ব্যাখ্যাঃ প্রথমে দেওয়া ধারাটির প্যাটার্ন বিশ্লেষণ করি:

প্রদত্ত পদগুলি:
$$\frac{1}{\sqrt{3}},-1,\sqrt{3},\dots$$

এগুলো গুণোত্তর ধারার (Geometric Progression, GP) সদস্য হতে পারে।

গুণোত্তর অনুপাত বের করি:

দ্বিতীয় পদকে প্রথম পদ দ্বারা ভাগ করলে পাই:
$$r=\frac{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=-\sqrt{3}$$

পঞ্চম পদ নির্ণয়:

গুণোত্তর ধারার সাধারণ সূত্র:

$$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$$

এখন, $n=5$ বসিয়ে পাই:
$$a_5=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot (-\sqrt{3}{)}^4$$

আমরা জানি, $(-\sqrt{3}{)}^4=(\sqrt{3}{)}^4=9$

তাহলে,
$$a_5=\frac{1}{\sqrt{3}}\times 9$$

$$=\frac{9}{\sqrt{3}}$$

$$=3\sqrt{3}$$

অর্থাৎ, ধারাটির পঞ্চম পদ হলো $3\sqrt{3}$

ব্যাখ্যাঃ

ধারাটির সংখ্যাগুলোর মধ্যে পার্থক্যগুলো লক্ষ্য করি:

• ২ - ১ = ১
• ৪ - ২ = ২
• ৭ - ৪ = ৩
• ১১ - ৭ = ৪

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সংখ্যাগুলোর মধ্যে পার্থক্য ক্রমশ ১ করে বাড়ছে। সুতরাং, পরবর্তী পার্থক্যটি হবে ৪ + ১ = ৫।

অতএব, সর্বশেষ সংখ্যাটির পরের সংখ্যাটি হবে:

১১ + ৫ = ১৬

সুতরাং, সংখ্যা শ্রেণির সর্বশেষ সংখ্যার পরের সংখ্যাটি হবে ১৬।

ব্যাখ্যাঃ
প্রদত্ত সমান্তর অনুক্রম:
$$-5,p,q,16$$
সমান্তর অনুক্রমে প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা আগের সংখ্যার সাথে একটি স্থির পার্থক্য যোগ করে পাওয়া যায়, যাকে সাধারণ পার্থক্য ($d$) বলা হয়।

১ম ধাপ: সাধারণ পার্থক্য ($d$) নির্ণয় করা

আমরা জানি:
$$q-p=d$$
$$p-(-5)=d$$
এবং,
$$16-q=d$$

সুতরাং, প্রথম ও শেষ সংখ্যার মধ্যে সাধারণ পার্থক্য হবে:
$$d=\frac{(16-(-5))}{3}=\frac{16+5}{3}=\frac{21}{3}=7$$

২য় ধাপ: $p$ ও $q$ এর মান নির্ণয় করা

$$p=-5+d=-5+7=2$$
$$q=p+d=2+7=9$$

সুতরাং, $p=2$ এবং $q=9$

ব্যাখ্যাঃ আমরা আগের উত্তরে দেখেছি, এই ধারার যোগফল $n$-এর মানের উপর নির্ভর করে।

• যদি $n$ জোড় সংখ্যা হয়, যোগফল $=0$
  
• যদি $n$ বিজোড় সংখ্যা হয়, যোগফল $=1$
  

এখন আমরা বিকল্পগুলো পরীক্ষা করে দেখব:

কঃ $0$ - এটি সঠিক, কিন্তু শুধুমাত্র যখন $n$ জোড় সংখ্যা হয়।

খঃ $1$ - এটি সঠিক, কিন্তু শুধুমাত্র যখন $n$ বিজোড় সংখ্যা হয়।

গঃ $[1+(-1)n]$ -
* যদি $n$ জোড় হয়, $(-1{)}^n=1$, যোগফল $=1+1=2$, যা সঠিক নয়।
* যদি $n$ বিজোড় হয়, $(-1{)}^n=-1$, যোগফল $=1-1=0$, যা সঠিক নয়।

ঘঃ $(\frac{1}{2})[1-(-1{)}^n]$ -
* যদি $n$ জোড় হয়, $(-1{)}^n=1$, যোগফল $=(\frac{1}{2})[1-1]=(\frac{1}{2})\times 0=0$, যা সঠিক।
* যদি $n$ বিজোড় হয়, $(-1{)}^n=-1$, যোগফল $=(\frac{1}{2})[1-(-1)]=(\frac{1}{2})[1+1]=(\frac{1}{2})\times 2=1$, যা সঠিক।

