}{7} = \log_{7^{\frac{1}{2}}}{7}$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, $\log_{b^n}{a} = \frac{1}{n}\log_b{a}$
সুতরাং, $\log_{7^{\frac{1}{2}}}{7} = \frac{1}{\frac{1}{2}}\log_7{7}$
$= 2 \times 1 = 2$
এখন, দুটি পদ যোগ করে পাই:
$\log_{49}{7} + \log_{\sqrt{7}}{7} = \frac{1}{2} + 2$
$= \frac{1+4}{2}$
$= \frac{5}{2}$
অতএব, $\log_{49}{7} + \log_{\sqrt{7}}{7}$ এর মান হলো $\frac{5}{2}$।
প্রথম পদ: $\log_{49}{7}$
আমরা জানি $49 = 7^2$।
তাহলে, $\log_{49}{7} = \log_{7^2}{7}$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, $\log_{b^n}{a} = \frac{1}{n}\log_b{a}$
সুতরাং, $\log_{7^2}{7} = \frac{1}{2}\log_7{7}$
যেহেতু $\log_b{b} = 1$, তাই $\log_7{7} = 1$।
অতএব, $\log_{49}{7} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$
দ্বিতীয় পদ: $\log_{\sqrt{7}}{7}$
আমরা জানি $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$।
তাহলে, $\log_{\sqrt{7}}{7} = \log_{7^{\frac{1}{2}}}{7}$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, $\log_{b^n}{a} = \frac{1}{n}\log_b{a}$
সুতরাং, $\log_{7^{\frac{1}{2}}}{7} = \frac{1}{\frac{1}{2}}\log_7{7}$
$= 2 \times 1 = 2$
এখন, দুটি পদ যোগ করে পাই:
$\log_{49}{7} + \log_{\sqrt{7}}{7} = \frac{1}{2} + 2$
$= \frac{1+4}{2}$
$= \frac{5}{2}$
অতএব, $\log_{49}{7} + \log_{\sqrt{7}}{7}$ এর মান হলো $\frac{5}{2}$।
প্রশ্নঃ \((\frac{x}{5} )^p = 1\) হলে, p এর মান কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 0
খ. 1
গ. - 5
ঘ. 5
উত্তরঃ 0
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $(\frac{x}{5})^p = 1$
যদি কোনো রাশির ঘাত (power) 0 হয়, তবে সেই রাশির মান 1 হয় (যখন রাশিটি 0 না হয়)।
অর্থাৎ, $a^0 = 1$ (যেখানে $a \ne 0$)
এখানে, যদি $\frac{x}{5} \ne 0$ হয়, তাহলে $p$ এর মান অবশ্যই 0 হবে।
যদি $\frac{x}{5} = 1$ হয়, তাহলে $p$ এর যেকোনো মান হতে পারে।
যদি $\frac{x}{5} = -1$ হয়, তাহলে $p$ এর মান জোড় সংখ্যা হতে পারে।
তবে, সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নের ক্ষেত্রে ভিত্তি (base) 1 না হলে এবং 0 না হলে, সূচক (exponent) 0 হয়ে থাকে।
সুতরাং, যদি $\frac{x}{5} \ne 0$ এবং $\frac{x}{5} \ne 1$ হয়, তবে $p = 0$।
যদি কোনো রাশির ঘাত (power) 0 হয়, তবে সেই রাশির মান 1 হয় (যখন রাশিটি 0 না হয়)।
অর্থাৎ, $a^0 = 1$ (যেখানে $a \ne 0$)
এখানে, যদি $\frac{x}{5} \ne 0$ হয়, তাহলে $p$ এর মান অবশ্যই 0 হবে।
যদি $\frac{x}{5} = 1$ হয়, তাহলে $p$ এর যেকোনো মান হতে পারে।
যদি $\frac{x}{5} = -1$ হয়, তাহলে $p$ এর মান জোড় সংখ্যা হতে পারে।
তবে, সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নের ক্ষেত্রে ভিত্তি (base) 1 না হলে এবং 0 না হলে, সূচক (exponent) 0 হয়ে থাকে।
সুতরাং, যদি $\frac{x}{5} \ne 0$ এবং $\frac{x}{5} \ne 1$ হয়, তবে $p = 0$।
প্রশ্নঃ $(\sqrt{3})^{2x+1} = (\sqrt[3]{\sqrt{3}})^{x-1}$ হলে, $x = কত?$
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. \(-\frac{5}{ 4}\)
খ. \(-\frac{4}{5}\)
গ. \(\frac{4}{5}\)
ঘ. \(\frac{5}{ 4}\)
উত্তরঃ \(-\frac{4}{5}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে রাশিগুলিকে $3$ এর ঘাতে প্রকাশ করি:
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3^{\frac{1}{2}}} = (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}}$
এবার মূল সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে দিই:
$(3^{\frac{1}{2}})^{2x+1} = (3^{\frac{1}{6}})^{x-1}$
ঘাতের সূত্র অনুযায়ী, $(a^m)^n = a^{mn}$
$3^{\frac{1}{2}(2x+1)} = 3^{\frac{1}{6}(x-1)}$
$3^{\frac{2x+1}{2}} = 3^{\frac{x-1}{6}}$
যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (base) সমান, তাই ঘাতগুলোও (powers) সমান হবে:
$\frac{2x+1}{2} = \frac{x-1}{6}$
এখন আর গুণন (cross-multiplication) করি:
$6(2x+1) = 2(x-1)$
$12x + 6 = 2x - 2$
$x$ এর পদগুলিকে একপাশে এবং ধ্রুবক পদগুলিকে অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$12x - 2x = -2 - 6$
$10x = -8$
$x = \frac{-8}{10}$
$x = -\frac{4}{5}$
সুতরাং, $x$ এর মান হলো $-\frac{4}{5}$।
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3^{\frac{1}{2}}} = (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}}$
এবার মূল সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে দিই:
$(3^{\frac{1}{2}})^{2x+1} = (3^{\frac{1}{6}})^{x-1}$
ঘাতের সূত্র অনুযায়ী, $(a^m)^n = a^{mn}$
$3^{\frac{1}{2}(2x+1)} = 3^{\frac{1}{6}(x-1)}$
$3^{\frac{2x+1}{2}} = 3^{\frac{x-1}{6}}$
যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (base) সমান, তাই ঘাতগুলোও (powers) সমান হবে:
$\frac{2x+1}{2} = \frac{x-1}{6}$
এখন আর গুণন (cross-multiplication) করি:
$6(2x+1) = 2(x-1)$
$12x + 6 = 2x - 2$
$x$ এর পদগুলিকে একপাশে এবং ধ্রুবক পদগুলিকে অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$12x - 2x = -2 - 6$
$10x = -8$
$x = \frac{-8}{10}$
$x = -\frac{4}{5}$
সুতরাং, $x$ এর মান হলো $-\frac{4}{5}$।
প্রশ্নঃ $( − 27 )^{\frac{4}{3}}$ এর মান কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. - 81
খ. 81
গ. ± ৪ 1
ঘ. ± 27
উত্তরঃ 81
ব্যাখ্যাঃ $(-27)^{\frac{4}{3}} = ((-3)^3)^{\frac{4}{3}}$
$= (-3)^{3 \times \frac{4}{3}}$
$= (-3)^4$
$= (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3)$
$= 81$
সুতরাং, $(-27)^{\frac{4}{3}}$ এর মান 81।
$= (-3)^{3 \times \frac{4}{3}}$
$= (-3)^4$
$= (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3)$
$= 81$
সুতরাং, $(-27)^{\frac{4}{3}}$ এর মান 81।
প্রশ্নঃ $(x^{p-q})^{p+q} \cdot (x^{q-r})^{q+r} \cdot (x^{r-p})^{r+p} =$ কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 0
খ. p + q
গ. q + r
ঘ. 1
উত্তরঃ 1
ব্যাখ্যাঃ $(x^{p-q})^{p+q} \cdot (x^{q-r})^{q+r} \cdot (x^{r-p})^{r+p}$
ঘাতের ঘাত থাকার কারণে, সূচকগুলো গুণ হবে:
$x^{(p-q)(p+q)} \cdot x^{(q-r)(q+r)} \cdot x^{(r-p)(r+p)}$
আমরা জানি, $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$। এই সূত্র ব্যবহার করে পাই:
$x^{p^2-q^2} \cdot x^{q^2-r^2} \cdot x^{r^2-p^2}$
যেহেতু ভিত্তি একই, তাই সূচকগুলো যোগ হবে:
$= x^{(p^2-q^2) + (q^2-r^2) + (r^2-p^2)}$
$= x^{p^2-q^2+q^2-r^2+r^2-p^2}$
$= x^0$