সুতরাং, $(\frac{1}{2})[1-(-1{)}^n]$ এমন একটি সূত্র যা জোড় এবং বিজোড় উভয় $n$-এর জন্যই সঠিক যোগফল দেয়।

সঠিক উত্তর: ঘঃ $$(\frac{1}{2})[1-(-1{)}^n]$$

ব্যাখ্যাঃ ধারাটি দেখে মনে হচ্ছে এটি একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক প্রগতি বা গুণোত্তর প্রগতি অনুসরণ করছে না। পদগুলোর মধ্যেকার পার্থক্য বা অনুপাত স্থির নয়।

প্রথম তিনটি পদের দিকে লক্ষ্য করলে:
$\frac{1}{4},-\frac{1}{6},\frac{1}{9}$

$-\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=-\frac{2}{12}-\frac{3}{12}=-\frac{5}{12}$
$\frac{1}{9}-(-\frac{1}{6})=\frac{1}{9}+\frac{1}{6}=\frac{2}{18}+\frac{3}{18}=\frac{5}{18}$

অনুপাতগুলোও স্থির নয়:
$(-\frac{1}{6})/(\frac{1}{4})=-\frac{1}{6}\times \frac{4}{1}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$
$(\frac{1}{9})/(-\frac{1}{6})=\frac{1}{9}\times (-\frac{6}{1})=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$

চতুর্থ পদটি ($\frac{2}{7}$) এই অনুক্রম অনুসরণ করছে না। যদি ধারাটি $(-2/3)$ সাধারণ অনুপাত বিশিষ্ট একটি অসীম গুণোত্তর ধারা হত, তবে চতুর্থ পদটি হওয়া উচিত ছিল:
$\frac{1}{9}\times (-\frac{2}{3})=-\frac{2}{27}$

যেহেতু চতুর্থ পদটি $-\frac{2}{7}$, যা $-\frac{2}{27}$ এর সমান নয়, তাই এটি একটি সাধারণ গুণোত্তর ধারা নয়।

যদি ধারাটি দুটি ভিন্ন অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি হয়, তবে তা পরীক্ষা করা যেতে পারে।

প্রথম ধারা: $\frac{1}{4},\frac{1}{9},\dots \dots \dots .$ (হরগুলো পূর্ণ বর্গ)
দ্বিতীয় ধারা: $-\frac{1}{6},-\frac{2}{7},\dots \dots \dots .$ (কোন স্পষ্ট নিয়ম নেই)

অথবা, ধারাটি হয়তো অন্য কোনো জটিল নিয়ম মেনে চলছে যা এখানে সহজে বোঝা যাচ্ছে না।

যদি প্রশ্নটিতে ত্রুটি থাকে এবং ধারাটি শুধুমাত্র প্রথম তিনটি পদ নিয়ে একটি অসীম গুণোত্তর ধারা বোঝানো হয়ে থাকে, তবে তার সমষ্টি নির্ণয় করা যেতে পারে। সেক্ষেত্রে, প্রথম পদ $a=\frac{1}{4}$ এবং সাধারণ অনুপাত $r=-\frac{2}{3}$.

অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টির সূত্র ($|r|<1$ হলে): $S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r}$

এখানে $|-\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}<1$, তাই সমষ্টি নির্ণয় করা সম্ভব।

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{\frac{1}{4}}{1-(-\frac{2}{3})}=\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3+2}{3}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{3}}=\frac{1}{4}\times \frac{3}{5}=\frac{3}{20}$

ব্যাখ্যাঃ

১. সংখ্যা সমষ্টি নির্ণয়

১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ধারা একটি সার্বিক সংখ্যা ধারা (Arithmetic Series), যেখানে:

• প্রথম পদ $a=1$
  
• শেষ পদ $l=49$
  
• মোট পদ সংখ্যা $n=49$
  

ধারাটির যোগফল সূত্র:
$$S=\frac{n}{2}\times (a+l)$$

$$S=\frac{49}{2}\times (1+49)=\frac{49}{2}\times 50=49\times 25=1225$$

২. গড় নির্ণয়

$$\text{গড়}=\frac{1225}{49}=25$$

চূড়ান্ত উত্তর:

১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় ২৫।

ব্যাখ্যাঃ ধারাটির প্রথম পদ $a=5$ এবং সাধারণ অন্তর $d=8-5=3$.

মনে করি ধারাটির $n$-তম পদ 302।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদের সূত্র হল:
$$T_n=a+(n-1)d$$

এখানে $T_n=302$, $a=5$, এবং $d=3$. এই মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$$302=5+(n-1)3$$$$302-5=(n-1)3$$$$297=3(n-1)$$$$\frac{297}{3}=n-1$$$$99=n-1$$$$n=99+1$$$$n=100$$

সুতরাং, ধারাটির ১০০তম পদ 302।

ব্যাখ্যাঃ প্রথম পদ ($a=০.১২$)
সাধারণ অনুপাত ($r=০.০১$)
অসীম গুণোত্তর ধারার যোগফলের সূত্র ($S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{১-r}$) ব্যবহার করে যোগফল নির্ণয় ।

$$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{০.১২}{১-০.০১}=\frac{০.১২}{০.৯৯}=\frac{১২/১০০}{৯৯/১০০}=\frac{১২}{৯৯}=\frac{৪}{৩৩}$$

সুতরাং, ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল $$\frac{৪}{৩৩}$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ধারাটি হলো একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে প্রথম পদ ($a$) এবং সাধারণ অনুপাত ($r$) রয়েছে।

প্রথম পদ, $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{\text{দ্বিতীয় পদ}}{\text{প্রথম পদ}}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=1\times \sqrt{2}=\sqrt{2}$
অথবা, $r=\frac{\text{তৃতীয় পদ}}{\text{দ্বিতীয় পদ}}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$

আমরা জানি, একটি গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ হলো $a_n=a\cdot r^{n-1}$।
আমরা খুঁজে বের করতে চাই কোন পদ $8\sqrt{2}$ হবে। ধরি, $n$ তম পদটি $8\sqrt{2}$।
সুতরাং, $a_n=8\sqrt{2}$

এখন সূত্রে মানগুলো বসাই:
$8\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (\sqrt{2}{)}^{n-1}$

উভয় পক্ষকে $\sqrt{2}$ দিয়ে গুণ করি:
$8\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=(\sqrt{2}{)}^{n-1}$
$8\times 2=(\sqrt{2}{)}^{n-1}$
$16=(\sqrt{2}{)}^{n-1}$

এখন $16$ কে $\sqrt{2}$ এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করি:
$16=2^4$
$16=({\sqrt{2}}^2{)}^4$
$16=(\sqrt{2}{)}^8$

সুতরাং, $(\sqrt{2}{)}^8=(\sqrt{2}{)}^{n-1}$

যেহেতু ভিত্তি একই, ঘাতগুলো সমান হবে:
$8=n-1$
$n=8+1$
$n=9$

সুতরাং, ধারাটির $9$ম পদ $8\sqrt{2}$ হবে।

ব্যাখ্যাঃ সমান্তর অনুক্রমের ক্ষেত্রে,
প্রথম পদকে $a$ ধরা হয়।
সাধারণ অন্তরকে $d$ ধরা হয়।
$n$ তম পদের সূত্র: $a_n=a+(n-1)d$
প্রথম $n$ টি পদের যোগফলের সূত্র: $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

দেওয়া আছে:
৫ম পদ ($a_5$) = $18$
প্রথম ৫টি পদের যোগফল ($S_5$) = $75$

প্রথমত, $a_5=18$ থেকে পাই:
$a+(5-1)d=18$
$a+4d=18$ ---(1)

দ্বিতীয়ত, $S_5=75$ থেকে পাই:
$\frac{5}{2}[2a+(5-1)d]=75$
$\frac{5}{2}[2a+4d]=75$

উভয় পক্ষকে $\frac{2}{5}$ দ্বারা গুণ করি:
$2a+4d=75\times \frac{2}{5}$
$2a+4d=15\times 2$
$2a+4d=30$ ---(2)

এখন, আমরা (1) নম্বর সমীকরণ থেকে $a$ এর মান বের করে (2) নম্বর সমীকরণে বসাতে পারি, অথবা সরাসরি (1) নম্বর সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে (2) নম্বর সমীকরণ থেকে বিয়োগ করতে পারি।
(1) নম্বর সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করি:
$2(a+4d)=2\times 18$
$2a+8d=36$ ---(3)

এখন (3) নম্বর সমীকরণ থেকে (2) নম্বর সমীকরণ বিয়োগ করি:
$(2a+8d)-(2a+4d)=36-30$
$2a+8d-2a-4d=6$
$4d=6$
$d=\frac{6}{4}$
$d=\frac{3}{2}$

এখন $d$ এর মান (1) নম্বর সমীকরণে বসিয়ে $a$ এর মান বের করি:
$a+4d=18$
$a+4(\frac{3}{2})=18$
$a+2\times 3=18$
$a+6=18$
$a=18-6$
$a=12$