যে কোনো কিছুর উপর সূচক ০ হলে তার মান ১ হয়।
$= 1$
সুতরাং, রাশিটির মান 1।
ঘাতের ঘাত থাকার কারণে, সূচকগুলো গুণ হবে:
$x^{(p-q)(p+q)} \cdot x^{(q-r)(q+r)} \cdot x^{(r-p)(r+p)}$
আমরা জানি, $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$। এই সূত্র ব্যবহার করে পাই:
$x^{p^2-q^2} \cdot x^{q^2-r^2} \cdot x^{r^2-p^2}$
যেহেতু ভিত্তি একই, তাই সূচকগুলো যোগ হবে:
$= x^{(p^2-q^2) + (q^2-r^2) + (r^2-p^2)}$
$= x^{p^2-q^2+q^2-r^2+r^2-p^2}$
$= x^0$
যে কোনো কিছুর উপর সূচক ০ হলে তার মান ১ হয়।
$= 1$
সুতরাং, রাশিটির মান 1।
প্রশ্নঃ $ log_{10} x = − 2$ হলে $x$ এর মান কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 0.01
খ. 0.001
গ. 0.05
ঘ. 0.005
উত্তরঃ 0.01
ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নানুসারে,
$log_{10} x = -2$
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে,
$x = 10^{-2}$
আমরা জানি, $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$
$x = \frac{1}{10^2}$
$x = \frac{1}{100}$
$x = 0.01$
সুতরাং, $x$ এর মান 0.01।
$log_{10} x = -2$
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে,
$x = 10^{-2}$
আমরা জানি, $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$
$x = \frac{1}{10^2}$
$x = \frac{1}{100}$
$x = 0.01$
সুতরাং, $x$ এর মান 0.01।
প্রশ্নঃ $( log_{10} x )^2 = log_{10} x^2$ হলে $x$ এর মান কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 1, 0
খ. 1, 10
গ. 1, 100
ঘ. 10, 100
উত্তরঃ 1, 100
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
$( log_{10} x )^2 = log_{10} x^2$
আমরা জানি, $log_a m^n = n log_a m$।
তাহলে, $log_{10} x^2 = 2 log_{10} x$।
সমীকরণটিতে মান বসিয়ে পাই:
$( log_{10} x )^2 = 2 log_{10} x$
ধরি, $y = log_{10} x$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$y^2 = 2y$
$y^2 - 2y = 0$
$y(y - 2) = 0$
এখান থেকে আমরা পাই,
$y = 0$ অথবা $y - 2 = 0$, অর্থাৎ $y = 2$
যখন $y = 0$:
$log_{10} x = 0$
$x = 10^0$
$x = 1$
যখন $y = 2$:
$log_{10} x = 2$
$x = 10^2$
$x = 100$
সুতরাং, $x$ এর মান 1 অথবা 100।
$( log_{10} x )^2 = log_{10} x^2$
আমরা জানি, $log_a m^n = n log_a m$।
তাহলে, $log_{10} x^2 = 2 log_{10} x$।
সমীকরণটিতে মান বসিয়ে পাই:
$( log_{10} x )^2 = 2 log_{10} x$
ধরি, $y = log_{10} x$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$y^2 = 2y$
$y^2 - 2y = 0$
$y(y - 2) = 0$
এখান থেকে আমরা পাই,
$y = 0$ অথবা $y - 2 = 0$, অর্থাৎ $y = 2$
যখন $y = 0$:
$log_{10} x = 0$
$x = 10^0$
$x = 1$
যখন $y = 2$:
$log_{10} x = 2$
$x = 10^2$
$x = 100$
সুতরাং, $x$ এর মান 1 অথবা 100।
প্রশ্নঃ $ − 2x^2 + 4x − 5 $ রাশিটির সর্বোচ্চ মান কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. - 1
খ. - 2
গ. - 3
ঘ. - 4
উত্তরঃ - 3
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, রাশিটি হলো:
$-2x^2 + 4x - 5$
আমরা রাশিটিকে এভাবে লিখতে পারি:
$= -2(x^2 - 2x) - 5$
$= -2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 5$
$= -2((x - 1)^2 - 1) - 5$
$= -2(x - 1)^2 + 2 - 5$
$= -2(x - 1)^2 - 3$