সুতরাং, প্রথম পদটি হলো $12$

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল নির্ণয় করার জন্য সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে।

সূত্রটি হলো: $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

এখানে,
$n$ = শেষ সংখ্যা (এই ক্ষেত্রে $100$)

মান বসিয়ে পাই:
$S_{100}=\frac{100(100+1)}{2}$
$S_{100}=\frac{100\times 101}{2}$
$S_{100}=50\times 101$
$S_{100}=5050$

সুতরাং, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো ৫০৫০।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সমান্তর অনুক্রমটির প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$।

প্রদত্ত তথ্য:
সাধারণ অন্তর ($d$) = 10
৬-তম পদ = 52

আমরা জানি, সমান্তর অনুক্রমের $n$-তম পদের সূত্র হলো: $a_n=a+(n-1)d$

৬-তম পদের জন্য ($n=6$):
$a_6=a+(6-1)d$
$52=a+5d$

এখন, $d=10$ এই মানটি বসাই:
$52=a+5(10)$
$52=a+50$
$a=52-50$
$a=2$

এখন আমরা অনুক্রমের প্রথম পদ ($a=2$) এবং সাধারণ অন্তর ($d=10$) জানি।

১৫-তম পদটি নির্ণয় করতে হবে ($n=15$):
$a_{15}=a+(15-1)d$
$a_{15}=2+(14)\times 10$
$a_{15}=2+140$
$a_{15}=142$

সুতরাং, ১৫-তম পদটি হলো ১৪২।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, গুণোত্তর অনুক্রমটির প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$।

গুণোত্তর অনুক্রমের $n$-তম পদের সূত্র হলো: $a_n=a{r}^{n-1}$

প্রদত্ত তথ্য:
তৃতীয় পদটি ($a_3$) = 20
ষষ্ঠ পদটি ($a_6$) = 160

সূত্রের সাহায্যে পাই:
$a_3=a{r}^{3-1}\Rightarrow a{r}^2=20$ (সমীকরণ ১)
$a_6=a{r}^{6-1}\Rightarrow a{r}^5=160$ (সমীকরণ ২)

এখন, সমীকরণ (২) কে সমীকরণ (১) দ্বারা ভাগ করি:
$\frac{a{r}^5}{a{r}^2}=\frac{160}{20}$
$r^{5-2}=8$
$r^3=8$
$r^3=2^3$
$r=2$

সাধারণ অনুপাত $r=2$।

এখন $r$-এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে প্রথম পদ ($a$) নির্ণয় করি:
$a{r}^2=20$
$a(2{)}^2=20$
$4a=20$
$a=\frac{20}{4}$
$a=5$

সুতরাং, গুণোত্তর অনুক্রমটির প্রথম পদটি হলো ৫।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ধারাটি হলো প্রথম $x$ সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল:
$1+3+5+........+(2x-1)$

এটি একটি সমান্তর ধারা (arithmetic series) যেখানে:

• প্রথম পদ ($a_1$) = ১
  
• সাধারণ অন্তর ($d$) = $৩-১=২$
  
• শেষ পদ ($a_n$) = $২x-১$
  

প্রথমে, ধারাটিতে মোট কয়টি পদ আছে তা নির্ণয় করতে হবে।
যদি শেষ পদ $(2x-1)$ হয়, তবে এটি $n$-তম পদ।
সমান্তর ধারার $n$-তম পদের সূত্র: $a_n=a_1+(n-1)d$
$২x-১=১+(n-1)২$
$২x-১=১+২n-২$
$২x-১=২n-১$
$২x=২n$
$n=x$

সুতরাং, ধারাটিতে $x$ সংখ্যক পদ রয়েছে।

এখন, প্রথম $n$ সংখ্যক পদের যোগফলের সূত্র: $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$
এখানে $n=x$, $a_1=1$ এবং $a_n=2x-1$ বসিয়ে পাই:

$S_x=\frac{x}{2}(1+(2x-1))$
$S_x=\frac{x}{2}(1+2x-1)$
$S_x=\frac{x}{2}(2x)$
$S_x=x\times x$
$S_x=x^2$

অতএব, $1+3+5+........+(2x-1)=x^2$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ধারাটি হলো: $১+৫+৯+................+৮১$

এটি একটি সমান্তর ধারা (arithmetic series)।

• প্রথম পদ ($a_1$) = ১
  
• সাধারণ অন্তর ($d$) = ৫ - ১ = ৪
  
• শেষ পদ ($a_n$) = ৮১
  

প্রথমে, ধারাটিতে মোট কতটি পদ আছে তা নির্ণয় করতে হবে।
সমান্তর ধারার $n$-তম পদের সূত্র: $a_n=a_1+(n-1)d$
৮১ = ১ + (n-1)৪
৮১ - ১ = (n-1)৪
৮০ = (n-1)৪
$\frac{৮০}{৪}=n-১$
২০ = n-১
n = ২০ + ১
n = ২১

সুতরাং, ধারাটিতে মোট ২১টি পদ রয়েছে।

এখন, ধারাটির যোগফল নির্ণয় করব।
সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র: $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$
$S_{২১}=\frac{২১}{২}(১+৮১)$
$S_{২১}=\frac{২১}{২}(৮২)$
$S_{২১}=২১\times ৪১$
$S_{২১}=৮৬১$

সুতরাং, $১ + ৫ + ৯ +................ + ৮১ = ৮৬১$।

ব্যাখ্যাঃ ধারাটি পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় যে এটি দুটি ভিন্ন ধারার সমন্বয়ে গঠিত:

১. প্রথম ধারা (বিজোড় স্থানগুলোতে থাকা সংখ্যা):
৩, ৪, ৫, ৬,...
এই ধারাটি ১ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

২. দ্বিতীয় ধারা (জোড় স্থানগুলোতে থাকা সংখ্যা):
৭, ১৪, ২১,...
এই ধারাটি ৭ এর গুণিতক। অর্থাৎ, $৭\times ১$, $৭\times ২$, $৭\times ৩$, ...

মূল ধারার অষ্টম সংখ্যাটি দ্বিতীয় ধারার অন্তর্ভুক্ত হবে (কারণ এটি একটি জোড় স্থান)।
দ্বিতীয় ধারার চতুর্থ পদটি হবে $৭\times ৪=২৮$।

সুতরাং, প্রদত্ত ধারার অষ্টম সংখ্যাটি হবে ২৮।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, একটি গুণোত্তর অনুক্রমের:
দ্বিতীয় পদ ($ar$) = $-48$ ------ (১)
পঞ্চম পদ ($a{r}^4$) = $\frac{3}{4}$ ------ (২)

যেখানে $a$ হলো প্রথম পদ এবং $r$ হলো সাধারণ অনুপাত।

এখন, (২) নং সমীকরণকে (১) নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করি:
$\frac{a{r}^4}{ar}=\frac{\frac{3}{4}}{-48}$

$r^3=\frac{3}{4\times (-48)}$
$r^3=\frac{3}{-192}$

এখন $3$ দিয়ে ভাগ করি:
$r^3=-\frac{1}{64}$

এখন $r$ এর মান বের করি।
$r=\sqrt[3]{-\frac{1}{64}}$
$r=-\frac{1}{\sqrt[3]{64}}$
$r=-\frac{1}{4}$

সুতরাং, সাধারণ অনুপাত হলো $-\frac{1}{4}$।

ব্যাখ্যাঃ এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আমরা প্রথমে ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলির বর্গের সমষ্টি বের করার চেষ্টা করব। আমরা জানি যে, $${১}^{২}+{২}^{২}+{৩}^{২}+...+n^{২}=\frac{n(n+১)(২n+১)}{৬}$$ এখানে, n = ৫০। সুতরাং, $${১}^{২}+{২}^{২}+{৩}^{২}+...+৫{০}^{২}=\frac{৫০(৫০+১)(২\times ৫০+১)}{৬}$$ $$=\frac{৫০\times ৫১\times ১০১}{৬}$$ $$=\frac{২৫৭৫৫০}{৬}$$ $$=৪২৯২৫$$
অতএব, $${১}^{২}+{২}^{২}+{৩}^{২}+...+৫{০}^{২}=৪২৯২৫।$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ধারাটি হলো: $$১,৩,৬,১০,১৫,২১,\dots \dots$$ এই ধারাটি একটি ত্রিভুজ সংখ্যা ধারা (Triangular Number Sequence)। এই ধারার প্রতিটি পদ হলো ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল। ### ধারাটির প্যাটার্ন: - ১ম পদ: $১=১$ - ২য় পদ: $৩=১+২$ - ৩য় পদ: $৬=১+২+৩$ - ৪র্থ পদ: $১০=১+২+৩+৪$ - ৫ম পদ: $১৫=১+২+৩+৪+৫$ - ৬ষ্ঠ পদ: $২১=১+২+৩+৪+৫+৬$ এভাবে, $n$-তম পদ হলো প্রথম $n$টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল। ত্রিভুজ সংখ্যার সাধারণ সূত্র হলো: $$T_n=\frac{n(n+1)}{2}$$ যেখানে, $T_n$ হলো ধারাটির $n$-তম পদ। ### দশম পদ নির্ণয়: দশম পদের জন্য $n=১০$। সূত্রে মান বসিয়ে পাই: $$T_{১০}=\frac{১০(১০+১)}{২}=\frac{১০\times ১১}{২}=\frac{১১০}{২}=৫৫$$ ### উত্তর: ধারাটির দশম পদ হলো ৫৫।