এখানে, $(x-1)^2$ এর সর্বনিম্ন মান শূন্য হতে পারে, যখন $x=1$।
সুতরাং, $-2(x-1)^2$ এর সর্বোচ্চ মান শূন্য হতে পারে, যখন $x=1$।
যখন $-2(x-1)^2$ এর মান সর্বোচ্চ (অর্থাৎ ০) হয়, তখন পুরো রাশিটির মান সর্বোচ্চ হয়।
সর্বোচ্চ মান $= 0 - 3 = -3$
সুতরাং, রাশিটির সর্বোচ্চ মান -3।
$-2x^2 + 4x - 5$
আমরা রাশিটিকে এভাবে লিখতে পারি:
$= -2(x^2 - 2x) - 5$
$= -2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 5$
$= -2((x - 1)^2 - 1) - 5$
$= -2(x - 1)^2 + 2 - 5$
$= -2(x - 1)^2 - 3$
এখানে, $(x-1)^2$ এর সর্বনিম্ন মান শূন্য হতে পারে, যখন $x=1$।
সুতরাং, $-2(x-1)^2$ এর সর্বোচ্চ মান শূন্য হতে পারে, যখন $x=1$।
যখন $-2(x-1)^2$ এর মান সর্বোচ্চ (অর্থাৎ ০) হয়, তখন পুরো রাশিটির মান সর্বোচ্চ হয়।
সর্বোচ্চ মান $= 0 - 3 = -3$
সুতরাং, রাশিটির সর্বোচ্চ মান -3।
প্রশ্নঃ $\frac{Inx}{x-1}$ এর মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে নিচের কোন শর্তটি প্রযোজ্য?
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. x > 0 এবং x ≠ 0
খ. x ≥ 0 অথবা x ≠ 1
গ. x > 0 অথবা x ≠ 1
ঘ. x ≥ 0 অথবা x ≠ 0
উত্তরঃ x > 0 অথবা x ≠ 1
প্রশ্নঃ $Log_{10} (0.001) =$ কত?
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 3
খ. -3
গ. $\frac{1}{3}$
ঘ. $-\frac{1}{3}$
উত্তরঃ -3
প্রশ্নঃ $\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^{3}}}=?$
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. $x^{\frac{1}{2}}$
খ. $x^{\frac{1}{3}}$
গ. $x^{\frac{2}{3}}$
ঘ. $x^{\frac{3}{2}}$
উত্তরঃ $x^{\frac{1}{3}}$
প্রশ্নঃ $27^{x+1}=81$ হলে x এর মান নিচের কোনটি?
[ ১৫তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. $\frac{1}{3}$
খ. $\frac{7}{3}$
গ. 2
ঘ. 3
উত্তরঃ $\frac{1}{3}$
প্রশ্নঃ $(5x)^{0}$ এর মান নিচের কোনটি?
[ ১৫তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 5x
খ. 0
গ. 5
ঘ. 1
উত্তরঃ 1
প্রশ্নঃ $log_{2}{8}$ এর মান নিচের কোনটি?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 1
খ. 2
গ. 3
ঘ. 4
উত্তরঃ 3
প্রশ্নঃ $5\sqrt{5}$ এর 5 ভিত্তিক লগ কত?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $\sqrt{5}$
খ. $\frac{3}{2}$
গ. 5
ঘ. $\frac{1}{2}$
উত্তরঃ $\frac{3}{2}$
প্রশ্নঃ $(8x)^{0}+8x^{0}$ এর মান নিচের কোনটি?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 8
খ. 2
গ. 16
ঘ. 9
উত্তরঃ 9
প্রশ্নঃ $4^{x}=2\implies$ হলে $ x$ মান কত?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 2
খ. $\frac{1}{2}$
গ. $\frac{1}{8}$
ঘ. 1
উত্তরঃ $\frac{1}{2}$
প্রশ্নঃ $25\sqrt{5}$ এর 5 ভিত্তিক লগ কত?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. $\frac{5}{2}$
খ. $\frac{1}{2}$
গ. $\frac{125}{2}$
ঘ. $\frac{25}{\sqrt{5}}$
উত্তরঃ $\frac{5}{2}$
প্রশ্নঃ $a^{x}=y$ হলে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. $y=log_{x}{a}$
খ. $x=log_{a}{y}$
গ. $a=log_{x}{y}$
ঘ. $x=log_{y}{a}$
উত্তরঃ $x=log_{a}{y}$
প্রশ্নঃ $log_{x}{324}=4$ হলে x এর মান কত?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. $3\sqrt{2}$
খ. $2\sqrt{3}$
গ. $5\sqrt{2}$
ঘ. $2\sqrt{5}$
উত্তরঃ $3\sqrt{2}$