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে গাণিতিক ধারার একটি সাধারণ সূত্র ব্যবহার করতে পারি: $1+2+3+...+n$ এর যোগফল নির্ণয়ের সূত্র হল: $$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$ এই ক্ষেত্রে, $n=99$, তাই আমরা এটি সূত্রে স্থাপন করতে পারি: $$S_{99}=\frac{99(99+1)}{2}=\frac{99\times 100}{2}=4950$$ সুতরাং, $1+2+3+...+99=4950$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ধারাটি লক্ষ্য করলে দেখতে পারি যে এটি লগারিদমিক সমষ্টি। ধারাটির সাধারণ পদের রূপ হলো: $$\log (2)+\log (4)+\log (8)+\dots$$ যদি আমরা লগারিদমিক সূত্র ব্যবহার করি: $$\log (a\times b)=\log (a)+\log (b)$$ এই সূত্রটি ব্যবহার করে, ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো: $$\log (2)+\log (2^2)+\log (2^3)+\dots +\log (2^{10})$$ এখন, এই লগারিদমিক সমষ্টিটিকে একটি লগারিদম হিসেবে রূপান্তরিত করতে পারি: $$\log (2^1\times 2^2\times 2^3\times \dots \times 2^{10})$$ আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি আসলে একটি গুণন সমীকরণ: $$\log (2^{1+2+3+\dots +10})$$ প্রথম দশটি পদ গণনা করে: $$1+2+3+\dots +10=\frac{10(10+1)}{2}=55$$ অতএব, ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো: $$\log (2^{55})$$ এবং শেষ পর্যন্ত আমরা পাই: $$55\log (2)$$ ধারণাটি আরও স্পষ্ট করার জন্য: $$\log (2^1)+\log (2^2)+\log (2^3)+\dots +\log (2^{10})=55\log (2)$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ধারাটি হলো: $$1^2+3^2+5^2+\cdots +{31}^2$$ এটি একটি বর্গ ধারা যেখানে প্রতিটি পদ বিজোড় সংখ্যার বর্গ। প্রথম $n$ বিজোড় সংখ্যার বর্গের যোগফলের সূত্র হলো: $$\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$ প্রথমে আমরা $n$ এর মান নির্ণয় করব। ধারাটির শেষ পদ $31$ হলে: $$2n-1=31⟹2n=32⟹n=16$$ এখন সূত্রে $n=16$ বসালে: $$\sum _{k=1}^{16}(2k-1{)}^2=\frac{16\times 31\times 33}{3}$$ গুণফল নির্ণয়: $$16\times 31=496$$ $$496\times 33=16,368$$ $$\frac{16,368}{3}=5,456$$ ### উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 5,456}}$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যাগুলি হল: ৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪, ... এই সংখ্যাগুলি পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় যে এগুলি পূর্ণবর্গ সংখ্যা: $$9=3^2$$ $$36=6^2$$ $$81=9^2$$ $$144={12}^2$$ এখানে বর্গের ভিত্তি সংখ্যাগুলি হল: ৩, ৬, ৯, ১২, ... এই ভিত্তি সংখ্যাগুলি প্রতিবার ৩ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। তাই পরবর্তী ভিত্তি সংখ্যা হবে: $$12+3=15$$ পরবর্তী সংখ্যাটি হবে: $${15}^2=225$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 225}}$$

ব্যাখ্যাঃ কোনো সমান্তর প্রগমনে, ধারাটির প্রতিটি সংখ্যা পূর্বের সংখ্যার সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার যোগফল।

ধরি, প্রথম সংখ্যাটি $a=5$ এবং পার্থক্যটি $d$।

ধারাটির দ্বিতীয় সংখ্যা $a+d=17$। তাহলে আমরা $d$ বের করতে পারি: $$a+d=17$$ $$5+d=17$$ $$d=17-5$$ $$d=12$$
এখন, তৃতীয় সংখ্যাটি নির্ণয় করতে আমরা $a+2d$ ব্যবহার করব: $$a+2d=5+2\times 12$$ $$a+2d=5+24$$ $$a+2d=29$$ তাহলে, তৃতীয় সংখ্যাটি হল ২৯।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যা ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, … একটি ফিবোনাচ্চি ধারার উদাহরণ।

ফিবোনাচ্চি ধারার নিয়ম: $$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$ অর্থাৎ, প্রতিটি সংখ্যা আগের দুই সংখ্যার যোগফল।

### পরবর্তী সংখ্যা নির্ণয় শেষ দুটি সংখ্যা ২১ এবং ৩৪। তাহলে, পরবর্তী সংখ্যা হবে: $$21+34=55$$ ### উত্তর: পরবর্তী সংখ্যা ৫৫

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পরপর দশটি সংখ্যা হলো $a,a+1,a+2,\dots ,a+9$।

প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল: $$a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+4)=৫৬০$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করি: $$5a+10=৫৬০$$ $$5a=৫৬০-১০$$ $$5a=৫৫০$$ $$a=১১০$$ তাহলে পরপর দশটি সংখ্যা হলো: ১১০, ১১১, ১১২, ১১৩, ১১৪, ১১৫, ১১৬, ১১৭, ১১৮, ১১৯। শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল: $$১১৫+১১৬+১১৭+১১৮+১১৯=৫৮৫$$ অতএব, শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল হলো ৫৮৫।

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল বের করার একটি সহজ পদ্ধতি হল গাণিতিক ধারা ব্যবহার করা। $$১+২+৩+\dots +১০০$$ আমরা জানি যে, $n$ সংখ্যার যোগফল বের করার সূত্র হলো: $$\text{Sum}=\frac{n(n+1)}{2}$$ এখানে $n=100$: $$\text{Sum}=\frac{100(100+1)}{2}=\frac{100\times 101}{2}=5050$$ অতএব, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল ৫০৫০।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে দেখি যে সংখ্যাগুলো কোন নির্দিষ্ট ধারায় আছে কি না। দেওয়া সংখ্যাগুলো হলো: ৮১, ২৭, ___, ৩, ১। প্রথম দুটি সংখ্যার ক্ষেত্রে পার্থক্য হলো: $$৮১={৩}^{৪}$$ $$২৭={৩}^{৩}$$ এখন, দেখতে পাচ্ছি যে এরা ৩ এর ঘাত। চলুন দেখি ধারাটি কীভাবে কাজ করে: $$৮১={৩}^{৪}$$ $$২৭={৩}^{৩}$$ $${৩}^{২}=৯$$ $$৩={৩}^{১}$$ $$১={৩}^{০}$$ অতএব, ৮১, ২৭, ৯, ৩, ১।
লুপ্ত সংখ্যা হলো ৯।

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করতে আমরা সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র ব্যবহার করব।

### সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র: $$S=\frac{n}{2}\times (a+l)$$ যেখানে:
- $S$ = যোগফল
- $n$ = পদ সংখ্যা
- $a$ = প্রথম পদ
- $l$ = শেষ পদ

### ধাপ ১: মান নির্ণয়
- প্রথম পদ ($a$) = ১
- শেষ পদ ($l$) = ৯৯
- পদ সংখ্যা ($n$) = ৯৯

### ধাপ ২: সূত্রে মান বসিয়ে যোগফল নির্ণয় $$S=\frac{99}{2}\times (1+99)$$ $$S=\frac{99}{2}\times 100$$ $$S=99\times 50$$ $$S=4950$$ ### চূড়ান্ত উত্তর:

১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল হলো ৪৯৫০।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আমরা $৮,১১,১৭,২৯,৫৩,....$ ক্রমটির জন্য পরবর্তী সংখ্যা খুঁজছি।

প্রথমে, আমরা দুটি পরপর সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য বের করি: $$১১-৮=৩$$ $$১৭-১১=৬$$ $$২৯-১৭=১২$$ $$৫৩-২৯=২৪$$ এখন, লক্ষ করছি যে পার্থক্যগুলি হলো $৩,৬,১২,২৪$। দেখা যাচ্ছে, প্রতিটি পরবর্তী পার্থক্য পূর্ববর্তী পার্থক্যের দ্বিগুণ।

তাহলে, পরবর্তী পার্থক্য হবে $২৪\times ২=৪৮$।

সুতরাং, ক্রমের পরবর্তী সংখ্যা হবে $৫৩+৪৮=১০১$।

অতএব, ক্রমের পরবর্তী সংখ্যা হবে $১০১$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আমরা ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা খুঁজছি: $১৯,৩৩,৫১,৭৩,....$

প্রথমে, আমরা দুটি পরপর সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করি: $$৩৩-১৯=১৪$$ $$৫১-৩৩=১৮$$ $$৭৩-৫১=২২$$ আমরা লক্ষ্য করছি যে পার্থক্যগুলি হলো $১৪,১৮,২২$। দেখা যাচ্ছে, পার্থক্যগুলির মধ্যে একটি ধারা আছে: প্রতিটি পার্থক্য ৪ করে বাড়ছে।

তাহলে, পরবর্তী পার্থক্য হবে $২২+৪=২৬$।

সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যা হবে $৭৩+২৬=৯৯$।

অতএব, ধারার পরবর্তী সংখ্যা হলো $৯৯$।

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে হলে আমাদের প্রথমে যোগফল বের করতে হবে এবং তারপর সংখ্যা গুলি গণনা করতে হবে।

সংখ্যাগুলির যোগফল বের করতে হলে: $$\text{যোগফল}=\frac{n(n+1)}{2}$$ যেখানে, $n$ হল সর্বশেষ সংখ্যা। $$\text{যোগফল}=\frac{49\times 50}{2}=1225$$ এখন, সংখ্যাগুলির গড় নির্ণয় করতে: $$\text{গড়}=\frac{\text{যোগফল}}{\text{সংখ্যার সংখ্যা}}=\frac{1225}{49}=25$$ অতএব, ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যার গড় হল ২৫।

ব্যাখ্যাঃ $1^2+2^2+3^2+\cdots +x^2$ এই ধারাটির যোগফল নির্ণয়ের জন্য একটি সূত্র আছে। এই সূত্রটি হলো: $$1^2+2^2+3^2+\cdots +x^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$$ এই সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা $1^2+2^2+3^2+\cdots +x^2$ এর মান নির্ণয় করতে পারি।

ব্যাখ্যা:
- $x$ হলো ধারাটির শেষ পদ।
- সূত্রটি প্রমাণিত এবং গাণিতিকভাবে সঠিক।

সুতরাং, $1^2+2^2+3^2+\cdots +x^2$ এর মান হলো: $$\boxed{{\displaystyle \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}}}$$

ব্যাখ্যাঃ $1^2+2^2+3^2+\cdots +x^2$ এর যোগফলের সূত্র হলো: $$\text{যোগফল}=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$$

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি: $$\text{যোগফল}=\frac{n(n+1)}{2}$$ এখানে, $n$ হলো সর্বোচ্চ সংখ্যা, অর্থাৎ $20$। তাহলে:
$$\text{যোগফল}=\frac{20(20+1)}{2}=\frac{20\times 21}{2}=210$$ উত্তর: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল হলো $210$।

ব্যাখ্যাঃ ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল নির্ণয়ের জন্য আমরা গাণিতিক সূত্র ব্যবহার করতে পারি। ধারাটির যোগফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$\text{যোগফল}=\frac{n(n+1)}{2}$$ যেখানে $n$ হলো শেষ সংখ্যা। এখানে $n=100$।

$$\text{যোগফল}=\frac{100(100+1)}{2}=\frac{100\times 101}{2}$$ $$\text{যোগফল}=\frac{10100}{2}=5050$$ উত্তর: ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো: $$\boxed{{\displaystyle 5050}}$$

ব্যাখ্যাঃ এই সংখ্যাগুলোর একটি নিদিষ্ট ক্রম রয়েছে, যা মনে হচ্ছে একটি গুণোত্তর ধারার (geometric progression) অংশ। এখানে:

- প্রথম সংখ্যা: $৮১$
- দ্বিতীয় সংখ্যা: $২৭$
- তৃতীয় সংখ্যা: লুপ্ত
- চতুর্থ সংখ্যা: $৩$
- পঞ্চম সংখ্যা: $১$

ধরা যাক, ধারার অনুপাত $r$। গুণোত্তর ধারায় প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা আগের সংখ্যার সাথে $r$-এ গুণ করে পাওয়া যায়। প্রথম দুটি সংখ্যার মধ্যে $r$ নির্ণয় করি: $$r=\frac{২৭}{৮১}=\frac{১}{৩}$$ এখন $r=\frac{১}{৩}$ ব্যবহার করে, তৃতীয় সংখ্যাটি বের করি: $$তৃতীয়সংখ্যা=২৭\times \frac{১}{৩}=৯$$ অতএব, লুপ্ত সংখ্যাটি হলো ৯।